計算機控制技術 王書鋒 第3章 計算機控制基礎理論

藍缸第3章計算機捽制基礎理論

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藍泳第3章計算機捽制基礎理論

內容提要

3.1計算機控制系統(tǒng)的信號變換理論

3.2計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學描述

3.3連續(xù)系統(tǒng)的離散化方法及特點

3.4離散控制系統(tǒng)的特性分析

3.5離散控制系統(tǒng)的根軌跡設計法和頻域設計法

3.6本章小結

廬跖城心面』在3-出

藍缸第3章計算機捽制基礎理論

3.1計算機控制系統(tǒng)的信號變換理論

1.計算機控制系統(tǒng)的信號形式

典型的計算機控制系統(tǒng)如圖3」所示。圖中，系統(tǒng)

的輸入信號廠?）、輸出信號y⑺等為連續(xù)時間信號；

而計算機的輸入信號e*⑺與輸出信號/?）均為離散時

間信號，并且是特殊的離散時間信號一一數(shù)字信號。

連續(xù)時間信號變換成數(shù)字信號通過A/D轉換器完

成，

數(shù)字信號變?yōu)檫B續(xù)時間信號是通過D/A轉換器完成的。

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圖3-1典型計算機控制系統(tǒng)結構

廬屈蜘心詼」叁；里/ZE

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計算機控制系統(tǒng)分析與設計方法分兩種O

(1)連續(xù)化設計方法：將計算機控制系統(tǒng)視為連續(xù)系統(tǒng)，用連續(xù)

系統(tǒng)的分析及設計方法進行研究。其基本思想是：當采樣頻率足夠高

時，采樣系統(tǒng)近似于連續(xù)變化的模擬系統(tǒng)，此時忽略采樣開關和保持

器，用S域的設計方法先設計滿足性能指標要求的連續(xù)控制器，再用s域

到Z域的離散化方法求控制器脈沖傳函，最后驗證，如性能指標不符

合，還需重新設計。

(2)離散化設計方法：其基本思想是：直接在Z域中用Z域根軌跡

法或頻域設計法進行分析，設計出數(shù)字控制器，系統(tǒng)控制器的設計和性

能指標的計算都是依據(jù)離散控制理論并針對離散時間信號進行的。

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戚I常.裔一［里件

藍缸第3章計算機捽制基礎理論

2.信號的采樣、量化、恢復及保持

1）信號的采樣過程

計算機控制系統(tǒng)中，信號是以脈沖序列或數(shù)字序列的方式傳遞的，按一定的

時間間隔，把時間和幅值上連續(xù)的模擬信號變成在0、T、2T、……KT時刻的一

連串脈沖輸出信號的集合的過程叫做采樣過程。

實現(xiàn)采樣動作的裝置叫采樣開關或采樣器。

r

圖3?2信號的采樣過程

BfiJ.益—：i里，件

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采樣開關輸入的原信號/⑺為連續(xù)信號，輸出的采樣信

號/*?）是離散的模擬信號。當采樣開關的閉合時間很

短，則采樣信號就可以認為是原信號在開關閉合瞬時

的值。整個采樣信號就可看作是一個加權脈沖序列，用

理想脈沖函數(shù)將采樣后的脈沖序列表示成：

/*?)=f(OW)+f(TW-T)+-2T)+L

oo(3-1)

k=0

廬屈蜘心詼」叁；里

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從信號的采樣過程可知，信號的采樣不是取全部

時間上的信號值，而是取某些時刻的值。這樣處理是

否會造成信號的丟失呢？

香農(nóng)（Shannon）采樣定理指出：對于一個具有有

限頻譜同＜/a、的連續(xù)信號進行采樣時，采樣信號/⑴

唯一地復現(xiàn)原信號/⑺所需的最低采樣角頻率必須滿

足0s22Omax或742?/0而的條件。其中，0max是

原信號頻率的最高角頻率。

采樣角頻率與采樣頻率、采樣周期的關系為：

2萬

叱二2初

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第3章計算機捽制基礎理論

對于實際系統(tǒng)，當時，＜of⑴=0

根據(jù)3函數(shù)的性質，有

00

(3-2)

k=-g

式中，心⑺為理想采樣開關的數(shù)學模型,

00

況⑴,t=kT

k=s

（力翊26百

?國一時期_當....而」眷—：;里—林

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采樣定理給出了合理選擇采樣周期的理論指導原則，在計

算機控制系統(tǒng)中對采樣周期的選擇要折中考慮許多因素。

在實際中，采樣頻率通常?。?5-10)fmax,或者更高。

對于工業(yè)過程，總結了如下經(jīng)驗數(shù)據(jù)可供參考:

溫度流量壓力液面成分

10?20s1?5s3?10s6~8s15?20s

廬屈蜘心詼」叁；里

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2)信號的量化

將時間上離散、幅值上連續(xù)變化的離散模擬信號/*?)

