高考第一輪復(fù)習(xí)講義 第10講 冪函數(shù)與二次函數(shù)（原卷版+解析版 ）

第10講冪函數(shù)與二次函數(shù)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·廣東·二模）定義在上的下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（p，q∈Z且p，q互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在[-2，1]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(diǎn)(3，)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)6．（2022·湖南·二模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知對數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C． D．8．（2022·北京·人大附中高三開學(xué)考試）已知二次函數(shù)的值域?yàn)?，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．109．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）有如下命題，其中真命題的標(biāo)號為（

）A．若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則B．函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是10．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．的定義域是C．是偶函數(shù)D．不等式的解集是11．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若冪函數(shù)在在上單調(diào)遞增，則______.12．（2022·廣東廣州·三模）寫出一個(gè)在區(qū)間上單調(diào)遞減的冪函數(shù)__________.13．（2022·北京房山·二模）已知函數(shù)若函數(shù)在上不是增函數(shù)，則a的一個(gè)取值為___________.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若在區(qū)間上的最大值是3，則的取值范圍是______.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，且的最大值為，則_______．16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的零點(diǎn)；（2）是否存在自然數(shù)，使？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【素養(yǎng)提升】1．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）是冪函數(shù)圖象上的點(diǎn)，將的圖象向上平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若點(diǎn)（，且）在的圖象上，則______.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則____．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，對于給定的負(fù)數(shù)，有一個(gè)最大的正數(shù)，使得時(shí)，都有，則的最大值為___________.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的值并寫出的解析式；（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式對于實(shí)數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）解關(guān)于的不等式：.第10講冪函數(shù)與二次函數(shù)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·廣東·二模）定義在上的下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A.,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在上不為增函數(shù)，故排除；B.在上單調(diào)遞減，故排除；C.，故函數(shù)在上為偶函數(shù)，故排除；D.，，故函數(shù)在上為奇函數(shù)，且由冪函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，滿足題意；故選：D2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（p，q∈Z且p，q互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且【答案】D【解析】因函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，于是得函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，則有0，又因p、q互質(zhì)，則q為奇數(shù)，所以只有選項(xiàng)D正確.故選：D3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．2【答案】D【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或2，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，符合題意，所以.故選：D.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在[-2，1]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4【答案】C【解析】函數(shù)對稱軸為，要使在區(qū)間[-2，1]上具有單調(diào)性，則或，∴或綜上所述的范圍是：k≤-8或k≥4.故選：C.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(diǎn)(3，)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得，解得，∴，函數(shù)的定義域?yàn)?是非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故選：D.6．（2022·湖南·二模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解：因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，又，所以，解得，因?yàn)橛煽赏瞥?，而由無法推出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知對數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，由題意可得：，則∴，，∴故選：C．8．（2022·北京·人大附中高三開學(xué)考試）已知二次函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)的值域?yàn)?，所以，即，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故選：A9．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）有如下命題，其中真命題的標(biāo)號為（

）A．若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則B．函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】BD【解析】對于A，令，則，解得：，，，A錯(cuò)誤；對于B，令，即時(shí)，，恒過定點(diǎn)，B正確；對于C，為開口方向向上，對稱軸為的二次函數(shù)，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；對于D，令，解得：或；又，實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：BD.10．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．的定義域是C．是偶函數(shù)D．不等式的解集是【答案】ACD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，得，即，，故A正確；函數(shù)的定義域是，故B不正確；，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故C正確；函數(shù)在是減函數(shù)，不等式等價(jià)于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正確.故選：ACD11．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若冪函數(shù)在在上單調(diào)遞增，則______.【答案】1【解析】冪函數(shù)在在上單調(diào)遞增可得解得故答案為：12．（2022·廣東廣州·三模）寫出一個(gè)在區(qū)間上單調(diào)遞減的冪函數(shù)__________.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知：為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.故答案為：（答案不唯一）.13．（2022·北京房山·二模）已知函數(shù)若函數(shù)在上不是增函數(shù)，則a的一個(gè)取值為___________.【答案】-2(答案不唯一，滿足或即可)【解析】y=x和y=的圖象如圖所示：∴當(dāng)或時(shí)，y=有部分函數(shù)值比y=x的函數(shù)值小，故當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上不是增函數(shù)．故答案為：-2．14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若在區(qū)間上的最大值是3，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由題易知，即，所以，又，所以.下證時(shí)，在上最大值為3.當(dāng)時(shí)，，;當(dāng)，若，即，則，滿足;若，即，此時(shí)，而，滿足;因此，符合題意.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，且的最大值為，則_______．【答案】2【解析】因?yàn)?，所以在，上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，則，又因?yàn)椋?，則，所以，令，且對稱軸為，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，則，所以，故答案為：216．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的零點(diǎn)；（2）是否存在自然數(shù)，使？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【解】（1）為冪函數(shù)，，解得：或；當(dāng)時(shí)，，，即為偶函數(shù)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，即為奇函數(shù)，符合題意；，此時(shí)，令，解得：，的零點(diǎn)為；（2）由（1）知：；與均為上的增函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，的解，不存在自然數(shù)，使得.【素養(yǎng)提升】1．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.，則的值域?yàn)?，又因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，的值域?yàn)?，因?yàn)?，，使得成立，所以，解?故選：A2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）是冪函數(shù)圖象上的點(diǎn)，將的圖象向上平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若點(diǎn)（，且）在的圖象上，則______.【答案】30【解析】由，得，，.因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)上，所以，即.所以，所以.故答案為：30.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則____．【答案】或【解析】解：函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象縱向?qū)φ圩儞Q得到的，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的最大值只能在或處取得，若時(shí)，函數(shù)取得最大值3，則，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，不滿足條件；若時(shí)，函數(shù)取得最大值3，則，，或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，滿足條件；綜上所述：值為1或3；故答案為：1或3．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，對于給定的負(fù)數(shù)，有一個(gè)最大的正數(shù)，使得時(shí)，都有，則的最大值為___________.【答案】【解析】，當(dāng)，即時(shí)，要使在上恒成立，要使取得最大值，則只能是的較小的根，即；當(dāng)，即時(shí)，要使取得最大值，則只能是的較大的根，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為.故答案為：5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的值并寫出的解析式；（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以解得：或(舍去)，所以；（2）由（1）可得，，所以，假設(shè)存在，使得在上的值域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；③當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞增，故，解得.綜上所述，存在使得在上的值域?yàn)?6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式對于實(shí)數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）解關(guān)