專題07 一線三等角模型壓軸題真題分類（解析版）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)題型分類高分必刷題（人教版）

第第頁(yè)專題07一線三等角模型中檔大題與壓軸題真題分類（解析版）基礎(chǔ)模型已知:點(diǎn)P在線段AB上,∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)結(jié)論1:△APC≌△BDP已知:點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上,∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)結(jié)論2:△APC≌△BDP模型拓展已知:點(diǎn)P在線段AB上,∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)已知:點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上,∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)結(jié)論3:△APC≌△BDP結(jié)論4:△APC≌△BDP專題簡(jiǎn)介：本份資料包含一線三等角模型?？嫉闹袡n大題、一線三等角模型常規(guī)壓軸題、坐標(biāo)系中的三垂直模型類壓軸題，所選題目源自各名校期中、期末試題中的典型考題。適合于培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的老師給學(xué)生作專題復(fù)習(xí)培訓(xùn)時(shí)使用或者沖刺壓軸題高分時(shí)刷題使用。題型1：一線三等角模型中檔大題1.如圖，，，且．（1）試說(shuō)明：是等腰直角三角形；（2）若，求的度數(shù)．【解答】證明：（1）在△ABE與△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（ASA），∴AE＝ED，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴△AED是等腰直角三角形；（2）∵△ABE≌△ECD，∴∠AEB＝∠CDE，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∵∠CDE＝2∠BAE，∴2∠BAE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝30°，∴∠CDE＝60°．2.如圖，在△ABC中，AC＝BC，D、E分別為AB、BC上一點(diǎn)，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求證：CD＝DE．【解答】證明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵AC＝BCBC＝BD，∴AC＝BD，∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDE+∠BDE，∠CDE＝∠A，∴∠ACD＝∠BDE，在△ACD與△BDE中，，∴△ACD≌△BDE（ASA），∴CD＝DE．

3．（雅禮）如圖，在△中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上．（1）若，求證：①；②；（2）若，，求的度數(shù)．【解答】（1）證明：①∵在△ABC中，∠BAD+∠B+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，又∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，且∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE；②由①得：∠BAD＝∠CDE，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；（2）解：在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴∠BAD＝∠CDE，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∴∠ADE＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝∠B，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×110°＝55°，∴∠ADE＝55°．4.如圖，，，，，垂足分別為，，，求，求的長(zhǎng)．【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠E＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS），∴CD＝BE＝1（cm），CE＝AD＝2.5（cm），∴DE＝CE﹣CD＝2.5﹣1＝1.5（cm）．5.已知,如圖①,在△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D.

E，求證：DE=BD+CE.(2)如圖②,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D.A.

E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立?若成立，請(qǐng)你給出證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘獯稹拷猓海?）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）結(jié)論DE＝BD+CE成立，理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA+AE＝BD+CE。6．（1）如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過(guò)A點(diǎn)的一條直線，且B、C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求證：BD＝DE+CE．（2）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)（BD＜CE），其余條件不變，問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予以證明．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∵∠ABD+∠BAE＝90°，∠CAE+∠BAE＝90°∴∠ABD＝∠CAE，∵AB＝AC，在△ABD和△CAE中，∵，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝AD+DE，∴BD＝DE+CE；（2）BD＝DE﹣CE；∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝∠DEB+∠CAE，∴∠ABD＝∠CAE，∵AB＝AC，在△ABD和△CAE中，∵，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴AD+AE＝BD+CE，∵DE＝BD+CE，∴BD＝DE﹣CE．題型2：一線三等角模型常規(guī)壓軸題7.（1）如圖1，直線m經(jīng)過(guò)等腰直角△ABC的直角頂點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B、C分別作BD⊥m，CE⊥m，垂足分別是D、E．求證：BD＋CE＝DE；（2）如圖2，直線m經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A，AB＝AC，在直線m上取兩點(diǎn)D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，補(bǔ)充∠BAC＝（用α表示），線段BD、CE與DE之間滿足BD＋CE＝DE，補(bǔ)充條件后并證明；（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖3的位置，并改變條件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通過(guò)觀察或測(cè)量，猜想線段BD、CE與DE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【解答】解：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∠ADB＝∠AEC，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠EAC＝90°，∴∠ABD＝∠EAC，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AD+AE＝DE；（2）補(bǔ)充∠BAC＝α，理由如下：∵∠ADB＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；（3）補(bǔ)充∠ADB＝∠AEC＝180°﹣α，理由如下：∵∠ADB＝180°﹣α，∴∠ABD+∠BAD＝α，∵∠BAD+∠CAE＝α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AE＝BD，CE＝AD，∴BD+DE＝AE+DE＝AD＝CE；

