寧夏銀川一中2021-2022學年高一年級上冊期末考試數(shù)學試題

銀川一中2021/2022學年度（上）高一期末考試

數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中只有一

個選項是符合題目要求的.把正確答案的代號填在答題卷上.）

1.直線x+6y+l=0的傾斜角是

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】

由方程得到斜率，然后可得其傾斜角

【詳解】因為直線x+Gy+l=0斜率為—且

所以其傾斜角為15（）°

故選：D

2.在空間給出下面四個命題（其中〃？、〃為不同的兩條直線），a、月為不同的兩個平面）

①〃a=>mLn

②m//n、nl/anm/la

③mll〃、nL0,m//a=aip

④mcn=A,tn/la,m//B，nJ1a,nJ/B=ai10

其中正確的命題個數(shù)有

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【詳解工①若則加_L〃，根據(jù)線面垂直的性質可知正確；

②若相則加||a；不正確，也可能是m在a內；錯誤；

③若加||〃,〃_L/?,相||a,則e_L4；據(jù)線面垂直的判定定理可知正確;

④若機c〃=Am||a,m||/7,〃||a,"||用二＞a||/7,根據(jù)線面平行判定的定理可知正確

得到①③④正確，故選C

3.圓（x—2）2+丁=4過點P（l,由）的切線方程是（）

A.x+y/3y-2=0B.x+6），-4=0

C.x-\/3y+4=0D.x-6y+2=0

【答案】D

【解析】

【分析】先求圓心與切點連線的斜率，再利用切線與連線垂直求得切線的斜率結合點斜式即可求方程.

【詳解】由題意知，圓C：（x—2p+y2=4,圓心C（2,o）,P（l,6）在圓上，

所以切線的斜率為@,

3

所以在點P0,6）處的切線方程為y-6=x-1），

即x-島+2=0.

故選：D.

4.如圖所示，在正方體A8CD—中，M、N分別是85、BC的中點.則圖中陰影部分在平面

DiA|

C.

DA

【答案】A

【解析】

【分析】確定三角形Q,V,N三點在平面AOD4上的正投影，從而連接起來就是答案.

【詳解】點M在平面AOA4上的正投影是AA的中點，點N在平面AOOIAI上的正投影是的中點,

點Q在平面AOAAi上的正投影仍然是￡>,從而連接其三點，A選項為答案，

故選：A

5.圓。一1)2+。-1)2=1上的點到直線x-y=2的距離的最大值是()

A.2B.1+72C.2+乎D.1+272

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)圓心到直線的距離加上圓的半徑即為圓上點到直線距離的最大值求解出結果.

【詳解】因為圓心為(1,1),半徑r=1,直線的一般式方程為x-y-2=(),

卜

所以圓上點到直線的最大距離為:1-2|+1=72+1,

VT+T

故選：B

【點睛】本題考查圓上點到直線的距離的最大值，難度一般.圓上點到直線的最大距離等于圓心到直線的距

離加上圓的半徑，最小距離等于圓心到直線的距離減去半徑.

6.如圖所示，正方體ABCO—A4GA中，分別為棱AB,CG的中點，則在平面內與平面

2EF平行的直線

A.不存在B.有1條C.有2條D.有無數(shù)條

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)已知可得平面AOAA與平面。也尸相交，兩平面必有唯一的交線/，則在平面A。2A內與交線/平行

的直線都與平面2"平行，即可得出結論.

【詳解】平面AOR4與平面尸有公共點2，

由公理3知平面ADD^與平面D.EF必有過R的交線/,

在平面40。A內與/平行的直線有無數(shù)條，

且它們都不在平面。田產內，

由線面平行的判定定理可知它們都與平面D、EF平行.

故選：D.

【點睛】本題考查平面的基本性質、線面平行的判定，熟練掌握公理、定理是解題的關鍵，屬于基礎題.

7.點尸(2,1)直線中，被圓C:Y+y2—2x+4y=0截得的最長弦所在的直線方程為()

A.3x-y-5=OB.3x+y-7=0

C,x+3y-5=0D,x-3y+l=0

【答案】A

【解析】

【分析】要使得直線被圓。截得的弦長最長，則直線必過圓心，利用斜率公式求得斜率，結合點斜式方

程，即可求解.

