寧夏銀川一中2021-2022學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題

銀川一中2021/2022學(xué)年度（上）高一期末考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一

個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.把正確答案的代號(hào)填在答題卷上.）

1.直線x+6y+l=0的傾斜角是

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】

由方程得到斜率，然后可得其傾斜角

【詳解】因?yàn)橹本€x+Gy+l=0斜率為—且

所以其傾斜角為15（）°

故選：D

2.在空間給出下面四個(gè)命題（其中〃？、〃為不同的兩條直線），a、月為不同的兩個(gè)平面）

①〃a=>mLn

②m//n、nl/anm/la

③mll〃、nL0,m//a=aip

④mcn=A,tn/la,m//B，nJ1a,nJ/B=ai10

其中正確的命題個(gè)數(shù)有

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】

【詳解工①若則加_L〃，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知正確；

②若相則加||a；不正確，也可能是m在a內(nèi)；錯(cuò)誤；

③若加||〃,〃_L/?,相||a,則e_L4；據(jù)線面垂直的判定定理可知正確;

④若機(jī)c〃=Am||a,m||/7,〃||a,"||用二＞a||/7,根據(jù)線面平行判定的定理可知正確

得到①③④正確，故選C

3.圓（x—2）2+丁=4過點(diǎn)P（l,由）的切線方程是（）

A.x+y/3y-2=0B.x+6），-4=0

C.x-\/3y+4=0D.x-6y+2=0

【答案】D

【解析】

【分析】先求圓心與切點(diǎn)連線的斜率，再利用切線與連線垂直求得切線的斜率結(jié)合點(diǎn)斜式即可求方程.

【詳解】由題意知，圓C：（x—2p+y2=4,圓心C（2,o）,P（l,6）在圓上，

所以切線的斜率為@,

3

所以在點(diǎn)P0,6）處的切線方程為y-6=x-1），

即x-島+2=0.

故選：D.

4.如圖所示，在正方體A8CD—中，M、N分別是85、BC的中點(diǎn).則圖中陰影部分在平面

DiA|

C.

DA

【答案】A

【解析】

【分析】確定三角形Q,V,N三點(diǎn)在平面AOD4上的正投影，從而連接起來就是答案.

【詳解】點(diǎn)M在平面AOA4上的正投影是AA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在平面AOOIAI上的正投影是的中點(diǎn),

點(diǎn)Q在平面AOAAi上的正投影仍然是￡>,從而連接其三點(diǎn)，A選項(xiàng)為答案，

故選：A

5.圓。一1)2+。-1)2=1上的點(diǎn)到直線x-y=2的距離的最大值是()

A.2B.1+72C.2+乎D.1+272

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)圓心到直線的距離加上圓的半徑即為圓上點(diǎn)到直線距離的最大值求解出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閳A心為(1,1),半徑r=1,直線的一般式方程為x-y-2=(),

卜

所以圓上點(diǎn)到直線的最大距離為:1-2|+1=72+1,

VT+T

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查圓上點(diǎn)到直線的距離的最大值，難度一般.圓上點(diǎn)到直線的最大距離等于圓心到直線的距

離加上圓的半徑，最小距離等于圓心到直線的距離減去半徑.

6.如圖所示，正方體ABCO—A4GA中，分別為棱AB,CG的中點(diǎn)，則在平面內(nèi)與平面

2EF平行的直線

A.不存在B.有1條C.有2條D.有無數(shù)條

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)已知可得平面AOAA與平面。也尸相交，兩平面必有唯一的交線/，則在平面A。2A內(nèi)與交線/平行

的直線都與平面2"平行，即可得出結(jié)論.

【詳解】平面AOR4與平面尸有公共點(diǎn)2，

由公理3知平面ADD^與平面D.EF必有過R的交線/,

在平面40。A內(nèi)與/平行的直線有無數(shù)條，

且它們都不在平面。田產(chǎn)內(nèi)，

由線面平行的判定定理可知它們都與平面D、EF平行.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平面的基本性質(zhì)、線面平行的判定，熟練掌握公理、定理是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

7.點(diǎn)尸(2,1)直線中，被圓C:Y+y2—2x+4y=0截得的最長弦所在的直線方程為()

A.3x-y-5=OB.3x+y-7=0

C,x+3y-5=0D,x-3y+l=0

【答案】A

【解析】

【分析】要使得直線被圓。截得的弦長最長，則直線必過圓心，利用斜率公式求得斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方

程，即可求解.

