2023-2024學年九年級數(shù)學《考點·題型·難點》期末高效復習（人教版）第08講：銳角三角函數(shù) （必刷10大考題+10大題型）解析版

第第頁第08講：銳角三角函數(shù)【考點歸納】考點一：正弦考點二：余弦考點三：正切考點四：特殊角三角函數(shù)的計算考點五：由三角函數(shù)值求銳角考點六：三角函數(shù)的增減性考點七：同角三角函數(shù)的關系考點八：解直角三角形問題考點九：銳角三角函數(shù)實際應用考點十：銳角三角函數(shù)綜合問題【知識歸納】1.Rt△ABC中∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝EQ\f(∠A的對邊,斜邊)(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝EQ\f(∠A的鄰邊,斜邊)(3)∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝EQ\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊)2.特殊值的三角函數(shù)：30°EQ\f(1,2)EQ\f(\r(3),2)EQ\f(\r(3),3)45°EQ\f(\r(2),2)EQ\f(\r(2),2)160°EQ\f(\r(3),2)EQ\f(1,2)EQ\r(3)解直角三角形時，所用關系：邊的關系：角的關系：邊角關系：，，，，，【題型歸納】題型一：正弦1．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）在中，，，，則的值是（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【分析】本題考查了三角函數(shù)定義的應用，直接運用三角函數(shù)定義求解即可．【詳解】解：中，．∵，，∴，∴∴．故選：D．2．（2023上·陜西西安·九年級校聯(lián)考期中）如圖，每個小正方形的邊長均為1，若點，，都在格點上，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，得到，再利用勾股定理求出，的長，即可求出最后結果．【詳解】解：如圖，連接，

則，，，故選：A．【點睛】本題考查了銳角三角形函數(shù)，勾股定理，利用勾股定理求出邊長是解答本題的關鍵．3．（2023上·山西運城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，交的延長線于點，已知，，則的長為(

)

A． B． C． D．無法計算【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的性質以及已知條件，可得，進而可得，根據(jù)正弦的定義，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．題型二：余弦4．（2023上·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點A、B、C均在小正方形的頂點上，且每個小正方形的邊長均為1，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，利用勾股定理得到，進而得到是直角三角形，從而求解.【詳解】解：連接，如圖所示，

由勾股定理可得：，∴∴是直角三角形，即∴故選：B．【點睛】本題主要考查了求角的余弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟練掌握在方格中利用勾股定理求邊長，同時判斷三角形形狀是解題的關鍵．5．（2023上·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學?？计谀┤鐖D，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點落在處，若的延長線恰好過點，則的值為（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可以得到，然后利用勾股定理可以得到，然后計算解題即可．【詳解】解：∵在矩形中,，由折疊的性質可知：，，∴，∵，，，故選B．【點睛】本題考查折疊的性質與勾股定理，三角函數(shù)，掌握折疊的性質是解題的關鍵．6．（2023上·山東威?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期末）在邊長相等的小正方形組成的網格中，點都在格點上，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，利用網格特征可知，利用勾股定理求出，，根據(jù)余弦的定義即可求得答案．【詳解】解：如圖，由網格特征可知，，在中，，，∴，故選：A題型三：正切7．（2023上·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，是邊上的高，是邊上的中線，，，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識，根據(jù)為邊上的中線，可得，進而可得，，則有，，即可得，問題得解．【詳解】解：在中，∵為邊上的中線，且，∴，∴，，∵，∴，，∵為邊上的高，∴，∴在中，，∴．故選：A．8．（2023上·重慶萬州·九年級統(tǒng)考期末）直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將紙片按如圖那樣折疊，使A與電B重合，折痕為，則的值是（

）

A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質得出，設，則，在中，根據(jù)勾股定理得出，列出方程求出x的值，最后根據(jù)正切的定義，即可解答．【詳解】解：∵沿折疊得到，∴，設，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了折疊的性質，勾股定理，正切的定義，解題的關鍵是掌握折疊前后對應邊相等．9．（2022上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形紙片中，點在邊上，沿著折疊使點落在邊上點處，過點作交于點．若，，則的長為（

