空間向量的數(shù)乘運算教學設計

3.1.2空間向量的數(shù)乘運算（一）

教學要求：了解共線或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共線向量定理及其推論；

掌握空間直線的向量參數(shù)方程；會運用上述知識解決立體幾何中有關的簡單問題.

教學重點：空間直線、平面的向量參數(shù)方程及線段中點的向量公式.

教學過程：

一、復習引入

1.回顧平面向量向量知識：平行向量或共線向量？怎樣判定向量B與非零向量2是否共

線？

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一組平行向量都可以平移到同

一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量.

向量B與非零向量,共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)A,使限稱平面向量

共線定理，

二、新課講授

1.定義：與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，

則這些向量叫做共線向量或平行向量.5平行于各記作

2.關于空間共線向量的結(jié)論有共線向量定理及其推論：

共線向量定理：空間任意兩個向量1、b（在WO）,五〃B的充要條件是存在實數(shù)4，

使2=Ab.

理解：⑴上述定理包含兩個方面：①性質(zhì)定理：若?！ú唬∕WO）,則有9=25,

其中；I是唯一確定的實數(shù)。②判斷定理：若存在唯一實數(shù)2,使5（5W0）,則有

a//b（若用此結(jié)論判斷方、B所在直線平行，還需力（或B）上有一點不在否（或G）

上）.

⑵對于確定的4和5=2M表示空間與5平行或共線，長度為當丸＞0時

與五同向，當丸＜0時與五反向的所有向量.

3.推論:如果1為經(jīng)過已知點4且平行于已知非零向量五的直線,那么對于任意一點0,

點尸在直線］上的充要條件是存在實數(shù)￡滿足等式OP=OA+rG.《

其中向量,叫做直線/的方向向量.「弋、

推論證明如下：\r\\

,/l//a,：.對于1上任意一點P,存在唯一的實數(shù)t,使得\X

AP=ta.(*)

又,:對于空間任意一點0,有AP=OP-0A,

二OP-OA-ra,OP=OA+ta.①

若在/上取48=則有OP=OA+fA3.(**)

XVAB=OB-OA：.OP=OA+t(OB-OA)=(i-t)OA+tOB.②

當f=1時，。/>=,（。4+。8）.③

22

理解：⑴表達式①和②都叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③式是線段的中點公

式.事實上，表達式（*）和（**）既是表達式①和②的基礎，也是直線參數(shù)方程的表達形

式.

⑵表達式①和②三角形法則得出的，可以據(jù)此記憶這兩個公式.

⑶推論一般用于解決空間中的三點共線問題的表示或判定.

空間向量共線（平行）的定義、共線向量定理與平面向量完全相同,

是平面向量相關知識的推廣.

4.出示例1：用向量方法證明順次連接空間四邊形四邊中點的四邊形

是平行四邊形.（分析：如何用向量方法來證明？）

5.出示例2：如圖。是空間任意一點，C、〃是線段4?的三等分點，分別用04、OB表

示0C、0D.

三、鞏固練習：作業(yè)：

3.1.2空間向量的數(shù)乘運算（二）

教學要求：了解向量與平面平行、共面向量的意義，掌握向量與平面平行的表示方法；

理解共面向量定理及其推論；掌握點在已知平面內(nèi)的充要條件；會用上述知識解決立幾

中有關的簡單問題.

教學重點：點在已知平面內(nèi)的充要條件.

教學難點：對點在已知平面內(nèi)的充要條件的理解與運用.

教學過程：

一、復習引入

1.空間向量的有關知識一一共線或平行向量的概念、共線向量定理及其推論以及空間

直線的向量表示式、中點公式.

2.必修④《平面向量》，平面向量的一個重要定理一一平面向量基本定理：如果3、金

是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的任意一個向量a,有且只有一對

實數(shù)小、42,使a=九8+九包.其中不共線向量良、&叫做表示這一平面內(nèi)所有向量

的一組基底.

二、新課講授

1.定義：如果表示空間向量a的有向線段所在直線與已知平面。平行或在平面a內(nèi)，

則稱向量a平行于平面a,記作a//a.

向量與平面平行，向量所在的直線可以在平面內(nèi)，而直線與平面平a

行時兩者是沒有公共點的.

2.定義：平行于同一平面的向量叫做共面向量.共面向量不一定是/\\

在同一平面內(nèi)的，但可以平移到同一平面內(nèi).°二

3.討論：空間中任意三個向量一定是共面向量嗎？請舉例說明.