【詳解】由題意，圓￡+/-2光+4y=0,可得圓心坐標(biāo)為C(l,-2),

要使得直線被圓C截得的弦長最長，則直線必過圓心，

-2-1

可得直線的斜率為k=六=3,所以直線的方程為y-l=3(x-2),

即所求直線的方程為3x-y-5=0.

故選：A.

8.半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為()

A.BJTNB.是兀N

248

C.5兀KD.旦TTK

248

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得圓錐母線長為R，底面圓的半徑為四，求出圓錐高即可求出體積.

2

【詳解】半徑為A的半圓卷成一個(gè)圓錐，可得圓錐母線長為/?,底面圓周長為不R，

所以底面圓的半徑為與，圓錐的高為JR2_（gj=半，

所以圓錐的體積為Jx萬xfB]xY史=@7內(nèi)

3（2J224

故選：A.

9.點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PDL平面ABCD,PD=AD,則PA與BD所成角的度數(shù)為（）

A.30°B.450C.60°D.90°

【答案】C

【解析】

【詳解】

分別取AC.PC中點(diǎn)O.E.連OE,DE;則OE//PA,

所以NOQE（或其補(bǔ)角）就是PA與BD所成的角;

因PDJL平面ABCD,所以PD_LDC,PDJ_AD.

設(shè)正方形ABCD邊長為2,則PA=PC=BD=2&

所以O(shè)D=OE=DE=y/2,ADOE是正三角形,

/DOE=60°，

故選C

10.已知三棱錐s-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上，SA_L平面ABC,AB_LBC且AB=BC=1,SA=啦,則球

。的表面積是（）

A.4zrB.—nC.3萬D.—n

43

【答案】A

【解析】

【詳解】如圖，三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上，

：SA_L平面ABC,SA=72>AB_LBC且AB=BC=1,

???AC=&TT=a.-.SA±AC,SB1BC,

SC=12+2=2二球。的半徑R=；SC=1...球O的表面積S=4兀R2=4m

故選A

點(diǎn)睛：本題考查球的表面積的求法，合理地作出圖形，確定球心，求出球半徑是解題的關(guān)鍵.

11.如圖,邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點(diǎn)G,已知△A'DE是仆ADE繞DE旋轉(zhuǎn)

過程中的一個(gè)圖形（A不與A,F重合），則下列命題中正確的是（）

①動(dòng)點(diǎn)A，在平面ABC上的射影在線段AF上；

②BC〃平面ADE;③三棱錐A'-FED的體積有最大值.

A.①B.①②C.①②③D.②③

【答案】C

【解析】

【詳解】【思路點(diǎn)撥】注意折疊前DELAF,折疊后其位置關(guān)系沒有改變.

解:①中由已知可得平面A'FG_L平面ABC

.?.點(diǎn)A'在平面ABC上的射影在線段AF上.

②BC〃DE,BC<t平面ADE,DEu平面A'DE,；.BC〃平面A'DE.③當(dāng)平面A'DE_L平面ABC時(shí),三棱錐A'-FED

的體積達(dá)到最大.

12.如果直線2ax-by+\A=0（。>>0）和函數(shù)f（x）=mx+l+l（〃z>0,根r1）的圖象恒過同一個(gè)定

點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓（x—a+l）2+（y+b—2>=25的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是（）

a

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得。+8=7,（。>0,人>0）.再由由點(diǎn)（一1,2）在圓。一。+1）2+（卜+人一2）2=25內(nèi)部或

圓上可得4+h2<25（a>0,^>0）.由此可解得點(diǎn)（。1）在以A（3,4）和3（4,3）為端點(diǎn)的線段上運(yùn)

b

動(dòng).由亍表示以A（3,4）和3（4,3）為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率可得選項(xiàng).

【詳解】函數(shù)"X）=+1恒過定點(diǎn)（-1,2）.將點(diǎn)（-1,2）代入直線2以一勿+14=0可得

一2a—2/7+14=（）,即a+/?=7,（a>0,8>0）.

