全書內(nèi)容十章概率

章末網(wǎng)絡知識判斷下列說法是否正確.(請在括號中填“√”或1.“一個三角形的內(nèi)角280°”章末網(wǎng)絡知識判斷下列說法是否正確.(請在括號中填“√”或1.“一個三角形的內(nèi)角280°”是隨機事×)2.“投擲一枚硬幣,正面向上或反面向上”是必然事件√)3.燈泡的合格99%,從一批燈泡中任取一個,則是合格品的可√)4P(A)=0.001,則A件×)5.在同一試驗中的兩個AB,一定有×)6.若一次試驗的結果所包含的樣本點的個數(shù)為有限個,則該試古典概型×)題型互斥事件與對立事件的[例1]甲、乙兩人參加普法知識競賽,共5個不同的(1)甲、乙兩人中有[例1]甲、乙兩人參加普法知識競賽,共5個不同的(1)甲、乙兩人中有一個抽到選擇題,另一個抽到判斷題的概率少(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多3個選擇題記個判斷題記p1,p2,則試驗的空間包含的樣本點數(shù)為5×4=20(個(1)設事A=“甲抽到選擇題,乙抽到判斷題”,B=“甲抽到判斷題乙抽到選擇題”,M=“甲、乙兩人中有一個抽到選擇題,另一個判斷題”,則因為A={(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2)},共6樣本點,B={(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3)},共 個樣本所以P(A)=6=3,P(B)=632020因為AB所以P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=331010故“甲、乙兩人中有一個抽到選擇題,另一個抽到判斷題”的概率5(2)設事C=“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”,則C=“甲兩人都抽到判斷題”={(p1,p2),(p2,p1)},共2點,P(C)=2=1,所以P(C)=1-P(C)=1-192010故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為9A)解跟蹤(2021·安徽蚌埠高一期末)袋中裝有6個形狀、A)解跟蹤(2021·安徽蚌埠高一期末)袋中裝有6個形狀、的時候,誰也無法看到球的顏色,首先由甲取出3個球,并不再將它放回原袋中,然后由乙取出剩余的3個球,規(guī)定取出球的總積分多獲勝(1)求甲、乙成(2)從概率的角度分析先后取球的順序是否影響比賽球共有以下20況246,256,345,346,356,456,甲、乙平局時都得3分,所以甲取出的個小球是一黑一白一紅,共8故平局的概率P8120②間接法:先求其對立事件的概率,然后再應用公 P(A)=1-(1)互斥事件與對立事件①若事件A1,A2,…,An①直接法:將所求事件轉化成彼此互斥的事(2)甲獲勝時,得分只能是45分,即取21白,1白,21黑6種情故先取者(甲)獲勝的概率P6(2)甲獲勝時,得分只能是45分,即取21白,1白,21黑6種情故先取者(甲)獲勝的概率P63220后取者(乙)獲勝的概率P=1-2333510所P2=P3,故先后取球的順序不影響比賽的公題型古典[例某科研管理部門為了解下轄的甲、乙、丙三個科研所對重領域項目的推進情況以便后期工作實施,準備用分層隨機抽樣的方從三個科研所中抽取7名科技工作者進行調(diào)研,已知三個科研所數(shù)分別為(1)應從甲、乙、丙三個科研所中分別抽取(2)設抽7分別用A,B,C,D,E,F,G現(xiàn)從中隨機抽取名科研工作者就某一重大項目進行主題發(fā)言,求“抽取到的2同一科研所”的概7 解:(1)==480+320+3201120所以480×1=3,320×1=2,320×1所以應從甲、乙、丙三個科研所中分別抽取322(2)不妨設甲科研所中的3人為A,B,C,乙科研所中的2D,E,丙科研所的2個為F,G7人中隨機抽取2科研工作的基本事件,FG,共有21其中“抽取到的2人來自同一科研所”AB,AC,BC,DE,FG55所以“抽取到的2人來自同一科研所”的概率為其中“抽取到的2人來自同一科研所”AB,AC,BC,DE,FG55所以“抽取到的2人來自同一科研所”的概率為跟蹤有四張背面相同的紙牌A,B,C,D,其正面分別畫有四不同的幾何圖形,小華將這4張紙牌背面朝上洗勻后摸出一洗勻后再摸出(1)用畫樹狀圖法(或列表法)表示試驗的樣本空間(紙牌表示(2)求摸出兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的紙牌的解:(1)樹狀圖如圖列表如表ABCDABC在應用古典概型的概率公式P(A)=n(A)時,關鍵是分清事件A空間Ω包含的樣本點個數(shù)n(A)和n(Ω),有時需用列舉法把樣本點一列舉出來,但列舉時必須按某一順序做到不重復、(2)在A,B,C,D四張紙牌中,牌面圖形是中心對稱圖形的是B,C,摸出兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的紙牌包含4個樣本(B,B),(B,C),(C,B),(C,C),故(2)在A,B,C,D四張紙牌中,牌面圖形是中心對稱圖形的是B,C,摸出兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的紙牌包含4個樣本(B,B),(B,C),(C,B),(C,C),故所求概率416題型獨立事件兩個實習生每人加工一個零件.