湖北中職技能高考-數(shù)學知識總匯(2023年)

湖北技能高考數(shù)學基礎(chǔ)知識總匯

預備知識:

1.完全平方和(差)公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b^^^ab+b2

2.平方差公式：於〃=(a+b)(a-b)

3.立方和(差)公式：b3-(a+^(a2-ab+b2)a3-b3-(a-5)(^+ab+b2)

Pr—b+、l￡)2—4ac

4.韋達定理：/+皿=-7；Xi-%2=-；求根公式：冗=-^----.

AA乙CL

第一章集合與充要條件

—?集合

1、集合的有關(guān)概念和運算

(1)集合的特性：確定性、互異性和無序性；

(2)元素a和集合A之間的關(guān)系：as/,或ae/;

(3)常用數(shù)集及其符號：自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、正整數(shù)集N*、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R。

(4)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法。

2、子集定義：A中的任何元素都屬于B,則A叫B的子集；記作：A=B,

注意：A屋B時，A有以下三種可能：A=。、A=B、A的元素比B少且A的元素都屬于B。

3、真子集定義：A是B的子集，且B中至少有一個元素不屬于A;記作：/曝&

注意：A曝B時，A有以下兩種可能：A=。、A的元素比B少且A的元素都屬于B。

4、補集定義：CuA={x|x6U,且xgA)..

5、交集與并集：交集：AnB={x|xeA且xwB}；并集：AU8={x|xeA或xw8}

6、集合中元素的個數(shù)的計算：若集合A中有〃個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為2"個，所

有真子集的個數(shù)是2"-1個,所有非空真子集的個數(shù)是2"-2個。

二、充要條件

若p=q,則夕叫q的充分條件；

若,則夕叫9的必要條件；

若poq,則夕叫q的充要條件；

第一早不等式

一、不等式的基本性質(zhì)：

(1)傳遞性：a>b且b>c,則a>c。

(2)加法性質(zhì)：a>b貝[]a±c>b土c,且無論c的正負。

(3)乘法性質(zhì)：①a>瓦c>0,則ac>A、；>?；②a>瓦c<0,則ac<be、

(4)作差法比較兩數(shù)(或兩式)的大小或證明不等式成立：作差一變形(通分、配方、分解因式等一

判斷符號。也可以求比來比較大小。

二、區(qū)間的概念：由數(shù)軸上兩點間的一切實數(shù)所組成的集合叫做區(qū)間，其中，這兩個點叫做區(qū)間端點。

1、開區(qū)間，用"（）"，表示不包含端點。如：2<x<5,用區(qū)間表示為（2,5）;

2、閉區(qū)間，用"【】"，表示包含端點。如：24x45,用區(qū)間表示為【2,5】；

3、左半開區(qū)間，如：2<xW5,用區(qū)間表示為（2,5];

4、右半開區(qū)間，如：2<x<5,用區(qū)間表示為[2,5）;

5、無限區(qū)間，注意：負無窮大-8與正無窮大+8的旁邊都用小括號。

■、絕對值不等式:

x,x>0

(1)|x|=o,X=O

—x,x<0

(2)①|(zhì)辦+目-cWor+bWc小于取中間

(2)>c(c>O)<z>ar+/?>CHj&av+Z?<-c大于取兩邊

③d<|or+Z?|<c(c>0,6?>0)<=>|or+Z?|<cS.\ax+l^>d

|or+/?|>d

四、一元二次不等式的圖解法：

注意：①帶等于號的情況；②先化為a>0的形式；③若ax?+bx+c>0的解集為R,則a>0且△<

Oo若ax?+bx+cV0的解集為R,則aVO且△<0。

五、分式不等式的解法：通解變形為整式不等式;

(1)>0=f(x)>0且g(x)>Q或f(x)<SS且g(x)<Si即f(x)g(x)>Q；

g(“)

(2)償<0<=>/(x)>0且g(x)<0或f(x)<0且gO)>。即/3)g(x)<0o且g(x)*0o

“第三章函數(shù)

1、定義：設A,B是非空數(shù)集,若按某種確定的對應關(guān)系f,對于集合A中的任意一個數(shù)x,集合B

中都有唯一確定的數(shù)〃x)和它對應，就稱f:A-B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f{x).

