靜電場(chǎng)的能量

幾個(gè)物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式描述電磁運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方程?玻爾茲曼對(duì)于maxwell方程的給予高度的贊賞,曾引用歌德的<浮士德>中的一段話予以評(píng)價(jià):寫(xiě)下這些記號(hào)的,難道是一位凡人嗎?

從科學(xué)技術(shù)發(fā)展史來(lái)說(shuō)，物理學(xué)的發(fā)展，對(duì)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展起著決定性的作用，因?yàn)槲锢韺W(xué)發(fā)展的每次重大突破，都引起了一次工業(yè)大革命。三次工業(yè)革命第一次是17、18世紀(jì)，牛頓力學(xué)的建立和熱力學(xué)的發(fā)展，有力地推動(dòng)了其它學(xué)科的發(fā)展，蒸汽機(jī)的制造和機(jī)械工業(yè)的發(fā)展，引起了第一次工業(yè)大革命——實(shí)現(xiàn)了工業(yè)生產(chǎn)的機(jī)械化第二次是19世紀(jì)，在法拉第、麥克斯韋電磁理論的推動(dòng)下，成功地制造了發(fā)電機(jī)、電動(dòng)機(jī)、各種電器和電訊設(shè)備，引起了第二次工業(yè)大革命——實(shí)現(xiàn)了工業(yè)生產(chǎn)的電氣化.第三次是20世紀(jì)以來(lái)，由于相對(duì)論和量子力學(xué)的建立，人類(lèi)的認(rèn)識(shí)深入到了原子核的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和基本粒子這一層次，實(shí)現(xiàn)了核能和人工放射性同位素的利用，促成了半導(dǎo)體、核磁共振、激光、電子計(jì)算機(jī)等新技術(shù)的發(fā)明，推動(dòng)了材料科學(xué)、生命科學(xué)等許多學(xué)科的發(fā)展，引起了第三次工業(yè)大革命——核能的利用和工業(yè)生產(chǎn)自動(dòng)化。近年來(lái)，物理學(xué)家的研究眼光轉(zhuǎn)向超導(dǎo)、納米材料、等離子態(tài)和非線性物理等領(lǐng)域，若能取得重大突破，將在二十一世紀(jì)引起第四次工業(yè)大革命。1820年，奧斯特的電流的磁效應(yīng)使人們認(rèn)識(shí)到電磁是相互聯(lián)系的。電磁理論的發(fā)展過(guò)程簡(jiǎn)介電學(xué)磁學(xué)1820年前的二千多年時(shí)間1831年Fraday發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)定律使人們對(duì)電磁內(nèi)在的聯(lián)系有了更深刻的認(rèn)識(shí)。1865年Ｍaxwell在前人的基礎(chǔ)上，以及自己提出位移電流和渦旋電場(chǎng)的假設(shè)下，建立了完整的電磁場(chǎng)理論，并預(yù)言了電磁波的存在，而且指出了光是一種電磁波（交變電磁場(chǎng))，在工程技術(shù)中獲得了廣泛的應(yīng)用，如通信。電場(chǎng)？磁場(chǎng)？電磁場(chǎng)？問(wèn)題：在點(diǎn)電荷周?chē)嬖谑裁磮?chǎng)？電磁場(chǎng)的描述與參照系有關(guān)第五章靜電場(chǎng)1.對(duì)電荷的基本認(rèn)識(shí)（摩擦起電，做一個(gè)小實(shí)驗(yàn))

兩種

電荷量子化(chargequantization)1906-1917年，密立根用液滴法首先從實(shí)驗(yàn)上證明了，微小粒子帶電量的變化不連續(xù)。

Electrostaticfield§5.1電荷一.電荷守恒定律第五章真空中的靜電場(chǎng)

電荷守恒定律的表述在一個(gè)和外界沒(méi)有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正負(fù)電荷的代數(shù)和在任何物理過(guò)程中保持不變。

電荷守恒定律是物理學(xué)中普遍的基本定律電荷守恒定律(lawofconservationofcharge)庫(kù)侖定律A.decoulomb庫(kù)侖1785年，庫(kù)侖通過(guò)扭稱實(shí)驗(yàn)得到。1.庫(kù)侖定律表述

在真空中，兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的相互作用力大小，與它們的電量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比；作用力的方向沿著它們的聯(lián)線，同號(hào)電荷相斥，異號(hào)電荷相吸?！?.2庫(kù)侖定律(CoulombLaw)可以簡(jiǎn)化為點(diǎn)電荷的條件；dr<<Q2rQ1d點(diǎn)電荷：一個(gè)形狀和大小可以略去不計(jì)的帶電粒子或帶電體。SI制二庫(kù)侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式（為真空中介電常數(shù)）令解

例在氫原子內(nèi),電子和質(zhì)子的間距為.求它們之間電相互作用和萬(wàn)有引力,并比較它們的大小.（微觀領(lǐng)域中,萬(wàn)有引力比庫(kù)侖力小得多,可忽略不計(jì).）§5-3電場(chǎng)強(qiáng)度

一、電場(chǎng)Q1的電場(chǎng)Q1生產(chǎn)生產(chǎn)Q的電場(chǎng)22Q于用作用作于

實(shí)驗(yàn)證實(shí)了兩靜止電荷間存在相互作用的靜電力，但其相互作用是怎樣實(shí)現(xiàn)的？（力作用的兩種形式？）場(chǎng)是一種特殊形態(tài)的物質(zhì)實(shí)物物質(zhì)

