微積分的創(chuàng)立

數(shù)學(xué)史講義

主講王鴻業(yè)微積分的創(chuàng)立微積分的創(chuàng)立微積分的思想萌芽，特別是積分學(xué)，局部可以追溯到古代．面積和體積的計(jì)算自古以來(lái)一直是數(shù)學(xué)家們感興趣的課題，在古代希臘、中國(guó)和印度數(shù)學(xué)家們的著述中，不乏用無(wú)窮小過(guò)程計(jì)算特殊形狀的面積、體積和曲線長(zhǎng)的例子．他們的工作，確實(shí)是人們建立一般積分學(xué)的漫長(zhǎng)努力的先驅(qū)．與積分學(xué)相比而言，微分學(xué)的起源那么要晚得多．刺激微分學(xué)開展的主要科學(xué)問(wèn)題是求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問(wèn)題．6.1半個(gè)世紀(jì)的醞釀近代微積分的醞釀，主要是在17世紀(jì)上半葉這半個(gè)世紀(jì)．△1608年，伽利略制成的第一架天文望遠(yuǎn)鏡。△1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運(yùn)動(dòng)定律．開普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律要意是：I．行星運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓，太陽(yáng)位于該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；Ⅱ．由太陽(yáng)到行星的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等；

Ⅲ．行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方成正比．從數(shù)學(xué)上推證開普勒的經(jīng)驗(yàn)定律，成為當(dāng)時(shí)自然科學(xué)的中心課題之一．1638年，伽利略(GalileoGalilei，1564—1642)《關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話》出版．伽利略建立了自由落體定律、動(dòng)量定律等，為動(dòng)力學(xué)奠定了根底；他認(rèn)識(shí)到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射程應(yīng)在發(fā)射角為45’時(shí)到達(dá)，等等．凡此一切，標(biāo)志著自文藝復(fù)興以來(lái)在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃開展的自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難，使微分學(xué)的根本問(wèn)題空前地成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)：◆確定非勻速運(yùn)動(dòng)物體的速度與加速度使瞬時(shí)變化率問(wèn)題的研究成為當(dāng)務(wù)之急；◆望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計(jì)需要確定透鏡曲面上任一點(diǎn)的法線，這又使求任意曲線的切線問(wèn)題變得不可回避；◆確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)等涉及的函數(shù)極大值、極小值問(wèn)題也亟待解決．◆行星沿軌道運(yùn)動(dòng)的路程、行星矢徑掃過(guò)的面積以及物體重心與引力的計(jì)算等又使積分學(xué)的根本問(wèn)題——面積、體積、曲線長(zhǎng)、重心和引力計(jì)算的興趣被重新激發(fā)起來(lái)．(一)開普勒與旋轉(zhuǎn)體體積德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒(JohannesKepler，1571—1630)在1615年發(fā)表《測(cè)量酒桶的新立體幾何》，論述了求圓錐曲線圍繞其所在平面上某直線旋轉(zhuǎn)而成的立體體積的積分法．開普勒方法的要旨，是用無(wú)數(shù)個(gè)同維無(wú)限小元素之和來(lái)確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積．例如他認(rèn)為球的體積是無(wú)數(shù)個(gè)小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點(diǎn)在球心，底面那么是球面的一局部；他又把圓錐看成是極薄的圓盤之和，并由此計(jì)算出它的體積，然后進(jìn)一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之—()·

(二)卡瓦列里不可分量原理意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里(BonaventuraCavalieri，1598—1647)在其著作《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》(1635)中開展了系統(tǒng)的不可分量方法．卡瓦列里認(rèn)為線是由無(wú)限多個(gè)點(diǎn)組成；面是由無(wú)限多條平行線段組成；立體那么是由無(wú)限多個(gè)平行平面組成．他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量〞(indivisible)．卡瓦列里原理：