加工為一等品的概率分別為[例6和3,兩個零件是否加工為一等品相互獨立,則這兩個零件中恰有一4一等品的概率)23(C)56解析:記兩個零件中恰好有一個一等品的事A,即僅第一個實生加工一等品為事件A1,僅第二個實習生加工一等品為事件A2況P(A)=P(AP(A5×1+1×3=112 4 4大閱兵的徒步方隊中,被譽為“最強大腦”的院?？蒲蟹疥犼爢T分由軍事科學院、國防大學、國防科技大學三所院校聯(lián)合(3)先求每個事件發(fā)生的概率,再求應用相互獨立事件同時發(fā)生的概率的乘法公式求概率的解題D事科學院的甲、乙、丙三名同學被選上的概率分別為1,1,1,34同學中至少有一名同學被選上的)(B)5(C)73事科學院的甲、乙、丙三名同學被選上的概率分別為1,1,1,34同學中至少有一名同學被選上的)(B)5(C)733解析:軍事科學院的甲、乙、丙三名同學被選上的概率分別為34所以這三名同學中至少有一名同學被選上的概率P=1-(1-1)(1-1)(1-1734 題型用頻率估[例某射擊運動員為某運動會做準備,在相同條件下進行射擊練,結果(1)該射擊運動員射擊一次,擊中靶心的概率大約是多(2)假設該射擊運動員射300次,則擊中靶心的次數(shù)大約(3)假如該射擊運動員射300270擊中靶心,那30次一定都擊不中靶(4)假如該射擊運動員射1098次擊10一定擊中靶心解:(1)由題意,擊中靶心的頻率與0.9接近,故概率射次數(shù)擊中次數(shù)8擊中(2)擊中靶心的次數(shù)大約300×0.9=270(次(3)由概率的意義,可知概率是個常數(shù),不因試驗次數(shù)的變化而變后30次中,每次擊中靶心的概率仍是0.9,所以(2)擊中靶心的次數(shù)大約300×0.9=270(次(3)由概率的意義,可知概率是個常數(shù),不因試驗次數(shù)的變化而變后30次中,每次擊中靶心的概率仍是0.9,所以不一定不擊中靶(4)不一跟蹤訓練如表是某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗結果完成表格并回(1)完成(2)估計該油菜籽發(fā)芽的解:(1)從左到右依次入(2)由于每批種子發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.897附近,所以估計該發(fā)芽的概率為題型概率與統(tǒng)計的綜合應每粒25123發(fā)芽粒249112發(fā)芽頻驗次數(shù)越多,頻率越接近概率概率是一個理論值,頻率是概率的近似值,當做大量的重復試驗[例5](2020·陜西榆林高二期末)某市城管委對所在城市[例5](2020·陜西榆林高二期末)某市城管委對所在城市約個流動個體經(jīng)營者進行調(diào)查統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣蔬、玩具、飾品等,各類個體經(jīng)營者所占比例如(1)該市城管委為了更好地服務百姓,打算從流動個體經(jīng)營者經(jīng)中隨機抽取100個進行政策問詢.如果按照分層隨機抽樣的取,請問應抽取小吃類、果蔬類流動個體經(jīng)營者各多(2)為了更好地了解流動個體經(jīng)營者的收入情況,工作人員還對蔬經(jīng)營點最近40天的日收入(單位:元)進行了統(tǒng)計,所得頻率分布方圖如圖2.若從該果蔬經(jīng)營點的日收入超過200元的天數(shù)中取兩天,求這兩天的日收入至少有一天超過250元的概率解:(1)由題意知,小吃類流動個體經(jīng)營者所占比例1-25%-10%-5%-5%=40%,按照分層隨機抽樣的方法抽取,應抽取小吃類流體經(jīng)營者100×40%=40(個),果蔬類流動個體經(jīng)100×15%=15(2)該果蔬經(jīng)營點的日收入超過200元的(0.002+0.001)×50×40=6(天),其中超過25040×0.001×50=2(天).記日收入超過2502天為(2)該果蔬經(jīng)營點的日收入超過200元的(0.002+0.001)×50×40=6(天),其中超過25040×0.001×50=2(天).記日收入超過2502天為a1,a2天b1,b2,b3,b4,隨機抽取兩天的所有可能情況,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),15種,其中至少有一天超過250有可能情況,b4),共9種.所以這兩天的日收入至少有一天超過250元的概率P=915跟蹤訓練為了加強中學生實踐、創(chuàng)新和團隊建設能力的培進教育教學改革,某市教育局舉辦了全市中學生創(chuàng)新知識學舉行了選拔賽,共有150名學生參加,為了了解成績情況,從中50名學生的成績(得分均為整數(shù),滿分為100分)進行統(tǒng)計,請你尚未完成的頻率分布表,解答下列問題組分頻頻關數(shù)據(jù)的干擾,進而抓住問題的實質(zhì),達到求解的圖表進行觀察、分析、提煉,挖掘出圖表所給予的有用信息,排往是古典概型,雖然是綜合題,但是難度不大.