轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的另一種解法

求物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的另一種解法王昊天班號(hào)03111001（車輛工程一班）學(xué)號(hào)1120100496摘要：本文通過(guò)對(duì)地球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的討論，引出一種解決剛體在公轉(zhuǎn)過(guò)程中同也在自轉(zhuǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求法。關(guān)鍵字：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、自轉(zhuǎn)慣量、公轉(zhuǎn)慣量。1、 引言關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求法，《大學(xué)物理》已經(jīng)做了詳細(xì)的闡述。書中主要涉及了兩種情況：轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心，以及轉(zhuǎn)軸不通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。但是，這是否包含所有情況呢？答案是否定的。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：地球圍繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)（假定地球自轉(zhuǎn)不受太陽(yáng)的影響，且地球半徑不忽略，地球公轉(zhuǎn)軌道為圓形），此時(shí)地球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何求解呢？假設(shè)地球半徑為r,質(zhì)量為M,公轉(zhuǎn)半徑為R,若按照常規(guī)解法，運(yùn)用平行軸定理，很容易得到J=>r2+MRS但是根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義:“剛體由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，繞z軸旋轉(zhuǎn),??????”,顯然地球的例子就不適應(yīng)了，因?yàn)榈厍虿坏泄D(zhuǎn)還有自轉(zhuǎn)，嚴(yán)格意義上講，地球上的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)的軌跡不再是圓，而是一種復(fù)雜的擺線，從而傳統(tǒng)的平行軸定理是錯(cuò)誤的。下面我將介紹另一種自創(chuàng)的方法，當(dāng)然不一定正確，但是由生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，也是有一定道理的。2、 介紹首先，定義兩種慣量：自轉(zhuǎn)慣量J'：剛體圍繞通過(guò)其質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。公轉(zhuǎn)慣Sr：將剛體抽象為質(zhì)點(diǎn)時(shí)圍繞某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。認(rèn)為:任何旋轉(zhuǎn)的物體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=J'+J〃。下面進(jìn)行證明。證：對(duì)于質(zhì)點(diǎn)假設(shè)某一質(zhì)點(diǎn)繞某一轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，情況一：轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)點(diǎn)；r=o,j''=o,j=j'+j"=o；顯然公式成立。情況二：轉(zhuǎn)軸不通過(guò)質(zhì)點(diǎn)，且質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸為R,r=o,r=MRz/j=MR\顯然公式成立。對(duì)于細(xì)桿假設(shè)某一細(xì)桿，長(zhǎng)度為I,質(zhì)量為m。情況一：轉(zhuǎn)軸通過(guò)細(xì)桿質(zhì)心，顯然成立。情況二：轉(zhuǎn)軸不通過(guò)細(xì)桿質(zhì)心，質(zhì)心距轉(zhuǎn)軸為扌，F(xiàn)土m巴J〃三mN,j=jqj〃弓ml-顯然成立。同理可證，當(dāng)物體為圓環(huán)，圓盤，薄球殼，球體時(shí)，應(yīng)用平行軸定理都可證明公式成

立。對(duì)于地球這種既有自轉(zhuǎn)又有公轉(zhuǎn)的剛體，公式同樣適用。首先，我們要先討論自轉(zhuǎn)慣量的存在條件。假設(shè)一物體如圖所示，惰況一：其圓盤部分相對(duì)于盤的中心軸固定不動(dòng)。俯視圓盤，以盤中心為參考系，以圖中位置為起點(diǎn)，按照時(shí)間順序選取四個(gè)不同的位置:12 3 4顯然，圓盤相對(duì)于軸是在自轉(zhuǎn)的，但是它的自轉(zhuǎn)不是自由的，圓盤與支撐桿間是固定的，不能轉(zhuǎn)動(dòng)的。此時(shí)，我們說(shuō)，此圓盤具有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。情況二：圓盤可以繞中心軸無(wú)摩擦的旋轉(zhuǎn)，且圓盤相對(duì)于軸靜止，無(wú)自轉(zhuǎn)。同樣取四個(gè)位置：顯然，圓盤保持靜止，并沒有因支撐桿的運(yùn)動(dòng)改變狀態(tài)。假如給圓盤一個(gè)初始的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，使其自轉(zhuǎn)，那么，它的自轉(zhuǎn)也不會(huì)被影響，即圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)自由的，是不受其公轉(zhuǎn)影響的。這可以由動(dòng)量守恒定理證出，此處不再贅述。此時(shí)，我們說(shuō)圓盤不具有自轉(zhuǎn)慣量。有了上述討論，求地球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就容易了。

即J=MR2o關(guān)于此結(jié)果的正確性，以本人的能力就無(wú)法驗(yàn)證了。下面，舉例說(shuō)明此定理的應(yīng)用。例1一雙星系統(tǒng)由兩顆行星組成，一顆行星質(zhì)量為M],另一顆為M2,其間距離為R,求:兩顆行星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：設(shè)質(zhì)量為的行星公轉(zhuǎn)半徑為R],質(zhì)量為M2的行星公轉(zhuǎn)半徑為R2,則有M[R久—Rj；

R[+Rz=R；得:MX得:MXR

M’+M2行星無(wú)自轉(zhuǎn)慣量，只有公轉(zhuǎn)慣量。故,如圖，支撐桿水平部分質(zhì)量為M,長(zhǎng)度為I,垂宜部分質(zhì)量為M，,長(zhǎng)度為I，,圓盤半徑為R,質(zhì)量為m,求(1)圓盤部分可以繞其中心軸無(wú)摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(2)圓盤部分與中心軸固定時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：支撐桿水平部分：自轉(zhuǎn)慣量J'=4mP,公轉(zhuǎn)慣量r4mi2,12 4J=和卩+如咤M卩12 4 3支撐桿垂宜部分：自轉(zhuǎn)慣量為0,公轉(zhuǎn)慣量為r=Mi\則J=Mrl2圓盤部分：自轉(zhuǎn)慣量為0,公轉(zhuǎn)慣量為r=mR\故，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：J弓Mp+M卩+mR2支撐桿水平部分：自轉(zhuǎn)慣量J'噲公轉(zhuǎn)慣量J〃扌M卩，J=—M12+-M12=-M卩11 4 3支撐桿垂直部分：自轉(zhuǎn)慣量為0,公轉(zhuǎn)慣量為則J=Mrl2