兩個(gè)等高的立體，如果它們的平行于底面且離開底面有相等距離的截面面積之間總有給定的比，那么這兩個(gè)立體的體積之間也有同樣的比．卡瓦列里利用這條原理計(jì)算出許多立體圖形的體積．然而他對(duì)積分學(xué)創(chuàng)立最重要的奉獻(xiàn)還在于，他后來(lái)(1639)利用平面上的不可分量原理建立了等價(jià)于以下積分的根本結(jié)果，使早期積分學(xué)突破了體積計(jì)算的現(xiàn)實(shí)原型而向一般算法過(guò)渡．卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括開普勒所使用的方法更接近于普遍的積分學(xué)算法，因而也具有更大的威力．開普勒曾向他的同行們提出一個(gè)挑戰(zhàn)問(wèn)題：求拋物線弓形繞弦旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積．卡瓦列里用自己的方法解決了開普勒的問(wèn)題．(三)笛卡兒“圓法〞以上介紹的微積分準(zhǔn)備階段的工作，主要采用幾何方法并集中于積分問(wèn)題．解析幾何的誕生改變了這一狀況．解析幾何的兩位創(chuàng)始人笛卡兒和費(fèi)馬，都是將坐標(biāo)方法引進(jìn)微分學(xué)問(wèn)題研究的前鋒．笛卡兒在《幾何學(xué)》(1637)中提出了求切線的所謂“圓法〞，本質(zhì)上是一種代數(shù)方法．求曲線過(guò)點(diǎn)的切線，笛卡兒的方法是首先確定曲線在點(diǎn)P處的法線與x軸的交點(diǎn)C的位置，然后作該法線的過(guò)點(diǎn)P的垂線，便可得到所求的切線．笛卡兒的代數(shù)方法在推動(dòng)微積分的早期開展方面有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點(diǎn)而踏上研究微積分的道路的．

(四)費(fèi)馬求極大值與極小值的方法

笛卡兒圓法記載于他1637年發(fā)表的《幾何學(xué)》中．就在同一年，費(fèi)馬在一份手稿中提出了求極大值與極小值的代數(shù)的方法．按費(fèi)馬的方法，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處取極值，費(fèi)馬用代替原來(lái)的未知量，并使與“逼近〞(adequatio)，即消去公共項(xiàng)后，用除兩邊，再令消失，即

由此方程求得的就是的極值點(diǎn)．費(fèi)馬的方法幾乎相當(dāng)于現(xiàn)今微分學(xué)中所用的方法，只是以符號(hào)(他寫作)代替了增量△．記載費(fèi)馬求極大值與極小值方法的這份手稿，實(shí)際上是他寫給梅森(M．Mersenne)的一封信。梅森將費(fèi)馬這封信轉(zhuǎn)給了笛卡兒，從而引起了關(guān)于切線問(wèn)題的熱烈爭(zhēng)論。費(fèi)馬在信中指出他求函數(shù)極大值、極小值的方法還“可以推廣應(yīng)用于一些優(yōu)美的問(wèn)題〞，并說(shuō)他已經(jīng)獲得了求平面與立體圖形的重心等一些其他結(jié)果，“關(guān)于這些結(jié)果，如果時(shí)間允許，我將在另外的場(chǎng)合來(lái)論述.〞(五)巴羅“微分三角形〞巴羅(1saacBarrow，1630--1677)也給出了求曲線切線的方法，他的方法記載在1669年出版的《幾何講義》中，但他應(yīng)該是在更早的時(shí)候就得到了這種方法．與笛卡兒、費(fèi)馬不同，巴羅使用了幾何法．巴羅幾何法的關(guān)鍵概念后來(lái)變得很有名，就是“微分三角形〞，也叫“特征三角形〞．設(shè)有曲線，欲求其上一點(diǎn)P處的切線．巴羅考慮一段“任意小的弧〞，它是由增量引起的．曲邊三角形就是所謂的微分三角形．巴羅認(rèn)為當(dāng)這個(gè)三角形越來(lái)越小時(shí)，它與△應(yīng)趨近于相似，故應(yīng)有