結(jié)論：空間中的任意三個向量不一定是共面向量.例如：對于空間四邊形/比〃AB、

AC、A。這三個向量就不是共面向量.

4.討論：空間三個向量具備怎樣的條件時才是共面向量呢？//^7，

5.得出共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向/一/

量a、，共面的充要條件是存在實數(shù)對x,y,使得p=xa+yb.l/

證明：必要性：由己知，兩個向量a、6不共線.

:向量p與向量a、b共面

二由平面向量基本定理得：存在一對有序?qū)崝?shù)對x,y,使得尸xa+y力.

充分性：如圖，；xa,分別與a、b共線，xa,都在a、6確定的平面內(nèi).

又???xa+yb是以IxaI、Iyb\為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量,

并且此平行四邊形在a、力確定的平面內(nèi)，

p=xa+yb在a、力確定的平面內(nèi)，即向量p與向量a、b共面.

說明：當p、a、6都是非零向量時，共面向量定理實際上也是p、a、力所在的三條直

線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所

確定的平面內(nèi).

6.共面向量定理的推論是：空間一點2在平面場3內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對必

力使得MP=xMA+yM8，①或?qū)τ诳臻g任意一定點。，有OP=0M+xMA+yMB.②

分析：⑴推論中的X、y是唯一的一對有序?qū)崝?shù)；⑵由OP=OM+xMA+yMB得:

OP=OM+x(OA-OM)+y(OB-OM),OP=(\-x-y)OM+xOA+yOB③

公式①②③都是只以A、6四點共面的充要條件.

7.例題：課本痣例1,解略.

小結(jié)：向量方法證明四點共面

三、鞏固練習

1.練習：課本國練習3題.

2.作業(yè)：課本國練習2題.

向量的數(shù)量積(2)

一、教學目標：①向量的數(shù)量積運算

②利用向量的數(shù)量積運算判定垂直、求模、求角

二、教學重點：①向量的數(shù)量積運算

②利用向量的數(shù)量積運算判定垂直、求模、求角

三、教學方法：練習法，糾錯法，歸納法

四、教學過程：

考點一：向量的數(shù)量積運算

(一)、知識要點：

1)定義：①設<〃*>=氏貝1」。乃=(。的范圍為)

②設a=(X],y),/?=(馬,必)則=。

注：①不能寫成"，或axb②aS的結(jié)果為一個數(shù)值。

2)投影：〃在a方向上的投影為。

3)向量數(shù)量積運算律：

?a>b=b*a(2)(Aa)*b=Z(a.Z?)=?.(AZ?)(3)(a+Z?).c=a*c+b-c

注：①沒有結(jié)合律(aM.c=a.(O.c)

(-)例題講練

1、下列命題：①若。3=0,則a,b中至少一個為0②若a不0且=,則人=c

③(a>b)*c=a.(/?.c)(4)(3a+20)?(3a-2b)=9-4|/?|

中正確有個數(shù)為()

A.0個B.1個C.2個D.3個

2、已知MBC中，A,B,C所對的邊為a,b,c,且a=3,b=l,C=30°,則

BC?CA=o

3、若a,b,c滿足a+h+c=Q,且|a|=3,|/?|=l,|c|=4,則

a>b+b?c+a?c=。

4,已知忖=什=2,且。與人的夾角為則在。上的投影為。

考點二：向量數(shù)量積性質(zhì)應用

(一)、知識要點：

?a±boa.b^0(用于判定垂直問題)

②W=77(用于求模運算問題)

③cos8=*(用于求角運算問題)

HW

（二）例題講練

1、已知忖=2,W=3,且。與〃的夾角為c-3a+2b,d-ma-b,求當m為

何值時

2、已知忖=1,W=1,Ra-20=3,則|3a+q=。

3、已知”和方是非零向量，且,卜卜卜卜-q，求。與a+8的夾角

4、已知忖=4,1|=2,且。和b不共線，求使a+4b與a-4b的夾角是銳角時4的

取值范圍

鞏固練習

1、已知G和是兩個單位向量，夾角為（，則（,一色）?（-3q+2e2）等于（）

A.-8B.-C.--D.8

22

2、已知e；和e；是兩個單位向量，夾角為（，則下面向量中與2e2-e；垂直的是（）

A.q+GB.ei-e2C.elD.e2

3、在A48C中，設詬=a,~BC=b

9CA=cf若a(a+b)vO,則AA3C()

（A）直角三角形（8）銳角三角形（C）鈍角三角形（。）無法判定

4、已知。和6是非零向量，且4+36與7a-5。垂直，。-4沙與7a-2Z?垂直，求。與b的

夾角。

5、已知。4、0B、。。是非零的單位向量，且。4+。8+。。=0,求證：

MBC為正三角形。

3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示

教學要求：掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標表示；掌握空間向量的

坐標運算的規(guī)律；會根據(jù)向量的坐標，判斷兩個向量共線或垂直.