用一組二進制數(shù)碼來逼近的過程稱為信號的量化。

執(zhí)行量化動作的裝置是A/D轉換器，把在Mn?源x范圍

內變化的采樣信號/⑺通過字長為n的A/D轉換器，變換

成o?2〃-1范圍內的某個數(shù)字量。

量化單位定義為：ff

「JmaxJmin

q二---------

2〃—1

q是二進制數(shù)的最低有效位對應的整量單位。量化過程是一

個小數(shù)歸整過程，所以量化誤差為土;“

BfiJ.益—：i里，件

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3）信號的恢復過程與采樣/保持器

信號的恢復過程是從離散信號到連續(xù)信號的過

程，是采樣過程的逆過程。

由于采樣信號僅在采樣時刻才有輸出值，而在兩

個采樣點之間輸出為零，為了使兩個采樣點之間的信

號恢復為連續(xù)模擬信號，以前一時刻的采樣值為參考

基值作外推，使兩個采樣點之間的值不為零，這樣來

近似采樣信號。將數(shù)字信號序列恢復成連續(xù)信號的裝

置叫采樣保持器。

.當3—左-迪__

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零階保持過程是將前一采樣時刻的采樣值恒定地

保持到下一個采樣時刻出現(xiàn)之前，即在區(qū)間內零階保

持器的輸出為常數(shù)，如圖所示。

零階保持器

f(kT)Ho(s)

\/(/)

0IT2T3T475TA0IT2r3T4r5TA

圖3-3應用零階保持器恢復的信號

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Q第3章計算機控制基礎理論

4)零階保持器特性分析

1-e-Ts

零階保持器的傳遞函數(shù)為H0(s)=--------

.,coT.

sin(?)jo)

其頻率特性為…rT—^-e2

an

~T

F.兀①

Tsin-

________吐

則幅頻特性為風(加卜713

以

相頻特性為/Hg(j①)=-4左］

而/?3/2。/

嶼版—珈一當.—.照-卷一■；里比

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圖3-4零階保持器的幅頻特性及相頻特性

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3.2計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學描述

1.Z變換與Z反變換

1)Z變換的定義

設離散系統(tǒng)的采樣信號為

00

/*?)=Z于(kT)B(t-kT)(3-3)

k=Q

對上式進行拉氏變換，即得采樣信號的拉氏變換

/⑸=L[f(t)]=Cf(t)eTsdt(&4)

J-00

00+00

=Z—九型］=E于(kT)e-m

k=000k=0

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箱區(qū)第3章計算機捽制基礎理論

將采樣信號/*?明拉氏變換中包含eL5的超越函數(shù)定義為一個新的復

變量Z,即Ts

z=e

則有5=-Inz

T

T為采樣周期，并將尸⑸記為F（z），得到離散函數(shù)心）的z變

換：oo

/（z）丫Z"*。）］=Zf（kT）Rk（3-5）

k=0

尸⑵稱為離散函數(shù)/*⑺的z變換，也叫離散拉氏變換或采

樣拉氏變換。

.（直/6豫為百

__&當dfiJ卷4M

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幾點說明:

⑴任意項/（左?。?一人具有明確的物理意義：

/（仃）表示幅值，Z的鼎次表示該采樣脈沖出現(xiàn)的時

亥！I;

/<0/*（0=0

⑵上述求取z變換方法稱為單邊z變換，當時，

00

而稱F(z)=Z[f*(t)]=￡f(kT)六

攵=-00

為雙邊Z變換，在控制系統(tǒng)中，通常只研究單邊Z變

換；

廬屈蜘心詼」叁；里/ZE

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（3）如果兩個不同的時間函數(shù)力⑺和八。），力。）W于2（。

