2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019課后習(xí)題6-4-1　平面幾何中的向量方法6-4-2　向量在物理中的應(yīng)用舉例

第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例課后篇鞏固提升必備知識基礎(chǔ)練1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D為AC中點(diǎn),則cos∠BDC=()A.725 B.725 C.0 D答案B解析如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴DB=(3,4),DC=(3,4).又∠BDC為DB,DC的夾角,∴cos∠BDC=2.(2021湖北武漢期中)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的部分,某學(xué)生做引體向上運(yùn)動,處于如圖所示的平衡狀態(tài),若兩只胳膊的夾角為60°,每只胳膊的拉力大小均為360N,則該學(xué)生的體重m(單位:kg)約為()(參考數(shù)據(jù):取重力加速度大小g=10m/s2,3=1.732)A.64 B.62 C.76 D.60答案B解析設(shè)兩只胳膊的拉力分別為F1,F2,且|F1|=|F2|=360N,<F1,F2>=60°,∴|F1+F2|=(F1+F2)2=F12+F22+2F3.(多選題)已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),若OA+OB+OC+OD=A.四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)O是正方形ABCD的中心B.四邊形ABCD為一般四邊形,點(diǎn)O是四邊形ABCD的對角線交點(diǎn)C.四邊形ABCD為一般四邊形,點(diǎn)O是四邊形ABCD的外接圓的圓心D.四邊形ABCD為一般四邊形,點(diǎn)O是四邊形ABCD對邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)答案ABC解析由OA+OB+OC+OD=0知,OA+OB=(OC+OD).設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為E,F,由向量加法的平行四邊形法則,知OE+OF=0,O是EF的中點(diǎn);同理,設(shè)AD,BC的中點(diǎn)分別為M,N,則O4.(2021廣東東莞期末)一條河寬為80000m,一船從A處出發(fā)垂直航行到達(dá)河正對岸的B處,船速為20km/h,水速為12km/h,則船到達(dá)B處所需時間為h.

答案5解析根據(jù)題意,設(shè)船速為v1,水速為v2,作出如圖所示的示意圖,則|v1|=20km/h,|v2|=12km/h,因?yàn)関實(shí)際=v1+v2,所以|v實(shí)際|=|v1|2所以所需時間t=8016=5(h)5.已知A(3,2),B(1,1),若點(diǎn)Px,-12在線段AB的中垂線上,則x=答案7解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則M1,12,MP=(x1,1),由題意可知AB=(4,3),MP所以4(x1)+(1)×(3)=0,解得x=746.一個物體在大小為10N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為50m,且力F所做的功W=2502J,則F與s的夾角等于.

答案π解析設(shè)F與s的夾角為θ,由W=F·s,得2502=10×50×cosθ,∴cosθ=22.又θ∈[0,π],∴θ=π7.如圖所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D為BC的中點(diǎn),E是AB上的一點(diǎn),且AE=2EB.求證:AD⊥CE.證明AD·CE=(AC+CD)=AC=AC=AC=13|CA|2+1因?yàn)镃A=CB,所以13|CA|2+13|CB|2=8.某人騎摩托車以20km/h的速度向西行駛,感覺到風(fēng)從正南方向吹來,而當(dāng)其速度變?yōu)?0km/h時,他又感覺到風(fēng)從西南方向吹來,求實(shí)際風(fēng)速的大小和方向.解設(shè)v1表示20km/h的速度,在無風(fēng)時,此人感覺到的風(fēng)速為v1,實(shí)際的風(fēng)速為v,那么此人所感覺到的風(fēng)速為v+(v1)=vv1.如圖,令A(yù)B=v1,AC=2v1,實(shí)際風(fēng)速為v.∵DA+∴DB=vv1.這就是騎車人感覺到的從正南方向吹來的風(fēng)的速度.∵DA+∴DC=v2v1.這就是當(dāng)車的速度為40km/h時,騎車人感覺到的風(fēng)速.由題意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA為等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC=2BC.∴|v|=202km/h.∴實(shí)際風(fēng)速的大小是202km/h,為東南風(fēng).關(guān)鍵能力提升練9.已知△ABC的外接圓半徑為1,圓心為O,且3OA+4OB+5OC=0,則OC·AB的值為(A.15 B.15 C.65答案A解析因?yàn)?OA+4OB+5OC=0,所以3OA+4OB=5OC,所以9OA2+24OA·OB+16OB2因?yàn)锳,B,C在圓上,所以|OA|=|OB|=|OC|=1.代入原式得OA·OB所以O(shè)C·AB=15(3OA+4OB)·=15(3OA·OB+4OB23=1510.O是平面ABC內(nèi)的一定點(diǎn),P是平面ABC內(nèi)的一動點(diǎn).若(PB-PC)·(OB+OC)=(PC-PA)·(OA+OC)=0,則A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心答案B解析因?yàn)?PB-PC)·(OB+則(OB-OC)·(OB+OC)=0,所以|OB|=|OC|.同理可得|OA|=|OC|,即|OA|=|OB|=|OC|,所以O(shè)為△ABC的外心.11.(多選題)如圖所示,小船被繩索拉向岸邊,船在水中運(yùn)動時設(shè)水的阻力大小不變,那么小船勻速靠岸過程中,下列四個選項(xiàng)中,其中正確的是()A.繩子的拉力不斷增大B.繩子的拉力不斷變小C.船的浮力不斷變小D.船的浮力保持不變答案AC解析設(shè)水的阻力為f,繩的拉力為F,繩AB與水平方向夾角為θ0<θ<π2,則|F|cosθ=|f|,∴|F|=|f∵θ增大,cosθ減小,∴|F|增大.∵|F|sinθ增大,∴船的浮力減小.12.一條漁船距對岸4km,以2km/h的速度向垂直于對岸的方向劃去,到達(dá)對岸時,船的實(shí)際行程為8km,則河水的流速是km/h.

答案23解析如圖,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,則v=v1+v2為船的實(shí)際航行速度.由圖知,|OA|=4,|OB|=8,則∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan60°=23.即河水的流速是23km/h.13.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC邊的中點(diǎn),BE⊥AD,垂足為E,延長BE交AC于點(diǎn)F,連接DF,求證:∠ADB=∠FDC.證明如圖,以B為原點(diǎn),BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(0,2),C(2,0),則D(1,0),AC=(2,2).設(shè)AF=λAC,則BF=BA+AF=(0,2)+(2λ,2λ)=(2λ,22λ).又DA=(1,2),由題設(shè)BF⊥所以2λ+2(22λ)=0,所以λ=23所以BF=所以DF=BF-BD=所以cos∠ADB=DA·DB|DA||又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.14.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有動點(diǎn)P從P0(1,2)開始,沿著與向量e1+e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動,速度為|e1+e2|;另一動點(diǎn)Q從Q0(2,1)開始,沿著與向量3e1+2e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動,速度為|3e1+2e2|.設(shè)P,Q在t=0s時分別在P0,Q0處,當(dāng)PQ⊥P0Q解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=2,其單位向量為22,22;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=13,其單位向量為313,213.依題意知,|P0P∴P0P=|P0P|22,22=(t,t),Q0Q=|Q0Q|313,213=(3t,2t),由P0∴P0Q0=(1,3),PQ=(2t∵PQ⊥P0Q0,∴P0Q0·PQ=0,即2t1+3t9=0,解得學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練15.如圖所示,若D是△ABC