即因Q、P在曲線上，故應(yīng)有,在上式中消去一切包含有的冪或二者乘積的項(xiàng)，從所得方程中解出，即切線斜率，于是可得到值而作出線．巴羅的方法實(shí)質(zhì)上是把切線看作是當(dāng)和趨于零時(shí)割線PQ的極限位置，并利用忽略高階無(wú)限小來(lái)取極限．在這里，和分別相當(dāng)于現(xiàn)在的和，而那么相當(dāng)于．(六)沃利斯“無(wú)窮算術(shù)〞沃利斯(J．Wallis，1616—1703)是在牛頓和萊布尼茨以前，將分析方法引入微積分奉獻(xiàn)最突出的數(shù)學(xué)家．沃利斯最重要的著作是《無(wú)窮算術(shù)》(1655)，其書名就說(shuō)明了他用本質(zhì)上是算術(shù)的也就是牛頓所說(shuō)“分析〞的途徑開展積分法．沃利斯利用他的算術(shù)不可分量方法獲得了許多重要結(jié)果，其中之一就是將卡瓦列里的冪函數(shù)積分公式推廣到分?jǐn)?shù)冪情形．沃利斯另一項(xiàng)重要的研究是計(jì)算四分之一單位圓的面積，并由此得到的無(wú)窮乘積表達(dá)式．后來(lái)，牛頓開展了他的方法，從而導(dǎo)出二項(xiàng)式定理。17世紀(jì)上半葉一系列前驅(qū)性的工作，沿著不同的方向向微積分的大門逼近．但所有這些努力還缺乏以標(biāo)志微積分作為一門獨(dú)立科學(xué)的誕生．這些前驅(qū)者對(duì)于求解各類微積分問(wèn)題確實(shí)作出了珍貴奉獻(xiàn)，但他們的方法仍然缺乏足夠的一般性。求切線，求變化率、求極大極小值以及求面積、體積等根本問(wèn)題，在當(dāng)時(shí)是被作為不同的類型處理的．雖然也有人注意到了某些聯(lián)系，如費(fèi)馬就是用同樣的方法求函數(shù)的極值和曲線的切線；巴羅的求切線方法實(shí)際上是求變化率的幾何版本，等等．然而并沒(méi)有人能將這些聯(lián)系作為一般規(guī)律明確提出，而作為微積分的主要特征的微分與積分的互逆關(guān)系，雖然在特殊場(chǎng)合已被某些學(xué)者邂逅，如巴羅在《幾何學(xué)講義》中有一條定理以幾何形式表達(dá)了切線問(wèn)題是面積問(wèn)題的逆問(wèn)題，但他本人完全沒(méi)有認(rèn)識(shí)到這一事實(shí)的重要意義。因此，就需要有人站在更高的高度將以往個(gè)別的奉獻(xiàn)和分散的努力綜合為統(tǒng)一的理論，這是17世紀(jì)中葉數(shù)學(xué)家們面臨的艱巨任務(wù)．牛頓和萊布尼茨正是在這樣的時(shí)刻出場(chǎng)的．6.2牛頓的“流數(shù)術(shù)〞牛頓(1saacNewton，1642—1727)于伽利略去世那年〔1642年〕的圣誕出生于英格蘭林肯郡伍爾索普村一個(gè)農(nóng)民家庭．少年牛頓不是神童，成績(jī)并不突出，但酷愛(ài)讀書與制作玩具．17歲時(shí)，牛頓被母親從格蘭瑟姆中學(xué)召回田莊務(wù)農(nóng)。史托克斯校長(zhǎng)竭力勸說(shuō)牛頓的母親：“在繁雜的農(nóng)務(wù)中埋沒(méi)這樣一位天才，對(duì)世界來(lái)說(shuō)將是多么巨大的損失!〞這恐怕是科學(xué)史上最幸運(yùn)的預(yù)言。牛頓于1661年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅，同時(shí)鉆研伽利略、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作．三一學(xué)院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的《無(wú)窮算術(shù)》對(duì)他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路．1665年8月，劍橋大學(xué)因瘟疫流行而關(guān)閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，竟成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月．制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力和顏色理論，……?？梢哉f(shuō)牛頓一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖，都是在這兩年描繪的．6.2.1流數(shù)術(shù)的初建牛頓對(duì)微積分問(wèn)題的研究始于1664年秋，當(dāng)時(shí)他反復(fù)閱讀笛卡兒《幾何學(xué)》，對(duì)笛卡兒求切線的“圓法〞發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法．