在解決問題時,要概率與統(tǒng)計相結合,所涉及的統(tǒng)計知識是基礎知識,所涉及的概概率與統(tǒng)計的綜合應用的關注(1)完成頻率分布表(直接寫出結果),并作出頻率分布直方圖(2)若成績在90.5分以上的學生獲一等獎,試估計全校獲一等獎的數(shù),現(xiàn)在從全校所有獲一等獎的(1)完成頻率分布表(直接寫出結果),并作出頻率分布直方圖(2)若成績在90.5分以上的學生獲一等獎,試估計全校獲一等獎的數(shù),現(xiàn)在從全校所有獲一等獎的同學中隨機抽取2名同學代表學加競賽,某班共有2名同學榮獲一等獎,求該班同學恰1人參賽的概解:(1)頻率分布表頻率分布直方組分頻頻2合1合1(2)獲一等獎的概率約0.04,所以獲一等獎的人數(shù)150×0.04=6(人).記這人為A1,A(2)獲一等獎的概率約0.04,所以獲一等獎的人數(shù)150×0.04=6(人).記這人為A1,A2,B,C,D,E,其中為該班獲等獎的同學.從全校所有獲一等獎的同學中隨機抽取2名同學代校參加競賽,對應的樣本空間),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共有15個樣點所以該班同學中恰1加競賽的概率P=8檢測試選題知識點、題事件關系及其古典事件的獨頻率與概出的四個選項中,只有一項是符合題目要求1.在天氣預報出的四個選項中,只有一項是符合題目要求1.在天氣預報中,有“降水概率預報”,例如預報“明天降水概85%”,這是指 )(A)明天該地區(qū)85%的地區(qū)降水,其他地區(qū)(B)明天該地區(qū)85%的時間降水,其他時間不降(C)氣象臺的專85%的人認為會降水,另15%的專家認為降(D)明天該地區(qū)降水的可能性為2.某興趣小組從包括甲、乙的小組成員中任選3人參加活7乙至多有一人被選中的概率,則甲、乙均被選中的(B(A)1(B)3(D)2解析:由題意可知事件“甲、乙至多有一人被選中”與事件“甲、被選中”為對立事件,則甲、乙均被選中的概率P=173103.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題:糧倉開糧,有人送來米648石,驗得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)28832粒,則這批米內(nèi)夾谷約為()dàn量單位,1石=60克(A)74(B)72(C)70(D)68概率綜合解析:設648米內(nèi)夾谷約為x為抽樣取米一把,數(shù)粒內(nèi)夾谷32??32,解得x=72.故選6484.擲一個骰子的試驗,事A現(xiàn)小于解析:設648米內(nèi)夾谷約為x為抽樣取米一把,數(shù)粒內(nèi)夾谷32??32,解得x=72.故選6484.擲一個骰子的試驗,事A現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”,事件表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”.若??B對立事件,則一次試驗中)事件A+??發(fā)生的概率為( 3236解析:依題意P(A)=2=1,P(B)=4=2,P(??)=1-663因為??表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件,A表示“出現(xiàn)小于5點所以A與??互斥P(A+??)=P(A)+P(??)=235.從含有3件正品2件次品的5件產(chǎn)品中,任意取出2)為((A)7(B)3 (D)5解析:設3件正品為A,B,C,2件次品為則任意取2件產(chǎn)品的情況,共10其中至少有一件次品的情況有7則取2中至少有一件次品的概率為6.一商店有獎促銷活動中僅有一等獎、二等獎、鼓勵獎三個中,中一等獎的概率為0.1,中二等獎的概率為0.32,中鼓勵獎的概0.42,則不中獎的概率為()6.一商店有獎促銷活動中僅有一等獎、二等獎、鼓勵獎三個中,中一等獎的概率為0.1,中二等獎的概率為0.32,中鼓勵獎的概0.42,則不中獎的概率為()解析:由于獎項一等獎、二等獎、鼓勵獎和不中獎四個事件是立,且構成事件為必所以不中獎的概率為1-0.1-0.32-0.42=0.16.故選7.甲、乙兩名同學相約學習某種技能,該技能需要通過兩項考拿到證書,每項考核結果互不影響.已知甲同學通過第一項考核率是4,通過第二項考核的概率是1;乙同學拿到該技能證書的521,那么甲、乙兩人至少有一人拿到該技能證書的概3D)(A)13(B)1135解析:由已知得甲拿到該技能證書的概率為52則甲、乙兩人都沒有拿到證書的概率為(1-2)×(1-5 所以甲、乙兩人至少有一人拿到該技能證書的概率 1-2=3.故選58.2020115日—1110日,在上海國家會展中心舉辦屆中國國際進口博覽會,其中的“科技生活展區(qū)”設置了各類與人生活息息相關的科技專區(qū).現(xiàn)從“高檔家用電器”“智能家居費電子”“服務機器人”“人工智能及軟件技術”五個專區(qū)中選兩個專區(qū)參觀,則選擇的兩個專區(qū)中包括“人工智能及軟件技術區(qū)的概率是((A)1(B)3)55解析:分別記“高檔家用電器”“智能家居”“消費電子”“服務器人”“人工智能及軟件技術”解析:分別記“高檔家用電器”“智能家居”“消費電子”“服務器人”“人工智能及軟件技術”五個專區(qū)從這五個專區(qū)中選擇兩個專區(qū)參觀,所包含的基本事件有AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,10選擇的兩個專區(qū)中包括“人工智能及軟件技術”專區(qū)(即專區(qū)對應的基本事AE,BE,CE,DE,4個因此,選擇的兩個專區(qū)中包括“人工智能及軟件技術”專區(qū)的概率P=410出的四個選項中,有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分,選但不全的得2分,有選錯的得09.