心理統(tǒng)計(jì)學(xué)05-概率分布及集中常用概率分布特征

概率分布——推斷統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)隨機(jī)事件確定性現(xiàn)象1在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象，如氧氣燃燒產(chǎn)生熱量。隨機(jī)現(xiàn)象在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)中，其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象，如擲硬幣的結(jié)果。日常生活中存在各種各樣的現(xiàn)象確定性現(xiàn)象2在一定條件下必然不發(fā)生的現(xiàn)象，如月球表面出現(xiàn)植物。概率等于1概率介于（0,1）之間概率等于0概率：事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)字描述，在[0,1]之間取值設(shè)隨機(jī)事件A在相同的條件下進(jìn)行的n次試驗(yàn)中發(fā)生了

次，則稱/n是事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻數(shù)，記成。當(dāng)n趨于無窮大時(shí)該數(shù)值將穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)上，這一常數(shù)稱為事件A在該條件下發(fā)生的概率。即：如下表是多位學(xué)者擲硬幣的結(jié)果概率定義——后驗(yàn)（經(jīng)驗(yàn)）概率試驗(yàn)者投擲次數(shù)n出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)nA頻率nA/nDeMorgan204810610.5180Buffon404020480.5069Feisher1000049790.4979Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005概率定義——先驗(yàn)（古典）概率滿足以下兩個(gè)條件每次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的；每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，如擲骰子游戲。如果試驗(yàn)結(jié)果（基本事件）的總數(shù)為n，事件A包含m個(gè)基本事件，則事件A的概率為，以擲兩個(gè)骰子為例，P(至少有一個(gè)1)=11/36；P(點(diǎn)數(shù)之和大于10)=3/36.或概率性質(zhì)可列可加性：兩個(gè)不相容事件A、B之和的概率，等于兩個(gè)事件概率之和，即P(A+B)=P(A)+P(B)乘法定理：兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于該兩事件概率的成績，即：P(AB)=P(A)·P(B)例：擲一個(gè)骰子，點(diǎn)數(shù)大于4的概率多大？

同時(shí)擲兩個(gè)骰子，一個(gè)點(diǎn)數(shù)大于4，一個(gè)點(diǎn)數(shù)小于4的概率多大？解：1，點(diǎn)數(shù)為5的概率是1/6，點(diǎn)數(shù)為6的概率是1/6，點(diǎn)數(shù)大于4的概率是1/6+1/6=2/62，其中一個(gè)大于4的概率是2/6，一個(gè)小于4的概率是3/6，同時(shí)出現(xiàn)的概率是兩者乘積1/6.概率分布定義：隨機(jī)變量取值的函數(shù)描述類型：離散分布（二項(xiàng)、泊松）與連續(xù)分布（正態(tài)、t、F）

經(jīng)驗(yàn)分布（由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)編制的次數(shù)分布）與

理論分布（數(shù)學(xué)模型）

總體分布（所有數(shù)據(jù)組成的分布）與

抽樣分布（從總體中抽取的樣本的統(tǒng)計(jì)量，含平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)等，的分布）總體分布與抽樣分布舉例：總體平均數(shù)只有一個(gè)μ，標(biāo)準(zhǔn)差只有一個(gè)σ，總體是一個(gè)分布，它的個(gè)體是觀測數(shù)據(jù)；

樣本可以有多個(gè)，所以樣本平均數(shù)有多個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差有多個(gè)，多個(gè)樣本平均數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）組成的分布稱為樣本平均數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）的分布，它的個(gè)體是多個(gè)觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）。二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布：實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩種的概率分布，如拋硬幣，選擇題判斷題的正誤等。分布函數(shù)：離散型n表示試驗(yàn)總次數(shù)（拋骰子總次數(shù)），x表示試驗(yàn)成功總次數(shù)（如點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)），p表示成功的概率（如點(diǎn)數(shù)為6的概率）二項(xiàng)分布圖像：n=10，x=3，p=1/6，B(3,10,1/6)=0.155；n=10，x=2，p=1/6，B=(2,10,1/6)=0.291;n=10，x=1，p=1/6，B=(1,10,1/6)=0.070;n=10，x=4，p=1/6，B=(4,10,1/6)=0.054;性質(zhì)：

