廣東省佛山市順德區(qū)2020-2021學年高一下學期競賽數學試題（含答案解析）

順德區(qū)高一數學競賽試題考試時間：2021年5月29日8：30—10：00一?填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）1.設集合，的所有子集構成的集合記為集合，則集合的非空真子集一共有__________個.【答案】14【解析】【分析】集合中的元素是的所有子集構成的，解題時不要漏掉空集和本身.【詳解】因為集合，共個元素，所以集合的非空真子集的個數為.故答案是：.2.設復數滿足，則__________.【答案】5【解析】【分析】設，根據復數的共軛復數、復數相等列方程組解得，再根據模長公式求解即可得答案.【詳解】設，則，于是，解得，則.故答案為：.3.若直線與函數的圖像交于兩點，且中點的坐標為，則__________.【答案】0【解析】【分析】設，利用中點坐標公式，得，且，求解即可.【詳解】設，則，且，即故答案：0.4.已知中，分別為邊上的點，且，.與的交點為，若，則__________.【答案】【解析】【分析】用基底表示向量，表示方法唯一，兩個向量前面的系數相等，從而得到二元一次方程組，求解即可.【詳解】由三點共線，得：，又，所以有，解得.故答案為：.5.設滿足：對任意，均存在，使得，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】令，由題意，利用二次函數性質求得最值列不等式求解即可.【詳解】令.因為對任意，均存在，使得，所以的值域是值域的子集，所以，即，解得，即的取值范圍是.故答案為：6.在一個圓心角為，半徑為1米的扇形鐵板中按如圖方式截出一塊矩形，則該矩形的面積的最大值為__________平方米.【答案】【解析】【分析】設，根據直角三角形的邊角關系、余弦定理結合基本不等式即可得所求.【詳解】設，則，連接，于是在中，由余弦定理，從而，當且僅當，即時取等號.所以該矩形面積的最大值為平方米.故答案為：.7__________.【答案】##0.75【解析】【分析】根據降冪公式、余弦兩角和與差公式化簡求值即可得答案.【詳解】故答案為：.8.已知三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且，則該三棱錐的內切球的半徑為__________.【答案】【解析】【分析】內切球的半徑可利用等體積法進行求解.【詳解】設該三棱錐的體積為，表面積為，內切球的半徑為，球心為，則，且，則，∵三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且，∴，∴，又，∴，∴,又，，，∴，∴由，得，因此.故答案為：.二?解答題（本大題共3小題，共56分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）9.設實數，函數.（1）若的最小正周期是，求在上的最大值與最小值；（2）若在上有且僅有2個零點，求的取值范圍.【答案】（1）最大值，最小值1；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數，由周期求出，再利用正弦函數性質求出最值即得.（2）由（1）的信息，求在上使成立的值僅只兩個的的范圍.【小問1詳解】依題意，，由的最小正周期是，得，解得，于是，當時，，則當，即時，，當，即時，，所以的最大值為，最小值為1.【小問2詳解】由，得，當時，，由在內有且僅有兩個零點，得，解得，所以的取值范圍是.10.如圖，在正方體中，分別為棱的中點.（1）請在正方體的表面完整作出過點的截面.（只需寫出作圖過程，不用證明）（2）請求出截面分正方體上下兩部分的體積之比.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據截面定義作圖即可；（2）利用圖形分割即可求出體積之比.【小問1詳解】連接并延長交于，連接并延長交于，于，連接交于，則截面即所求；【小問2詳解】連接，如圖，則截面下部的體積.設正方體的棱長為1，則，于，因此截面上下兩部分的體積之比為.11.如圖，在平面四邊形中，為正三角形，設的中點為.（1）求證：的面積為定值，并求出該值；（2）求的正切值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理整理等式，結合三角形面積公式，可得答案；（2）利用等面積法，結合三角函數的恒等變換，建立不等式，可得答案.【小問1詳解】設，則分別在和中由余弦定理