有甲、乙兩種套餐供學生選擇,記事件AB少選一種套餐”,事件C一種套餐”,事D“不選甲套餐”,事件為“一種套餐也不選”.下列說法錯誤()與C是互斥事與E互斥事件,且是與C不是互斥與E是互斥事解析A為“只選甲套餐”;事件B為“至少選一種套餐”,包選甲套餐,選乙套餐,甲、乙兩種套餐都選;事C為“至多選一種餐”,包括選甲套餐,選乙套餐,甲、乙兩種都不選;事D為“不選套餐”,包括選乙套餐,甲、乙兩種都餐”,包括選甲套餐,選乙套餐,甲、乙兩種都不選;事D為“不選套餐”,包括選乙套餐,甲、乙兩種都不選;事件E為“一種套餐事件AC既不互斥也不對立A錯誤;事件B與E是互斥事件是對立事件B正確;事件BC不互斥C確C與E互斥,故D錯誤.故選10.利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠件產(chǎn)品,其中有20件,合格品有70件,其余為不合格品,現(xiàn)在這個工廠隨機抽查件產(chǎn)品A一等品”,B為“是合格品”,C不合品”,則下列結果正ABC(A)P(B)=(B)P(A∪B)=解析:由題意A,B,C互斥C正確;又因為從100中抽產(chǎn)品符合古典概型的條所以P(B)=7,P(A)=2,P(C)=1,則B)=9A,B確,D錯誤.故選11.某次數(shù)學考試的一道多項選擇題,要求是:“在每小題給出的已知某選擇題的正確答CD,且甲、乙、丙、丁四位同學都不做,下列表述正確的)甲同學僅隨機選一個選項,能得3分的概率是2乙同學僅隨機選兩個選項,能得5分的概率是6丙同學隨機選擇選項,能得分的概率是51(D)丁同學隨機至少選擇兩個選項,能得分的解析:甲同學僅隨機選一個1(D)丁同學隨機至少選擇兩個選項,能得分的解析:甲同學僅隨機選一個選項,共有4個基本事件,分率為1A23分的乙同學僅隨機選兩個選項,共有6個基本分別為隨機選擇兩個選項能得5的基本事件有{C,D},故能得為1B6丙同學隨機選擇選項(丙至少選擇一項由題意可知共有基本事件15種,分選擇選擇選擇三項或全隨機選擇選項能得分的基本事件有故能得分的概率為3=1C正確15丁同學隨機至少選擇兩個選項,由C的分析可知,共有基本事件個隨機至少選擇兩個選項能得分的基本事件有{C,D},故能得分的為1D故選12.如圖所示的電路中只箱子表示保險匣分別A,B,C,D,E所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率,下列結論正確的(BDA,B所在線路暢通的概率為6A,B,C12.如圖所示的電路中只箱子表示保險匣分別A,B,C,D,E所示數(shù)值表示通電時保險絲被切斷的概率,下列結論正確的(BDA,B所在線路暢通的概率為6A,B,C所在線路暢通的概率為61(C)D,E線路暢通的概(D)當開關合上時,整個電路暢通的概率為解析:由題意知2保險閘被切斷的概率分3456A,B兩個箱子暢通的概率1×2=1,因此A錯誤23D,E兩個箱子并聯(lián)后暢通的1-1×1=11=29,因此C5 30A,B,C三個箱子混聯(lián)后暢通的概1-2×1=1-1=5,B346根據(jù)上述分析可知,當開關合上時,電路暢通的概率為 6正確.故選的橫線13.為了調(diào)查某野生動物保護區(qū)內(nèi)某種野生動物的數(shù)量,調(diào)查人到這種動200只做過標記后放回,13.為了調(diào)查某野生動物保護區(qū)內(nèi)某種野生動物的數(shù)量,調(diào)查人到這種動200只做過標記后放回,一星期后,調(diào)查人員再該種000只,其中做過標記的有100只,估算保護區(qū)有這物只解析:設保護區(qū)內(nèi)有這種動物x只,因為每只動物被逮到的概率是同的,所以1,解得x=12 1答案:1214.某商場舉行促銷活動,凡購買一定價值的商品便可以獲得兩獎機會.第一次抽獎中獎的概率0.5,第二次抽獎中獎的概0.3,兩次抽獎是否中獎互不影響,那么兩次抽獎中至少有一次概率.解析:因為兩次抽獎中至少有一次中獎的對立事件是兩次都不所以兩次抽獎中至少有一次中獎的概率為=1-(1-0.5)(1-15.甲、乙兩間醫(yī)院各有3名醫(yī)生報名參加研討會,其中甲醫(yī)院有.解析:記甲醫(yī)院21A,B,0,乙醫(yī)12女為從甲醫(yī)院和乙醫(yī)院報名的醫(yī)生中各任選1名,則基本事(A,C),(A,1),(A,2),(B,C),(B,1),(B,2),(0,C),(0,1),(0,2),9所以選出2名醫(yī)生性別不(A,1),(A,2),(B,1),(B,2),(0,C),共5選出2名醫(yī)生性別不相同的概率9答案9所以選出2名醫(yī)生性別不(A,1),(A,2),(B,1),(B,2),(0,C),共5選出2名醫(yī)生性別不相同的概率9答案9袋中任取一個球,則取得同色球的概率.解析:設從甲袋中任取一個球,事件A為“取得白球”,則事件??“取得紅球”,從乙袋中任取一個球,事件為“取得白??為“取得紅因為A與B互獨所以事件??與??相互獨所以從每袋中任取一個取得同色球的P(AB∪????)