牛頓首創(chuàng)了小o記號(hào)表示x的無(wú)限小且最終趨于零的增量；

1665年11月創(chuàng)造“正流數(shù)術(shù)〞(微分法)；

次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)〞(積分法)；

1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文《流數(shù)簡(jiǎn)論》(TractonFluxions)，當(dāng)時(shí)雖未正式發(fā)表，但在同事中傳閱．《簡(jiǎn)論》)是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)．《流數(shù)簡(jiǎn)論》反映了牛頓微積分的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景．該文事實(shí)上以速度形式引進(jìn)了“流數(shù)〞(即微商)概念，雖然沒(méi)有使用“流數(shù)〞這一術(shù)語(yǔ)．牛頓在《簡(jiǎn)論》中提出微積分的根本問(wèn)題如下：(a)設(shè)有兩個(gè)或更多個(gè)物體同一時(shí)刻內(nèi)描畫線段．表示這些線段關(guān)系的方程，求它們的速度的關(guān)系．(b)表示線段和運(yùn)動(dòng)速度之比的關(guān)系方程式，求另一線段．牛頓對(duì)多項(xiàng)式情形給出(a)的解法．對(duì)于問(wèn)題(b)，牛頓的解法實(shí)際上是問(wèn)題(a)的解的逆運(yùn)算，并且也是逐步列出了標(biāo)準(zhǔn)算法。特別重要的是，《簡(jiǎn)論》中討論了如何借助于這種逆運(yùn)算來(lái)求面積，從而建立了所謂“微積分根本定理〞．牛頓在《簡(jiǎn)論》中是這樣推導(dǎo)微積分根本定理的：設(shè)，△為曲線下的面積，作∥⊥∥．當(dāng)垂線以單位速度向右移動(dòng)時(shí)，掃出面積，變化率;掃出面積□,變化率由此得這就是說(shuō)，面積y在點(diǎn)x處的變化率是曲線在該處的q值．□當(dāng)然，《簡(jiǎn)論》中對(duì)微積分根本定理的論述并不能算是現(xiàn)代意義下的嚴(yán)格證明．牛頓在后來(lái)的著作中對(duì)微積分根本定理又給出了不依賴于運(yùn)動(dòng)學(xué)的較為清楚的證明．正如牛頓本人在《流數(shù)簡(jiǎn)論》中所說(shuō)：一旦反微分問(wèn)題可解，許多問(wèn)題都將迎刃而解。這樣，牛頓就將自古希臘以來(lái)求解無(wú)限小問(wèn)題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系而將這兩類運(yùn)算進(jìn)一步統(tǒng)一成整體．這是他超越前人的功績(jī)，正是在這樣的意義下，我們說(shuō)牛頓創(chuàng)造了微積分．在《流數(shù)簡(jiǎn)論》的其余局部，牛頓將他建立的統(tǒng)一的算法應(yīng)用于求曲線切線、曲率、拐點(diǎn)、曲線求長(zhǎng)、求積、求引力與引力中心等16類問(wèn)題，展示了他的算法的極大的普遍性與系統(tǒng)性．6.2.2流數(shù)術(shù)的開展《流數(shù)簡(jiǎn)論》標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的，牛頓于1667年春天回到劍橋，對(duì)自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚(yáng)．從那時(shí)起直到1693年大約四分之一世紀(jì)的時(shí)間里，牛頓始終不渝努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說(shuō)，先后寫成了三篇微積分論文，它們分別是:(1)《運(yùn)用無(wú)限多項(xiàng)方程的分析》，簡(jiǎn)稱《分析學(xué)》，完成于1669年；(2)《流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)》，簡(jiǎn)稱《流數(shù)法》，完成于1671年；(3)《曲線求積術(shù)》，簡(jiǎn)稱《求積術(shù)》，完成于1691年。這三篇論文，反映了牛頓微積分學(xué)說(shuō)的開展過(guò)程。第一篇論文《分析學(xué)》是牛頓為了維護(hù)自己在無(wú)窮級(jí)數(shù)方面的優(yōu)先權(quán)而作．《分析學(xué)》利用這些無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算流數(shù)、積分以及解方程等，因此《分析學(xué)》表達(dá)了牛頓的微積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)緊密結(jié)合的特點(diǎn)．牛頓還給出了另一條法那么：假設(shè)y值是假設(shè)干項(xiàng)之和，那么所求面積就是由其中每一項(xiàng)得到的面積之和，這相當(dāng)于逐項(xiàng)積分定理．由上述可知，牛頓《分析學(xué)》以無(wú)限小增量“瞬〞為根本概念，但卻回避了《流數(shù)簡(jiǎn)論》中的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景而將“瞬〞看成是靜止的無(wú)限小量，有時(shí)直截了當(dāng)令其為零，從而帶上了濃厚的不可分量色彩．第二篇論文《流數(shù)法》可以看作是1666年《流數(shù)簡(jiǎn)論》的直接開展．