場(chǎng)二電場(chǎng)強(qiáng)度

單位

電場(chǎng)中某點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度

等于位于該點(diǎn)處的單位試驗(yàn)電荷所受的力，其方向?yàn)檎姾墒芰Ψ较?試驗(yàn)電荷為點(diǎn)電荷、且足夠小,故對(duì)原電場(chǎng)幾乎無(wú)影響：場(chǎng)源電荷：試驗(yàn)電荷三點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度四電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理由力的疊加原理得所受合力

點(diǎn)電荷

對(duì)的作用力故處總電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理

電荷連續(xù)分布情況電荷體密度點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度電荷面密度電荷線密度電偶極矩（電矩）五電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度電偶極子的軸

討論（1）電偶極子軸線延長(zhǎng)線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度

（2）電偶極子軸線的中垂線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度電偶極子在電場(chǎng)中所受的力矩=qlEθsinesinp=EθM=epE×=flsinθM+θl=0.5JqEMpsin=2AEp=450Epsin==0.5×450sin=3.45×10-2N.mπqAM0d=òqEpsin=qdπ0ò2=Ep例：一電偶極子原來(lái)與一均勻電場(chǎng)平行，將它轉(zhuǎn)到與電場(chǎng)反平行時(shí)，外力作功1J。問(wèn)當(dāng)此電偶極子與場(chǎng)強(qiáng)成45O時(shí)，作用于它的力偶矩有多大？解：由對(duì)稱性有解

例

正電荷均勻分布在半徑為的圓環(huán)上.計(jì)算在環(huán)的軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.討論（1）（點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度）（2）（3）例

均勻帶電薄圓盤(pán)軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度.

有一半徑為

,電荷均勻分布的薄圓盤(pán),其電荷面密度為.求通過(guò)盤(pán)心且垂直盤(pán)面的軸線上任意一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度.解由例１（點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度）討論無(wú)限大均勻帶電平面的電場(chǎng)強(qiáng)度ayx

1

2oP例

.真空中有均勻帶電直線，長(zhǎng)為L(zhǎng)，總電量為Q。線外有一點(diǎn)P，離開(kāi)直線的垂直距離為a，P點(diǎn)和直線兩端連線的夾角分別為

1和

2。求P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。（設(shè)電荷線密度為

）dxx解：電荷元：dq=

dxdEdExdEy

rayx

1

2oPdxxdEdExdEy

r無(wú)限長(zhǎng)帶電直線：

1=

0，

2=

無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)具有軸對(duì)稱性ε20λa=Eπ例、一根很長(zhǎng)的絕緣棒，均勻帶電（如圖），單位長(zhǎng)度上的電荷量為

。試求距棒的一端垂直距離為d的P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。πε40l

a=()sinsinθ21θExl

πε40a=()coscosθ12θEyπε40-l

d=πε40l

d=ExEy22+=El

πε40d=2ExEyθ=arctg=450Pd45

[例]有寬度為a的直長(zhǎng)均勻帶電薄板，沿長(zhǎng)度方向單位長(zhǎng)度的帶電量為l.

試求：與板的邊緣距離為b的一點(diǎn)P處的電場(chǎng)強(qiáng)度。aPb.dEdrlεπ20=aPb.drrla=dldrrεπ20=ladrEddrlεπ20=Edò=Ealεπ20=òrdrba+b=alεπ20lnba+b解：如圖，沿寬度方向取一窄條?例、兩根相的均勻細(xì)棒，長(zhǎng)為l，電荷線密度為

，沿同一條直線放置。兩細(xì)棒間的最近距離也為l，如圖所示，假設(shè)棒上的電荷是不能自由移動(dòng)的。試求兩棒間的靜電相互作用力。lll解：分析：帶電體之間的相互作用力是通過(guò)電場(chǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，可以先求出一個(gè)帶電體在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)分布，然后求該電場(chǎng)對(duì)另一個(gè)帶電體處在該電場(chǎng)中時(shí)的作用力。注意本題不能當(dāng)作點(diǎn)電荷來(lái)處理。１２０xdxlll１２０xdx方向沿兩棒的連線ayxoq[例]有一半徑為a的均勻帶電的半圓環(huán)，帶電量為q。試求：圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。Ey=0òEx=dEqsin=òEda=dlqddEdaεπ40=q2a=lqdaεπ40=2alqdπ0qsin=òaεπ40lqdπ0qsin=òaεπ40lqdqcos=aεπ40lπ0=aεπ20lπ=aε2022qql=aπdq=ldl解：由對(duì)稱性aEdqdqyxo

[例]有一半徑為a的非均勻帶電的半圓環(huán)，電荷線密度為

=

0cos

。試求：圓心處o點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。ayxoq

dπqr2ε40Ed=qr=l

0cosqddq=ldlπr2ε40=qrl

0cosqdExòEx=dqcos=òEdryxoq

q

ddE++++++dlq

l

=l

0cosq解：EyòEy=dqsin=òEdπrε40lq2sin0=-2π0=0πr2ε40qrldqcos0π0=-òqsinπr2ε40qrldq2cos0π0=-ò=πrε40q-ldq2cos0π0ò+q2qsin241π0πrε40l0=-rε80l0=-高斯定理C.F.Gauss德國(guó)數(shù)學(xué)家物理學(xué)家高斯(1777-1855)一電場(chǎng)線（電場(chǎng)的圖示法）1）

曲線上每一點(diǎn)切線方向?yàn)樵擖c(diǎn)電場(chǎng)方向,2）通過(guò)垂直于電場(chǎng)方向單位面積電場(chǎng)線數(shù)為該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.規(guī)定§5-5電場(chǎng)線和電通量點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線正點(diǎn)電荷+負(fù)點(diǎn)電荷一對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線+一對(duì)等量正點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線++一對(duì)不等量異號(hào)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線帶電平行板電容器的電場(chǎng)線++++++++++++

