高考第一輪復習講義 第10講 冪函數(shù)與二次函數(shù)（原卷版+解析版 ）

第10講冪函數(shù)與二次函數(shù)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·廣東·二模）定義在上的下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)（p，q∈Z且p，q互質）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且3．（2022·全國·高三專題練習）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．24．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在[-2，1]上具有單調性，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤45．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)y＝f(x)經過點(3，)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)6．（2022·湖南·二模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2022·山東·德州市教育科學研究院三模）已知對數(shù)函數(shù)的圖像經過點與點，，，，則（

）A． B． C． D．8．（2022·北京·人大附中高三開學考試）已知二次函數(shù)的值域為，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．109．（多選）（2022·全國·高三專題練習）有如下命題，其中真命題的標號為（

）A．若冪函數(shù)的圖象過點，則B．函數(shù)且的圖象恒過定點C．函數(shù)在上單調遞減D．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則實數(shù)的取值范圍是10．（多選）（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)，則下列結論正確的有（

）A．B．的定義域是C．是偶函數(shù)D．不等式的解集是11．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若冪函數(shù)在在上單調遞增，則______.12．（2022·廣東廣州·三模）寫出一個在區(qū)間上單調遞減的冪函數(shù)__________.13．（2022·北京房山·二模）已知函數(shù)若函數(shù)在上不是增函數(shù)，則a的一個取值為___________.14．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，若在區(qū)間上的最大值是3，則的取值范圍是______.15．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)，，，當時，，且的最大值為，則_______．16．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)，設函數(shù)．（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的零點；（2）是否存在自然數(shù)，使？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【素養(yǎng)提升】1．（2022·湖南·高三階段練習）已知冪函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)，，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）是冪函數(shù)圖象上的點，將的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若點（，且）在的圖象上，則______.3．（2022·全國·高三專題練習）已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則____．4．（2022·全國·高三專題練習）已知，對于給定的負數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得時，都有，則的最大值為___________.5．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)在上單調遞減.（1）求的值并寫出的解析式；（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.6．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù).（1）若關于的不等式有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；（2）若不等式對于實數(shù)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）解關于的不等式：.第10講冪函數(shù)與二次函數(shù)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·廣東·二模）定義在上的下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A.,由正弦函數(shù)的性質可知在上不為增函數(shù)，故排除；B.在上單調遞減，故排除；C.，故函數(shù)在上為偶函數(shù)，故排除；D.，，故函數(shù)在上為奇函數(shù)，且由冪函數(shù)的性質知在上單調遞增，則在上單調遞增，滿足題意；故選：D2．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)（p，q∈Z且p，q互質）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且【答案】D【解析】因函數(shù)的圖象關于y軸對稱，于是得函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又函數(shù)的定義域為，且在上單調遞減，則有0，又因p、q互質，則q為奇數(shù)，所以只有選項D正確.故選：D3．（2022·全國·高三專題練習）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．2【答案】D【解析】因為是冪函數(shù)，所以，解得或2，當時，在上為減函數(shù)，不符合題意，當時，在上為增函數(shù)，符合題意，所以.故選：D.4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在[-2，1]上具有單調性，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4【答案】C【解析】函數(shù)對稱軸為，要使在區(qū)間[-2，1]上具有單調性，則或，∴或綜上所述的范圍是：k≤-8或k≥4.故選：C.5．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)y＝f(x)經過點(3，)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)【答案】D【解析】設冪函數(shù)的解析式為，將點的坐標代入解析式得，解得，∴，函數(shù)的定義域為,是非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故選：D.6．（2022·湖南·二模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解：因為是定義在上的增函數(shù)，又，所以，解得，因為由可推出，而由無法推出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7．（2022·山東·德州市教育科學研究院三模）已知對數(shù)函數(shù)的圖像經過點與點，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，由題意可得：，則∴，，∴故選：C．8．（2022·北京·人大附中高三開學考試）已知二次函數(shù)的值域為，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】因為二次函數(shù)的值域為，所以，即，，所以，當且僅當，即時等號成立，故選：A9．（多選）（2022·全國·高三專題練習）有如下命題，其中真命題的標號為（