但其采樣值完全重復，即力*⑺=/2*。）

則F?）=B（Z）,說明z變換尸⑶與離散函數(shù)/*⑺是

一一對應的，但是尸⑶與一⑺之間的對應關系卻不唯一。

從這個意義上來說，連續(xù)時間函數(shù)/⑺與相應的離散

時間函數(shù)/*⑺具有相同的z變換，即

00

b(z)=Z"*。)]=Z[f(kT)]=Z[/(r)]=Zf(kT)z-k

k=0

廬屈蜘心詼」叁；里/ZE

第3章計算機捽制基礎理論

2)Z變換的求法

求取離散時間函數(shù)/*⑺的z變換的三種方法

(1)級數(shù)求和法

例3”求單位階躍函數(shù)的Z變換。

解：根據(jù)Z變換定義，有

00

F(z)=Z[l(k)]=Xz-k

k=0

=l+z~l+z~2+L+屋+L

1z

1-z-1Z-1

(r7/.W2(HT

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(2)部分分式展開法

例3.2已知函數(shù)小)=小，求人)

解：尸⑸有兩個單極點P1=。、P2=—(2，則4=1、4=T

展開為部分分式之和

乙、6111

F(5)二------------------二---------------------

s(s+〃)SS+4

ZZ

/(z)=

z-1z-e

zi八一aT\

(1-e)z—1

izi.-aT\-1.-aT-2

i-(l+e)z+ez

廬屈蜘心詼」叁；里/zE

第3章計算機捽制基礎理論

⑶留數(shù)法

如果函數(shù)產(chǎn)⑸為嚴格的真有理分式，則R(s)的Z

變換尸⑴可直接由下式求得

〃1

尸⑵=Z［"s）］二,Res［尸初）匚可］

p=pi

jn1n1（fl

+￡KPF"⑺4%，

Z=/72+l（仁1）!M

(r7/W2()iT

場當標j卷迎計

。氤第3章計算機捽制基礎理論_______________________

3)z反變換

已知Z變換表達式F(z),求相應離散序

列了(左丁)或/*?)的過程稱為Z反變換，記為

/(S=Z”(z)]

常用的Z反變換方法有長除法、部分分式

法和留數(shù)計算法。

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7

例3.3求F(z)=-----------的---Z-反變換/(U)

(z—l)(z—2)

/(z)二----1----

z-1z-2

f(kT)=-l+2k

即/*⑺=S(t-T)+3M-27)+7M-3T)+15SQ-47)+L

可以看到，經(jīng)反變換得到〃⑺的只是在采樣時刻kT與f3在

該時刻AS的值相等，而在其他時刻的值可以任意。常用

函數(shù)的Z變換列教材表3?2中。

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4）z變換的基本定理

包括線性定理、位移滯后定理、位移超前

定理、初值定理、終值定理、時域離散卷積定

理、復位移定理、復域微分定理和復域積分定

理?？梢院喕痾變換計算和離散控制系統(tǒng)分

析。

（行/（諄2。1筍

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2線性定常離散系統(tǒng)的差分方程及其求解

1）差分的定義

一階前向差分的定義為N（k）=f（k+D-f（k）

n階前向差分的定義為△〃//）=+1）-△〃"/）

同理，

一階后向差分的定義為q（k）=f（k）-以k-?

n階后向差分的定義為Vf（k）=5f（k）7，（k-。

1sM蛤心iffi」叁洞/ZE

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2)線性定常離散系統(tǒng)的差分方程

設單輸入單輸出計算機控制系統(tǒng)某一時刻輸/為，"輸廟

為，則描述線性定常離散系統(tǒng)動態(tài)過程的n階非奇次后向差分方程

的一般形式為

y(左)+axy(k-1)+L+an_xy(Jc+1—〃)+any(k-〃)

=bGu(k)+b1u(k-1)+L++l-m)+bmu(k-m)

3)差分方程的求解

用Z變換求解常系數(shù)線性差分方程和用拉氏變換解微分方程很相

似。先利用初始條件，將差分方程轉換成為變量的代數(shù)方程，再求出

Z反變換。

廬屈蜘心詼」叁；里

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3.計算機控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

D脈沖傳遞函數(shù)的定義G（z）=器

2）脈沖傳遞函數(shù)的代數(shù)運算規(guī)則

G（Z）=^3=G］（Z）G2（Z）

開環(huán)串聯(lián)運算

GQ）=^y（^z）=G（Z）±G2（Z）

并聯(lián)環(huán)節(jié)運算U（z）

廬屈蜘心詼」叁；里/zE

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

典型計算機控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

w(z)=agz)”

R⑶l+HG(z)Q⑶

式中,5z)=Z[±G°(s)]稱為廣義對象脈沖傳遞函數(shù)

S

HG(z)=Z[H(s)G(s)]

。⑵=Q*(s)“為計算機執(zhí)行的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)

z=e

廬屈蜘心詼」叁；里/zE

海缸第3章計算機捽制基礎理論____________________

3)離散狀態(tài)空間方程

fx(k+1)=Ax(左)+Bu(k)