由點(diǎn)（一1,2）在圓（x—a+l）~+（y+Z?—2）~=25內(nèi)部或圓上可得（―1—a+1）+（2+?！?）一〈25,

/、fa+b=7[a=3fa=4/、,、

即/+/<25（”>0力>0）.,,2?=</或，..所以點(diǎn)（a⑼在以A（3,4）和8（z4,3）x

a~+b--25[b-4[b-3

為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動(dòng).

b3-03

—表示以A（3,4）和B（4,3）為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率.所以

4^04

⑶=4-0-43/74

所以一W—<一.

ULx3-03■4。3

故選：C.

b

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題類型的問題，關(guān)鍵在于由已知條件得出。功所滿足的可行域，以及明確一

a

所表示的幾何意義.

二、填空題（每小題5分，共計(jì)20分）

13.點(diǎn)P（2,7）關(guān)于直線x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】（-8,-3）

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)P（2,7）關(guān)于直線x+y+l=0的對(duì)稱點(diǎn)為A（a,。），由垂直的斜率關(guān)系，

和線段Z4的中點(diǎn)（一，—）在直線x+y+i=o上列出方程組即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)p（2,7）關(guān)于直線x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)為A（a,b）,

由對(duì)稱性知，直線x+y+l=0與線段而垂直，所以&A=N=1，

所以。一匕=-5,又線段Q4的中點(diǎn)（言二早）在直線x+y+l=O上，

即2±q+工±2+1=0,所以。+匕=-11,

22

\a-b=-5Ia=-8

由〈二＞〈，

\a+b^-\\[Z?=-3

所以點(diǎn)P（2,7）關(guān)于直線x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（一8,-3）.

故答案為：（-8,-3）.

14.設(shè)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為.

主視圖左視圖

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖確定該幾何體為三棱錐，由題中數(shù)據(jù)，以及棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】由三視圖可得：該幾何體為三棱錐，

由題中數(shù)據(jù)可得：該三棱錐的底面是以4為底邊長，以3為高的三角形，三棱錐的高為2，

因此該三棱錐的體積為：V=-xix4x3x2=4.

32

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查由幾何體的三視圖求體積的問題，熟記棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及棱錐的體積公式即

可，屬于基礎(chǔ)題型.

15.已知直線/過點(diǎn)A(-2,1).若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線/的方程.

【答案】x+2y=0或x+y+l=O

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，分直線/過原點(diǎn)，直線/不過原點(diǎn)兩種情況討論，即可求解.

【詳解】解：當(dāng)直線/過原點(diǎn)時(shí)，斜率為-；，由點(diǎn)斜式求得直線/的方程是y=即x+2y=0,

當(dāng)直線/不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線/的方程為x+y=a,把點(diǎn)A(—2,l)代入方程可得。=一1,

故直線/的方程是x+y+l=0,

綜上所述，所求直線/的方程為x+2y=0或x+y+l=0.

故答案為：x+2y=0或x+y+l=0.

16.當(dāng)曲線y=i+-4-f與直線y=&(x-2)+4有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)%的取值范圍是.

幺53

【答案】受不

【解析】

【分析】由解析式可知曲線為半圓，直線恒過（2,4）；畫出半圓的圖象，找到直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界

狀態(tài)，利用圓的切線的求解方法和兩點(diǎn)連線斜率公式求得斜率的取值范圍.

【詳解】y=l+yj4-x2^x2+（y-l）2=4（y>l）

y=Z（x—2）+4為恒過（2,4）的直線

則曲線圖象如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)直線斜率攵€（匕,七］時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)相異交點(diǎn)

|——1+4|

y=K(x—2)+4與半圓/+(y_i)2=4(,21)相切，可得:=2

J1+好

解得：k、=—

112

,4-1353

又鼠=7一/Kke

-2-(-2)412,4

%53

本題正確結(jié)果：

【點(diǎn)睛】本題考查利用曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠通過數(shù)形結(jié)合的方式找到

臨界狀態(tài)，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略曲線y的范圍，誤認(rèn)為曲線為圓.

三、解答題（本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.）

17.已知直線4：kx-2y-2k+4=O,直線4：k2x+4y-4k2-8-0.