=P(AB)+P(?? 2 2答案2四、解答題(本大6共70答應寫出文字說明、過程或演算步甲、乙兩人獨立破譯同一密碼,甲破譯密碼的概率0.7,乙破譯碼的概率0.6.記事件A:甲破譯密碼,事件B:乙破譯(1)求甲、乙兩人都破譯(2)求恰有一人破譯密碼解:(1)事件“甲、乙兩人都破譯密碼”可表示為AB,事件相獨立由題意可(2)事件“恰有一人破譯解:(1)事件“甲、乙兩人都破譯密碼”可表示為AB,事件相獨立由題意可(2)事件“恰有一人破譯密碼”可表示為??B+A??,且??B,A??=(1-0.7)×0.6+0.7×(1-某校高一年級000名學生全部參加了體育達標測試,現(xiàn)從40學生的測試成績,整理并按分數(shù)40505060[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]進行分組,假設同一組中數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,則得到體育成績的折線圖如所示(1)估計該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學生人(2)現(xiàn)從體育成績在[60,70)和[80,90)的樣本學生中隨機抽取2求其中恰有1人體育成績在[60,70)的概率解:(1)根據(jù)折線圖可以得到體育成績大于或等于70分的學生所以估計該校高一年級中體育成績大于或等于701(2)體育成績在[60,70)和[80,90)的人數(shù)分別為2,3,分別記為若隨機抽2則所有的基本事件為(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10所以估計該校高一年級中體育成績大于或等于701(2)體育成績在[60,70)和[80,90)的人數(shù)分別為2,3,分別記為若隨機抽2則所有的基本事件為(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10其中1成績在[60,70)的基本事件的個數(shù)有6設A為1體育成績在[60,70)P(A)=610A,B,C三個獨立事件,若事A發(fā)生的概率是1,事件B發(fā)生2概率是2,事件3發(fā)生的概率是3,求下列事件的概4(1)事A,B,C生兩(2)事A,B,C發(fā)生解:(1)記“事A,B,C只發(fā)生兩個A1,則事件A1包括三種彼此斥的情況:AB??,A??C,??BC,由互斥事件概率的加法公式和相互獨件的概率乘法1242424所以A,B,C發(fā)生兩個的概率為(2A,B,C至多A2A2包括彼此互三種情況:事件一個也不發(fā)生,記為A3,事件只發(fā)個,記A4A,B,C生兩個,由(1)知242424P(AP(A)+P(A2341所以A,B,C多發(fā)生兩個的概率為4質(zhì)量監(jiān)督局檢測某種產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標x,y,z,用綜合指標核定該產(chǎn)品的等級.若Q≤5,則核定該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從所以A,B,C多發(fā)生兩個的概率為4質(zhì)量監(jiān)督局檢測某種產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標x,y,z,用綜合指標核定該產(chǎn)品的等級.若Q≤5,則核定該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從產(chǎn)品中,隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本,其質(zhì)量指標列表如(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品(2)在該樣品的一等品中,隨機抽取2件產(chǎn)品B2每件產(chǎn)品的綜合指標Q≤4”,求事件B解:(110產(chǎn)品的綜合指標Q,如表的有A1,A2,A4,A6,A9,A1066故該樣本的一等品率為從而估計該批產(chǎn)品的一等品率為(2)在該樣本的一等品中,隨機抽取2產(chǎn)品Q4565656634產(chǎn)品編質(zhì)量指產(chǎn)品編質(zhì)量指(A2,A10),(A4,A6),(A4,A9),(A4,A10),(A6,A9),(A6,A10),(A9,A10),15種.在該樣本的一等品中,綜合指標Q≤4產(chǎn)品編號分別為(A2,A10),(A4,A6),(A4,A9),(A4,A10),(A6,A9),(A6,A10),(A9,A10),15種.在該樣本的一等品中,綜合指標Q≤4產(chǎn)品編號分別為則事B發(fā)生的所有等可能結果為(A1,A9),(A1,A10),(A9,A103所以P(B)=315隨著共享單車的成功運營,更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮.某景有共享電動車租車點,共享電動車的收費標準是每小時2元(不足小時的部分按1小時計算).