高考數(shù)學總復習 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復數(shù) 第29講 平面向量的數(shù)量積練習 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三數(shù)學試題

第29講平面向量的數(shù)量積夯實基礎【p67】【學習目標】1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系．3．掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算．4．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角及判斷兩個平面向量的垂直關系．5．會用向量方法解決一些簡單的平面幾何問題．【基礎檢測】1．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形【解析】在四邊形ABCD中，∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴AB⊥BC，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴AB綊DC，∴四邊形ABCD是矩形．故選C.【答案】C2．已知向量a＝(1，eq\r(2))，b＝(t，2eq\r(2))，若向量b在a方向上的投影為eq\r(3)，則實數(shù)t＝()A．－1B．1C．3D．5【解析】根據(jù)一個向量在另一個向量方向上的投影的定義，可得eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(t＋4,\r(3))＝eq\r(3)，解得t＝－1，故選A.【答案】A3．已知a，b，c都是單位向量，且a＋b＝c，則a·c的值為______．【解析】由a＋b＝c得a－c＝－b，兩邊平方得a2－2a·c＋c2＝(－b)2，又a，b，c都是單位向量，所以有1－2a·c＋1＝1，所以a·c＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝2且(a＋2b)·(a－b)＝－2，則向量a與b的夾角為________．【解析】設a與b的夾角為θ.依題意得a2－2b2＋a·b＝－2，4－8＋4cosθ＝－2，cosθ＝eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，因此θ＝eq\f(π,3)，即向量a與b的夾角為eq\f(π,3).【答案】eq\f(π,3)【知識要點】1．兩向量的夾角已知非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫作a與b的夾角．a(chǎn)與b的夾角的取值范圍是__[0，π]__．當a與b同向時，它們的夾角為__0__；當a與b反向時，它們的夾角為__π__；當夾角為90°時，我們說a與b垂直，記作a⊥b.2．向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，我們把__|a||b|cos__θ__叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.3．向量數(shù)量積的幾何意義向量的投影：|a|cosθ叫作向量a在b方向上的投影，當θ為銳角時，它是正值；當θ為鈍角時，__它是負值__；當θ為直角時，它是零．a(chǎn)·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于__a的長度|a|__與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積．4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝__eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))__數(shù)量積a·b＝|a|·|b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a|·|b|(當且僅當a∥b時等號成立)|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))5.平面向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.典例剖析【p68】考點1數(shù)量積的運算eq\a\vs4\al(例1)(1)已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，m)，a·(a－2b)＝0，則m＝()A．－2B．－1C．1D．2【解析】根據(jù)向量的坐標運算，代入坐標得(3，－1)·[(3，－1)－2(1，m)]＝0，3＋1＋2m＝0，解得m＝－2，所以選A.【答案】A(2)已知四邊形ABCD為平行四邊形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，若點M，N滿足eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A．20B．15C．9D．6【解析】eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(4eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\f(1,12)(4eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,48)(16eq\o(AB,\s\up6(→))2－9eq\o(AD,\s\up6(→))2)＝eq\f(1,48)(16×62－9×42)＝9，故選C.【答案】C(3)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值為________；eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值為________．【解析】以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，設E(t，0)，t∈[0，1]，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝(t，－1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0，－1)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因為eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，故eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值為1.【答案】11【小結(jié)】(1)求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義．(2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運算問題時，可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡再運算，但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還是互補．