（1）若〃上，求4與4的距離"；

（2）若/1_L，2，求4與4的交點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（DJ=V2.

⑵尸（3,3）.

【解析】

【詳解】分析：（1）先根據(jù)4/〃2求出k的值，再利用平行線間的距離公式求4與，2的距離（2）先根據(jù)

4，4求出k的值，再解方程組得4與4的交點(diǎn)P的坐標(biāo).

詳解：（1）若/1/〃2,則由h4=—2?爐，即2^+4左=0,解得&=0或4=—2.

當(dāng)人=0時(shí)，直線4：-2丁+4=0,直線4：4y—8=0,兩直線重合，不符合乙/%，故舍去;

當(dāng)％=—2時(shí)，直線(：x+y-4=0,直線4：x+y—6=0,所以=友.

V1+1

(2)若4_L4，則由％?K+(—2)-4=Z3—8=0,得上=2.

所以兩直線方程為八

x-y=0,l2：x+y-6=0,

x-y=0fx=3/、

聯(lián)立方程組_6_0,解得J「3,所以4與4的交點(diǎn)p的坐標(biāo)為尸（3,3）.

點(diǎn)睛：（1）本題主要考查直線的位置關(guān)系和距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算能

力.（2）直線以+by+c=0與直線，Zr+ey+/=0平行，則ae-bd=0且兩直線不重合.直線

ac+by+c=0與直線dr+ey+/=0垂直，則ad+Z?e=0.

18.如圖：PAL平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=陋，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移

（I）求三棱錐E-PAD的體積；

（II）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由;

（Ill）證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，者I，有PELAF

【答案】（I）立，（］［）平行，（HI）詳見解析

6

【解析】

【詳解】試題分析:

(1)三棱錐E—aw的體積PA.QADAB)=@

3326

（2）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，跖與平面PAC平行.

?.?在AP3C中，￡,尸分別為8C、P3的中點(diǎn)，

AEFUPC,又￡產(chǎn)仁平面24。，PCu平面P4C,

，所//平面P4C

（3）證明ABCD：???%，平面ABC。，BEU平面ABC。，

ABE±PA，又3ELAB，ABoPA^A，48,%（=平面^45，

??BE1平面P43又AFu平面RIB，；?AFLBE.

又Q4=A6=1,點(diǎn)尸是尸3的中點(diǎn)，APBLAF,

又PBcBE=B，PB,BEU平面PBE,

...AFJ■平面P3E.

PEu平面PBE,；?AF上PE.

考點(diǎn)：本小題主要考查三棱錐體積的計(jì)算、線面平行、線面垂直等的證明，考查學(xué)生的空間想象能力和邏

輯推理能力.

點(diǎn)評(píng)：計(jì)算三棱錐體積時(shí)，注意可以根據(jù)需要讓任何一個(gè)面作底面，還經(jīng)常利用等體積法求三棱錐

19.已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過點(diǎn)A（2,—3）和8（-2,-5）

（1）當(dāng)圓C面積最小時(shí)，求圓C的方程；

（2）若圓C的圓心在直線3x+y+5=0上，求圓。的方程.

【答案】(1)x2+(y+4)2=5

(2)(x+l『+(y+2『=10

【解析】

【分析】(1)以A6為直徑的圓即為面積最小的圓，由此可以算出A8中點(diǎn)坐標(biāo)和長度，

即可求出圓的方程；

(2)設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意代入數(shù)值解方程組即可.

【小問1詳解】

要使圓C的面積最小，則AB為圓。的直徑，

圓心C(0,-4),半徑r==

所以所求圓C的方程為：x2+(y+4)2=5.

【小問2詳解】

設(shè)所求圓C的方程為(x—a)?+(y—bp=產(chǎn),

(2-a)-+(-3-/?)2=r2。=一1

根據(jù)已知條件得\(-2-a)2+(―5-｛匕=-2,

3a+/?+5=0r=

所以所求圓C的方程為(x+iy+(y+2)2=10.

20.如圖，三棱柱A8C—4月￡中，ACYBC,AB±BBt,AC^BC=BBX,。為AB的中點(diǎn)，且

CDIDA,.