(x對y,是一對一,或者多對一)

2、函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應法則；兩個函數(shù)相同，則定義域、對應法則要相同，最終值域

也相同。

3、函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖象法。

4、求定義域的一般方法：①整式：全體實數(shù)R；②分式：分母工0；③0次黑：底數(shù)工0；

④偶次根式：被開方式20,例：y=j25-1;⑤對數(shù)：真數(shù)>0，例：y=log“(l一L)

X

⑥指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)：底數(shù)(a>0且arl);

5、函數(shù)的單調(diào)性：

(1)定義：區(qū)間D上任意兩個值尤”/，若不</時有/(%,)<f(x2)，稱/(x)為D上增函數(shù)；若

王<4時有/(%,)>)，稱/(幻為D上減函數(shù)。(一致為增，不同為減)

(2)證明函數(shù)單調(diào)性的方法：在定義域上取玉</，作差法("匕)-fg)比較大小。

(3)一次函數(shù)A0時是增函數(shù)，反之是減函數(shù)；二次函數(shù)a>0時在對稱軸左邊是減函數(shù)，右邊是增

函數(shù)，a<0時則反之。

6、奇偶性：定義域一定關(guān)于原點對稱，比較血與名力的關(guān)系;要會用奇偶性比較大小。

f(x)-f(-x)=0of(x)=f(-x)o超為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱；

f(x)+f(-x)=Dof(x)=-f(-x)。向為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱。

7、二次函數(shù)：

(1)二次函數(shù)的三種解析式

①一般式二/(%),=+b%+c(awOL

在頂點式：1(%)=a(%—kA+南伯，0),其中(k,h)為頂點;

③兩根式：=a(%-%i)(x-x2)(awO),其中幾此是詢=0的兩根

(2)圖像與性質(zhì)：二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，有如下特征與性質(zhì)：

開口：a>00開口向上a<0=開口向下

b,b4ac-b2^

對稱軸：％=一丁頂點坐標：(—―,-------)

2av2a4a7

’A〉0t有兩交點

A與x軸的交點：(A=0-有一交點(△=b2-4ac)

、△<0—無交點

.b

Xy+%7=---

④根與系數(shù)的關(guān)系：(韋達定理)ca

X1^2=-

⑤f(%)=ax2+bx+c為偶函數(shù)的充要條件為b=0

⑥二次函數(shù)(二次函數(shù)恒大(小)于0,用于解二次不等式)

/(x)>0=；=圖象位于x軸上方；/0)<0o｛々::Q圖象位于x軸下方。

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.根式與實物旨數(shù)幕：

(l)n次根式：如果xn=a(n>l,且nWN*)，則稱x是a的n次方根。

①0的n次實數(shù)方根等于0,即9=0。

②若n是奇數(shù)，則a的n次實數(shù)方根記作：曾。

③若n是偶數(shù)，且a>0,則a的n次實數(shù)方根為土曾,其中曾叫做a的n次算術(shù)根。

⑵根式的性質(zhì)：

(l)(Va)n=a。②Ramp=V^,(a20)。

③當〃為奇數(shù)時，怖=a；當〃為偶數(shù)時，底7o

-a(a<0)

(3)分數(shù)指數(shù)黑：①正分數(shù)指數(shù)累：a"=必；負分數(shù)指數(shù)鬲：

a；

②a0=l,(aH0)③a-11=9(aH0且aeN*)