甲、乙兩人各租一輛電動車,若甲、乙1時還車的概率分別為1,1;1小時以上且不2時還車4概率分別為1,1;兩人租車時間都不會超過3小時2(1)求甲、乙兩人所付租車費用相(2)求甲、乙兩人所付的租車費用之和大于或等于8解:(1)甲、乙兩人所付費用相同即同24元,62的概P1 24的概P2 4都付6的概率為P1×113 4故所付費用相同的概率為P=PP+P1+115 8816(2)設兩人費用8,10,12分別為4444P(B)=1×1+1×1=3444P(C)=1×1=144設甲、乙兩人費用之和大于或等于8的事所以甲、乙兩人費用之P(C)=1×1=144設甲、乙兩人費用之和大于或等于8的事所以甲、乙兩人費用之和大于或等于8的概P(W)=P(A)+P(B)+P(C)=5+3+1=9161616進行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設備減少土地資源的消耗,具有社會、經(jīng)濟、生態(tài)等多方面的生態(tài)文明建設全局的大事.為了普及垃圾分類知識,某學校舉行了圾分類知識考試,試卷中只有兩道題目,已知甲同學答對每題的概都p,乙同學答對每題的概率q(p>q),且在考試中每人各題題結果互不影響.已知每題甲、乙同時答對的概率為1,恰有一人答2的概率為5(1pq(2)試求兩人共答對三道解:(1)設A={甲同學答對一道題},B={乙同學答對一道題設C={甲、乙兩人均答對一道題},D={甲、乙兩人中恰有一人道題由于兩人答題互不影響,且每人各題答題結果互不影所以AB相互獨立,A??與??BP(B))+(1-????=12由題意可得5??(1-??)+??(1-??) ????=12即??+??=17??=3??=243解得或P(B))+(1-????=12由題意可得5??(1-??)+??(1-??) ????=12即??+??=17??=3??=243解得或 ?? ?? 34p>q,所43(2)設Ai={甲同學答對了i道題},Bi={乙同學答對i道題由題意得,P(A1 4 4P(A)=3×3=92 4P(B1 3 3P(B2 3設E={甲、乙兩人共答對三由Ai和Bi相互獨立,A1B2與A2B1所=3×4+9×4=5899所以甲、乙兩人共答對三道題的概率5綜合檢測試選題一、單項選擇題(本大題共8小題,所以甲、乙兩人共答對三道題的概率5綜合檢測試選題一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題出的四個選項中,只有一項是符合題目要求1.已知a∈R,復數(shù)z=(a+2i)i+1(i為虛數(shù)單位)為實數(shù),則a等于i(A)(B)-1(D)-解析:因為z=(a+2i)i+1(i為虛數(shù)單位)為實iz=(a+2i)i+1=ai+2i2+i=-2+(a-i所以a-1=0,解a=1.故2.某中學舉辦電腦知識競賽,滿分100,80分以80秀,現(xiàn)將高一兩個班參賽學生的成績進行整理后分成五組:第一組[50,60),第二組[60,70),第三組[70,80),第四組[80,90),第五組[90,100],其中第三第四第五小組的頻率分別知識點、題平面復立體概統(tǒng)0.10,0.05,而第二小組的40,則參賽的人數(shù)以及成績概率分別是C)解析:由已知得第二小組的頻率0.10,0.05,而第二小組的40,則參賽的人數(shù)以及成績概率分別是C)解析:由已知得第二小組的頻率1-0.30-0.15-0.10-0.05=0.40設共有參賽學生x成績優(yōu)秀的概3.若平面向量a與b滿足|a|=2,|b|=1,|a+b|=√7a與b的夾θC(C)60°解析:|a+b|=√(??=√??2+??2+=√|??|2+|??|2+=√4+1+解得cosθ=1,θ=60°.故選24.某中學組織了“英雄事跡我來講”活動.已知該中學共有高中2700名,用分層隨機抽樣的方法從該校高中學生中抽取一個容45的樣本參加活動,其中高三年級抽取了1415人,則該校高一年級學生人數(shù)B)(C)1(D)1解析:由題意高一抽取的學15人,則該校高一年級學生人數(shù)B)(C)1(D)1解析:由題意高一抽取的學生45-14-設高一學生人數(shù)為n,則 =16,解得n=960.故選27005工作要求,各校以教師線上指導幫助和學生居家自主學習學模式積極開展工作,并鼓勵學生積極開展鍛煉身體和課外閱為了解學生居家自主學習和鍛煉身體的情況,從某校高三取名學生,獲得了他們一天中用于居家自主學習和鍛煉身體總時間分別在[2,3),[3,4),[4,5),…,[8,9),[9,10)(單位:小時)數(shù)據(jù),整理得到的數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖所由圖中數(shù)據(jù)估計從該校高三年級中隨機抽取一名學生,這名學生該居家自主學習和鍛煉身體的總時間在[5,6)的概C)54(A)16解析:由題意(0.05+0.18+0.1+a+0.32+0.1+0.03+0.02)×1=1,解所以樣本中每天居家自主學習和鍛煉身體的總時間在[5,6)的頻率所以可估計從該校高三年級中隨機抽取一名學生,這名學生該天居所以樣本中每天居家自主學習和鍛煉身體的總時間在[5,6)的頻率所以可估計從該校高三年級中隨機抽取一名學生,這名學生該天居自主學習和鍛煉身體的總時間在[5,6)的概率為1.故56.