正態(tài)分布正態(tài)分布曲線函數(shù)圖像平均數(shù)不同，標(biāo)準(zhǔn)差相同平均數(shù)相同，標(biāo)準(zhǔn)差不同N(2，1)N(0，1)N(-2，1)N(μ，1)N(μ，0.25)N(μ，2.25)記作X～N(μ,σ2)正態(tài)分布——應(yīng)用假定500個(gè)學(xué)生某科成績分布接近于正態(tài)分布N（70,100），問：①75分以下有多少人？②85分以上有多少人？③介于65和80分之間有多少人？

解：1求這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的Z值：

2根據(jù)正態(tài)分布表求對應(yīng)的曲線下面積在z=0.5時(shí)，正態(tài)分布表第三列中對應(yīng)的值是0.1915，在z=1.5時(shí)，正態(tài)分布表第四列中對應(yīng)的數(shù)值是0.06681

3根據(jù)相應(yīng)的曲線下面積求低于75分和高于85分的人數(shù)低于75分的實(shí)際人數(shù)為500x0.6915=346人。高于85分的實(shí)際人數(shù)為500x0.06681=33人。答：這500個(gè)學(xué)生某科成績在75分以下的有346人，85分以上的有33人。正態(tài)分布性質(zhì)：對稱，平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)相等平均數(shù)左右1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍包含了68.27%的樣例，平均數(shù)左右1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍包含了95%的樣例，

平均數(shù)左右2.58個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍包含了99%的樣例，（發(fā)生概率在5%或1%以下的事件被稱為小概率事件，小概率事件被假定為在一次觀測中幾乎不可能發(fā)生）

正態(tài)分布曲線從中央點(diǎn)向兩邊下降，先凸后凹，拐點(diǎn)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差處，無限接近X軸但永不相交

解：4：求65分和80分的z值用Z值找到對應(yīng)的概率，相減P-0.5=0.30854,P1=0.84134,0.84134-0.30854=0.5328用概率差求介于65分與80分之間的人數(shù)500x0.5328=266.4≈266人正態(tài)分布——應(yīng)用假定500個(gè)學(xué)生某科成績分布接近于正態(tài)分布N（70,100），問：①75分以下有多少人？②85分以上有多少人？③介于65和80分之間有多少人？某縣對初一年級1000名學(xué)生進(jìn)行能力測驗(yàn)，結(jié)果μ＝75，σ＝10，現(xiàn)擬根據(jù)此結(jié)果選取25名學(xué)生作為“尖子班”重點(diǎn)培養(yǎng)，假定測驗(yàn)成績近似正態(tài)分布，問多少分以上才能被選到“尖子班”學(xué)習(xí)？解求25名學(xué)生比例：25/1000=0.025=2.5%查表求P=0.025對應(yīng)的Z值：Z=1.96求入選分?jǐn)?shù)：X=94.6正態(tài)分布——應(yīng)用t分布分布函數(shù)：圖像性質(zhì)：μ=0，左右對稱在-∞～+∞之間取值；受df=n-1影響，n-1趨于∞時(shí)t分布就是正態(tài)分布；n-1>30時(shí)t分布接近正態(tài)分布，方差大于1；n-1<30時(shí)與正態(tài)分布相差較大；學(xué)習(xí)使用t分布表查df=10時(shí)單尾、雙尾的t0.05；t0.025

χ2分布分布函數(shù)：圖像：n=1,4,10,20性質(zhì)：χ2>0，呈正偏態(tài)分布df=n-1，df>2時(shí)χ2的均值為df，方差為2dfdf趨于∞時(shí)χ2分布就是正態(tài)分布；∑χ2服從一個(gè)df=∑dfi的χ2分布學(xué)習(xí)使用χ2分布表查df=10時(shí)χ20.05；χ20.025

F分布分布函數(shù)：圖像：性質(zhì)：F>0，呈正偏態(tài)分布，隨df1，df2的增大而趨于正態(tài)分布學(xué)習(xí)使用F分布表查F0.05（30,35）；F0.01（35,30）

樣本平均數(shù)總體正態(tài)，方差已知，服從正態(tài)分布總體正態(tài)，方差未知，服從t分布總體非正態(tài)，方差未知，趨于t分布（n>30）樣本方差S2趨于正態(tài)分布（n>30）樣本標(biāo)準(zhǔn)差S趨于正態(tài)分布（n>30）積差相關(guān)系數(shù)服從t分布等級相關(guān)系數(shù)近似于t分布（9≦n≦20）或正態(tài)分布（n>20）樣本分布性質(zhì)樣本平均數(shù)的分布的平均