電場(chǎng)線特性1）始于正電荷,止于負(fù)電荷(或來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn),去向無(wú)窮遠(yuǎn)).2）

電場(chǎng)線在沒(méi)有電荷的地方不相交.3）

靜電場(chǎng)電場(chǎng)線不閉合.(后面進(jìn)一步討論)二電場(chǎng)強(qiáng)度通量通量有正負(fù)號(hào)，與法向的選擇有關(guān)S為封閉曲面，外法向?yàn)檎?/p>

閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量

均勻電場(chǎng)，垂直平面

均勻電場(chǎng)，與平面夾角大小等于電場(chǎng)線數(shù)

例1

如圖所示，有一個(gè)三棱柱體放置在電場(chǎng)強(qiáng)度的勻強(qiáng)電場(chǎng)中.求通過(guò)此三棱柱體的電場(chǎng)強(qiáng)度通量.解三高斯定理在真空中,通過(guò)任一閉合曲面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量,等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以真空中的介電常數(shù).（與面外電荷無(wú)關(guān)，閉合曲面稱為高斯面）+1、點(diǎn)電荷位于球面中心+q

2.若電荷在面外，則此積分值為??。因?yàn)橛袔讞l電場(chǎng)線進(jìn)入面內(nèi)必然有同樣數(shù)目的電場(chǎng)線從面內(nèi)出來(lái)。

3.若封閉面不是球面,則積分值不變，為什么？+4、由多個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)高斯定理1）高斯面上的電場(chǎng)強(qiáng)度為所有內(nèi)外電荷的總電場(chǎng)強(qiáng)度.4）僅高斯面內(nèi)的電荷對(duì)高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量有貢獻(xiàn).2）高斯面為封閉曲面.3）穿進(jìn)高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為負(fù)，穿出為正.總結(jié)

在點(diǎn)電荷和的靜電場(chǎng)中，做如下的三個(gè)閉合面求通過(guò)各閉合面的電通量.討論

將從移到點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度是否變化？穿過(guò)高斯面的有否變化？*四高斯定理的應(yīng)用

其步驟為對(duì)稱性分析；根據(jù)對(duì)稱性選擇合適的高斯面；應(yīng)用高斯定理計(jì)算.（用高斯定理求解的靜電場(chǎng)必須具有一定的對(duì)稱性）分析均勻帶電球面的電場(chǎng)分布以上分析可知場(chǎng)分布具有球?qū)ΨQ性++++++++++++例2均勻帶電球面的電場(chǎng)強(qiáng)度

一半徑為,均勻帶電的薄球殼.求球殼內(nèi)外任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.解（1）（2）+++++例3無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度選取閉合的柱形高斯面

無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線，單位長(zhǎng)度上的電荷，即電荷線密度為，求距直線為

處的電場(chǎng)強(qiáng)度.對(duì)稱性分析：軸對(duì)稱解+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++例4無(wú)限大均勻帶電平面的電場(chǎng)強(qiáng)度

無(wú)限大均勻帶電平面，單位面積上的電荷，即電荷面密度為，求距平面為處的電場(chǎng)強(qiáng)度.選取閉合的柱形高斯面對(duì)稱性分析：

垂直平面解底面積++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++討論無(wú)限大帶電平面的電場(chǎng)疊加問(wèn)題思考題與練習(xí)題1、均勻帶電球體的電場(chǎng)分布具有什么特征？如何用高斯定理求解？++++++++++++例均勻帶電球體的電場(chǎng)強(qiáng)度解（1）（2）2、一點(diǎn)電荷放在球形高斯面的中心處，下列哪一種情況，通過(guò)高斯面的電通量發(fā)生變化？（Ａ）、將另一點(diǎn)電荷放在高斯面外；（Ｂ）、將另一點(diǎn)電荷放在高斯面內(nèi)；（Ｃ）、將球心處的點(diǎn)電荷移動(dòng)，但還在高斯面內(nèi)；（Ｄ）、將高斯面半徑縮小3、點(diǎn)電荷Ｑ被曲面Ｓ所包圍，從無(wú)窮遠(yuǎn)處引入另一點(diǎn)電荷q到曲面外一點(diǎn)，如圖所示，則引入前后：（Ａ）、曲面Ｓ的電通量不變，曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不變；（Ｂ）、曲面Ｓ的電通量變化，曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不變；（C）、曲面Ｓ的電通量變化，曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)變化；（D）、曲面Ｓ的電通量不變，曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)變化。

QqS[B][D]4、已知一高斯面所包圍的體積內(nèi)電量代數(shù)和為零，則可以肯定：（Ａ）高斯面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)均為零；（Ｂ）穿過(guò)高斯面上每一面元的電通量為零；（Ｃ）穿過(guò)整個(gè)高斯面上的電通量為零；（Ｄ）以上說(shuō)法均不對(duì)5、如圖所示，兩個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的半徑分別為Ｒ１和Ｒ２的共軸圓柱面，均勻帶電，沿軸線方向單位長(zhǎng)為度上的帶電量分別為

1,、

2，則在外圓柱外面，距離軸線為r處的Ｐ點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大?。艦椋簉P

1

2答案：[C]6、如圖所示，一個(gè)帶電量為q的點(diǎn)電荷位于立方體的Ａ角上，則通過(guò)側(cè)面abcd的電通量為：Ａqabcd如果放在中心處，則又是多少？cAabdq7、設(shè)電荷體密度沿x軸方向按余弦規(guī)律

