高考第一輪復習講義 第35講 等差數(shù)列及其前n項和（原卷版+解析版 ）

第35講等差數(shù)列及其前n項和學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A．10 B．11 C．12 D．132．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A． B．-1 C．1 D．3．（2022·福建·莆田華僑中學模擬預(yù)測）2022年4月26日下午，神州十三號載人飛船返回艙在京完成開艙．據(jù)科學計算，運載“神十三”的“長征二號”遙十三運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為2千米，以后每秒鐘通過的路程都增加2千米，在達到離地面380千米的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程需要的時間大約是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒4．（2022·福建省德化第一中學模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．145．（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．66．（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.97．（2022·重慶·二模）等差數(shù)列的公差為2，前項和為，若，則的最大值為（

）A．3 B．6 C．9 D．128．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．9．（2022·廣東·華南師大附中三模）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項和為，則（

）A．351 B．353 C．531 D．53310．（多選）（2022·河北滄州·二模）已知數(shù)列滿足，記的前項和為，則（

）A． B．C． D．11．（多選）（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測）記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則12．（2022·北京·101中學三模）已知等差數(shù)列中，則_______．13．（2022·山東青島·二模）將等差數(shù)列中的項排成如下數(shù)陣，已知該數(shù)陣第n行共有個數(shù)，若，且該數(shù)陣中第5行第6列的數(shù)為42，則___________.a1a2a3a4a5a6a7……14．（2022·遼寧·撫順一中模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則______，______．15．（2022·江蘇·南京市天印高級中學模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到立冬的日晷長的和為______尺16．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前13項和為______．17．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知和均為等差數(shù)列，若，則的值是__________.18．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列{}的前n項和是，，，則數(shù)列{||}中值最小的項為第___項．19．（2022·湖北·大冶市第一中學模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和．20．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預(yù)測）在“①，，；②，；③”三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上，并解答．已知等差數(shù)列的前n項和為，且__________．(1)求的通項公式；(2)若，求的前n項和為，求證：．【素養(yǎng)提升】1．（2022·浙江省江山中學模擬預(yù)測）已知依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．依次可組成等差數(shù)列 B．依次可組成等差數(shù)列C．依次可組成等差數(shù)列 D．依次可組成等差數(shù)列2．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且3．（多選）（2022·江蘇·南京市江寧高級中學模擬預(yù)測）已知兩個等差數(shù)列和，其公差分別為和，其前項和分別為和，則下列說法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，則 B．若為等差數(shù)列，則C．若為等差數(shù)列，則 D．若，則也為等差數(shù)列，且公差為4．（多選）（2022·福建南平·三模）如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設(shè)數(shù)列的前項和為.則（

）A． B． C． D．5．（2022·湖北·荊門市龍泉中學一模）在數(shù)列中，，，，則_______；的前2022項和為_______．6．（2022·湖南·長郡中學模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和（a為常數(shù)），則________；設(shè)函數(shù)且，則__________.第35講等差數(shù)列及其前n項和學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項的性質(zhì)和前項和公式求解.【詳解】因為，又，所以，所以，故選：B．2．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】C【分析】利用等差中項，及等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：在等差數(shù)列中，，，故，又，故，則，故.故選：C.3．（2022·福建·莆田華僑中學模擬預(yù)測）2022年4月26日下午，神州十三號載人飛船返回艙在京完成開艙．據(jù)科學計算，運載“神十三”的“長征二號”遙十三運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為2千米，以后每秒鐘通過的路程都增加2千米，在達到離地面380千米的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程需要的時間大約是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒【答案】D【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的定義可知每秒鐘通過的路程構(gòu)成數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的前項求和公式計算即可.【詳解】設(shè)每秒鐘通過的路程構(gòu)成數(shù)列，則是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，由求和公式有，解得．故選：D.4．（2022·福建省德化第一中學模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，化簡得到，即可求解.【詳解】因為，由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式得，即，則.故選：C.5．（2022·海南海口·二模）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式化簡可得.【詳解】因為，又，所以，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.6．（2022·全國·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D7．（2022·重慶·二模）等差數(shù)列的公差為2，前項和為，若，則的最大值為（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】先利用等差數(shù)列的通項公式得到首項，再利用等差數(shù)列的前項和公式和一元二次函數(shù)求其最值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，因為，且，所以，解得，則，即取最大值為9.故選：C.8．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列、的公差分別為、,由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出它們的首項、公差之間的關(guān)系,可得結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差分別為和,即,即①,即②由①②解得故選：C9．（2022·廣東·華南師大附中三模）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項和為，則（