(左)=Cx(k)+Du(k)

式中，x(k)為n維狀態(tài)向量；"(Q為〃維控制向量；

y(左)為機維輸出向量；A為的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；

8為的輸入矩陣；C為機的輸出矩陣；

D為mx廠的前饋矩陣(或稱直接傳輸矩陣)

則描述離散輸入輸出關系的脈沖傳遞函數(shù)矩陣為

G(z)==C(zl-A)-1A+D

U⑺

1sM:fefr心詼」叁-JB1/i-

—aJovcro第3章計算機捽制基礎理論

4.S平面到Z平面的變換

S平面與Z平面的映射關系可由z=*來確定,

設s=a+jco,則有

圖3-9S平面與Z平面的映射關系

原版教學配套上住

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3.3連續(xù)系統(tǒng)的離散化方法及特點

連續(xù)化設計法是一種離散系統(tǒng)的等效設計方法，假設

系統(tǒng)為一個連續(xù)系統(tǒng)，且沒有采樣開關，先設計一個模擬

控制器，再經(jīng)過離散化得到數(shù)字控制器。當采樣頻率足夠

高時，采樣系統(tǒng)的特性接近于連續(xù)系統(tǒng)，因而可將整個系

統(tǒng)近似成一個連續(xù)系統(tǒng)。

離散化法的目的就是由模擬調節(jié)器的傳遞函數(shù)求得等

效的脈沖傳遞函數(shù)?！暗刃А笔侵竷蓚€傳遞函數(shù)的脈沖響應

特性、階躍響應特性、頻率特性、穩(wěn)態(tài)增益等特性相似。

常用的離散化方法有六種，下面簡單介紹各種離散化

方法及其特性和適用范圍。

（n/W2t）iT

BfiJ.益—：i里，件

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L差分變換法

差分變換法亦稱也稱為差分反演法。其變換方法是：把原連續(xù)

傳遞函數(shù)轉換成微分方程，再利用差分方程近似該微分方程。

1)后向差分變換法

一階后向差分離散化方法為O(z)=O(s)［上2

圖3-10后向差分法的映射關系

廬屈蜘心詼」叁；里

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

特點：

后向差分法的s平面與Z平面的映射關系如圖3?10所示。s

平面的虛軸映射為z平面上半徑為0.5的圓周，s左半平面映射

到該圓內部。說明。⑶穩(wěn)定，經(jīng)后向差分變換后。(z)也是穩(wěn)

定的。其次，后向差分變換在。從0->+8時，惟一映射到

半徑為0.5的單位圓上，沒有出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象，但頻率被嚴

重壓縮了，因此不能保證頻率特性不變。因其變換精度較

低，工程應用上受限制。

它的優(yōu)點是簡單易做。

廬屈蜘心詼」叁；里

ZiF^\第童計萱機捽制基礎理論

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2）前向差分變換法

一階后向差分離散化方法為Q（z）=Q（s）l

s平面

0CT

圖3.11前向差分法的映射關系

07/03/2013

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

特點：

前向差分法的s平面與Z平面的映射關系如圖3?11所示。

如果令s=o+j①,

則|z|=J(l+b)2+(W)2,要使閆<1,除。<0外，

還要cor較小才行，可見這種變換會產(chǎn)生不穩(wěn)定的。⑵，要

穩(wěn)定應減小采樣周期，且不能保證有相同的脈沖響應和頻

率響應。

該方法優(yōu)點是簡單易用，但應保證。⑶穩(wěn)定。

濫虬第3章計算機捽制基礎理論

2.雙線性變換法

雙線性變換又稱圖斯汀變換，其離散化方法為

5=2_￡z!

T7+I

特點:

經(jīng)過雙線性變換，S平面的虛軸惟一映射到Z平面的單位

圓上，而整個左半S平面映射到Z平面的單位圓內部。因

此，如果。⑶穩(wěn)定，經(jīng)過雙線性變換后的。（Z）也是穩(wěn)定

的，并且不會出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象，但會產(chǎn)生頻率畸變。

這種變換方法較為適合工程應用。

缺點是高頻特性的頻率失真較嚴重，因此不宜用于高通

圖3-12梯形積分法

環(huán)節(jié)的離散化。

廬屈蜘心詼」叁；里

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3.頻率預畸變的雙線性變換法

雙線性變換時，模擬頻率與離散頻率之間的非線性關系如圖示。

步驟L在期望零點或極點中，用Q，

代替s+〃ns璃』/預…畸

變，DGH),得到

步驟2:將。(s，〃)轉換成O(z，。)，

令Q(Z,Q)=KD(S,優(yōu))1一1)/5，考慮變

換前后直流增益保持不變，放大系數(shù)K

可通過limD(z)=l求出。

z-?l

特點：頻率預畸變的雙線性變換本質上仍為雙線性變換，但由于進行了頻

率預先修正，只能保證斷點處頻率特性在變換前后不變，其他頻率處仍存

在頻率畸變。主要應用在要求在某些特征頻率處離散前后頻率特性保持不

變的場合。

.由屈切1■必訪」叁-JH灶

濫虬第3章計算機捽制基礎理論

4.脈沖響應不變法

所謂脈沖響應不變，是指變換后的。(z),其單位脈沖響應與變

換前的Z)(s)單位脈沖響應的采樣值相等。按照這一原則來實現(xiàn)

把離散成的方法，就是脈沖響應不變法。

特點：離散控制器。⑶與連續(xù)控制器。⑸的脈沖響應相

同；若。⑸穩(wěn)定，則。⑵也穩(wěn)定，但。(環(huán)能保持。⑸

的頻率響應；。⑶將模擬頻率整數(shù)倍的頻率變換到z平

面上同一個點的頻率，因而出現(xiàn)了頻率混疊現(xiàn)象。主

要應用于。⑶能較容易分解為并聯(lián)結構，且具有陡衰減

特性、信號為有限帶寬的場合。這時采樣頻率足夠

高，可消弱頻率混疊現(xiàn)象。

廬屈蜘心詼」叁；里

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5.具有零階保持器的脈沖響應不變法

假如環(huán)節(jié)前具有采樣開關和保持器，可以通過Z變換求其脈沖

傳遞函數(shù)。采用零階保持器，則

G(z)=Z[——G(s)]=(1—zT)Z[-^]

ss

特點：這種方法本質上仍然是z變換法，因此若Q(s)穩(wěn)定，則。⑶

也穩(wěn)定；由于零階保持器的低通特性，會使信號最大頻率降低，

因此頻率混疊現(xiàn)象比單純采用脈沖響應不變法有所改善；此外，

由于加入零階保持器而引入的相位滯后會造成穩(wěn)定裕度較差。

廬屈蜘心詼」叁；里

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6.具有零階保持器的脈沖響應不變法

又稱為根匹配法。零點極點匹配法是將S平面的零點或極點用

Z=J關系映射到z平面上，對實數(shù)零極點，其變換關系為

O（z）nO（s）L-7

特點：在變換過程中，同一個。⑶，用零極點匹配法和

脈沖響應不變法變換后的。⑶,其極點相同而零點不

的零點數(shù)少于極點數(shù)，根據(jù)的映射關

系，對于具有低通濾波野性的把無窮遠處的零點映

射至上-1;因為是直接進行零極點對應，并沒有顧及到

增益關系，所以應使S）和Z）在某一臨界頻率處具有相

同增益。對于具有低通濾波特性的）,要保證直流增益

不變，應使⑵*=。（砒=0

廬屈蜘心詼」叁；里

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

總結:

上述6種離散化方法中，除前向差分法外，只要原連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)

定的，則變換后得到的離散系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。采樣頻率對設計結果有

影響，當采樣頻率遠遠高于系統(tǒng)的截止頻率時（100倍以上），用任

何一種設計方法所構成的系統(tǒng)特性與連續(xù)系統(tǒng)相差不大；隨著采樣頻

率的降低，各種方法顯現(xiàn)出差別。

按實際結果的優(yōu)劣進行排序，以雙線性變換為最好，即使在采樣

頻率較低時，得到的結果也還是穩(wěn)定的，其次是零極點匹配法和后向

差分法，再次是脈沖響應不變法。

這6種方法有各自特點，脈沖響應不變法可以保證離散系統(tǒng)的響應

與連續(xù)系統(tǒng)相同；零點極點匹配法能保證變換前后直流增益相同；雙

線性變換法可以保證變換前后特征頻率不變。

以上各種設計方法在實際工程中都有應用，可以根據(jù)需要選擇使用。

廬屈蜘心詼」叁；里

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3.4離散控制系統(tǒng)的特性分析

1.離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1）離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念和穩(wěn)定條件

【定義】所謂穩(wěn)定性，對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)和線性定常離散系

統(tǒng)，就是在有界輸入作用下，系統(tǒng)的輸出也是有界的。

不

穩(wěn)

穩(wěn)

穩(wěn)