＝

０cosx分布在整個(gè)間，試求間場(chǎng)強(qiáng)分布。Yoz平面xESx-x解：如圖所示，由于cosx為偶函數(shù)，故其電荷分布關(guān)于yoz平面對(duì)稱，電場(chǎng)強(qiáng)度亦關(guān)于yoz平面對(duì)稱，作面積為Ｓ，高為2x的長(zhǎng)方體（或柱體），則利用高斯定理得：8、有一帶球殼，內(nèi)外半徑分別為a和b,電荷密度

=A/r,在球心處有一點(diǎn)電荷Ｑ，證明當(dāng)Ａ=Q/2a2

時(shí)，球殼區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)Ｅ的大小與r無(wú)關(guān)。Ｑr

證明：以Ｑ為圓心，半徑

r作一球面為高斯面，則利用ＧＳ定理與場(chǎng)分布具有球?qū)ΨQ性的特點(diǎn)可得S9、圖示為一個(gè)均勻帶電球?qū)?，其電荷體密度為

，球殼內(nèi)半徑為Ｒ１，外半徑為Ｒ２，為零點(diǎn)。求球內(nèi)外電場(chǎng)分布。0rS

解：以o為圓心，半徑

r作一球面為高斯面，則利用ＧＳ定理與場(chǎng)分布具有球?qū)ΨQ性的特點(diǎn)可得10、如圖，求空腔內(nèi)任一點(diǎn)Ｐ的場(chǎng)強(qiáng)。Ｐ解：求空腔內(nèi)任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)，挖去體密度為

的小球，相當(dāng)于不挖，而在同一位置處，放一體密度為-的小球產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的迭加。010211如圖所示,一厚度為a的無(wú)限大帶電平板,其電荷體密度分布為

kx

(0xa)式中k為正常數(shù),試證明:(1)平板外空間的場(chǎng)強(qiáng)為均勻電場(chǎng),大小為(2)平板內(nèi)

處E=0解(1)據(jù)分析可知平板外的電場(chǎng)是均勻電場(chǎng),作如圖封閉圓柱面為高斯面x0axdxES(2)x<ax0axE1S一靜電場(chǎng)力所做的功

點(diǎn)電荷的電場(chǎng)結(jié)果:

僅與的始末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān).§5.4靜電場(chǎng)的環(huán)路定理電勢(shì)

任意電荷的電場(chǎng)（視為點(diǎn)電荷的組合）結(jié)論：靜電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān).二靜電場(chǎng)的環(huán)路定理靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)12三電勢(shì)能

靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，靜電場(chǎng)力是保守力.靜電場(chǎng)力所做的功就等于電荷電勢(shì)能增量的負(fù)值.電勢(shì)能的大小是相對(duì)的，電勢(shì)能的差是絕對(duì)的.令

試驗(yàn)電荷在電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能，在數(shù)值上就等于把它從該點(diǎn)移到零勢(shì)能處?kù)o電場(chǎng)力所作的功.(積分大小與

無(wú)關(guān))點(diǎn)電勢(shì)點(diǎn)電勢(shì)（為參考電勢(shì)，值任選）四靜電場(chǎng)的電勢(shì)令

電勢(shì)零點(diǎn)選擇方法：有限帶電體以無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，實(shí)際問(wèn)題中常選擇地球電勢(shì)為零.

電勢(shì)差

物理意義把單位正試驗(yàn)電荷從點(diǎn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，靜電場(chǎng)力所作的功.(將單位正電荷從移到電場(chǎng)力作的功.)

電勢(shì)差是絕對(duì)的，與電勢(shì)零點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)；電勢(shì)大小是相對(duì)的，與電勢(shì)零點(diǎn)的選擇有關(guān).注意

靜電場(chǎng)力的功原子物理中能量單位

單位：伏特

電勢(shì)差1點(diǎn)電荷的電勢(shì)令五

電勢(shì)的計(jì)算2點(diǎn)電荷系和連續(xù)帶電體的電勢(shì)

點(diǎn)電荷系

電荷連續(xù)分布疊加原理求電勢(shì)的方法

利用

若已知在積分路徑上的函數(shù)表達(dá)式，則（利用了點(diǎn)電荷電勢(shì)，這一結(jié)果已選無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，即使用此公式的前提條件為有限大帶電體且選無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn).）討論++++++++++++++

例1正電荷

均勻分布在半徑為

的細(xì)圓環(huán)上.求圓環(huán)軸線上距環(huán)心為處點(diǎn)的電勢(shì).討論

（點(diǎn)電荷電勢(shì)）

均勻帶電薄圓盤(pán)軸線上的電勢(shì)例2均勻帶電球殼的電勢(shì).+++++++++++真空中，有一帶電為，半徑為的帶電球殼.試求（1）球殼外兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；（2）球殼內(nèi)兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；（3）球殼外任意點(diǎn)的電勢(shì)；（4）球殼內(nèi)任意點(diǎn)的電勢(shì).解（1）（3）令

由可得

或（2）+++++++++++（4）

或均勻帶電球體的電勢(shì)分布?例3“無(wú)限長(zhǎng)”帶電直導(dǎo)線的電勢(shì)解令能否選？

[

例4

]

如圖電荷均勻分布在錐面上，求錐頂處的電勢(shì)。PlRσlldR例5、電量q均勻分布在長(zhǎng)為2l的細(xì)桿上，求在桿外延長(zhǎng)線與桿端距離為a的Ｐ點(diǎn)的電勢(shì)(設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零).oxdxdqPa

解：如果線電荷密度是X的函數(shù)，電勢(shì)如何求？例6、如圖所示，半徑為Ｒ的均勻帶電球面，電量為Ｑ,沿徑向方向上有一均勻帶電細(xì)線，電荷線密度為