）

A． B．2 C． D．【答案】A【分析】連接，根據(jù)折疊的性質和平行線的性質，證得，然后可證得，求得的長度，根據(jù)勾股定理即可求得答案．【詳解】如圖所示，連接．

根據(jù)折疊的性質可知，，，，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，，∴．又，∴．∴．∴．設，則，．在中，根據(jù)勾股定理可得．即．解得．∴．故選：A．題型四：特殊角三角函數(shù)的計算10．（2023上·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可求解．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．11．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了含特殊角三角函數(shù)值的混合運算，（1）先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后先算乘方，再算乘法，最后算加減；（2）先將特殊角三角函數(shù)值代入，利用平方差公式計算即可．【詳解】（1）解：原式，，；（2）解：原式，，．12．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】原式；【分析】本題考查了分式的化簡求值，特殊角的三角函數(shù)值，分母有理化，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．先把所給分式化簡，再把化簡后的x代入計算即可．【詳解】解：原式∵∴原式．題型五：由三角函數(shù)值求銳角13．（2023上·湖南岳陽·九年級?？计谀┰谥?，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，可得，進而得出，即可求解．【詳解】解：在中，∵，，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了特殊角的銳角三角函數(shù)值，直角三角形兩銳角互余，解題的關鍵是正確識記各個特殊角的三角函數(shù)值．14．（2022上·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）已知中，，，則的形狀（）A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了由三角函數(shù)值求銳角、三角形的內角和，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得、，再利用三角形的內角和即可求解，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．【詳解】解：由，得，，得，，故是鈍角三角形，故選：C．15．（2023上·四川眉山·九年級?？计谀┤糁?，銳角A、B滿足，則是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質求出和的度數(shù)，即可判斷的形狀．【詳解】解：∵，∴，且，∴，，∴，∴為等邊三角形，故選：D．題型六：三角函數(shù)的增減性16．（2022上·上海靜安·九年級統(tǒng)考期末）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“正弦值隨著角度的增大而增大”解答即可．【詳解】解：∵0°＜25°＜30°∴∴．故選A．【點睛】本題主要考查了銳角三角形的增減性，當角度在0°~90°間變化時，①正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；③正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?7．（2018上·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）比較cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（

）A．cos10° B．cos20° C．cos30° D．cos40°【答案】A【分析】根據(jù)同名三角函數(shù)大小的比較方法比較即可．【詳解】∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查了同名三角函數(shù)大小的比較方法，熟記銳角的正弦、正切值隨角度的增大而增大；銳角的余弦、余切值隨角度的增大而減小．18．（2018下·全國·九年級統(tǒng)考期末）已知∠A為銳角，且tanA＝，則∠A的取值范圍是（）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【答案】C【分析】通過tan30°、tan45°、tan60°這些特殊角度的正切值來判斷隨角度變化正切值的變化規(guī)律，再通過具體數(shù)值確定其大致范圍.【詳解】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，則可知正切值隨角增大而增大，由1＜＜可得，45°＜∠A＜60°．故選擇C．題型七：同角三角函數(shù)的關系19．（2019上·上海普陀·九年級統(tǒng)考期末）已知在中，，，那么下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)的關系解答．【詳解】在Rt△ABC中，∠C=90°，，則cosA=A、cosB=sinA=，故本選項符合題意．B、cotA=．故本選項不符合題意．C、tanA=．故本選項不符合題意．D、cotB=tanA=．故本選項不符合題意．故選：A．【點睛】此題考查同角三角函數(shù)關系，解題關鍵在于掌握（1）平方關系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦與正切之間的關系（積的關系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比.20．（2022·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ薪ㄆ綄嶒炛袑W?？计谥校┮阎獮殇J角，且，那么的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)求出，然后根據(jù)求解即可．【詳解】∵，為銳角，∴，∴．故選：A．【點睛】此題考查了求角的正切值，解題的關鍵是熟練掌握三角函數(shù)公式．21．（2021上·廣西崇左·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，于點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題目已知條件推出∽，則可得，然后根據(jù)，設，，利用對應邊成比例表示出的值，進而得出的值，【詳解】∵在中，，∴,∵于點，∴，∴，，∴∽，∴，即，，∵，∴設，，∴，∴，故選：B．題型八：解直角三角形問題22．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，下列結論正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了銳角三角三角函數(shù)關系．根據(jù)銳角三角三角函數(shù)關系，逐項判斷，即可求解．【詳解】解：A、，故本選項錯誤，不符合題意；B、，故本選項錯誤，不符合題意；C、，故本選項錯誤，不符合題意；D、，故本選項正確，符合題意；故選：D．23．（2023上·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，則的長為（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根據(jù)，，算出和，再根據(jù)，算出，最后根據(jù)計算即可．【詳解】如下圖，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構造直角三角形是解題的關鍵．24．（2021上·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，則△ABC的面積為（