牛頓在其中又恢復(fù)了運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，但對(duì)以物體速度為原型的流數(shù)概念作了進(jìn)一步提煉，并首次正式命名為“流數(shù)〞(fluxion)．牛頓后來(lái)對(duì)《流數(shù)法》中的流數(shù)概念作了如下解釋：“我把時(shí)間看作是連續(xù)的流動(dòng)或增長(zhǎng)，而其他量那么隨著時(shí)間而連續(xù)增長(zhǎng)，我從時(shí)間的流動(dòng)性出發(fā)，把所有其他量的增長(zhǎng)速度稱之為流數(shù)，又從時(shí)間的瞬息性出發(fā)，把任何其他量在瞬息時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的局部稱之為瞬〞．《流數(shù)法》以清楚明白的流數(shù)語(yǔ)言表述微積分的根本問(wèn)題為：“流量間的關(guān)系，求流數(shù)關(guān)系〞；以及反過(guò)來(lái)“表示量的流數(shù)間的關(guān)系的方程，求流量間的關(guān)系〞．無(wú)論是《分析學(xué)》還是《流數(shù)法》都是以無(wú)限小量作為微積分算法的論證根底，所不同的是：在《流數(shù)法》中變量的瞬×o,×o隨時(shí)間瞬o而連續(xù)變化；而在《分析學(xué)》中變量的瞬那么是某種不依賴于時(shí)間的固定的無(wú)限小微元．第三篇微積分論文《曲線求積術(shù)》中，牛頓關(guān)于微積分的根底在觀念上發(fā)生了新的變革，提出了所謂的“首末比方法〞?！肚€求積術(shù)》是牛頓最成熟的微積分著述．牛頓在其中改變了對(duì)無(wú)限小量的依賴并批評(píng)自己過(guò)去那種隨意忽略無(wú)限小瞬o的做法：“在數(shù)學(xué)中，最微小的誤差也不能忽略．……在這里，我認(rèn)為數(shù)學(xué)的量不是由非常小的局部組成的，而是用連續(xù)的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述的〞．在此根底上定義了流數(shù)概念之后，牛頓寫道：“流數(shù)之比非常接近于在相等但卻很小的時(shí)間間隔內(nèi)生成的流量的增量比．確切地說(shuō)，它們構(gòu)成增量的最初比〞．牛頓接著借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時(shí)獲得的最終比．他舉例說(shuō)明自己的新方法如下：為了求的流數(shù)，設(shè)x變?yōu)閤+o，那么變?yōu)闃?gòu)成兩變化的“最初比〞：然后“設(shè)增量o消逝，它們的最終比就是〞，這也是x的流數(shù)與的流數(shù)之比。這就是所謂“首末比方法〞，它相當(dāng)于求函數(shù)自變量與應(yīng)變量變化之比的極限，因而成為極限方法的先導(dǎo)．牛頓對(duì)于發(fā)表自己的科學(xué)著作態(tài)度謹(jǐn)慎．除了兩篇光學(xué)著作，他的大多數(shù)著作都是經(jīng)朋友再三催促才拿出來(lái)發(fā)表．上述三篇論文發(fā)表都很晚，其中最先發(fā)表的是最后一篇《曲線求積術(shù)》，1704年載于《光學(xué)》附錄；《分析學(xué)》發(fā)表于1711年；而《流數(shù)法》那么遲至1736年才正式發(fā)表，當(dāng)時(shí)牛頓已去世．牛頓微積分學(xué)說(shuō)最早的公開表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(Philosophiaenaturalisprincipiamathematica，以下簡(jiǎn)稱《原理》)之中，因此《原理》也成為數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代著作．盡管《原理》表現(xiàn)出以極限方法作為微積分根底的強(qiáng)烈傾向，但并不意味著牛頓完全摒棄無(wú)限小觀點(diǎn)．在第二卷第2章中，人們可以看到無(wú)限小瞬方法的陳述：“任何生成量(genitum)的瞬，等于生成它的各邊的瞬乘以這些邊的冪指數(shù)及系數(shù)并逐項(xiàng)相加．〞此處所謂“生成量〞，即函數(shù)概念的雛形；生成量的瞬那么是指函數(shù)的微分．6.2.3《原理》與微積分《原理》中并沒(méi)有明顯的分析形式的微積分．整部著作是以綜合幾何的語(yǔ)言寫成的，但牛頓在第一卷第l章開頭局部通過(guò)一組引理(共11條)建立了“首末比法〞。牛頓說(shuō)明這類量的例子有“積、商、根、……〞等，并把它們看成是“變化的和不定的〞；因此上述陳述實(shí)際上相當(dāng)于一些微分運(yùn)算法那么．《原理》在創(chuàng)導(dǎo)首末比方法的同時(shí)保存了無(wú)限小瞬，這種做法常常被認(rèn)為自相矛盾而引起爭(zhēng)議．實(shí)際上，在牛頓的時(shí)代，建立微積分嚴(yán)格根底的時(shí)機(jī)尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時(shí)，堅(jiān)持對(duì)微積分根底給出不同解釋，說(shuō)明了他對(duì)微積分根底所存在的困難的深邃洞察和謹(jǐn)慎態(tài)度．《原理》被愛(ài)因斯坦盛贊為“無(wú)比輝煌的演繹成就〞．全書從三條根本的力學(xué)定律出發(fā)，運(yùn)用微積分工具，嚴(yán)格地推導(dǎo)證明了包括開普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律、萬(wàn)有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威力．牛頓的科學(xué)奉獻(xiàn)是多方面的：