，長(zhǎng)度為Ｌ,細(xì)線近端離球心距離為r0。設(shè)球和線上的電荷分布不受相互作用的影響，試求細(xì)線所受球面電荷的電場(chǎng)力和細(xì)線在該電場(chǎng)中的電勢(shì)能。Ｒoxxdxdq=dxdFＱ解（１）方向如圖向右ＲoxxdxＱ(2)、例7、試證明，在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)線都是平行的區(qū)域內(nèi)（無(wú)電荷分布），必定是場(chǎng)強(qiáng)處處相等的均勻電場(chǎng)。

證明：（１）、因?yàn)殡妶?chǎng)線平行，因而在同一條電場(chǎng)線上各處的電力線數(shù)密度相同，所以，任一條電力線上的電場(chǎng)強(qiáng)度相同。（２）、下面利用環(huán)流定理證明任意兩條電場(chǎng)線上的電場(chǎng)強(qiáng)度相同。１２abCd綜合（１）和（２）可得結(jié)論成立例8、電荷密度分別為＋

和－

的兩塊“無(wú)限大”均勻帶電平板相互平行，處于與平面

的＋a和－a的位置上。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)o處電勢(shì)為零，試求空間電勢(shì)分布的表達(dá)式，并畫(huà)出其曲線。oxy＋

-解：-a+aoxy＋

-a+a-a+ax例9、如圖所示，在電偶極子的電場(chǎng)中，將一電量為q0的點(diǎn)電荷從Ａ點(diǎn)沿半徑為Ｒ的圓?。▓A心與電偶極子中心重合，Ｒ＞＞電偶極子正負(fù)電荷之間的距離）移到B點(diǎn)，求此過(guò)程中電場(chǎng)力作的功。-q+qＢＡ請(qǐng)同學(xué)們關(guān)注天空教室討論欄目中的問(wèn)題閱讀和討論,尤其關(guān)注一下布朗運(yùn)動(dòng)測(cè)玻爾茲曼常數(shù)的討論.并積極參與.電勢(shì)梯度德國(guó)生理學(xué)家物理學(xué)家亥姆霍茲（1821-1894）§5-6

電勢(shì)梯度

1.等勢(shì)面：在靜電場(chǎng)中，電勢(shì)相等的面所組成的面。

2.等勢(shì)面與電場(chǎng)線的關(guān)系

若A、B為一等勢(shì)面。qo

在等勢(shì)面上移動(dòng)

電場(chǎng)對(duì)電荷所作的元功為：qo在等勢(shì)面上移動(dòng)不作功，所以有：結(jié)論：電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直ABθ點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線與等勢(shì)面++電平行板電容器的電場(chǎng)線與等勢(shì)面+++++++++并指向電勢(shì)升高方向。

規(guī)定：

ddl所以因?yàn)镮IIθ

ddn二、電勢(shì)梯度矢量電勢(shì)沿方向的變化率電勢(shì)沿方向的變化率的方向?yàn)榇怪庇诘葎?shì)面法線電勢(shì)梯度矢量定義：方向：垂直于等勢(shì)面指向電勢(shì)升高的方向n即法線的方向。大?。弘妱?shì)梯度矢量在數(shù)值上等于電勢(shì)沿法即等于向的變化率。線方向的方向?qū)?shù)，或電勢(shì)沿法線方IIIθ電勢(shì)梯度矢量=grad

ddnndEnn=d

()

+==EEn

ddn

電場(chǎng)強(qiáng)度大小等于在法線方向的電勢(shì)變化率，其方向和電勢(shì)梯度的方向相反。

三、電勢(shì)梯度與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系IIIθ求：軸線上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。qππεr4o

=ε4oq=()x2+R221π=ε4oq()x2+R223[]x解：[例1]已知均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)的電勢(shì)為：ExE=x

=??求：任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。πεr4oq

=ErE=解：ε=π4oq()r21=επ4oqr2

[

例2]

已知一點(diǎn)電荷的電勢(shì)為：r

=??靜電場(chǎng)的能量一、帶電體之間的相互作用能如圖，設(shè)q1和q2開(kāi)始時(shí)處于無(wú)窮遠(yuǎn)的狀態(tài)，現(xiàn)在外界的作用下，從狀態(tài)（a）

（b），在此過(guò)程中外界作用的功就等于狀態(tài)（b）時(shí)q1和q2之間的相互作用能。（b）ＡＢr（a）ＡＢq1q2二、帶電體的靜電能

如圖設(shè)想構(gòu)成帶電體的無(wú)限多的元電荷開(kāi)始處于彼此相距無(wú)窮遠(yuǎn)的分散狀態(tài)?，F(xiàn)將這些分散的元電荷聚集起來(lái)，在此過(guò)程中外界做的功就是這個(gè)帶電體的靜電能。三、帶電體系的靜電能123???三、點(diǎn)電荷系之間的相互作用能１、q1、q2組成的系統(tǒng)ＡＢr12q1q2