）A． B．＋1 C． D．＋1【答案】C【分析】過點A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分別用AD表示出BD、CD，根據(jù)BC的長先求出AD，再求三角形的面積．【詳解】如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴BD＝AD．在Rt△ACD中，∠C＝30°，∴CD＝AD．∵BD＋CD＝BC，∴AD＋AD＝1＋．即AD＝1．∴S△ABC＝×BC×AD＝（1＋）．故選：C．題型九：銳角三角函數(shù)實際應用25．（2023上·陜西榆林·九年級?？计谀┮凰邑涊啅男u正南方向的點處向西航行到達點處，然后沿北偏西方向航行到達點處，此時觀測到小島在北偏東方向，則小島與出發(fā)點之間的距離為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應用，方向角，矩形的判定與性質，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握相關性質，熟悉銳角三角函數(shù)定義是解答本題的關鍵．過點作于點，過點作于點，得到四邊形是矩形，，，由直角三角形的性質得到，再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得到，由此得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，過點作于點，，四邊形是矩形，，，由題意得：，，，，，，，．故選：．26．（2023上·陜西榆林·九年級?？计谀┰絹碓蕉嗵柲苈窡舻氖褂?，既點亮了城市的風景，也使節(jié)能環(huán)保的舉措得以落實．某校學生開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，測傾器（）的高度為米，在測點A處安置測傾器，測得點M的仰角，在與點A相距米的測點D處安置測傾器，測得點M的仰角（點A，D與N在一條直線上），求電池板離地面的高度MN（結果精確到米）．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】米【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的應用，構造直角三角形求解是解題的關鍵．延長交于點F，設米，在中，利用正切定義求出，在中，利用正切定義得出，求出x的值，即可解答．【詳解】解：如圖，延長交于點F，則米，米，．設米，在中，，∴（米），∴米．在中，，∴，解得，經檢驗是原方程的根．∴米，∴（米），答：電池板離地面的高度MN約為米．27．（2023上·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，一座古塔座落在小山上（塔頂記作點，其正下方水平面上的點記作點），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距離，便利用無人機進行測量，但由于某些原因，無人機無法直接飛到塔頂進行測量，因此他先控制無人機從腳底（記為點C）出發(fā)向右上方（與地面成45°，點A，B，C，O在同一平面）的方向勻速飛行4秒到達空中O點處，再調整飛行方向，繼續(xù)勻速飛行8秒到達塔頂，已知無人機的速度為5米/秒，，求小李到古塔的水平距離即的長.（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】21【分析】過點O作，交的延長線于點D，過點O作，垂足為E，根據(jù)題意可得：米，米，，，從而可得，進而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．本題考查了解直角三角形的應用?仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．【詳解】解：過點O作，交的延長線于點D，過點O作，垂足為E，由題意得：（米），（米），，∴，∵，∴，在中，（米），在中，（米），∴（米），∴（米），∴小李到古塔的水平距離即的長約為21米．題型十：銳角三角函數(shù)綜合問題28．（2023上·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點C在以為直徑的上，平分交于點D，交于點E，過點D作交的延長線于點F．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，圓的性質，特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握切線的判定，特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．(1)連接，證明即可．(2)在中，根據(jù)，得到，，利用平行線性質得到，在，利用三角函數(shù)計算即可．【詳解】（1）解：連接，∵平分交于點D，為直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴直線是的切線．（2）解：如上圖，在中，∵，，為直徑，，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．29．（2023上·江蘇南通·九年級?？计谀┮阎萌鐖D，為半圓上的一點，，過點作直徑的垂線，為垂足，弦分別交于點．(1)求證∶；(2)若，，求的長【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，然后根據(jù)題意得到，然后通過等量代換得到，進而求解即可；（2）已知，就是已知的正切值，根據(jù)，可以根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等求得．【詳解】（1）證明：連接，，．，．是直徑，．，，，，．（2）解：，，．．，，．，．．，，．．．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的運用，圓周角定理，相似三角形的性質和判定，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握相似三角形的性質：相似三角形對應邊成比例，對應角相等．相似三角形的判定方法：①兩組角對應相等的兩個三角形相似；②三邊對應成比例的兩個三角形相似；③兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．30．（2023上·山東青島·九年級山東省青島第二十六中學?？计谀┤鐖D，已知矩形，，，點F為中點．點P從點D出發(fā)，沿方向勻速向點A運動，點E從點C出發(fā)，沿方向勻速向點A運動，點P、E的運動速度均為1；當點P、E中有一點停止運動時，另一點也停止運動．連接、．設運動時間為，解答下列問題：(1)當點P在的平分線上時，求t的值；(2)設的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關系式；(3)連接，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得是等腰三角形．若存在，請求出t，若不存在，請說明理由．【答案】(1)當點P在的平分線上時，t的值為5；(2)；(3)存在，t的值是5或6或7.2．【分析】（1）作出的平分線，運用角平分線的性質構造直角三角形，用t表示出、的長度，再根據(jù)勾股定理求解．（2）作出和的高，利用三角函數(shù)表示出兩條高的長度，易得、和的面積，最后用的面積減去三個三角形的面積即可表示出的面積．（3）存在，分三種情況討論：或或，難點在第三種情況，需要構造輔助線，利用銳角三角函數(shù)求解．【詳解】（1）（1）如圖1，過點P作于點Q，由題意得：，在矩形中，，，平分，，，，，，，由勾股定理得：，，解得：，當點P在的平分線上時，t的值為5；（2）（2）如圖2，過點P作于G，過點E作于H，由題意得：，，即，，同理得：，，即；（3）（3）存在，分三種情況：①如圖3當E與O重合時，此時；②如圖4，CE＝CD＝6時，此時；③如圖5，DE＝CD＝6，過點D作，，即，，，，綜上，t的值是5或6或7.2．【強化精練】一、單選題31．（2023上·山西晉城·九年級校聯(lián)考期末）在中，各邊都擴大3借，則的正切值（