⑷實數(shù)指數(shù)鬲運算法則：

111mn111mn11nn

①aman=am+n.②a"+a=a-；③(a")=a;④(ab)=ab；⑤(針=蓋

2.對數(shù)及其運算法則：

(1)定義：如果/=N(a>0,"1),貝Wog”=仇以1。為底叫常用對數(shù)，記為切V,以

e=2.7182828…為底叫自然對數(shù)，記為InN

(2)性質(zhì)：①負數(shù)和零沒有對數(shù)，②1的對數(shù)等于0：log“1=0,③底的對數(shù)等于1：logua=1,

④積的對數(shù)：loga(W)=log“M+log?N,

商的對數(shù)：log”^=log?M-logoN,

募的對數(shù)：log"M"=〃log“M,方根的對數(shù)：log“屈=」og“M，

n

lO9aXbXb

恒等式：a=X(a>0,awl),logax=log0(a>0,awl)。

,N

N

(3)換底公式：logb=4,(a,b,N>0,a,br?。

log。

3.黑函數(shù)的圖象和性質(zhì):

1

y=x2y=x3y=x~2

y=Xy=%2y—

J///\\IT\

J1/..忡

圖像J

,,.

j

Ar-：.5T

定義域RRR0+8)/0(0,+8)

值域R[0,+oo)R[0,+8)月0(0,+8)

單調(diào)性增先減后增增增減先增后減

奇偶性奇偶奇無奇偶

過定點(0,0)和(1,1)(1,1)

象限1,3121,311,31.2

4.指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)：

函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)

定義y=ax\(a>0且aw1)y=log。x(a>0且aw1)

a>l0<a<la>l0<a<l

圖象\yakL

y'y=y’y=logxy'

kta

)\

二7X

001------

/1

y=logx

0-0ra

定義域(-oo,+OO)(0,+OO)

性值域(0,+OO)(-oo,4-00)

單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)

質(zhì)函數(shù)值>l,x>0<l,x>0>0,x>1<0,x>1

變化a'-=l,x=0ax-=l,x=0log°x=0,x=1log”不=0,x=1

<l,x<0>l,x<0<0,0<x<1>0,0<x<1

定點???a°=L?.過定點(0,1)?.?1(%1=0,二.過定點(1,0)

圖特征,/a'>0,A圖象在x軸上方?.?%＞。,.?.圖象在丫軸右邊

圖象y=ax的圖象與y=log”x的圖象關(guān)于直線y=x對稱

象關(guān)系y=產(chǎn)的圖象與y=qT的圖象關(guān)于V軸對稱，例y=3攵與y=（1）xo

5.鬲函數(shù)（y=%。）和指數(shù)函數(shù)（y=標）的特征都可歸納為："因變量、自變量的系數(shù)都為1,只有一

項"。即等式左右兩邊都只有一項且系數(shù)都為1。

第五章三角函數(shù)

1、角的定義：①概念：角、始邊、終邊、頂點、正角、負角、零角、象限角、界限角。②終邊相同的

角：與。終邊相同的角的集合為{夕IA=a+h360°,ZeZ},一般—360。WaW360%處理方法是

去整留零。

2、弧度制：(D定義：等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用弧度做單位叫弧度制。

1on

⑵度數(shù)與弧度數(shù)的換算：180。=萬弧度，1。=看rad,1弧度=(—)

180兀

(3)弧長公式:l=\a\r(a是角的弧度數(shù))

扇形面積：S=!"==:|a|/

3、任意角的三角函數(shù)：(如圖)

s?ma=-ycosa=-xt,ana=-y

4、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

(1)平方關(guān)系,(2)商數(shù)關(guān)系,(3)倒數(shù)關(guān)系：

sin2a+cos2a=1sina=±V1-cos2acosa=±V1—sin2a

2

(sina±cosa)=1+2sinacosa

tane=殉￡tana-cosa=sina用于弦化切、切化弦。

cos?