【詳解】由題意，圓￡+/-2光+4y=0,可得圓心坐標為C(l,-2),

要使得直線被圓C截得的弦長最長，則直線必過圓心，

-2-1

可得直線的斜率為k=六=3,所以直線的方程為y-l=3(x-2),

即所求直線的方程為3x-y-5=0.

故選：A.

8.半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為()

A.BJTNB.是兀N

248

C.5兀KD.旦TTK

248

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得圓錐母線長為R，底面圓的半徑為四，求出圓錐高即可求出體積.

2

【詳解】半徑為A的半圓卷成一個圓錐，可得圓錐母線長為/?,底面圓周長為不R，

所以底面圓的半徑為與，圓錐的高為JR2_（gj=半，

所以圓錐的體積為Jx萬xfB]xY史=@7內

3（2J224

故選：A.

9.點P在正方形ABCD所在平面外，PDL平面ABCD,PD=AD,則PA與BD所成角的度數(shù)為（）

A.30°B.450C.60°D.90°

【答案】C

【解析】

【詳解】

分別取AC.PC中點O.E.連OE,DE;則OE//PA,

所以NOQE（或其補角）就是PA與BD所成的角;

因PDJL平面ABCD,所以PD_LDC,PDJ_AD.

設正方形ABCD邊長為2,則PA=PC=BD=2&

所以OD=OE=DE=y/2,ADOE是正三角形,

/DOE=60°，

故選C

10.已知三棱錐s-ABC的所有頂點都在球0的球面上，SA_L平面ABC,AB_LBC且AB=BC=1,SA=啦,則球

。的表面積是（）

A.4zrB.—nC.3萬D.—n

43

【答案】A

【解析】

【詳解】如圖，三棱錐S-ABC的所有頂點都在球0的球面上，

：SA_L平面ABC,SA=72>AB_LBC且AB=BC=1,

???AC=&TT=a.-.SA±AC,SB1BC,

SC=12+2=2二球。的半徑R=；SC=1...球O的表面積S=4兀R2=4m

故選A

點睛：本題考查球的表面積的求法，合理地作出圖形，確定球心，求出球半徑是解題的關鍵.

11.如圖,邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G,已知△A'DE是仆ADE繞DE旋轉

過程中的一個圖形（A不與A,F重合），則下列命題中正確的是（）

①動點A，在平面ABC上的射影在線段AF上；

②BC〃平面ADE;③三棱錐A'-FED的體積有最大值.

A.①B.①②C.①②③D.②③

【答案】C

【解析】

【詳解】【思路點撥】注意折疊前DELAF,折疊后其位置關系沒有改變.

解:①中由已知可得平面A'FG_L平面ABC

.?.點A'在平面ABC上的射影在線段AF上.

②BC〃DE,BC<t平面ADE,DEu平面A'DE,；.BC〃平面A'DE.③當平面A'DE_L平面ABC時,三棱錐A'-FED

的體積達到最大.

12.如果直線2ax-by+\A=0（。>>0）和函數(shù)f（x）=mx+l+l（〃z>0,根r1）的圖象恒過同一個定

點，且該定點始終落在圓（x—a+l）2+（y+b—2>=25的內部或圓上，那么的取值范圍是（）

a

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得。+8=7,（。>0,人>0）.再由由點（一1,2）在圓。一。+1）2+（卜+人一2）2=25內部或

圓上可得4+h2<25（a>0,^>0）.由此可解得點（。1）在以A（3,4）和3（4,3）為端點的線段上運

b

動.由亍表示以A（3,4）和3（4,3）為端點的線段上的點與坐標原點連線的斜率可得選項.

【詳解】函數(shù)"X）=+1恒過定點（-1,2）.將點（-1,2）代入直線2以一勿+14=0可得

一2a—2/7+14=（）,即a+/?=7,（a>0,8>0）.