）A．擴大3倍 B．縮小為原來的 C．不變 D．不能確定【答案】C【分析】本題考查了正切函數(shù)的概念，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可得答案．屬于簡單題．理解正切函數(shù)的定義是解題關鍵．【詳解】解：由題意，得，各邊都擴大3倍，則角A的正切值不變．故選：C．32．（2023上·山西長治·九年級校聯(lián)考期末）學校攝影興趣小組在上攝影課，小王發(fā)現(xiàn)攝影三腳架如圖1所示，該支架三個腳長度相同且與地面夾角相同．如圖2，過點A向地面作垂線，垂足為C．若三腳架的一個腳的長為2米，，則相機距地面的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本此題主要考查了解直角三角形的應用，直接利用銳角三角函數(shù)關系得出，進而得出答案．【詳解】解：∵三腳架的一個腳的長為2米，，∴，∴（米）．故選：B．33．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點A、B、C、D在上，于點E．若，，則的長為（

）A． B． C．8 D．4【答案】A【分析】本題主要考查圓周角定理和垂徑定理以及三角函數(shù)，連接，根據(jù)圓周角定理求得，在中可得，可得的長度，故長度可求得，即可求解．【詳解】解：連接，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故選：A．34．（2023上·吉林長春·九年級校考階段練習）如圖，四邊形為正方形，點在邊上，且，點在邊上，且．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，設，則，根據(jù)相似三角形的性質求得，進而根據(jù)正切的定義，，即可求解．【詳解】解：∵四邊形為正方形，．∴，，∴，∴∵，，則，設，則，∴解得：或∵，∴，∴,故選：C．【點睛】本題考查了求正切，相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．35．（2023上·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是上的三個點，，連接，過點作交于點，交于點，若點是的中點，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，利用余弦的定義求出，再根據(jù)圓周角定理得到，然后計算即可．【詳解】解：連接，如圖，