定

定

-定O-

域

域O

域

圖3-15連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的極點分布穩(wěn)定域

BfiJ.益—：i里，件

「彘k第3章計算機捽制基礎理論____________________

2）離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定方法

可以采用直接求取方法和勞斯穩(wěn)定判別法

勞斯穩(wěn)定判據(jù)用于判定線性定常連續(xù)系統(tǒng)中閉環(huán)系統(tǒng)的根是

否全在S左半平面，從而確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然而離散系統(tǒng)的穩(wěn)定

邊界為單位圓，不能直接用勞斯判據(jù)。我們引入雙線性變換（又稱

W變換），使得Z平面的單位圓映射到W平面的左半平面，就可以直接

應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)了。

雙線性變換定義為

W+1/2、1+W

z=-------（或）Z=--------

w—11-W

（行/疝琴2市彳

_熟一4—皿花

酒露一第3章計算機捽制基礎理論

2.計算機控制系統(tǒng)的過渡過程分析

【定義】計算機控制系統(tǒng)的過渡過程是指系統(tǒng)在外部信號作用

下從原有穩(wěn)定狀態(tài)變化到新的穩(wěn)定狀態(tài)的整個動態(tài)過程。

計算機控制系統(tǒng)的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)可以寫成兩個多項式之比的形

式，即

丫⑶用”,）

W(z)=

《）口（…）一。⑶

1=1

假定W（Z）無重極點，則系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用下,

輸出的Z變換為y（z）=W（Z）R（Z）=長￡@?上

D（z）z-1

廬屈蜘心詼」叁；里/zE

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

取丫⑵的z反變換，即可求得系統(tǒng)輸出在采樣時刻的

離散值的一般式為

“下、⑴vZI*"八八、

y(kT)=K--+￡------K--P--(zrG---z”k+￡----K-P-(rQ---1|cos(k，.+4)(k>n-m)

〃⑴i(z“-l)O(z“)I。-1)。心)

式中，.為實極點，々為實極點個數(shù)

為復極點，生為復極點對數(shù)

4=tan-1(丹/%)4=荷+四2

ggdO(z)

DUG=Q(zQ=

7—7.dz7=7.

廬屈蜘心詼」叁；里/zE

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

圖3-17實數(shù)極點對應的暫態(tài)響應分量

廬屈蜘心詼」叁；里/ZE

第3章計算機捽制基礎理論

圖3-18復數(shù)極點對應的暫態(tài)響應分量

（n/W2（）ir

盾版物一當一曲J在，坦拉

藍缸第3章計算機捽制基礎理論

結論：

從圖中可以看出，位于左半z平面單位圓外、單位圓上和單

位圓內的復極點，其暫態(tài)響應分量同位于右半z平面單位圓外、單

位圓上和單位圓內相應復數(shù)極點的暫態(tài)響應情況類似，不同的是

其振蕩頻率要高于右半Z平面復極點暫態(tài)響應分量的振蕩頻率。通

過以上分析可知，閉環(huán)極點最好配置在Z平面右半部的單位圓內，

而且是越靠近原點的地方。這樣，系統(tǒng)的過渡過程振蕩小且衰減

快。

（n/W2t）iT

BfiJ.益—：i里，件

酒露一第3章計算機捽制基礎理論_____________________

3.計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

【定義】所謂穩(wěn)態(tài)誤差是指計算機控制系統(tǒng)從過渡過程結束后到

達穩(wěn)態(tài)以后，系統(tǒng)的輸出采樣值與輸入采樣值的偏差。它是衡量系

統(tǒng)準確性的一項重要指標。

圖3-19典型計算機控制系統(tǒng)結構圖

廬屈蜘心詼」叁；里

濫虬第3章計算機捽制基礎理論

系統(tǒng)的開環(huán)Z傳遞函數(shù)為

①。(z)=G(z)O(z)

系統(tǒng)的誤差Z傳遞函數(shù)為

磯Z)11

①e(z)=(3-10)

H(z)l+G(z)Q(z)1+①。(z)

誤差信號的Z變換為

￡(z)=①e(z)R(z)=「」)R(z)

1+①。(z)(3-11)

假定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則可用終值定理求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差為