已知棱長為1的正方體的所有頂點在一個球面上,則這個球的表積為C)32解析:由題意,正方體的中心為其外接球的球心,因為正方體的棱1,所以正方體的對角線長為√3,則外接球的半徑為√3,所以外接球2表面4π×(√3)2=3π2(B)解析:因為a-b=(5,2)-(3,x)=(2,2-x),所 (a-x)=12-4x=0,解得x=3.故8.已知棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,EDC中點,F上運動,則三棱錐FADE外接球的表面積最小值C)(A)14π(C)545π解析AEO1,易知O1為Rt△ADED1C1的中點P,接A1P,A1P的中Q,連接由正方體的性質(zhì)可得O1Q取由中位線的性質(zhì)可QH∥AD且QH=1AD1取由中位線的性質(zhì)可QH∥AD且QH=1AD112所以D1C1⊥平面若要使三FADE的外接球的表面積最小,則要使其半徑最小易知當FH,OF最小設OO=m,由題OE=√5,O111222則OEOEOO+m114OH2=OQ2+QH2=(2-由OE2=OH2可得5+m2=(2-4化簡可得此時,三FADE的外接球的半徑R滿42所以三棱錐FADE的外接球的表面積最小值=4πR=4π·出的四個選項中,有多項是符合題目要求的.全部選對5分,選但不全的得2分,有選錯的得02所以三棱錐FADE的外接球的表面積最小值=4πR=4π·出的四個選項中,有多項是符合題目要求的.全部選對5分,選但不全的得2分,有選錯的得09.已知復數(shù)ω=- 是虛數(shù)單位),??是ω的共軛復數(shù),則下結論正確)(B)ω3=-解析:因為ω=-1+√3i,所以??=-1- 所以ω2=1-√3i-3=-1-√3i=??A正確 ω3=ω2ω=(-1-√3i)(-1+√3i)=1-(-3)=1,故B ω2+ω+1=-1-√3i-1+√3i+1=0,故C正確 虛數(shù)不能比較大小,故D錯誤10.某人射箭9次,射中的環(huán)數(shù)依次為7,8,9,7,6,9,8,10,8,關組數(shù)據(jù),下列說法正)(A)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是(B)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)的方差是3解析:數(shù)據(jù)從小到大排列為所以眾數(shù)8,A項正確;中位數(shù)為8,C項錯誤平均數(shù)為6+7+7+8+8+8+9+9+10=8,所以選項正確9方差為1×[(6-8)2+(7-8)2×2+(8-8)2×3+(9-8)2×2+(10-8)2]=493D11.如圖,△ABC所以眾數(shù)8,A項正確;中位數(shù)為8,C項錯誤平均數(shù)為6+7+7+8+8+8+9+9+10=8,所以選項正確9方差為1×[(6-8)2+(7-8)2×2+(8-8)2×3+(9-8)2×2+(10-8)2]=493D11.如圖,△ABCA,B,C應的三條邊長分別2∠ABC=-,c=2,b=8√5,則下列結論7∠ABC5的有()(A)sin5→→(D)△CBD的面積為5解析cos2∠ABC=-72cos2∠ABC-17又∠ABC為鈍角,解得∠ABC=-5由余弦定理b2=a2+c2-2accos得64=a2+4-4a·(-55a=2,可知△ABC為等腰所以cos∠ABC=-cos2A=-(1-2sin2A)=-55可得cosA=√1- 5Rt△ABD??A,得AD=√5,可得BD=√????2-????2=√5-4=1B錯誤CD=b-AD=8√5-55→5可 5→→→可得5????=3????,故C正確 Rt△ABD??A,得AD=√5,可得BD=√????2-????2=√5-4=1B錯誤CD=b-AD=8√5-55→5可 5→→→可得5????=3????,故C正確 =1a·CDsinC=1×2×3√5×√5=3D錯誤22 12.已知邊長為2菱形ABCDABC=2π,現(xiàn)3將菱形)使AC=√3,則下列結論正確的二面角ABDC大小為3A到平BCD距離為2(D)直線AD與平面BCD所成角的正切值解析BD中點O,連接由菱形性質(zhì)可知△ABD和△BCD都是等邊所BD⊥OA,BD⊥OC,又所BD⊥平面所由BD⊥OA,BD⊥OC可知∠AOC二面角ABDC的平OA=OC=√3所以∠AOC=π,故選B正確3所以A到平BCD由BD⊥OA,BD⊥OC可知∠AOC二面角ABDC的平OA=OC=√3所以∠AOC=π,故選B正確3所以A到平BCDh=OA·sin 故選項CAAMBCD,垂足為M,則MOC點,所 連接DM,則∠ADMAD與平面BCD所成的角2DM=√????2+O??2=√1+ 所以tan∠ADM=????=3,故選項D錯誤.故選????的橫線13.如圖,把一個表面涂有藍漆的正方體木個完全相正方體,若從中任取一塊,則這一塊至多有一面涂有藍漆的.解析:有兩面涂有藍漆的小木塊有24個,有三面涂有藍漆的小木塊8則至多有一面涂有藍漆的小木塊有3264答案214.某中學為了豐富學生的業(yè)余生活,開展了則至多有一面涂有藍漆的小木塊有3264答案214.某中學為了豐富學生的業(yè)余生活,開展了一系列文體活動,其項是同學們最感興趣的33現(xiàn)有甲、乙兩隊進賽,甲隊每場獲勝的概率為2,且各場比賽互不影響.若采用五局5制進行比賽,則乙隊在第四場比賽后即獲得勝利的概.解析Ai(i=1,2,3,4,5)表示甲隊在第i場比賽獲采用五局三勝制,則乙隊在第四場比賽后即獲得勝利的概率P(A1??2??3??4)+P(??1A2??3??4)+P(??1??2A3 答案15.