點是半徑中點，，，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值求角度，圓周角定理，掌握以上知識是解題的關鍵，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．36．（2023上·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，正六邊形的邊長為，這個正六邊形外接圓的圓心到該正六邊形一條邊的距離是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接、，求出，可得是等邊三角形，即可求出正六邊形的邊長和的半徑，再解直角三角形即可求得邊心距．【詳解】解：連接、，如圖所示：

∵六邊形為正六邊形，∴，∴是等邊三角形，∵正六邊形的邊長為，∴，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質、解直角三角形等邊三角形的判定與性質；熟練掌握正六邊形的性質，證明三角形是等邊三角形是解題的關鍵．37．（2023上·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）題目：“在中，，，，求的長度．”對于其答案，甲答：的長度為，乙答：的長度為，丙答：的長度為，則正確的是（

）A．只有甲答的對 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)值及勾股定理分直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形三種情況討論解答即可．【詳解】解：∵在中，，，∴假設是直角三角形，∴，∵，∴假設與已知條件出現(xiàn)矛盾，∴不是直角三角形；當是銳角三角形時，過點作，垂足為，∴，∵，，∴在中，，∴，∴在中，，在中，，∴；

當是鈍角三角形時，過點作，垂足為，∴，∵，，∴在中，，∴，∴，∵，∴在中，，∴，故選．

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關鍵．38．（2023上·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，以點為圓心，為半徑作，邊與相切于點，把繞點逆時針旋轉得到，點的對應點恰好落在上，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，由旋轉的性質可知，，即可推出，然后證明是等邊三角形，得到，則．【詳解】解：如圖所示，連接，

由旋轉的性質可知，，∴，∴，又∵點在圓O上，∴，即，∴是等邊三角形，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質與判定，特殊角三角函數(shù)值，正確作出輔助線構造等邊三角形時解題的關鍵．39．（2023上·山西運城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，于點，將沿直線折疊，點在邊上的點處，已知，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作于點，先這么，再根據(jù)折疊的性質、勾股定理得到，由余弦定義得到，由正弦定義得到，據(jù)此設，，解出，從而得到，最后根據(jù)正弦定義解答即可．【詳解】解：如圖，作于點，

在中，∴折疊設故選：A．【點睛】本題考查正弦、余弦、勾股定理、平行線的判定與性質等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．40．（2023上·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為2的正六邊形繞點O順時針旋轉n個，得到正六邊形，當時，正六邊形的頂點的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由于正六邊形每次轉45°，根據(jù)，則的坐標與的坐標相同，求得的坐標即可．【詳解】解：將邊長為2的正六邊形繞點順時針旋轉個，∴，當時，則的坐標與的坐標相同，則如圖，過點作于，過點軸于點，