◆在數(shù)值分析領(lǐng)域，今天任何一本教程都不能不提到牛頓的名字：牛頓—格里高利公式、牛頓—拉弗森公式、牛頓—斯特林公式、……；牛頓還是幾何概率的最早研究者．◆代數(shù)名著《普遍算術(shù)》，包含了方程論的許多重要成果，如虛數(shù)根必成對(duì)出現(xiàn)、笛卡兒符號(hào)法那么的推廣、根與系數(shù)的冪和公式等等；◆幾何杰作《三次曲線枚舉》，首創(chuàng)對(duì)三次曲線的整體分類研究，是解析幾何開展新的一頁(yè)；牛頓是一位科學(xué)巨人，對(duì)此，萊布尼茨有過(guò)高度的評(píng)價(jià)：“綜觀有史以來(lái)的全部數(shù)學(xué)，牛頓做了一多半的工作〞。拉格朗日對(duì)牛頓的作用和影響也有過(guò)評(píng)語(yǔ)，說(shuō)他是歷史上最有才能的人，也是最幸運(yùn)的人——因?yàn)橛钪骟w系只能被發(fā)現(xiàn)一次。英鎊上的牛頓與這些頌揚(yáng)相反，牛頓對(duì)他的工作有自己謙虛的評(píng)價(jià)：“我不知道世間把我看成什么樣的人；但是，對(duì)我來(lái)說(shuō)，就像一個(gè)在海邊玩耍的孩子，有時(shí)找到一塊比較平滑的卵石或格外漂亮的貝殼，感到快樂(lè)，在我面前是完全沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)的真理的大海洋。〞還有一次，當(dāng)別人問(wèn)他是怎樣作出自己的科學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)，他的答復(fù)是：“心里總是裝著研究的問(wèn)題，等待那最初的一線希望漸漸變成普照一切的光明!〞“如果我看得更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏熄暎谧鹬厮那拜叺某晒矫妫鬟^(guò)這樣的解釋：關(guān)于牛頓的很多軼事多半是不真實(shí)的，人們常把牛頓偶像化加以神話式的宣揚(yáng)也是不切實(shí)際的。最突出的例子：英國(guó)詩(shī)人浦普(AlexanderPope,1688-1747)的詩(shī)句：“宇宙和自然的規(guī)律隱藏在黑夜里，上帝說(shuō)：讓牛頓降生吧！一切都變得光明。〞牛頓在事業(yè)正處于顛峰的同時(shí)卻陷入了唯心主義的泥潭。2003年2月在以色列發(fā)現(xiàn)的牛頓手稿說(shuō)明，他曾經(jīng)花費(fèi)40多年的時(shí)間用來(lái)證明上帝的存在，并預(yù)言地球?qū)⒃?060年消滅〔2003年2月25日鳳凰衛(wèi)視〕。牛頓終身未婚，晚年由外甥女凱瑟琳協(xié)助管家．牛頓的許多言論、軼聞，就是靠凱瑟琳和她的丈夫康杜德的記錄留傳下來(lái)的．家喻戶曉的蘋果落地與萬(wàn)有引力的故事，就是凱瑟琳告訴法國(guó)哲學(xué)家伏爾泰并被后者寫進(jìn)《牛頓哲學(xué)原理》一書中．牛頓1727年因患肺炎與痛風(fēng)而逝世，葬于威斯特敏斯特大教堂．當(dāng)時(shí)參加了葬禮的伏爾泰親眼目睹英國(guó)的大人物爭(zhēng)抬牛頓的靈柩而無(wú)限感慨．牛頓去世后，外甥女凱瑟琳夫婦在親屬們圍繞遺產(chǎn)的糾紛中不惜代價(jià)保存了牛頓的手稿．現(xiàn)存牛頓手稿中，僅數(shù)學(xué)局部就達(dá)5000多頁(yè)．6.3萊布尼茨的微積分萊布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz，1646—1716)出生于德國(guó)萊比錫一個(gè)教授家庭，早年在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時(shí)開始接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學(xué)思想．1667年獲阿爾特多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位，次年開始為緬因茨選帝侯效勞，不久被派往巴黎任大使．萊布尼茨在巴黎居留了四年(1672—1676)，這四年對(duì)他整個(gè)科學(xué)生涯的意義，可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年類比，萊布尼茨許多重大的成就包括創(chuàng)立微積分都是在這一時(shí)期完成或奠定了根底．6.3.1特征三角形萊布尼茨在巴黎與荷蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯(C.Huygens)的結(jié)識(shí)、交往，激發(fā)了他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣．他通過(guò)卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作了解并開始研究求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問(wèn)題．與牛頓流數(shù)論的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問(wèn)題的思考，尤其是特征三角形的研究〔1673〕．據(jù)萊布尼茨后來(lái)在《微積分的歷史和起源》中自述，他這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)正是受到了帕斯卡論文《關(guān)于四分之一圓的正弦》的啟發(fā)，他從這篇短文的一個(gè)例子中“突然看到一束光明〞．萊布尼茨應(yīng)用特征三角形很快發(fā)現(xiàn)了他后來(lái)才“在巴羅和格里高里的著作中見到的幾乎所有定理〞．但是如果萊布尼茨就此而止，那么他也不會(huì)成為微積分的創(chuàng)立者.實(shí)際上，他在關(guān)于特征三角形的研究中認(rèn)識(shí)到：求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值當(dāng)這些差值變成無(wú)限小時(shí)之比；而求曲線下的面積那么依賴于無(wú)限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和(縱坐標(biāo)之和在這里是指縱坐標(biāo)乘以無(wú)限小區(qū)間的長(zhǎng)度再相加，因而也相當(dāng)于寬度為無(wú)限小的矩形面積之和)．萊布尼茨還看出了這兩類問(wèn)題的互逆關(guān)系．6.3.2分析微積分的建立早在1666年，萊布尼茨在《組合藝術(shù)》一書中討論過(guò)數(shù)列問(wèn)題并得到許多重要結(jié)論0,1,4,9,16,25,36，…