）A．351 B．353 C．531 D．533【答案】B【分析】根據(jù)題意討論的奇偶，當為奇數(shù)時，可得，按等差數(shù)列理解處理，當為偶數(shù)時，可得，按并項求和理解出來，則按奇偶分組求和分別理解處理．【詳解】依題意，，顯然，當n為奇數(shù)時有，即有，，…，，令，故，所以數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，故；當n為偶數(shù)時有，即，，…，，于是，，故選：B．10．（多選）（2022·河北滄州·二模）已知數(shù)列滿足，記的前項和為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由條件可得當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，，然后可逐一判斷.【詳解】因為，所以當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.所以，選項錯誤；又因為，所以，選項B正確；故C正確，選項D正確.故選：BCD11．（多選）（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測）記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及等差中項，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則對于A，由數(shù)列是等差數(shù)列及，所以可取，所以不成立，故A正確；對于B，由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以恒成立，故B不正確；對于C,由數(shù)列是等差數(shù)列，可取，所以不成立，故C正確；對于D，由數(shù)列是等差數(shù)列，得，無論為何值，均有所以若，則恒不成立，故D正確.故選：ACD.12．（2022·北京·101中學三模）已知等差數(shù)列中，則_______．【答案】4【分析】設(shè)出公差，利用等差數(shù)列通項公式基本量計算得到方程組，求出公差，求出答案.【詳解】設(shè)公差為，則，解得：，所以故答案為：413．（2022·山東青島·二模）將等差數(shù)列中的項排成如下數(shù)陣，已知該數(shù)陣第n行共有個數(shù)，若，且該數(shù)陣中第5行第6列的數(shù)為42，則___________.a1a2a3a4a5a6a7……【答案】【分析】利用等比數(shù)列前項和公式確定42為數(shù)列中的第幾項，可以求出公差，從而確定等差數(shù)列的通項公式.【詳解】解：設(shè)公差為，因為該數(shù)陣第n行共有個數(shù)，則前4行共有個數(shù)，所以第5行第6列數(shù)為，則，所以．故答案為：．14．（2022·遼寧·撫順一中模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則______，______．【答案】

0

0【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，化簡可得，代入即可求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式，即可求出答案.【詳解】等差數(shù)列中，，所以，即，所以，故答案為：①0；②0.15．（2022·江蘇·南京市天印高級中學模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到立冬的日晷長的和為______尺【答案】60【分析】因為相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，所以每個節(jié)氣的日晷長構(gòu)成等差數(shù)列，所以夏至到立冬的日晷長的和可以用等差數(shù)列求和公式得到.【詳解】因為相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，所以每個節(jié)氣的日晷長構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)冬至日晷長13.5尺為，則芒種日晷長2.5尺為，所以，所以夏至日晷長為1.5尺，記夏至日晷長1.5尺為，小暑為，大暑為，……，立冬為則.故答案為：60.16．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前13項和為______．【答案】【分析】由等差數(shù)列的通項公式得，再代入求和公式可求得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，，，則，故答案為：．17．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知和均為等差數(shù)列，若，則的值是__________.【答案】6【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算即可得解.【詳解】解：因為和均為等差數(shù)列，所以，所以，即，所以.故答案為：6.18．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列{}的前n項和是，，，則數(shù)列{||}中值最小的項為第___項．【答案】10【分析】根據(jù)題意判斷等差數(shù)列{}的，，，由此可判斷數(shù)列的項的增減情況，進而確定答案.【詳解】由題意得：，∴，，∴，，∴，故等差數(shù)列{}為遞減數(shù)列，即公差為負數(shù)，因此的前9項依次遞減，從第10項開始依次遞增，由于，∴{||}最小的項是第10項，故答案為：1019．（2022·湖北·大冶市第一中學模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和．【解】(1)由題意得：由題意知，則又，所以是公差為2的等差數(shù)列，則；(2)由題知則20．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預(yù)測）在“①，，；②，；③”三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上，并解答．已知等差數(shù)列的前n項和為，且__________．(1)求的通項公式；(2)若，求的前n項和為，求證：．【解】(1)若選擇①，因為，，，，解得，，設(shè)公差為d，則有，，解得，，所以．若選擇②，設(shè)公差為d，，即，結(jié)合，解得，，所以．若選擇③，當時，；當時，，當時亦滿足上式，所以．(2)證明：由（1）得，所以，因為，（），所以，所以．【素養(yǎng)提升】1．（2022·浙江省江山中學模擬預(yù)測）已知依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．依次可組成等差數(shù)列 B．依次可組成等差數(shù)列C．依次可組成等差數(shù)列 D．依次可組成等差數(shù)列【答案】B【分析】取，即可判斷A；利用反證法，假設(shè)依次可組成等差數(shù)列，則有，，兩式相加，整理即可判斷B；取，從而可判斷CD.【詳解】解：對于A，當時，此時依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則依次組成等差數(shù)列，故A正確；對于B，假設(shè)依次可組成等差數(shù)列，則有，又因，兩式平方相加得，則，故，所以，所以，與題意矛盾，所以依次不可能組成等差數(shù)列，故B錯誤；對于C，當時，若，則為等差數(shù)列，故C正確；對于D，當時，若，則為等差數(shù)列，故D正確.故選：B.2．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，進而根據(jù)的關(guān)系即可確定答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，則為奇函數(shù)，且，所以在R上遞減，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以，.故選：C.3．（多選）（2022·江蘇·南京市江寧高級中學模擬預(yù)測）已知兩個等差數(shù)列和，其公差分別為和，其前項和分別為和，則下列說法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，則 B．若為等差數(shù)列，則C．若為等差數(shù)列，則 D．若，則也為等差數(shù)列，且公差為【答案】ABD【分析】對于A，利用化簡可得答案；對于B，利用化簡可得答案；對于C，利用化簡可得答案；對于D，根據(jù)可得答案.【詳解】對于A，因為為等差數(shù)列，所以，即，所以，化簡得，所以，故A正確；對于B，因為為等差數(shù)列，所以，所以，所以，故B正確；對于C，因為為等差數(shù)列，所以，所以，化簡得，所以或，故C不正確；對于D，因為，且，所以，所以，所以，所以也為等差數(shù)列，且公差為，故D正確.故選：ABD4．（多選）（2022·福建南平·三模）如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設(shè)數(shù)列的前項和為.則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由圖觀察可知第圈的個點對應(yīng)的這項的和為0，則，同時第圈的最后一個點對應(yīng)坐標為，設(shè)在第圈，則圈共有個數(shù)，可判斷前圈共有個數(shù)，所在點的坐標為，向前推導，