8.已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，CE，CE⊥AE，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于D．（1）如圖1，求證BD=AE；（2）如圖2，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，分別連接EH，DH，求∠EDH的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)M為CH上的一點(diǎn)，連接EM，點(diǎn)F為EM的中點(diǎn)，連接FH，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥FH，交FH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若GH：FH=6：5，△FHM的面積為30，∠EHB=∠BHG，求線段EH的長(zhǎng)．【詳解】證明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ACE＝∠BAD，在△CAE與△ABD中，∴△CAE≌△ABD（AAS），∴AE＝BD；（2）連接AH，∵AB＝AC，BH＝CH，∴∠BAH＝，∠AHB＝90°，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴AH＝BH，∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD，∴∠EAH＝∠DBH，在△AEH與△BDH中∴△AEH≌△BDH（SAS），∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD，∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90°，即∠EHD＝90°，∴∠EDH＝∠DEH＝；（3）過(guò)點(diǎn)M作MS⊥FH于點(diǎn)S，過(guò)點(diǎn)E作ER⊥FH，交HF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)E作ET∥BC，交HR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T．∵DG⊥FH，ER⊥FH，∴∠DGH＝∠ERH＝90°，∴∠HDG+∠DHG＝90°∵∠DHE＝90°，∴∠EHR+∠DHG＝90°，∴∠HDG＝∠HER在△DHG與△HER中，，∴△DHG≌△HER（AAS），∴HG＝ER，∵ET∥BC，∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET，∠ETF＝∠FHM，∵∠EHB＝∠BHG，∴∠HET＝∠ETF，∴HE＝HT，在△EFT與△MFH中，，∴△EFT≌△MFH（AAS），∴HF＝FT，∴，∴ER＝MS，∴HG＝ER＝MS，設(shè)GH＝6k，F(xiàn)H＝5k，則HG＝ER＝MS＝6k，，k＝，∴FH＝5，∴HE＝HT＝2HF＝10．9.如圖（1），已知中，，；是過(guò)的一條直線，且，在的異側(cè)，于，于．求證：；若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時(shí)（），其余條件不變，問(wèn)與，的數(shù)量關(guān)系如何？請(qǐng)給予證明．（3）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時(shí)（），其余條件不變，問(wèn)與，的數(shù)量關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需證明；．【解答】解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝EC，∴BD＝DE+CE．（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝EC，∴BD＝DE﹣CE．（3）同（2）的方法得出，BD＝DE﹣CE．10.如圖，中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，作且．（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，連結(jié)交于點(diǎn)，若，，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)．（3）當(dāng)點(diǎn)在射線上，連結(jié)與直線交于點(diǎn)，若，，則______．（直接寫出結(jié)果）【解答】解：（1）證明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，

∴∠DFA=∠CAE，

在△AFD和△EAC中，，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；

（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，F(xiàn)D=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，

∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，

由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴，同理，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，，故答案為：或.題型3：坐標(biāo)系中的三垂直模型類壓軸題11．（廣益）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣2，0），B（0，4），點(diǎn)C在第四象限，AC⊥AB，AC＝AB．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及∠COA的度數(shù)；（2）若直線BC與x軸的交點(diǎn)為M，點(diǎn)P在經(jīng)過(guò)點(diǎn)C與x軸平行的直線上，求出S△POM+S△BOM的值．【解答】解：（1）作CD⊥x軸于點(diǎn)D，∴∠CDA＝90°．∵∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠CDA．∴∠DAC+∠DCA＝90°．∵AC⊥AB，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠ACD．在△AOB和△CDA中，∴△AOB≌△CDA（AAS），∴AO＝CD，OB＝DA．∵A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∴CD＝2，DA＝4，∴OD＝2，∴OD＝CD．∵點(diǎn)C在第四象限，∴C（2，﹣2）．∵∠CDO＝90°，∴∠COD＝45°．∴∠COA＝180°﹣45°＝135°．（2）∵PC∥x軸，∴點(diǎn)P到x軸的距離相等，∴S△POM＝S△COM．∴S△POM+S△BOM＝S△COM+S△BOM＝S△BOC．∴S△POM+S△BOM＝S△BOC＝＝4．12．（師大）已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A點(diǎn)在x負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上方．（1）如圖1所示，若A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，請(qǐng)直接寫出線段OA，OD，CD之間等量關(guān)系；（3）如圖3，若x軸恰好平分∠BAC，BC與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，問(wèn)CF與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）作CH⊥y軸于H，如圖1，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，1），∴OA＝3，OB＝1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，在△ABO和△BCH中，∴△ABO≌△BCH，∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，∴C（﹣1，4）；（2）OA＝CD+OD．理由如下：如圖2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，在△ABO和△BCD中，∴△ABO≌△BCD，∴OB＝CD，OA＝BD，而BD＝OB+OD＝CD+OD，∴OA＝CD+OD；（3）CF＝AE．理由如下：如圖3，CF和AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，∴∠CBD＝90°，∵CF⊥x，∴∠BCD+∠D＝90°，而∠DAF+∠D＝90°，∴∠BCD＝∠DAF，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（ASA），∴AE＝CD，∵x軸平分∠BAC，CF⊥x軸，∴CF＝DF，∴CF＝CD＝AE．13．（青竹湖）如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰Rt△APD，過(guò)D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，求OP﹣DE的值；（3）如圖3，已知點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，作Rt△FGH，始終保持∠GFH＝90°，F(xiàn)G與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)G（0，m），F(xiàn)H與x軸正半軸交于點(diǎn)H（n，0），當(dāng)G點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證m+n為定值，并求出其值．【解答】解：（1）過(guò)C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，如圖1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，則∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS）∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣6，﹣2）；（2）過(guò)D作DQ⊥OP于Q點(diǎn)，如圖2，則OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，則∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，則△AOP≌△PDQ（AAS），∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）結(jié)論②是正確的，m+n＝﹣4，如圖3，過(guò)點(diǎn)F分別作FS⊥x軸于S點(diǎn)，F(xiàn)T⊥y軸于T點(diǎn)，則FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，則△FSH≌△FTG（AAS），則GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，則﹣2﹣m＝n+2，則m+n＝﹣4．