式中

i是

qi

以外的電荷在qi

處的電勢(shì)２、q1、q2和q3

組成的系統(tǒng)的相互作用能3、n個(gè)點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)的相互作用能四、連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)的靜電能連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)可分割成無(wú)限多元電荷，由靜電能的定義可知，此時(shí)系統(tǒng)的無(wú)限多元電荷的相互作用能就為該電荷系統(tǒng)的靜電能。式中dq處的電勢(shì)為V例題１、如圖所示，邊長(zhǎng)為a的立方體的每一邊頂點(diǎn)上方放有一點(diǎn)電荷-e,立方體中心處放有一正點(diǎn)電荷＋2e,求此系統(tǒng)的相互作用能。解：（１）、八個(gè)頂點(diǎn)上的負(fù)電荷分別與相鄰的負(fù)電荷之間的相互作用能為Ｗ１-e-e-e-e-e-e-e+2ea（２）、６個(gè)面上其有１２對(duì)頂點(diǎn)負(fù)電荷之間的相互作用能的相互作用能為Ｗ２-e-e-e-e-e-e-e+2ea（３）、立方體對(duì)角線上四對(duì)負(fù)電荷的相互作用能Ｗ３（４）、中心點(diǎn)電荷與八個(gè)頂點(diǎn)上的負(fù)電荷的相互作用能Ｗ４為-e-e-e-e-e-e-e+2ea例題２、求均勻帶電球面的靜電能

解：qR＋＋＋＋＋＋＋例題３、求電容器的能量++__R解法：（１）、如圖將dq從負(fù)極搬到正極，電源克服電場(chǎng)力作功u解法：（２）利用靜電能公式

電容器的充放電過(guò)程充電時(shí)間常數(shù)RC大充電時(shí)間長(zhǎng)RC時(shí)間常演示放電放電時(shí)間()12=A

B

QWe電場(chǎng)能量密度

五、靜電場(chǎng)的能量=WewedVVòòò=Ｖ遍及整個(gè)場(chǎng)所在的空間。=12SdE()12=E2dS12=E2V.Wewe=V12=E212E2dVVòòòεπE=Q0r24Rεr++++++++++QdV=r24πdrdrr[例4]求一均勻帶電球面的電場(chǎng)能量。=WewedVVòòòπε=Q2R80R=8120επQ()0εr242r24πdrò靜電能就是電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的能量思考題:

有一半徑為R的導(dǎo)體球,開(kāi)始不帶電,現(xiàn)將分散在無(wú)限遠(yuǎn)處的元電荷聚集到導(dǎo)體球上,則當(dāng)導(dǎo)體球上帶有Q電量時(shí),外力做的功是多少?同學(xué)們推導(dǎo).試比較均勻帶電球面和均勻帶電球的靜電能E=0均勻帶電球面和均勻帶電球外的電場(chǎng)分布相同，因此后者的靜電能大于前者的靜電能.例6、從場(chǎng)的角度談?wù)勛阅?、相互作用能和靜電能１２例7.

真空中一半徑為a，帶電量為Q的均勻球體的靜電場(chǎng)能。解：球內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)：aQ球外場(chǎng)強(qiáng)：???同學(xué)們推導(dǎo)第六章靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)6-1靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體一

導(dǎo)體的靜電平衡條件

靜電感應(yīng)——在靜電場(chǎng)力作用下，導(dǎo)體中電荷重新分布的現(xiàn)象。無(wú)外電場(chǎng)時(shí)++++++++++++++++++++導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度外電場(chǎng)強(qiáng)度感應(yīng)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度金屬球放入前電場(chǎng)為一均勻場(chǎng)(演示)E金屬球放入后電場(chǎng)線發(fā)生彎曲電場(chǎng)為一非均勻場(chǎng)+++++++E++++++導(dǎo)體是等勢(shì)體靜電平衡條件（1）導(dǎo)體內(nèi)部任何一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零；（2）導(dǎo)體表面處的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向,都與導(dǎo)體表面垂直.

導(dǎo)體表面是等勢(shì)面

導(dǎo)體內(nèi)部電勢(shì)相等

二靜電平衡時(shí)導(dǎo)體上電荷的分布++++++++++結(jié)論導(dǎo)體內(nèi)部無(wú)電荷1

實(shí)心導(dǎo)體2

有空腔導(dǎo)體

空腔內(nèi)無(wú)電荷電荷分布在表面上內(nèi)表面上有電荷嗎？若內(nèi)表面帶電所以內(nèi)表面不帶電++--

結(jié)論電荷分布在外表面上（內(nèi)表面無(wú)電荷）++++++++++矛盾導(dǎo)體是等勢(shì)體

空腔內(nèi)有電荷電荷分布在表面上內(nèi)表面上有電荷嗎？

結(jié)論當(dāng)空腔內(nèi)有電荷時(shí),內(nèi)表面因靜電感應(yīng)出現(xiàn)等值異號(hào)的電荷，外表面有感應(yīng)電荷（電荷守恒）+++++++++++

為表面電荷面密度作柱形高斯面

S3

導(dǎo)體表面電場(chǎng)強(qiáng)度與電荷面密度的關(guān)系

表面電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與該表面電荷面密度成正比[例1]兩金屬球體，半徑分別為R,r

。它們相距很遠(yuǎn)，用一導(dǎo)線將它們相聯(lián)。當(dāng)它們帶電時(shí)，求兩球電荷面密度和曲率半徑的關(guān)系。RQqr設(shè)兩球帶電分別為Q及q因?yàn)閮汕蛳嗑嗪苓h(yuǎn)，所以其中一球上的電荷對(duì)另一球表面的電勢(shì)的影響可以認(rèn)為是零。rQqεπ40=Rεπ40σ2π4=RQRσ2π4=rqr靜電平衡時(shí)兩球的電勢(shì)相等,所以:rQq=R=Rr

此式表明,導(dǎo)體的曲率半徑越小,電荷面密度越大?！唳襯σR=rQqR22+++++++++注意導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體形狀以及周?chē)h(huán)境有關(guān).4導(dǎo)體表面電荷分布帶電導(dǎo)體尖端附近電場(chǎng)最強(qiáng)

帶電導(dǎo)體尖端附近的電場(chǎng)特別大，可使尖端附近的空氣發(fā)生電離而成為導(dǎo)體產(chǎn)生放電現(xiàn)象，即尖端放電

.