教學重點：空間向量基本定理、向量的坐標運算.

教學難點：理解空間向量基本定理.

教學過程：

一、新課引入

1.回顧：平面向量的加減與數(shù)乘運算以及平面向量的坐標運算，

2.復習：平面向量基本定理.

二、講授新課

1.類比：由平面向量的基本定理，對平面內(nèi)的任意向量a,均可分解為不共線的兩個

向量4%和A2a2，使a=44+/12a2?如果《,出時，這種分解就是平面向量的正交分解.

如果取4,生為平面直角坐標系的坐標軸方向的兩個單位向量H，則存在一對實數(shù)X、必

使得a=+,即得到平面向量的坐標表示a=(x,y).

推廣到空間向量，結(jié)論會如何呢？

⑴空間向量的正交分解：對空間的任意向量a,均可分解為不共面的三個向量44、

4%、4%，使+44+4%.如果4M2,七兩兩垂直，這種分解就是空間向量的

正交分解.

⑵空間向量基本定理：如果三個向量a,6,C不共面，那么對空間任一z

向量P，存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝,使得p=xa+yA+zc.把｛“,/??叫k

做空間的一個基底(base),“也c都叫做基向量.-----才*

2.單位正交基底：如果空間一個基底的三個基向量互相垂直，且長/：

度都為1,則這個基底叫做單位正交基底，通常用｛?,，〃｝表示.：

單位---三個基向量的長度都為1;正交----三個基向量互相垂直.?

選取空間一點。和一個單位正交基底｛了,工公，以點。為原點，，

分別以￡j；4的方向為正方向建立三條坐標軸：x軸、y軸、z軸，.

得到空間直角坐標系O-xyz,

3.空間向量的坐標表示：給定一個空間直角坐標系和向量a,且設

i、j、A為坐標向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(%外,%)，使@=6了+電/+%女.

空間中相等的向量其坐標是相同的.一討論：向量坐標與點的坐

標的關系？

向量在空間直角坐標系中的坐標的求法:設,B(x2,y2,z2),

則AB=OB—OA=(x,,y2,z2)—(%,凹,馬)=(再-xx,y2-yx,z2-zx).

4.向量的直角坐標運算：設a=(4嗎,。3)，6=(偽也也)，則

(Da+D=(4+i>|,a2+b2,a3+b3);(2)a-b=(q-bt,a2-b2,Oy-b3)；

(3):a=(Vq,/4,1%)(&wR)；(4)a?b=afy+ciib-,+

證明方法：與平面向量一樣，將&=4升生尸。*和8=。>+8工/女代入即可?

5.兩個向量共線或垂直的判定：設a=(qg,a3)，6=(4也也)，則

a}_a2_ay

(l)a//b=a=4b=at=Aht,a2=Ab2,a3-Aby,(2eR)o

“b24

(2)a_L6=a?ZFO<=>atbt+a2b2+a3b3=0.

6.練習:已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+8,a-b,8a,a,b.解：略.

7.出示例：課本外例4.(解略)

三、鞏固練習作業(yè)：課本為練習2、3題.

3.L5空間向量運算的坐標表示(夾角和距離公式)

教學要求：掌握空間向量的長度公式、夾角公式、兩點間距離公式、中點坐標公式，并

會用這些公式解決有關問題.

教學重點：夾角公式、距離公式.

教學難點：夾角公式、距離公式的應用.

教學過程：

一、復習引入

1.向量的直角坐標運算法則:設a=(4|M2，a3)，6=(4也也),則

(l)a+Z>=(4+bt,a2+b2,a^+h3);(2)a-b=(a,-bt,a2-b2,Oy-b3);

(3)Aa=(Ae/?);(4)a,b=afy+a2b2+

上述運算法則怎樣證明呢？(將a=41+%J+%k和b=々1+b2j+b.k代入即可)

2.怎樣求一個空間向量的坐標呢？(表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點

的坐標.)