由點（一1,2）在圓（x—a+l）~+（y+Z?—2）~=25內部或圓上可得（―1—a+1）+（2+?！?）一〈25,

/、fa+b=7[a=3fa=4/、,、

即/+/<25（”>0力>0）.,,2?=</或，..所以點（a⑼在以A（3,4）和8（z4,3）x

a~+b--25[b-4[b-3

為端點的線段上運動.

b3-03

—表示以A（3,4）和B（4,3）為端點的線段上的點與坐標原點連線的斜率.所以

4^04

⑶=4-0-43/74

所以一W—<一.

ULx3-03■4。3

故選：C.

b

【點睛】關鍵點點睛：解決本題類型的問題，關鍵在于由已知條件得出。功所滿足的可行域，以及明確一

a

所表示的幾何意義.

二、填空題（每小題5分，共計20分）

13.點P（2,7）關于直線x+y+1=0的對稱點的坐標為.

【答案】（-8,-3）

【解析】

【分析】設點P（2,7）關于直線x+y+l=0的對稱點為A（a,。），由垂直的斜率關系，

和線段Z4的中點（一，—）在直線x+y+i=o上列出方程組即可求解.

【詳解】設點p（2,7）關于直線x+y+1=0的對稱點為A（a,b）,

由對稱性知，直線x+y+l=0與線段而垂直，所以&A=N=1，

所以。一匕=-5,又線段Q4的中點（言二早）在直線x+y+l=O上，

即2±q+工±2+1=0,所以。+匕=-11,

22

\a-b=-5Ia=-8

由〈二＞〈，

\a+b^-\\[Z?=-3

所以點P（2,7）關于直線x+y+1=0的對稱點的坐標為：（一8,-3）.

故答案為：（-8,-3）.

14.設某幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為.

主視圖左視圖

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖確定該幾何體為三棱錐，由題中數(shù)據(jù)，以及棱錐的體積公式，即可求出結果.

【詳解】由三視圖可得：該幾何體為三棱錐，

由題中數(shù)據(jù)可得：該三棱錐的底面是以4為底邊長，以3為高的三角形，三棱錐的高為2，

因此該三棱錐的體積為：V=-xix4x3x2=4.

32

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查由幾何體的三視圖求體積的問題，熟記棱錐的結構特征，以及棱錐的體積公式即

可，屬于基礎題型.

15.已知直線/過點A(-2,1).若直線/在兩坐標軸上的截距相等，求直線/的方程.

【答案】x+2y=0或x+y+l=O

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，分直線/過原點，直線/不過原點兩種情況討論，即可求解.

【詳解】解：當直線/過原點時，斜率為-；，由點斜式求得直線/的方程是y=即x+2y=0,

當直線/不過原點時，設直線/的方程為x+y=a,把點A(—2,l)代入方程可得。=一1,

故直線/的方程是x+y+l=0,

綜上所述，所求直線/的方程為x+2y=0或x+y+l=0.

故答案為：x+2y=0或x+y+l=0.

16.當曲線y=i+-4-f與直線y=&(x-2)+4有兩個相異交點時,實數(shù)%的取值范圍是.

幺53

【答案】受不

【解析】

【分析】由解析式可知曲線為半圓，直線恒過（2,4）；畫出半圓的圖象，找到直線與半圓有兩個交點的臨界

狀態(tài)，利用圓的切線的求解方法和兩點連線斜率公式求得斜率的取值范圍.

【詳解】y=l+yj4-x2^x2+（y-l）2=4（y>l）

y=Z（x—2）+4為恒過（2,4）的直線

則曲線圖象如下圖所示：

由圖象可知，當直線斜率攵€（匕,七］時，曲線與直線有兩個相異交點

|——1+4|

y=K(x—2)+4與半圓/+(y_i)2=4(,21)相切，可得:=2

J1+好

解得：k、=—

112

,4-1353

又鼠=7一/Kke

-2-(-2)412,4

%53

本題正確結果：

【點睛】本題考查利用曲線與直線的交點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關鍵是能夠通過數(shù)形結合的方式找到

臨界狀態(tài)，易錯點是忽略曲線y的范圍，誤認為曲線為圓.