尖端放電會(huì)損耗電能,還會(huì)干擾精密測(cè)量和對(duì)通訊產(chǎn)生危害

.然而尖端放電也有很廣泛的應(yīng)用

.

尖端放電現(xiàn)象尖端放電現(xiàn)象的利與弊<電風(fēng)實(shí)驗(yàn)>++++++++++應(yīng)用：避雷針尖端放電現(xiàn)象演示三靜電屏蔽演示不接地的導(dǎo)體腔接地的導(dǎo)體腔接地導(dǎo)體的電勢(shì)與無(wú)窮遠(yuǎn)等勢(shì)靜電屏蔽金屬罩儀器++++++帶電體例2.有一外半徑R1，內(nèi)半徑為R2的金屬球殼。在球殼中放一半徑為R3的金屬球，球殼和球均帶有電量q=10-8C的正電荷。問(wèn)：（1）兩球電荷分布。（2）球心的電勢(shì)。（3）球殼電勢(shì)。解(1)電荷分布

電荷+q分布在內(nèi)球表面。

球殼內(nèi)表面帶電-q。

球殼外表面帶電2q。R3R2R1（r<R3

）（R3<r<R2）（R2<r<R1）（r>R1）R3R2R1（2）球心的電勢(shì)

（3）球殼電勢(shì)

迭加原理求電勢(shì)?同學(xué)們練習(xí)BAq1q2例3.兩塊大導(dǎo)體平板，面積為S，分別帶電q1和q2，兩極板間距遠(yuǎn)小于平板的線度。求平板各表面的電荷密度。解：電荷守恒：由靜電平衡條件，導(dǎo)體板內(nèi)E=0

2

3

4

1討論1、兩板電量大小相等異號(hào)時(shí)，電荷分布的特點(diǎn)？電場(chǎng)與電壓？2、一個(gè)板接地，電荷分布的特點(diǎn)？電場(chǎng)與電壓？3、一個(gè)無(wú)限大平行導(dǎo)體板周?chē)碾妶?chǎng)如何求？§6.2靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)

分子中的正負(fù)電荷束縛的很緊，介質(zhì)內(nèi)部幾乎沒(méi)有自由電荷。電介質(zhì)的特點(diǎn)：電介質(zhì)：電阻率很大，導(dǎo)電能力很差的物質(zhì)，即絕緣體。（常溫下電阻率大于107歐·米）一電介質(zhì)的極化兩大類(lèi)電介質(zhì)分子結(jié)構(gòu)：分子的正、負(fù)電荷中心在無(wú)外場(chǎng)時(shí)重合。不存在固有分子電偶極矩。1.無(wú)極分子：=H4CH2O分子的正、負(fù)電荷中心在無(wú)外場(chǎng)時(shí)不重合，分子存在固有電偶極矩。2.有極分子：=電偶極子1、無(wú)極分子的位移極化±±±±±±±±±±±±±±±E

在外電場(chǎng)的作用下，介質(zhì)表面產(chǎn)生電荷的現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。

由于極化，在介質(zhì)表面產(chǎn)生的電荷稱為極化電荷或稱束縛電荷。+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-2、有極分子的轉(zhuǎn)向極化+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-EoFF+-Eo

無(wú)極分子在外場(chǎng)的作用下由于正負(fù)電荷發(fā)生偏移而產(chǎn)生的極化稱為位移極化。

有極分子在外場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的極化稱為轉(zhuǎn)向極化。外電場(chǎng)：極化電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)：介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)：擊穿：在強(qiáng)電場(chǎng)作用下電介質(zhì)變成導(dǎo)體的現(xiàn)象?？諝獾膿舸╇妶?chǎng)強(qiáng)度約為：礦物油的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度約為：云母的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度約為：二極化強(qiáng)度電極化強(qiáng)度是反映介質(zhì)極化程度的物理量。沒(méi)極化：極化時(shí)：+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-Eo電極化強(qiáng)度定義：（C·m-2）實(shí)驗(yàn)表明：

對(duì)于各向同性的均勻電介質(zhì)，其中任一點(diǎn)處的電極化強(qiáng)度與該點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)成正比。

e：介質(zhì)的極化率極化率

e與電場(chǎng)強(qiáng)度E無(wú)關(guān)，取決于電介質(zhì)的種類(lèi)。電極化強(qiáng)度與極化電荷的關(guān)系：設(shè)在均勻電介質(zhì)中截取一斜柱體。體積為

V。結(jié)論：

均勻電介質(zhì)表面產(chǎn)生的極化電荷面密度等于該處電極化強(qiáng)度沿表面外法線方向的投影。極化電荷帶正電極化電荷帶負(fù)電0x討論：介質(zhì)球與導(dǎo)體球在外場(chǎng)作用下的區(qū)別？電極化強(qiáng)度通過(guò)任意封閉曲面的通量與介質(zhì)外表面的極化電荷的關(guān)系？三有介質(zhì)時(shí)的高斯定理封閉曲面S所包圍的自由電荷。封閉曲面S所包圍的極化電荷。定義電位移矢量：介質(zhì)中的高斯定理：