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為2的正三角形組的,將它沿虛線對折起來,可以得到如圖所示形狀的六面體,則該體的.解析:由題意可知該六面體是由兩個正四面體組合成的,如圖,三ABCD為棱2正四取CD中點EBEBE上取FBF=2FE,連易233點F為△BCD的中心,AF該三棱錐所以 22 AF=√????取CD中點EBEBE上取FBF=2FE,連易233點F為△BCD的中心,AF該三棱錐所以 22 AF=√????2-????2=√4- ) 333所以3 3所以該六面體的體積為答案316.如圖,在平面直角坐標系xOyABCD的頂點A,Bx軸非負半軸和y軸的非負半軸上滑動,頂點C在第一象內(nèi),AB=2,BC=1,設∠DAx=θ.若θ=π,則點C4,→→若θ∈(0,π2.·????的取值范解析:分別過點D作x,y的垂線,垂足分E,FCx,y垂足分別為M,N,如則設x1=CN=cosθ+sinx2=OA+AE=2sinθ+cosθ,y2=DE=sin當θ=π時,x=cosπ=√2,y=2cosπ+sinπ=3√2,則點則設x1=CN=cosθ+sinx2=OA+AE=2sinθ+cosθ,y2=DE=sin當θ=π時,x=cosπ=√2,y=2cosπ+sinπ=3√2,則點114 4 由上可知,C(cosθ,2cosθ+sinD(2sinθ+cosθ,sin→→則θsinθ=1+4sinθcosθ=1+2sin→→因此,????·????的取值范22四、解答題(本大6共70答應寫出文字說明、過程或演算步已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中求向a+ba-bka+b與a-kb的模相等,求??-??的值(k零的2解:(1)由已知得則(a+b)·(a-b)=a2-因此(a+b)⊥(a-因此,向量a+ba-b的夾角為(2a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sin可得ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sin因此(a+b)⊥(a-因此,向量a+ba-b的夾角為(2a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sin可得ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sina-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksin因為=√(??cos??+cos??)2+(??sin??+|a-kb|=√(cos??-??cos??)2+(sin??-所以√(??cos??cos??)2(??sin??√(cos??-??cos??)2+(sin??-整理可√??2+2kcos(??-??)+1=√1-2??cos(??-??)+4kcosβ-所以cos(β-α)=0cos(α-所以-π<α-因此α-β=-π,即??-??=-2 已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分160,160,80,現(xiàn)采已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分160,160,80,現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從中抽取5名同學去某敬院參加愛心活(1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽同學承擔敬老院的衛(wèi)生①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結概率解:(1)甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比所以從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別2、21(2)①從抽出的5同學中隨機抽取2名同學的所有等可能結,共10②不妨設抽出的5名同來自甲年級的是A,B,來自乙年級的是C,D,來自丙年級的是則從抽出5學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的可能結果為{A,B},{C,D},共2所以事件M發(fā)生的概率為P(M)=210如圖,在三棱柱A1B1C1中,側面BCC1B1是矩形,平面ACC如圖,在三棱柱A1B1C1中,側面BCC1B1是矩形,平面ACC1A1BCC1B1,M是棱CC1的中點(1)求證(2N是AB的中點,求證:CN證明:(1)連接因所以三角是等邊三MCC1的中點因為平面ACC1A1BCC1B1且兩個平面的交線CC1,所以AM又BB1?平面BCC1B1,所以(2)BB1P,連接NAB中點是BB1的中所以在△ABB1中由NP?平面AB1M,AB1?所以NP∥平面又在三棱柱A1B1C1BB1∥CC1PB1∥CM所以四邊PB1MC為平行四所CP?平又在三棱柱A1B1C1BB1∥CC1PB1∥CM所以四邊PB1MC為平行四所CP?平面AB1M,MB1?所