三、解答題（本大題共6小題，滿分70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.）

17.已知直線4：kx-2y-2k+4=O,直線4：k2x+4y-4k2-8-0.

（1）若〃上，求4與4的距離"；

（2）若/1_L，2，求4與4的交點尸的坐標.

【答案】（DJ=V2.

⑵尸（3,3）.

【解析】

【詳解】分析：（1）先根據(jù)4/〃2求出k的值，再利用平行線間的距離公式求4與，2的距離（2）先根據(jù)

4，4求出k的值，再解方程組得4與4的交點P的坐標.

詳解：（1）若/1/〃2,則由h4=—2?爐，即2^+4左=0,解得&=0或4=—2.

當人=0時，直線4：-2丁+4=0,直線4：4y—8=0,兩直線重合，不符合乙/%，故舍去;

當％=—2時，直線(：x+y-4=0,直線4：x+y—6=0,所以=友.

V1+1

(2)若4_L4，則由％?K+(—2)-4=Z3—8=0,得上=2.

所以兩直線方程為八

x-y=0,l2：x+y-6=0,

x-y=0fx=3/、

聯(lián)立方程組_6_0,解得J「3,所以4與4的交點p的坐標為尸（3,3）.

點睛：（1）本題主要考查直線的位置關系和距離的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能

力.（2）直線以+by+c=0與直線，Zr+ey+/=0平行，則ae-bd=0且兩直線不重合.直線

ac+by+c=0與直線dr+ey+/=0垂直，則ad+Z?e=0.

18.如圖：PAL平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=陋，點F是PB的中點，點E在邊BC上移

（I）求三棱錐E-PAD的體積；

（II）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由;

（Ill）證明：無論點E在邊BC的何處，者I，有PELAF

【答案】（I）立，（］［）平行，（HI）詳見解析

6

【解析】

【詳解】試題分析:

(1)三棱錐E—aw的體積PA.QADAB)=@

3326

（2）當點E為BC的中點時，跖與平面PAC平行.

?.?在AP3C中，￡,尸分別為8C、P3的中點，

AEFUPC,又￡產仁平面24。，PCu平面P4C,

，所//平面P4C

（3）證明ABCD：???%，平面ABC。，BEU平面ABC。，

ABE±PA，又3ELAB，ABoPA^A，48,%（=平面^45，

??BE1平面P43又AFu平面RIB，；?AFLBE.

又Q4=A6=1,點尸是尸3的中點，APBLAF,

又PBcBE=B，PB,BEU平面PBE,

...AFJ■平面P3E.

PEu平面PBE,；?AF上PE.

考點：本小題主要考查三棱錐體積的計算、線面平行、線面垂直等的證明，考查學生的空間想象能力和邏

輯推理能力.

點評：計算三棱錐體積時，注意可以根據(jù)需要讓任何一個面作底面，還經(jīng)常利用等體積法求三棱錐

19.已知動圓C經(jīng)過點A（2,—3）和8（-2,-5）

（1）當圓C面積最小時，求圓C的方程；

（2）若圓C的圓心在直線3x+y+5=0上，求圓。的方程.

【答案】(1)x2+(y+4)2=5

(2)(x+l『+(y+2『=10

【解析】

【分析】(1)以A6為直徑的圓即為面積最小的圓，由此可以算出A8中點坐標和長度，

即可求出圓的方程；

(2)設出圓的標準方程，根據(jù)題意代入數(shù)值解方程組即可.

【小問1詳解】

要使圓C的面積最小，則AB為圓。的直徑，

圓心C(0,-4),半徑r==

所以所求圓C的方程為：x2+(y+4)2=5.

【小問2詳解】

設所求圓C的方程為(x—a)?+(y—bp=產,

(2-a)-+(-3-/?)2=r2。=一1

根據(jù)已知條件得\(-2-a)2+(―5-｛匕=-2,

3a+/?+5=0r=

所以所求圓C的方程為(x+iy+(y+2)2=10.