及其一階差1,3,5,7,9,11,…與二階差2,2,2,2,2,…當(dāng)時(shí)他注意到如果原來(lái)的序列是從0開始，那么一階差的和就是原序列的最后一項(xiàng)，并且這里序列的求和運(yùn)算與求差運(yùn)算存在著互逆的關(guān)系．大約從1672年開始，萊布尼茨將他對(duì)數(shù)列研究的結(jié)果與微積分運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)．萊布尼茨后來(lái)在致洛必達(dá)(L’Hospital)的一封信中總結(jié)說(shuō)：這使他發(fā)現(xiàn)，“求切線不過(guò)是求差，求積不過(guò)是求和!〞萊布尼茨后來(lái)做了大量工作，艱難地前進(jìn)，從一串離散值過(guò)渡到任意函數(shù)的增量．在1675年10月29日的一份手稿中，他引入了符號(hào)表示積分，顯然是“sum〞的首字母的拉長(zhǎng)．稍后，在11月11日的手稿中，萊布尼茨又引進(jìn)了記號(hào)表示兩相鄰的值的差，并探索運(yùn)算與d運(yùn)算的關(guān)系。無(wú)論如何，到1676年11月，萊布尼茨已經(jīng)能夠給出冪函數(shù)的微分與積分公式：和其中不一定是正整數(shù)．他還著重指出：“這種推理是一般的，而與的序列可能是什么沒(méi)有關(guān)系〞．也就是說(shuō)，也可以是自變量的函數(shù)而不是自變量本身．這相當(dāng)于宣稱計(jì)算復(fù)合函數(shù)微分的鏈?zhǔn)椒敲矗?677年，萊布尼茨在一篇手稿中明確陳述了微積分根本定理．給定一條曲線，其縱坐標(biāo)為，求該曲線下的面積．萊布尼茨假設(shè)可以求出一條曲線(他稱之為“割圓曲線〞)，其縱坐標(biāo)為，使得：即于是原來(lái)曲線下的面積是：萊布尼茨通常假設(shè)曲線通過(guò)原點(diǎn)．這就將求積問(wèn)題化成了反切線問(wèn)題，即：為了求出在縱坐標(biāo)為的曲線下的面積，只需求出一條縱坐標(biāo)為的曲線，使其切線的斜率為，如果是在區(qū)間[]上，由[0,]上的面積減去[0,]上的面積，便得到：6.3.3萊布尼茨微積分的發(fā)表大約到17世紀(jì)80年代初，萊布尼茨開始總結(jié)自己陸續(xù)獲得的結(jié)果，并將它們整理成文，公諸于眾．1684年萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》(簡(jiǎn)稱《新方法》)，刊登在《教師學(xué)報(bào)》(ActaEruditorum)上，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)．該文是萊布尼茨對(duì)自己1673年以來(lái)微分學(xué)研究的概括，其中◆定義了微分并廣泛采用了微分記號(hào)dx,dy;