）A．若冪函數(shù)的圖象過點，則B．函數(shù)且的圖象恒過定點C．函數(shù)在上單調遞減D．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BD【解析】對于A，令，則，解得：，，，A錯誤；對于B，令，即時，，恒過定點，B正確；對于C，為開口方向向上，對稱軸為的二次函數(shù)，在上單調遞增，C錯誤；對于D，令，解得：或；又，實數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：BD.10．（多選）（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)，則下列結論正確的有（

）A．B．的定義域是C．是偶函數(shù)D．不等式的解集是【答案】ACD【解析】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，得，即，，故A正確；函數(shù)的定義域是，故B不正確；，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故C正確；函數(shù)在是減函數(shù)，不等式等價于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正確.故選：ACD11．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若冪函數(shù)在在上單調遞增，則______.【答案】1【解析】冪函數(shù)在在上單調遞增可得解得故答案為：12．（2022·廣東廣州·三模）寫出一個在區(qū)間上單調遞減的冪函數(shù)__________.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知：為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞減.故答案為：（答案不唯一）.13．（2022·北京房山·二模）已知函數(shù)若函數(shù)在上不是增函數(shù)，則a的一個取值為___________.【答案】-2(答案不唯一，滿足或即可)【解析】y=x和y=的圖象如圖所示：∴當或時，y=有部分函數(shù)值比y=x的函數(shù)值小，故當或時，函數(shù)在上不是增函數(shù)．故答案為：-2．14．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，若在區(qū)間上的最大值是3，則的取值范圍是______.【答案】【解析】由題易知，即，所以，又，所以.下證時，在上最大值為3.當時，，;當，若，即，則，滿足;若，即，此時，而，滿足;因此，符合題意.15．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)，，，當時，，且的最大值為，則_______．【答案】2【解析】因為，所以在，上單調遞增，所以，因為當時，，所以，則，又因為，所以，則，所以，令，且對稱軸為，因為當時，，所以，則，所以，故答案為：216．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)，設函數(shù)．（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的零點；（2）是否存在自然數(shù)，使？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【解】（1）為冪函數(shù)，，解得：或；當時，，，即為偶函數(shù)，不合題意；當時，，，即為奇函數(shù)，符合題意；，此時，令，解得：，的零點為；（2）由（1）知：；與均為上的增函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，的解，不存在自然數(shù)，使得.【素養(yǎng)提升】1．（2022·湖南·高三階段練習）已知冪函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)，，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為冪函數(shù)在上單調遞增，所以，即.，則的值域為，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，的值域為，因為，，使得成立，所以，解得.故選：A2．（2022·全國·高三專題練習）是冪函數(shù)圖象上的點，將的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若點（，且）在的圖象上，則______.【答案】30【解析】由，得，，.因為點在函數(shù)上，所以，即.所以，所以.故答案為：30.3．（2022·全國·高三專題練習）已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則____．【答案】或【解析】解：函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象縱向對折變換得到的，故函數(shù)的圖象關于直線對稱，則函數(shù)的最大值只能在或處取得，若時，函數(shù)取得最大值3，則，，當時，時，，滿足條件；當時，時，，不滿足條件；若時，函數(shù)取得最大值3，則，，或，當時，時，，不滿足條件；當時，時，，滿足條件；綜上所述：值為1或3；故答案為：1或3．4．（2022·全國·高三專題練習）已知，對于給定的負數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得時，都有，則的最大值為___________.【答案】【解析】，當，即時，要使在上恒成立，要使取得最大值，則只能是的較小的根，即；當，即時，要使取得最大值，則只能是的較大的根，即當時，，當時，，所以的最大值為.故答案為：5．（2022·全國·高三專題練習）已知冪函數(shù)在上單調遞減.（1）求的值并寫出的解析式；（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解】（1）因為冪函數(shù)在上單調遞減，所以解得：或(舍去)，所以；（2）由（1）可得，，所以，假設存在，使得在上的值域為，①當時，，此時在上單調遞減，不符合題意；②當時，，顯然不成立；③當時，，在和上單調遞增，故，解得.綜上所述，存在使得在上的值域為.6．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù).（1）若關于的不等式有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；（2）若不等式對于實數(shù)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）解關