5、誘導公式(理解記憶方法：把a"看成銳角"，則-a、180°+a、180°-a分別是第四、第三、第二

象限角，再確定其符號。三角函數(shù)的形式不變。)

公式一：sin(?+k-360°)=sinacos^z+k-360°)=cos<7tan(<z+k-360°)=tan<z

公式二：公式三：公式四：(奇偶性)

sin(l80°-cr)=sincrsin(180°+a)=-sincrsin(-a)=一sina

COS(180o-C?)=-C0S6ZcosQ80°+(z)=-coscrcos(-a)=cosa

tan(180°-cr)=-tan6rtan(180°+a)=tanatan(-a)=-tanor

6、三角函數(shù)值的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

7、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)：(左eZ)

周期奇偶

函數(shù)定義域值域遞增區(qū)間遞減區(qū)間

性性

[-+2U,—+2^1

T=2萬奇函TC—,TC—,

y=sinx----1~2k兀,—F2k?r

xeR[-1，1]

數(shù)22J\_22J

T=2兀

y-cosx偶函[(2k-l)〃,2hr]伙心(2*1)萬］

xeR[-1，1]

數(shù)

{x\x^^+k^}T=71奇函(TV."7、

y=tanx------1-k冗，----FK7V

(-oo^+oo)122)

數(shù)

TT

y=sinx圖象的五個點：(0,0),(y,1),(萬，0),(—,-1),(24，0)；

yr37r

y=cosx圖象的五個點:(0,1),(y，0),(^,-1),(y,0),(2?,1);

8、靈活運用三角函數(shù)的圖象比較大?。豪纾篶os三和sin三,sin43。和sin133。。

9、牢記0?360。內(nèi)特殊角的三角函數(shù)值、x=kn±：時tanx不存在、勾股定理：3、4、5和5、12、

13的關(guān)系。

第六章數(shù)列

--數(shù)列：

前項和：。

(1)nSn=%+2++…+an;

1

(2)前n項和與通項的關(guān)系：an=心V；

-3nT(n>L)

(3)a54-a6+a7+a8=S8—S4；

(4)常數(shù)列的等差數(shù)列，非零常數(shù)列是等比數(shù)列。

(5)觀察法求通項公式：根據(jù)前幾項的規(guī)律分析項和項數(shù)n的關(guān)系。如果是搖擺數(shù)列，奇負偶正乘以

nn+1

(-1);奇正偶負乘以(一1)。

二.等差數(shù)列：

1.定義：??+|-an=d1,

2.通項公式:%=%+(〃-1)6/(關(guān)于n的一次函數(shù))，

3.前n項和：(1).同="”冊)(2).S?=nai+^^-d

4.等差中項：若q,4，生成等差數(shù)列，則24=4+a3

5.等差數(shù)列的主要性質(zhì)：

(1期差數(shù)列｛%｝若〃+/〃=〃+g則an+am=ap+aqo特別地若m+n=2p則an+am=2apo

也就是：?i+an=a2+an_x=a3+an_2=...o

(2)an=am+(n-m)d

(3)在等差數(shù)列｛%｝中，S“是其前n項和：S?,S2n-Sn,Sj,,-%,三項成等差數(shù)列，ZeN*

三,等比數(shù)列：

1.定義：—=q(q*0).

an

2.通項公式：凡=qq"T(其中：首項是G,公比是q)。

nat,(g=l)

3.前n項和］:S“=q-%4_6(1-力,八(推導方法：乘公比，錯位相減)。

，(

-\;-q--l;-q4*1)