◆明確陳述了萊布尼茨1677年已得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式;我們知道，萊布尼茨還得出了復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)轿⒎址敲?，以及后?lái)又將乘積微分的“萊布尼茨法那么〞推廣到了高階情形．這些都說(shuō)明萊布尼茨非常重視微積分的形式運(yùn)算法那么和公式系統(tǒng)?！缎路椒ā愤€包含了微分法在求極大、極小值、求拐點(diǎn)以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用．1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無(wú)限的分析》．這篇論文初步論述了積分或求積問(wèn)題與微分或切線問(wèn)題的互逆關(guān)系．萊布尼茨分析道：“研究不定求積或其不可能性的方法，對(duì)我來(lái)說(shuō)不過(guò)是我稱之為反切線方法的更廣泛的問(wèn)題的特殊情形(并且事實(shí)上是比較容易的情形)，而這種反切線方法包括了整個(gè)超越幾何的絕大局部。〞在這篇積分學(xué)論文中，萊布尼茨給出了擺線方程為：目的是要說(shuō)明他的方法和符號(hào)，可以將一些被其他方法排斥的超越曲線表為方程．而正是在這篇論文中，積分號(hào)第一次出現(xiàn)于印刷出版物上．萊布尼茨在引入擺線方程以前還特別對(duì)他的微分符號(hào)作了一段說(shuō)明：“我選用和類似的符號(hào)而不用特殊字母，因?yàn)槭堑哪撤N變化，……并可表示與另一變量之間的超越關(guān)系