二、新課講授

L向量的模：設a=(6,4,生)，力=(偽也也)，求這兩個向量的模.

IaI=荷+W+d,|^|=樞+&+&.這兩個式子我們稱為向量的長度公式.

這個公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度.

2.夾角公式推導：a?2>=|a\b\cos<a,b>

6,+電a+生也=J4；+W+d.Jb；+b；+b；*cos<a,b>

由此可以得出：cos<a,b>=/岫+a力2r3b3

擊;+—+-西+?+■

這個公式成為兩個向量的夾角公式.利用這個共識，我們可以求出兩個向量的夾角，

并可以進一步得出兩個向量的某些特殊位置關系：

當cosVa、b>=l時，a與，同向；當cosVa、b>=—1時，a與b反向；

當cosVa、b>=0時，a±b.

3.兩點間距離共識：利用向量的長度公式，我們還可以得出空間兩點間的距離公式：

在空間直角坐標系中，已知點A(X[,y，4),B(x2,y2,z2),貝lj

222

R=7(x2-^)+(yi-y2)+(z,-z2),其中〃3表示4與6兩點間的距離.

3.練習：已知力(3,3,1)、6(1,0,5),求：⑴線段"的中點坐標和長度；⑵到4B

兩點距離相等的點P(x,y,z)的坐標x、八z滿足的條件.

（答案：（2,1,3）；V29；4x+6y—8z+7=0）

說明：⑴中點坐標公式：。加4。4+西=（詈，號,坐）;

⑵中點0的軌跡是線段力8的垂直平分平面.在空間中，關于X、八z的三元一

次方程的圖形是平面.

4.出示例5：如圖，在正方體ABC。-A4GA中，BE1=DE=等，

求BE,與。片所成的角的余弦值.

分析：如何建系？-*點的坐標？-*如何用向量運算求夾

角？~變式：課本“例6

5.用向量方法證明：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行.

三.鞏固練習

作業(yè)：課本品練習3題.

3.2立體幾何中的向量方法(一)

教學要求：向量運算在幾何證明與計算中的應用.掌握利用向量運算解幾何題的方法，

并能解簡單的立體幾何問題.

教學重點：向量運算在幾何證明與計算中的應用.

教學難點：向量運算在幾何證明與計算中的應用.

教學過程：

一、復習引入

1.用向量解決立體幾何中的一些典型問題的基本思考方法是：⑴如何把已知的幾何條

件(如線段、角度等)轉(zhuǎn)化為向量表示；⑵考慮一些未知的向量能否用基向量或其他

已知向量表式；⑶如何對已經(jīng)表示出來的向量進行運算，才能獲得需要的結(jié)論？

2.通法分析：利用兩個向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)可以解決哪些問題呢？

⑴利用定義a?6=|bcosVa,或cos<a,b>=,可求兩個向量的數(shù)量積

\a\'\b\

或夾角問題；

⑵利用性質(zhì)b=0可以解決線段或直線的垂直問題；

⑶利用性質(zhì)a=lai2,可以解決線段的長或兩點間的距離問題.

二、例題講解

1.出示例1：已知空間四邊形如/中，OAYBC,OBVAC.求證：OCJ-AB.

證明：OCAB=OC(O8-OA)=OCOB-OCOA.八。

VOA±BC,OB1AC,：.OABC-0,OBAC=0,/\

OA\OC-OB)=0,OB(OC-OA)=0.A4/\c

：.OAOC=OAOB,OBOC=OBOA.

B

：.OCOB=OCOA,OCAB=0./.OCVAB

練習：教材P105例1及P106思考題C\o

分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進行怎樣的向量運算？yJ0

2.出示例2：如圖，已知線段在平面a內(nèi)，線段ACLa,4

線段SAL48,線段￡>Z7_La,NDBD，=3G,如果AC=BD=b,求。、〃間的距離.

解：由AC_La,可知AC_LAfi.

由可知，<C4,BO>=120,

/.|CD|2=(CA+AB+BD)2=\CA^+\AB|2+|BD|2+2{CAAB+CABD+ABBD)

=b2+a2+b2+2b2cosi20=a2+b2.

/.CD=y/a2+b2.

練習：教材P106例2及其107思考題

分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進行怎樣的向量運算？

說明:此方法也是用向量法求二面角的一種有效方法，應引起注意。

3.出示例3：如圖，K川分別是棱長為1的正方體43co的棱88,、夕。的

中點.求異面直線助V與C。所成的角.

