二次函數(shù)與線段最值面積最值綜合應(yīng)用（原卷版）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊《重難點(diǎn)題型-高分突破》（人教版）

專題2.5二次函數(shù)與線段最值/面積最值綜合應(yīng)用（四大題型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1線段差最大問題】【題型2線段和最小】【題型3周長最值問題】【題型4求面積最值】【題型1線段差最大問題】【典例1】（2023?汝南縣一模）如圖，已知拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），其對稱軸為x＝2．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)B是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限．①當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②在①的條件下，P是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)PA﹣PB取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式1-1】（秋?椒江區(qū)校級月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)T為對稱軸直線x＝2上一點(diǎn)，則TC﹣TB的最大值為多少？【變式1-2】（連云港）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y＝x2﹣x﹣2的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P．（1）若拋物線L2經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣12），求L2對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)BP﹣CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【題型2線段和最小】【典例2】（2023?棗莊）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)H是x軸上一動點(diǎn)，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；【變式2-1】（2023?河南三模）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，連接AC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線的對稱軸為直線x＝1．（1）求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在直線x＝1上找一點(diǎn)P，使PA+PC的和最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；?【變式2-2】（2022秋?常德期末）如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線的對稱軸上一個(gè)動點(diǎn)，連接BP，CP，當(dāng)BP+CP的長度最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；【變式2-3】（2023?中寧縣二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M（a，0）是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)CM+DM的值最小時(shí)，求a的值．【變式2-4】（2023?太康縣模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2交y軸于點(diǎn)C，交x軸于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，作直線BC．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使PC+PA的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【題型3周長最值問題】【典例3】（2023?張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6）．點(diǎn)D為線段BC上的一動點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，求△AOD周長的最小值；【變式3-1】（2023?盤錦三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，AB＝2，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x＝2．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)P為對稱軸上一動點(diǎn)，求△APC周長的最小值；?【變式3-2】（2023春?民樂縣校級月考）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，點(diǎn)P是AC上方拋物線上一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線對稱軸有一點(diǎn)Q，使△QBC的周長最小，求Q的坐標(biāo)；【變式3-3】（2022?齊河縣模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3過A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ACM的周長最??？若存在，求出△ACM周長的最小值；若不存在，請說明理由．【題型4求面積最值】【典例4】（2023?利津縣一模）綜合與實(shí)踐如圖，拋物線y＝2x2﹣4x﹣6與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上的一動點(diǎn)．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在第四象限時(shí)，連接BD，CD和BC，得到△BCD，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；【變式4-1】（2022秋?金華期末）已知拋物線y＝﹣x2﹣bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)△PBC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在第二象限的拋物線上，是否存在一點(diǎn)Q，使得△ABQ的面積最大？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式4-2】（2023?婁底模擬）如圖1，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P是拋物線在第一象限上一動點(diǎn)，連接PB、PC，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；【變式4-3】（2023?晉中模擬）綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)為D（1，4），與x軸交于A和B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)A，B、C的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；【變式4-4】（2022秋?南川區(qū)期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的圖象與x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)動點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時(shí)四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標(biāo)；【變式4-5】（2022秋?渝北區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物上一動點(diǎn)，連接PB，PC，求△PBC面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；【變式4-6】（2023春?青秀區(qū)校級期末）如圖所示，已知拋物線y＝ax2+bx+5（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C．?（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，且在直線BC上方，試求出△BCP面積的最大值；【變式4-7】（2023?仁懷市模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4交兩坐標(biāo)軸于B、C兩點(diǎn)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)且A（﹣1，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式．（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P？使得PA+PC的長度最短．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）在直線上方拋物線上是否存在點(diǎn)Q？使得△QBC的面積有最大值．若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及此時(shí)△QBC的面積；若不存在，請說明理由．【變式4-8】（2023?德惠市校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b與二次函數(shù)y＝﹣x2+mx+n交于點(diǎn)A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)y＝kx+b和二次函數(shù)y＝﹣x2+mx+n的解析式．（2）點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且位于直線AB上方，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)Q，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式4-9】（2023?資興市二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線L交拋物線于點(diǎn)C（2，m）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是直線AC下方拋物線y