在靜電場(chǎng)中，通過(guò)任意封閉曲面的電位移通量等于該曲面所包圍的自由電荷的代數(shù)和。注意：電位移矢量是一個(gè)輔助量。描寫(xiě)電場(chǎng)的基本物理量是電場(chǎng)強(qiáng)度。與的關(guān)系對(duì)于各向同性的電介質(zhì)：

r：相對(duì)介電常數(shù)或

：介電常數(shù)注：是定義式，普遍成立。只適用于各向同性的均勻介質(zhì)。有介質(zhì)時(shí)靜電場(chǎng)的計(jì)算1.根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理計(jì)算出電位移矢量。2.根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電位移矢量的關(guān)系計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)。介質(zhì)中的合場(chǎng)強(qiáng)自由電荷的場(chǎng)強(qiáng)極化電荷的場(chǎng)強(qiáng)如圖電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)+++++++++σ+′如圖電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)+d1d2ε0εrBCA+++++D1D2E1E2σσ[例1]一平行板電容器，其中填充了一層介質(zhì)，尺寸如圖，介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為εr。D1D2,,EE12,；1.用高斯定理求：2.求：dd12ε0εrBCA+++++++++σσD1Sσdd1ε0εrBCA+++++++++σS2平板電容器中有n層介質(zhì)，則其D相同？？εε0ε0σσ=dd12+r+dd12ε0εrBCA+++++D1D2EE12σσN層？？例2、在空氣平行板電容中，平行插入一塊各向同性的電介質(zhì)板，如圖所示，當(dāng)電容器充電后，若忽略邊緣效應(yīng)，電介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)Ｅ與空氣中的場(chǎng)強(qiáng)相比較Ｅ０Ｅ有Ｅ？Ｅ０電容器是構(gòu)成各種電子電路的重要器件,也是電力工業(yè)中的一個(gè)重要設(shè)備。它的作用有整流、隔直、延時(shí)、濾波等?！?.3

電容和電容器一電容器電容器電容

電容的大小僅與導(dǎo)體的形狀、相對(duì)位置、其間的電介質(zhì)有關(guān).與所帶電荷量無(wú)關(guān).二電容器電容的計(jì)算1）設(shè)兩極板分別帶電；2）求

；3）求；4）求

.步驟++++++------1

平板電容器（2）兩帶電平板間的電場(chǎng)強(qiáng)度（1）設(shè)兩導(dǎo)體板分別帶電（3）兩帶電平板間的電勢(shì)差（4）平板電容器電容++++++------2圓柱形電容器（3）（2）（4）電容++++----（1）設(shè)兩導(dǎo)體圓柱面單位長(zhǎng)度上分別帶電例２球形電容器的電容球形電容器是由半徑分別為和的兩同心金屬球殼所組成．解設(shè)內(nèi)球帶正電（），外球帶負(fù)電（）．＋＋＋＋＋＋＋＋孤立導(dǎo)體球電容*單位長(zhǎng)度的電容解設(shè)兩金屬線的電荷線密度為

例3兩半徑為的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線中心間距為，且,求單位長(zhǎng)度的電容.三電容器的串聯(lián)和并聯(lián)１電容器的并聯(lián)２電容器的串聯(lián)＋＋電容器的串聯(lián)U++++____++++____qq-q-qU1U2C1C2U++++____q1UC1++++____q2-qC2例題5、半徑分別為a和b的兩個(gè)金屬球，它們的間距比本身線度大得多。今用一細(xì)線將兩者相連接，并給系統(tǒng)帶上電荷Q,求（１）、每個(gè)球上分配到的電荷

是多少？（２）、按電容定義式，計(jì)算此系統(tǒng)的電容。ab解（１）（２）解（１）、ab例題6、一電容器由兩根很長(zhǎng)的同軸簿圓筒組成，內(nèi)外半徑分別為Ｒ１和Ｒ２，電容器接在電壓為Ｕ的電源上，試求距離軸線為Ｒ處Ａ點(diǎn)的ＥＡ和Ａ點(diǎn)與外筒之間的電勢(shì)差。R1R2U解：r另一種方法？？R1R2Ur例題7、圖示為一球形電容器，在外殼的半徑b及內(nèi)外導(dǎo)體間的電勢(shì)差Ｕ恒定的情況下，內(nèi)球半徑a為多大時(shí)，才能使內(nèi)球表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度最小。oabU解：內(nèi)球表面處的場(chǎng)強(qiáng)大小為:例8、兩個(gè)電容器１和2串聯(lián)以后接上電源充電，在電源保持接的情況下，若把介質(zhì)充入電容器2中，則電容器1的電勢(shì)差如何變化？電容器1上的電量又如何變化？（填增大，減小，不變）ＵＣ１Ｃ２１２例9、兩只電容器，Ｃ１＝８

Ｆ，Ｃ２＝２

Ｆ，分別把它們充電到1000V,然后將它們反接（如圖所示),此時(shí)兩極板間的電勢(shì)差為：（Ａ）、０Ｖ；（Ｂ）、２００Ｖ；（Ｃ）、６００Ｖ；（Ｄ）、１０００ＶＣ１Ｃ２＋－＋－例10.

球形電容器由半徑為R1的導(dǎo)體球和內(nèi)半徑為R3的導(dǎo)體球殼構(gòu)成，其間有兩層均勻電介質(zhì)，分界面的半徑為R2，相對(duì)介電常數(shù)分別為

r1和

r2

。求：電容。R1R2R3

r1

r2解：1、在-d<x<d的空間區(qū)域內(nèi)，電荷密度>0為常數(shù)，其它區(qū)域均為真空。若在x=2d處將質(zhì)量為m,電量為q（<0）的帶電質(zhì)點(diǎn)自靜止釋放。試問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間它能到達(dá)x=0的位置。解、由高斯定理可得電場(chǎng)分布靜電場(chǎng)拓展習(xí)題帶電質(zhì)點(diǎn)由x=2d運(yùn)動(dòng)到x