解：*/MN=1(CC+BC),CD'=CC+CD,

MNCD'=-(CC+BC)?(CC'+CD)=-(|CC|2+CC'.CD+BCCC'+BCCD).

22

VCC'ICD,CC'A.BC,BCLCD,：.CC'.CD=0,8c.ec'=0,BCCD-0,

MN-CD'=-|CC|2=-.…求得cosVMN,C￡>'>=』，：.<MN,CD'>=60.

222

4.小結(jié)：.

(1)向量法解題“三步曲”：①化為向量問題一②進行向量運算一③回到圖形問題.

(2)利用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示式，并用已知向量

表示未知向量，然后通過向量的運算去計算或證明

三、鞏固練習作業(yè)：課本凡17練習1、2題.

3.2立體幾何中的向量方法(二)

教學要求：向量運算在幾何證明與計算中的應用.掌握利用向量運算解幾何題的方法，

并能解簡單的立體幾何問題.

教學重點：向量運算在幾何證明與計算中的應用.

教學難點：向量運算在幾何證明與計算中的應用.

教學過程：

一、復習引入

討論：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的途徑？

(1)通過一組基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其運算解決問題；

(2)通過空間直角坐標系研究的坐標法，它通過坐標把向量轉(zhuǎn)化為數(shù)及其運算來解

決問題.

二、例題講解1

1.出示例1:如圖，在正方體ABCD-AgCQ中，E、尸分別是3與、

CD的中點，求證：0尸_L平面ADE.。［七_

證明：不妨設已知正方體的棱長為1個單位長度，且設ZM=i,DC------%

=j,DDy=k.以？、j、4為坐標向量建立空間直角坐標系〃一xyz,則

VAD=(-1,0,0),D,F=(0,-1),/.AD?D,F=(-1,0,0)?(0,-,-1)=0,

22

DXFLAD.

又AE=(0,1,-),AE?DF=(0,1,-)?(0,-,-1)=0,/.D,F1.AE.

2{22

又ADAE=A,￡)尸，平面/龐.

說明：⑴“不妨設”是我們在解題中常用的小技巧，通?？捎糜谠O定某些與題目要求

無關的一些數(shù)據(jù)，以使問題的解決簡單化.如在立體幾何中求角的大小、判定直線與直

線或直線與平面的位置關系時，可以約定一些基本的長度.⑵空間直角坐標些建立，可

以選取任意一點和一個單位正交基底，但具體設置時仍應注意幾何體中的點、線、面的

特征，把它們放在恰當?shù)奈恢?，才能方便計算和證明.

2.出示例2：課本47例3

分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進行怎樣的向量運算？

3.出示例3：課本49例4

分析：如何轉(zhuǎn)化為向量問題？進行怎樣的向量運算？

4.出示例4：證：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行.

改寫為：己知：直線力，平面a,直線被，平面a,0、6為垂足.求證：OA//BD.

證明：以點。為原點，以射線以為非負

角坐標系O-xyz,i,j,k為沿x軸，y軸，

且設3D=(x,y,z).

,：BDLa,：.BD±i,BDIj,

BD?i=(x,y,z),(1,0,0)=x=Q,BD

：.BD=(0,0,z).BD=zk.即BD//k.由已知0、8為兩個不同的點，，OA//BD.

5.法向量定義：如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面。，則稱這個向量垂

直于平面明記作如果a,a,那么向量a叫做平面a的法向量.

6.小結(jié)：

向量法解題“三步曲”：(1)化為向量問題~(2)進行向量運算一(3)回到圖形問

題.

三、鞏固練習作業(yè)：課本凡h習題A組1、2題.

3.2立體幾何中的向量方法(三)

教學要求：向量運算在幾何證明與計算中的應用.掌握利用向量運算解幾何題的方法,

并能解簡單的立體幾何問題.

教學重點：向量運算在幾何證明與計算中的應用.

教學難點：向量運算在幾何證明與計算中的應用.

教學過程：

一、復習引入

1.法向量定義：如果直線/_L平面取直線/的方向向量為“，則向量。叫作平面a的

法向量(normalvectors).利用法向量，可以巧妙的解決空間角度和距離.