20.如圖，三棱柱A8C—4月￡中，ACYBC,AB±BBt,AC^BC=BBX,。為AB的中點，且

CDIDA,.

(1)求證：8cl〃平面0c4；

(2)求BG與平面所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析

（2）30°

【解析】

【分析】（1）連結AG與AC交于點K，連結QK，由中位線定理可得OK〃BG，再根據(jù)線面平行的

判定定理即可證明結果；

（2）方法一：根據(jù)線面垂直的判定定理，可證明CO_L平面取A4的中點E，易證。也上平

面所以NEBG即所求角，再根據(jù)直棱柱的有關性質求即可得到結果；

方法二：根據(jù)線面垂直的判定定理，可證明CO_L平面ABGA；取的中點尸，易證我尸，平面

ABBtAt；所以NKDF即BC{與平面ABB^所成的角，再根據(jù)直棱柱的有關性質求即可得到結果.

【小問1詳解】

證明：如圖一，連結AG與AC交于點K,連結QK.

在AABG中，D、K為中點，.?.OK〃8C-

又DKu平面DCA,,BQ（Z平面DCA},：.BC,//平面0cA.

圖一

【小問2詳解】

證明：（方法一）如圖二,

圖二

VAC=BC,。為A3的中點，，

又CCDA，A8c￡>A=。，；?c。，平面A8B|A1.

取4g的中點E，又。為AB的中點，.??/）￡、BBI、CC1平行且相等，

四邊形。CCE是平行四邊形，???C￡與C。平行且相等.

又C。，平面A網(wǎng)4,C,￡!平面A叫4,NEBCi即所求角.

由前面證明知CD_L平面ABB[4,CD±BB、,

又A6_L6g,ABflC。=D，，臺4，平面ABC,.?.此三棱柱為直棱柱.

設AC==明=2

:.BC、=2叵,EC1=血，sinNEBCI=M=g,:.,ZEBC,=30°.

oCjZ

（方法二）如圖三，

圖三

VAC=BC,。為AB的中點，COLAB.

又ABcZM,=。，平面A

取的中點F,則K/〃C。，KF_L平面

即與平面所成的角.

AZKDFBCtABB.\

由前面證明知CD_L平面ABB[4,CD±BB、,

又AB上SB1,ABn8=D，二臺與，平面ABC,.?.此三棱柱為直棱柱.

設AC=BC=BB[=2,：.KF=^，DK=O,sin/KD/=絲=，

2DK2

/KDF=30。.

21.如圖，在三棱錐S—ABC中，SC,平面A8C,點尸、M分別是SC和S3的中點，設PM=AC=1,

ZACB=90°,直線AM與直線SC所成的角為60。.

（1）求證：平面AMPJ_平面SAC.

（2）求二面角M—AC—B的平面角的正切值；

【答案】（1）證明見解析

⑵逅

3

【解析】

【分析】（1）由已知可證8C_L平面SAC,又PMHBC,則p〃_1_面SAC,從而可證平面M4P_L平面

SAC；

（2）由AC,平面SBC,可得NMCB為二面角M—4C-B的平面角，過點M作MNLCB于N點，連接

AN,則NAMN=60°,由勾股定理可得4V=&，在中，可得MN=旦,從而在RtaOVM

3

中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.

【小問1詳解】

證明：；SC，平面ABC,：.SCA.BC,

又?.?/ACB=90°,：.ACLBC,又ACp|SC=C,

平面SAC,

又YP,M是SC、S3的中點，

/.PM//BC,面SAC,又PMu平面MAP,

平面MAP_L平面SAC；

【小問2詳解】

解：VSCl^ffiABC,；.SC_LAC,又ACJ_8C,BCp|SC=C,

；.AC_L平面SBC,

：.AC1CM,ACLCB,從而NMCB為二面角M—AC—B的平面角,

直線4M與直線PC所成的角為60°,

過點M作于N點，連接AN,

在Rf中'==當'

逅

在RtaCNM中,tan/MCN=-四

CN13

22.已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,

(1)若過定點(-2,0)的直線/與圓C相切，求直線/的方程;

（2）若過