(1)求證：8cl〃平面0c4；

(2)求BG與平面所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析

（2）30°

【解析】

【分析】（1）連結(jié)AG與AC交于點(diǎn)K，連結(jié)QK，由中位線定理可得OK〃BG，再根據(jù)線面平行的

判定定理即可證明結(jié)果；

（2）方法一：根據(jù)線面垂直的判定定理，可證明CO_L平面取A4的中點(diǎn)E，易證。也上平

面所以NEBG即所求角，再根據(jù)直棱柱的有關(guān)性質(zhì)求即可得到結(jié)果；

方法二：根據(jù)線面垂直的判定定理，可證明CO_L平面ABGA；取的中點(diǎn)尸，易證我尸，平面

ABBtAt；所以NKDF即BC{與平面ABB^所成的角，再根據(jù)直棱柱的有關(guān)性質(zhì)求即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

證明：如圖一，連結(jié)AG與AC交于點(diǎn)K,連結(jié)QK.

在AABG中，D、K為中點(diǎn)，.?.OK〃8C-

又DKu平面DCA,,BQ（Z平面DCA},：.BC,//平面0cA.

圖一

【小問2詳解】

證明：（方法一）如圖二,

圖二

VAC=BC,。為A3的中點(diǎn)，，

又CCDA，A8c￡>A=。，；?c。，平面A8B|A1.

取4g的中點(diǎn)E，又。為AB的中點(diǎn)，.??/）￡、BBI、CC1平行且相等，

四邊形。CCE是平行四邊形，???C￡與C。平行且相等.

又C。，平面A網(wǎng)4,C,￡!平面A叫4,NEBCi即所求角.

由前面證明知CD_L平面ABB[4,CD±BB、,

又A6_L6g,ABflC。=D，，臺(tái)4，平面ABC,.?.此三棱柱為直棱柱.

設(shè)AC==明=2

:.BC、=2叵,EC1=血，sinNEBCI=M=g,:.,ZEBC,=30°.

oCjZ

（方法二）如圖三，

圖三

VAC=BC,。為AB的中點(diǎn)，COLAB.

又ABcZM,=。，平面A

取的中點(diǎn)F,則K/〃C。，KF_L平面

即與平面所成的角.

AZKDFBCtABB.\

由前面證明知CD_L平面ABB[4,CD±BB、,

又AB上SB1,ABn8=D，二臺(tái)與，平面ABC,.?.此三棱柱為直棱柱.

設(shè)AC=BC=BB[=2,：.KF=^，DK=O,sin/KD/=絲=，

2DK2

/KDF=30。.

21.如圖，在三棱錐S—ABC中，SC,平面A8C,點(diǎn)尸、M分別是SC和S3的中點(diǎn)，設(shè)PM=AC=1,

ZACB=90°,直線AM與直線SC所成的角為60。.

（1）求證：平面AMPJ_平面SAC.

（2）求二面角M—AC—B的平面角的正切值；

【答案】（1）證明見解析

⑵逅

3

【解析】

【分析】（1）由已知可證8C_L平面SAC,又PMHBC,則p〃_1_面SAC,從而可證平面M4P_L平面

SAC；

（2）由AC,平面SBC,可得NMCB為二面角M—4C-B的平面角，過點(diǎn)M作MNLCB于N點(diǎn)，連接

AN,則NAMN=60°,由勾股定理可得4V=&，在中，可得MN=旦,從而在RtaOVM

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中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.

【小問1詳解】

證明：；SC，平面ABC,：.SCA.BC,

又?.?/ACB=90°,：.ACLBC,又ACp|SC=C,

平面SAC,

又YP,M是SC、S3的中點(diǎn)，

/.PM//BC,面SAC,又PMu平面MAP,

平面MAP_L平面SAC；

【小問2詳解】

解：VSCl^ffiABC,；.SC_LAC,又ACJ_8C,BCp|SC=C,

；.AC_L平面SBC,

：.AC1CM,ACLCB,從而NMCB為二面角M—AC—B的平面角,

直線4M與直線PC所成的角為60°,

過點(diǎn)M作于N點(diǎn)，連接AN,

在Rf中'==當(dāng)'

逅

在RtaCNM中,tan/MCN=-四

CN13

22.已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,

(1)若過定點(diǎn)(-2,0)的直線/與圓C相切，求直線/的方程;

（2）若過