4.等比中項：若%,生，生成等比數(shù)列，貝(=4?%，。2=±J4q

5.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：

2

(1)等比數(shù)列｛%｝，若〃+m=〃+丫，貝?%,=auy.。特別地：若m+n=2p則-an=ap

即等比中項。

也就是：?4=?2-an-\=a3-an-2.....。

⑵4=%.尸

⑶在等比數(shù)列｛%｝中，s“是其前n項和：Sn,S2l-Sn,83“-%,三項成等比數(shù)列，ZeM

四.靈活運用一些解題技巧：①1-q2n=(l+qn)?(l-qn)用于等比數(shù)列前n項和公式化簡；②等比數(shù)列

中ai7+ai8+ai9+a20=(ai+a2+a3+a4)qi6=S20-Si6；③等差數(shù)歹1」中a9+au)=a3+a4+12d。

@a2+a4+?一+an-2+an=ai+a3+…+an-3+an-i+(n/2)cl0⑤等差數(shù)列常用求差、等比數(shù)列常用求比解決

問題

第七章平面向量

1.向量的有關(guān)概念：向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、負向量、共線向量、相等向量、相

反向量。

2.向量的運算：(1)、向量的力口減法：a+0=0+a=a;a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c)。

(2)數(shù)乘運算：

①定義：實數(shù);I與向量［的積是一個向量，記作：O

②它的長度：|龍

③它的方向：當％>0,九。與。平行且同向；當4<0,4。與a平行且反向；當2=0時，4a=6。

④向量的數(shù)乘運算法則：0-a=0；la=a;2-0=0;(Ap)a=A(pa)=p(Aa);(A+p)a=Aa+pa；

Na+b)=入a+入〃。總之：實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、因式分解(提取公因式)等

可直接應用于向量運算。

3.向量的線性運算(加法、減法、數(shù)乘運算)：/=/la+/^稱/可以用a、b線性表示。

4.平面向量的坐標運算：

(1)坐標運算：設a=(X,y),*=(%2,必)，則a±%=(占±電，必土必)

設A、B兩點的坐標分別為(xi,力)，(X2,y2),則第3=(々-為，力-%)。

(2)實數(shù)與向量的積的運算律：設a=(x,y),則入a=y)=(Zx,Ay)0

(3)平面向量的內(nèi)積(數(shù)量積)：

①定義：ab=p|-|j|cos^a^Q,b^0,0°<6<180°

Q-a=0.

②內(nèi)積坐標運算:設a=(xi,yl),b=(x2,y2)，則a-b=x]x2+y]y2；

222

向量a=(x,y)的模|a|：模|a|=卜+"(\a\=a-ax+y;

③設。是向量W=&,y)/的夾角，則cos"瞿=

\a[\b\J/』J+">「"“'?2+%-,

5、重要結(jié)論:

(i)兩個向量平行的充要條件：

設非零向量4=(王,乂),，=(工2，%)，當力中0時，有a//0=a=20o芭％_工2y=0

顯然，兩個向量平行，其橫、縱坐標成比例，如a=(1,2)、b=(3,6),c=(-5,-10)兩兩平行。

(2)兩個向量垂直的充要條件：

設Q=（內(nèi)，M）,〃=（%2，乃），則“，力=0。=0=%％2+乂％=°

（3）兩點A（M,y）,B（X2,為）的距離：IAB|=，（七一々尸+（必一出（

（4）若a=b,b=c，貝！Ja=c一定成立。若aHb,bHc，則a〃c不一定成立（。=0）?向量

問題一定要關(guān)注特殊的0,直線問題一定要關(guān)注特殊的K不存在情況。

（5）兩非零向量“、b不共線，欲ka+b與a+k8共線，用。、人的系數(shù)為0,來確定k的值。

第八章直線和圓的方程

一、直線

1.直線的傾斜角和斜率

TT

⑴直線的傾斜角aw[0,n）、兩條直線的夾角ae[0,1]、兩個向量的夾角aw[0,2n]0

（2）直線的斜率，即4=tana（aw90°）

⑶斜率公式：經(jīng)過兩點Pi（xi,y。、P2（x2,y2）的直線的斜率為攵二上口^修-無產(chǎn)0）

x2-x}

2.直線的方程（一次函數(shù)）

（1）點斜式：y-yo=k（x-xo）

⑵斜截式：y=kx+b

⑶一般式：Ax+By+C=O（A、B不同時為0）（斜率為縱截距為-/橫截距為

-日，也可以令x