考點2向量的模與夾角eq\a\vs4\al(例2)(1)已知向量m與n滿足|m|＝1，|n|＝2，且m⊥(m＋n)，則向量m與n的夾角為________．【解析】設m，n的夾角為θ，因為m⊥(m＋n)，所以m·(m＋n)＝m2＋m·n＝1＋1×2cosθ＝0，所以cosθ＝－eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，所以θ＝120°.【答案】120°(2)已知向量a，b都是單位向量，且a·b＝eq\f(1,2)，則|2a－b|的值為________．【解析】|2a－b|＝eq\r(（2a－b）2)＝eq\r(4a2－4a·b＋b2)＝eq\r(4－2＋1)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)(3)在平面直角坐標系中，O為原點，A(－1，0)，B(0，eq\r(3))，C(3，0)，動點D滿足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，則|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最大值是________．【解析】設D(x，y)，由eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x－3，y)及|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1知(x－3)2＋y2＝1，即動點D的軌跡是以點C為圓心的單位圓．又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝(－1，0)＋(0，eq\r(3))＋(x，y)＝(x－1，y＋eq\r(3))，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\r(（x－1）2＋（y＋\r(3)）2).問題轉(zhuǎn)化為圓(x－3)2＋y2＝1上的點與點P(1，－eq\r(3))之間距離的最大值．∵圓心C(3，0)與點P(1，－eq\r(3))之間的距離為eq\r(（3－1）2＋（0＋\r(3)）2)＝eq\r(7)，故eq\r(（x－1）2＋（y＋\r(3)）2)的最大值為eq\r(7)＋1.【答案】eq\r(7)＋1【小結(jié)】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，可以求向量的模、夾角．(2)求向量模的最值(范圍)的方法：①代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解．考點3平面向量的垂直eq\a\vs4\al(例3)(1)已知e1與e2為兩個夾角為eq\f(2π,3)的單位向量，a＝e1－2e2,b＝ke1＋e2.若a·b＝0，則實數(shù)k的值為__________．【解析】因為e1與e2為兩個夾角為eq\f(2π,3)的單位向量，a＝e1－2e2,b＝ke1＋e2，a·b＝0，所以(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)－2eeq\o\al(2,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2k))e1·e2＝2k－eq\f(5,2)＝0，所以k＝eq\f(5,4).【答案】eq\f(5,4)(2)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為120°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→)).若eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則λ＝________．【解析】向量eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0，整理可得－eq\o(AB,\s\up6(→))2＋(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，其中eq\o(AB,\s\up6(→))2＝25，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝5×2×cos120°＝－5，eq\o(AC,\s\up6(→))2＝4，據(jù)此有：－25＋(1－λ)×(－5)＋λ×4＝0，解得λ＝eq\f(10,3).【答案】eq\f(10,3)【小結(jié)】平面向量的垂直關系利用向量數(shù)量積等于零，但要靈活選擇數(shù)量積的形式．【能力提升】eq\a\vs4\al(例4)在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m與n的夾角為eq\f(π,3)，求x的值．【解析】(1)因為m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因為|m|＝|n|＝1，所以m·n＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，因為0<x<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)<x－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)，所以x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12).方法總結(jié)【p69】1．要準確理解兩個向量的數(shù)量積的定義及幾何意義，熟練掌握向量數(shù)量積的五個重要性質(zhì)及三個運算規(guī)律．向量的數(shù)量積的運算不同于實數(shù)乘法的運算律，數(shù)量積不滿足結(jié)合律：(a·b)·c≠a·(b·c)；消去律：a·b＝a·c?/b＝c；a·b＝0?/a＝0或b＝0，但滿足交換律和分配律．2．公式a·b＝|a||b|cosθ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的關系非常密切，必須能夠靈活綜合運用．3．通過向量的數(shù)量積，可以計算向量的長度，平面內(nèi)兩點間的距離，兩個向量的夾角，判斷相應的兩直線是否垂直．4．a(chǎn)∥b?x1y2－x2y1＝0與a⊥b?x1x2＋y1y2＝0要區(qū)分清楚．走進高考【p69】1．(2018·北京)設向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)，若a⊥(ma－b)，則m＝________．【解析】由題意得，ma－b＝(m＋1，－m)，根據(jù)向量垂直的充要條件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.【答案】－12．(2018·天津)在如圖的平面圖形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(NA,\s\up6(→))，則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的值為()A．－15B．－9C．－6D．0【解析】由eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，可知