二e(oo)=lime*⑺=lim(z-l)￡(z)

zf1

(3-12)

lim(z-1)「R⑺

zf1+①。⑵

廬屈蜘心詼」叁；里/zE

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

(1)單位階躍輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

由單位階躍輸入信號r(0=1(0R⑺

z-i

代入式(3?12),得穩(wěn)態(tài)誤差為

Z「z1

“s=lim(z-l)----------=--l-im

-I1+①。(Z)Z-lZfl1+②⑶-Kp3一

1OZ

定義Kp=lim[l+①。(z)]為靜態(tài)位置誤差系數(shù),

Zf1

1

則穩(wěn)態(tài)誤差為e

ssKp

廬屈蜘心詼」叁；里/ZE

藍缸第3章計算機捽制基礎理論

設控制系統(tǒng)的開環(huán)Z傳遞函數(shù)形式為中。

(1—沙

w“(z)的分母中沒有(1—2一)因子

根據(jù)系統(tǒng)中的積分環(huán)節(jié)的階次q來定義系統(tǒng)的類型:

把q=0的系統(tǒng)稱為o型系統(tǒng)

把q=1的系統(tǒng)稱為I型系統(tǒng)

把4=2的系統(tǒng)稱為II型系統(tǒng)

Mcitric脊一'里件

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

(2)單位斜坡輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

由單位斜坡輸入信號r(r)=tH(z)=—J

')(z-1)2

代入式(3-12),得穩(wěn)態(tài)誤差為

1TzTzT

.二lim(z-l)-----------------=lim-----------------------.二lim--------------

-i]+①。(z)(z-1)z_i仁-1)[1+①。⑵]-iq_1)①。(z)(3-14)

定義仆=lim(Z-1)①。(z)為靜態(tài)速度誤差系數(shù)，則穩(wěn)態(tài)誤差為

廬屈蜘心詼」叁；里/ZE

酒露一第3章計算機捽制基礎理論____________________

（3）單位拋物線輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

19?、片2（2+1）

由單位斜坡輸入信號廠⑺=-tE（Z）=――

22（z--l）r

代入式（3-12）,得穩(wěn)態(tài)誤差為

1r2zg+i)

=吧(1)二lim(3-15)

1+①。⑶2(z—z->l(z—I)?①。⑶

定義7^=11111(2_1)2屯。(2)為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)，則穩(wěn)態(tài)誤差為

zf1

evv

廬屈蜘心詼」叁；里/zE

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

0.368(^+0.718)

例3-5已知以計算機控制系統(tǒng)的開環(huán)Z傳遞函數(shù)中“⑶=(z-l)(z-0.368)

為采樣周期T=ls,試確定系統(tǒng)分別在單位階躍、單位斜坡和

單位拋物線函數(shù)輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：按照系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的定義

0.368(^+0.718)

K=1+lim[l+①。(z)]=1+lim[l+]=00

Pnzf1(z-l)(z-0.368)

-0-.3-6-8-(-^-+-0-.-7-1-8-)二1

Kv=lim[(z一1)①。(z)]=Iim(z-1)1

z—1z—1(z-l)(z-0.368)

0.368(z+0.718)

K0=lim[(z—Ip①。(z)]=lim[(z—l)21-0

z-1z—1(z-l)(z-0.368)

廬屈蜘心詼」叁；里/ZE

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1八

單位階躍輸入信號作用下ess=—=O

Kp

T1

單位斜坡輸入信號作用下%=鼠=I=1

Tz

單位拋物線輸入信號作用下Gs==8

Ka

結論：

?該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，能夠準確復現(xiàn)單位階躍信號；

?對于單位斜坡信號存在恒定穩(wěn)態(tài)誤差1；

?在拋物線輸入信號下其穩(wěn)態(tài)誤差為00,所以I型系統(tǒng)不能跟蹤拋

物線函數(shù)信號。

（n/W2t）iT

Mcitric脊一'里件

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4.線性定常離散控制系統(tǒng)的可控性、可觀性和可達性

1)線性定常離散控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其動態(tài)方程可表示為

坨)=Ax(t)+Bu(t\x(r)

cc0(3-

y⑺=Cx(O+Du(t)

cc16)

對于線性定常離散系統(tǒng)，其動態(tài)方程可表示為

x(k+1)=Ax(左)+Bu(k),x(0)

y(k)=Cx())+D"(k)(3-

17)

廬屈蜘心詼」叁；里/zE

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

線性定常離散系統(tǒng)的動態(tài)方程可由線性定常連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)過采樣

進行離散化后得到。若使用零階保持器進行離散化，則式(3-16)

和式(3-17)中各系數(shù)間存在如下關系：

AcT

A=產(chǎn)5=([edt)Bc,C=Cc,D=Dc(3-18)

設單入單出線性定常離散系統(tǒng)的差分方程為

y(k+n)+an_xy(k+n-l)+L+a{y(Jc+1)+gy(左)=%-(3-19)

如果選取狀態(tài)變量%*)=y(k),x2(k)=y(k+1),L,xn(k)=y(k+n-l)