2.討論：如何利用法向量求線面角？一面面角？

直線與平面a所成的角可看成是向量AS所在直線與平面a的法向量；;所在

直線夾角的余角，從而求線面角轉(zhuǎn)化為求直線所在的向量與平面的法向量的所成的線線

角，根據(jù)兩個向量所成角的余弦公式cos(a,3=骼，我們可以得到如下向量法的公式:

I/\(lAB.nl

sin^=?cos\(AB,/?7)1=7\A——B\.j\-nj-\r-

3.討論：如何利用向量求空間距離？

兩異面直線的距離，轉(zhuǎn)化為與兩異面直線都相交的線段在公垂向量上的投影長.

點到平面的距離，轉(zhuǎn)化為過這點的平面的斜線在平面的法向量上的投影長.

二、例題講解：

1.出示例1：長方體ABCO-A4G。中，A/)=AA]=2,AB=4,

E、廠分別是A。、48的中點，。是3G與耳C的交點.求直

線⑺與平面頗所成角的正弦.

解：以點〃為空間直角坐標系的原點，物、DC、OR為坐

標軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則

。(2,2,0),￡(1,0,2),尸(2,2,0),0(1,4,1),C(0,4,0).

設平面頌的法向量為n=(x,y,z),

nilf72±DE--.

則，[TnDE=(1,0,2),=(2,2,0).

n±DF

.n?DE=0[x+2z=0〃刀/日.

??，即nn《,解得x:y:z=-2:2:l,??n=(-2,2,1).

n.DF=O[2x+2y=0

*/n?OF=|n||OF\costz,而O/7=(1,—2,—1).

?ifOF—2x1+2x(-2)+1x(-1)7A/6

\n\^\OF\^/(-2)2+22+l.7l2+(-2)2+(-1)218

所以，直線如與平面頗所成角的正弦為捶.

18

2.變式：用向量法求：二面角A-OE-O余弦；如與龐的距離；。點到平面頌的距

離.

三、鞏固練習

作業(yè)：課本凡八習題A組5、6題.

法向量在立體幾何中的應用

向量在數(shù)學和物理學中的應用很廣泛，在解析幾何與立體幾何里的應用更為直接，用向

量的方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題。將向量引入中學數(shù)學后，既

豐富了中學數(shù)學內(nèi)容，拓寬了中學生的視野；也為我們解決數(shù)學問題帶來了一套全新的

思想方法一一向量法。下面就向量中的一種特殊向量一一法向量，結(jié)合近幾年的高考題,

談談其在立體幾何有關問題中的應用。

一、平面的法向量的定義

如果表示向量2的有向線段所在直線垂直于平面a,則稱這個向量"垂直于平面a,

記作a_La,如果aj_a,那么向量a叫做平面a的法向量

二、平面的法向量的求法

1、在幾何體中找平面的垂線對應的有向線段作為平面的法向量;

2、在空間直角坐標系中利用向量的坐標運算來求法向量。

問題：已知不共線的三點坐標,如何求經(jīng)過這三點的

平面的一個法向量？_

在空間直角坐標系中，已知A(3,0,0),5(0,4,0),

C(0,0,2),試求平面ABC的一個法向量.

解:設平面ABC的一個法向=為〃=(x,y,z)

貝A5,〃_LAC.丁=(-3,4,0),AC=(-3,0,2)

.f(x,j,z)-(-3,4,0)=0f-3x+4j=0

??5即<

(x,y,z)?(—3,0,2)=0[—3x+2z=0

取x=4,則“=(4,3,6)

An=(4,3,6)是平面ABC的一個法向量.

問題:如何求平面的法向量？

(1股平面的法向量為n=(x,j,z)

⑵找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的

坐標。=3"”4)/=32也,。2)

⑶根據(jù)法向量的定義建立關于x,y,z的方程

，一/I-a=0

組《

n-b=0

(4廨方程組,取其中的f解,即得法向

練習：在三棱錐P-ABC中，PA_L平面ABC,

ZBAC=90°,AB=2,AC=PA=1,

求平面PBC的一個法向量。

寫出平面ABC的一個法向量

三、利用平面的法向量求空間角

1、求直線和平面所成的角。

如圖（圖2）所示，設PA與平面a的

法向量〃所在直線所成的角為。，則PA與a所成的角丐一夕,

（其中cos。=|cos<PA,〃>|）

所以：設直線/,，〃的方向向量分別為平面a,小的法向量分別為

u,v,則..

直線/與平面a所成的角為。（owew［）,sine=fj；

2a\\u

例2.如圖（圖3）所示，在四棱錐P-ABCD