，，，，正六邊形的一個外角，，，，

，，，．故選B．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質解直角三角形、正六邊形的性質、正多邊形的外角和、內角和等知識點，發(fā)現(xiàn)的坐標與的坐標相同是解題的關鍵．二、填空題41．（2023上·廣東揭陽·九年級?？计谀┤鐖D，菱形的周長為8，兩鄰角的比為，則對角線的長分別為．【答案】或2/2或【分析】本題考查菱形性質的運用，屬于基礎題目，根據(jù)菱形的性質求出菱形的邊長，然后根據(jù)等邊三角形的性質求解即可．依題意，根據(jù)菱形的性質首先求出邊長，然后推出對角線與菱形的兩邊構成的三角形為等邊三角形，最后可解答．【詳解】解：菱形的周長為8，菱形的邊長是∶，兩個鄰角的比是，較大的角是，較小的角是，這個菱形的對角線所對的角是，由菱形的性質得到，與菱形的兩邊構成的三角形是等邊三角形，故答案為∶2和．42．（2023上·吉林·九年級?？计谀┤鐖D，在中，，，則．【答案】【分析】本題考查求一個角的正弦值．設，則：，勾股定理求出的長，利用，求解即可．牢記正弦的定義，是解題的關鍵．【詳解】解：∵，，∴設，則：，∴，∴．故答案為：．43．（2023上·河北衡水·九年級?？计谀┤鐖D，為了測得某建筑物的高度，在處用高為的測角儀，測得該建筑物頂端的仰角為，再向建筑物方向前進，又測得該建筑物頂端A的仰角為，則該建筑物的高度為（結果保留根號）【答案】【分析】本題考查解直角三角形的應用，設米，利用正切的定義用x表示出，，根據(jù)列方程，即可求解．【詳解】解：由題意知，，，設，在中，，則，在中，，則，，，解得，，故答案為：．44．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，對角線、相交于點，，，，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理等是一道綜合型比較強的題目，要充分利用題干已知信息挖掘題目所隱含的信息，解答本題的關鍵在于做輔助線構造直角三角形，利用相似求解出邊長．【詳解】解：過點作于，延長交的平行線于點，∴，在中，∴設，，又，又勾股定理得，，∴，．又∵為等腰三角形，∴，∴，又∵，∴，又∵，，，∴，∴∴，又∵，．∴在中，．故答案為：．45．（2023上·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）構建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結合”思想的重要方法，在計算時，如圖，在中，，，延長，使，連接，使得，所以，類比這種方法，計算．【答案】【分析】如圖，在中，，，作的角平分線，作，設，則，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，在中，，，作的角平分線，作，∴，，∵，設，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內角和，角平分線的性質定理，等腰三角形的性質，正弦，正切等知識．熟練掌握角平分線的性質定理，正弦，正切是解題的關鍵．46．（2023上·浙江溫州·九年級溫州市龍灣區(qū)海城中學?？计谀┤鐖D，在中，是直徑，弦于點，點是上一點，弦，連接交于點與的延長線交于點，設，已知，當時，．連接，若，則．【答案】【分析】先根據(jù)直徑所對的圓周角是以及垂直定義，得，結合，即可證明，得，證明，則，即，故，即可得到；連接，，，因為，是直徑，所以，設，則，得出，根據(jù)正弦的定義，計算即可得到答案.【詳解】解：∵是直徑，弦于點，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，則，即，故，∴，則；如圖，連接，，當時，∴∵∴，即，∴是的直徑，則，，四邊形是矩形∵，設，∵∴，∴，則，∵∴∵又∵即解得：（負值舍去）故答案為：，【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質，平行線的性質：難度較大，綜合性較強，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．三、解答題47．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值以及特殊角的三角函數(shù)值，熟記是代值計算的關鍵．【詳解】解：原式，∵，∴原式．48．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某座山的主峰觀景平臺高450米，登山者需由山底處先步行300米到達處，再由處乘坐登山纜車到達觀景平臺處，已知點，，，，，在同一平面內，，于，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時間忽略不計）(1)求登山纜車上升的高度；(2)若小明步行速度為，登山纜車的速度為，求小明從山底A處到達山頂處大約需要多少分鐘（結果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)登山纜車上升的高度(2)從山底A處到達山頂處大約需要【分析】本題考查解直角三角形的應用．（1）根據(jù)直角三角形的邊角關系求出，進而求出即可；（2）利用直角三角形的邊角關系，求出的長，再根據(jù)速度、路程、時間的關系進行計算即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作于，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是矩形，在中，，，，∴，∵，∴，答：登山纜車上升的高度；（2）解：在中，，，，，∴從山底處到達山頂處大約需要：，答：從山底處到達山頂處大約需要．49．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，AB是☉O的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點，DE⊥AB于點E，交AC于點F，交☉O于點H，DB交AC于點G．(1)求證；AF=DF；(2)若AF=，sin∠B=，求☉O的半徑．【答案】(1)見解析(2)☉O的半徑為5【詳解】（1）證明∵D是弧AC的中點，∴．∵AB⊥DH，且AB是☉O的直徑，∴，∴．∴∠ADH=∠CAD，∴AF=DF．（2）解∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠B=90°．∵∠DAE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠B，∴sin∠ADE=，tan∠ADE=．設AE=x，則DE=2x．∵DF=AF=，∴EF=2x-．∵AE2+E