那么，可以得到系統(tǒng)的動態(tài)方程為

X](左+1)=x2(k)

%2/+1)=%3(上)

L

(左+D=%”(％)

xn(k+1)=—a0X](k)—a1x2(k)-L—an_xxn(k)+bou(k)

y(k)=%(k)

廬屈蜘必詼」叁?:電小

藍缸第3章計算機捽制基礎理論

上述動態(tài)方程表述為向量?矩陣的形式為

再伙+1)010L0X(Z)0

x2(k+1)001L0%2(&)0

MMMMLMM+Mii(k)

%(2+1)000L1x,i(k)0

七,(女+1)—4-qL-an-\__xn(k)?o_

X]⑹

々（女）

y(k)=[l0L0]M(3-

七一伏）20)

x/k）

式（3-20）可記為

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),x(0)

y(k)=Cx{k}+Du(k)(3-21)

式中，A,8為能控標準型，。為零矩陣。

廬屈蜘心詼」叁；里/zE

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將式(3-19)用差分方程表示的線性定常離散系統(tǒng)擴展為一般形式

y(k+〃)+an_xy(k+n-l)+L+axy{k+1)+aoy(k)

=b〃u(k+n)++n-l)+L+b[u(k+1)+bQu(k)(3-22)

可以通過引入中間變量將式(3-22)轉換成

x(k+1)=Ax(k)+B憂(k),x(0)

y(k)=Cx(k)+Du(k)(3-23)

式中，A、3仍為能控標準型。D表示輸入對輸出的直接傳遞作用的

強弱，不影響系統(tǒng)狀態(tài)和動態(tài)響應特性，如果在狀態(tài)空間描述中，不考

慮D的影響，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可表示為

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),x(0)

(3-24)

y(Z)=Cx(k)

廬屈蜘心詼」叁；里/zE

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

2）線性定常離散控制系統(tǒng)的可控性、可觀性分析

【定義3T】設n階線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

x(k+1)=Ax(左)+5u(^);x(0)=x

0(3-32)

y(k)=Cx(k)+Du(k)

若存在有限個輸入向量序列"（幻（左=°，L2,L〃-1）,能在有限步數(shù)NT

內驅動系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)x（0）轉移到期望狀態(tài)x（N）=O，則稱該系統(tǒng)是

狀態(tài)完全可控的（簡稱可控）。

若系統(tǒng)可以通過有限次的測量值y?（^0,l,2,L/i-l）,能惟一確定系統(tǒng)

的初始狀態(tài)元（0）,則稱系統(tǒng)是完全能觀的（簡稱能觀）。

廬屈蜘心詼」叁；里

藍泳第3章計算機捽制基礎理論

【定義3?2】對線性定常離散系統(tǒng)，如果存在著一組無約束的控

制序列"/)，左=(M2L,N-1,能把任意的初始輸出值y(0),在

有限時間N內轉移到任意的終值輸出值，則稱該系統(tǒng)是輸出完

全能控的。

【定理3-1】由式(3-32)描述的線性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)

n}

完全能控的充分必要條件是能控性矩陣Wc=[BABLA-B]

的秩為n(即滿秩)。

【定理3-2】由式(3-32)描述的線性定常離散系統(tǒng)，其輸出

完全能控的充分必要條件是rank[CBCABLCAnlB]=m

【定理3-3】由式(3-32)描述的線性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)

完全能觀的充分必要條件是能觀性矩陣以=[CCBLC^B]

的秩為n(即滿秩)。

(療/岸斯亍

廬屈蛤一心曲」叁:電/Zk

酒露一第3章計算機捽制基礎理論____________________

3)線性定常離散控制系統(tǒng)的可達性分析

【定義3-3]：對式(3-32),如果可以找到控制序列"(k),能在有限

時間NT內驅動系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)武0)到達任意期望狀態(tài)x(N),則稱該系統(tǒng)

是狀態(tài)完全可達的。

應當指出，可控性并不等于可達性，可控性是可達性的特殊情況。如果系統(tǒng)

可達則一定可控，反之，如果系統(tǒng)狀態(tài)可控則不能保證可達性。不加證明地直

接給出可達性的充分必要條件：

(1)對任何的n維系統(tǒng)，為使系統(tǒng)從以0到達％3),必須經(jīng)過n步控制N=〃

(2)該方程系數(shù)矩陣必須滿足下列條件：

NxN2

rankWR=rank[A-BA-BLB]=n

即%=[心血建-23匕例為非奇異，稱％為可達性矩陣。離散系統(tǒng)可達