14．（青竹湖）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，連接OA，將OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到OB．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（用字母a，b表示）（2）如圖2，延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B做交y軸于點(diǎn)D，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)O做，若，求OM的長(zhǎng)．【解答】（1）解：如圖1，作AC⊥x軸于C，作BD⊥x軸于D，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∴∠AOC+∠A＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∴∠A＝∠BOD，在△AOC和△OBD中，，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴OD＝AC＝|b|，BD＝OC＝|a|，∴B（﹣b，a）；（2）證明：如圖2，設(shè)OC，BD交于點(diǎn)E，∵BD⊥AC，∴∠BCD＝∠COD＝90°，∵∠BEC＝∠DEO，∴∠ACO＝∠BDO，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即：∠AOC＝∠BOD，∵OA＝OB，∴△AOC≌△BOD（ASA），∴OC＝OD；（3）如圖3，延長(zhǎng)OM至N，使MN＝OM，MO的延長(zhǎng)線交AB于Q，連接DN，∵OM∥BD，BD⊥AB，∴OQ⊥AB，∠AOQ＝∠＝，∠DON＝∠BDO＝∠BCO，∵OA＝OB，∴AQ＝BQ，∴AM＝DM，∵∠AMO＝∠DMN，∴△AMO≌△DMN（SAS），∴∠N＝∠AOM＝180°﹣∠AOQ＝135°，∵∠ABO＝45°，∴∠OCB＝135°，∴∠N＝∠OCB，∵OD＝OC，∴△DON≌△OCB（AAS），∴ON＝BC＝4，∴OM＝．15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，3）與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)C（n，0）為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)．以AC為邊作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)．連接BD，交x軸于點(diǎn)F．如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度數(shù)；用含n的式子表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，判斷OF的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變求出其值，若變化請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD（AAS），∴OC＝DH＝n，AO＝CH＝3，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)（n+3，n）；（3）不會(huì)變化，理由：∵點(diǎn)A（0，3）與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x軸是AB垂直平分線，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的長(zhǎng)不會(huì)變化．16．如圖，四邊形OABC的位置在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b滿足﹣+b2+4b+8＝0，點(diǎn)P在x軸上且橫坐標(biāo)大于b，射線OD是第一象限的一條射線，點(diǎn)Q在射線OD上，BP＝PQ．并連接BQ交y軸于點(diǎn)M．（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)為A、B、C．（2）當(dāng)BP⊥PQ時(shí)，求∠AOQ的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P在x軸的正半軸上，且OP＝3AM，試求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵﹣+b2+4b+8＝0，∴﹣+（b﹣4）2＝0，∴a＝4，b＝4，∴A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），故答案為（0，4），（﹣4，4），（﹣4，0）；（2）由（1）知，A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），∴AB＝BC＝OC＝OA＝4，∴四邊形OABC是菱形，∵∠AOC＝90°，∴菱形OABC是正方形，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于N，∴∠PNQ＝90°，∴∠QPN+∠PQN＝90°，∵BP⊥BQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠BPC+∠QPN＝90°，∴∠PQN＝∠BPC，由（1）知，B（﹣4，4），C（﹣4，0），∴BC＝4，BC⊥x，∴∠BCP＝∠PNQ＝90°，在△BCP和△PNQ中，，∴△BCP≌△PNQ（AAS），∴CP＝QN，BC＝PN，∴OC＝PN＝4，①當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸時(shí)，如圖1、OC＝CP+OP，PN＝OP+ON，∴CP＝ON，∵CP＝QN，∴ON＝QN，∵∠PNQ＝90°，∴∠QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)，如圖2、OC＝CP﹣OP，PN＝ON﹣OP，∴CP＝ON，∵CP＝QN，∴ON＝QN，∵∠PNQ＝90°，∴∠QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，即：∠AOQ＝45°；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于N，設(shè)P（m，0）（m＞0），∵OP＝3AM，∴AM＝OP＝m，∴M（0，m+4），∵點(diǎn)B（﹣4，4），∴直線BM的解析式為y＝mx+m+4，由（2）知，PN＝OC＝4，∴N（m+4，0），∴Q（m+4，m+4），∵點(diǎn)Q在直線BM上，∴m（m+4）+m+4＝m+4，∴m＝0（舍）或m＝4，∴M（0，）．

17．（雅禮）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若B（0，a），C（b，0）且a、b滿足+|b﹣9|＝0．則a＝，b＝；（2）如圖1，在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)A作直線l∥x軸交y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l于點(diǎn)D．①求證：△ABE≌△CAD；②直接寫出A點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C分別作x軸和y軸的平行線相交于點(diǎn)D，若BC＝BD，試問(wèn)的比值是否不變，若不變，求出比值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）解：∵+|b﹣9|＝0，又∵≥0，|b﹣9|≥0，∴，∴，故答案為：3，9．（2）①證明：如圖1，∵直線l∥x軸交y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l于點(diǎn)D，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAD＝90°，∴∠ABE＝∠CAD，在△AEB和△CDA中，，∴△AEB≌△CDA（AAS）．②解：∵△AEB≌△CDA，∴BE＝AD，AE＝CD，設(shè)BE＝AD＝m，∵B（0，3），C（9，0），∴OB＝3，OC＝9，∴BC＝＝＝3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝BC＝3，∵AE＝CD＝3+x，在Rt△AEB中，則有x2+（3+x）2＝（3）2，解得x＝3或﹣6（舍棄），∴BE＝3，AE＝6，∴A（6，6）．（3）如圖3中，