七年級角 -含課后作業(yè)與答案

角(基礎(chǔ))知識講解

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；

2.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；

3.會利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；

4.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；

5.掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；

6.了解方位角的概念，并會用方位角解決簡單的實(shí)際問題.

【要點(diǎn)梳理】

【高清課堂：角397364角的概念】

要點(diǎn)一、角的概念

1.角的定義：

(1)定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩

條射線是角的兩條邊.如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)0,邊是射線0A、0B.

(2)定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角

的內(nèi)部.如圖2所示，射線0A繞它的端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)到0B的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始

位置0A是角的始邊，終止位置0B是角的終邊.

要點(diǎn)詮釋：

(1)兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān).

(2)平角與周角：如圖1所示射線0A繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置0B和起始位置0A成一條直

線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，0B和0A重合時(shí)，所形成的角叫做周角.

--------------

OA

平角周角

圖1圖2

2.角的表示法：角的幾何符號用“N”表示，角的表示法通常有以下四種:

表示方法圖示記法適用范圍

人AOB任何情況都適

(1)用三個(gè)大

或用，表示頂點(diǎn)的

寫字母表示

/乙BOA字母寫在中間

0B

以某一點(diǎn)為頂點(diǎn)

(2)用一個(gè)大的角只有一個(gè)

乙。

寫字母表示時(shí)，可以用頂點(diǎn)

O表示角

(3)用阿拉

41任何情況都適用

伯?dāng)?shù)字表示/

(4)用希臘字

Z.Q任何情況都適用

母表示

要點(diǎn)詮釋：

用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或

小寫希臘字母.

3.角的畫法

(1)用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角.

(2)用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角.

(3)利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角.

要點(diǎn)二、角的比較與運(yùn)算

1.角度制及其換算

角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°

的為1分，記作“1'”，1'的'-為1秒，記作“1"這種以度、分、秒為單位的角

6060

的度量制，叫做角度制.

1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60".

要點(diǎn)詮釋：

在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除

的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏?/p>

數(shù)大于等于60時(shí)要向高一位進(jìn)位.

2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種.

方法1：度量比較法.先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.

方法2：疊合比較法.把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較.

如比較NA0B和/A'O'B'的大小：如下圖，由圖(1)可得/A0BV/A'O'B'；由

圖(2)可得NA0B=/A'O'B'；由圖(3)可得NAOB>/A'0，B'.

(1)⑵(3)

3.角的和、差關(guān)系

如圖所示，NAOB是N1與N2的和，記作：ZAOB=Z1+Z2；N1是NAOB與N2的差,

要點(diǎn)詮釋：

（1）用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中（角的頂點(diǎn)與量角器的中心對齊）；②重合（一邊

與刻度尺上的零度線重合）；③讀數(shù)（讀出另一邊所在線的度數(shù)）.

（2）利用三角板除了可以做出30°、45。、60°、90。外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫

出15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°的角.

4.角平分線

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線.如圖

所示，0C是NA0B的角平分線，/A0B=2NA0C=2/B0C,

ZA0C=ZB0C=-ZA0B.

要點(diǎn)詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣.

要點(diǎn)三、余角和補(bǔ)角

1.定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)

角是另一個(gè)角的余角.

類似地，如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是

另一個(gè)角的補(bǔ)角.

2.性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等.（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等.

要點(diǎn)詮釋：

（1）互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們

的位置無關(guān).

（2）一般地，銳角a的余角可以表示為（90。-a）,一個(gè)角a的補(bǔ)角可以表示為（180°-

a）.顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90。。

要點(diǎn)四、方位角

在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如，圖中射線0A的方向是北偏

東60°；射線OB的方向是南偏西30°.這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方

向的角，就叫做方位角.

要點(diǎn)詮釋：

（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來表示；

（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”；

（3）在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，

確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；

（4）圖中的點(diǎn)0是觀測點(diǎn)，所有方向線（射線）都必須以0為端點(diǎn).

要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問題

鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°,

時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°,時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°,利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)

算問題.

【典型例題】

類型一、角的概念及表示

.下列語句正確的是（）.

A.兩條直線相交，組成的圖形叫做角.

B.兩條具有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形叫做角.

C.兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角.

D.過同一點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.

【答案】C

【解析】根據(jù)角的定義判斷

【總結(jié)升華】角不能僅僅看作是有公共端點(diǎn)的兩條射線，角的兩種描述中都隱含了組成角的

一個(gè)重要元素，即兩條射線間的相對位置關(guān)系，這是角與“有公共端點(diǎn)的兩條射線”的重要

區(qū)別.

舉一反三：

【變式】判斷下列說法是否正確

（1）兩條射線組成的圖形叫做角（）

（2）平角是一條直線（）

（3）周角是一條射線（）

【答案】⑴X（2）X（3）X

◎^2.寫出圖中（1）能用一個(gè)字母表示的角；（2）以B為頂點(diǎn)的角；（3）圖中共有幾個(gè)角（小

于180°）.

【答案與解析】

解：（D能用一個(gè)字母表示的角/A、ZC.

（2）以B為頂點(diǎn)的角NABE、NABC、ZCBE.

（3）圖中共有7個(gè)角.

【總結(jié)升華】（D頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，才可以用一個(gè)字母表示；（2）一般數(shù)角時(shí)不包括平

角和大于平角的角.

類型二、角度制的換算

▼3.(1)把25.72°用度、分、秒表示；(2)把45°12'30"化成度(精確到百分位).

【思路點(diǎn)撥】第(1)題中25.72°中含有兩部分25°和0.72°,只要把0.72°化成分、秒即

可.第(2)題中，45°12'30”含有三部分45°,12'和30”,其中45°已經(jīng)是度，只要

把12'和30"化成度即可.

【答案與解析】

解：(1)0.72°=0.72X60'=43.2',0.2'=0.2X60"=12",

所以25.72°=25°43'12".

⑵3O"=3Ox(-!-]=05,12.5'=12.5X(-!-1°Q0.21。

所以45°12'30”―45.21°.

【總結(jié)升華】無論由高級單位向低級化還是由低級單位向高級化，都必須逐級進(jìn)行，“越級”

化單位容易出錯(cuò).

舉一反三：

【變式】(1)把26.29°轉(zhuǎn)化為度、分、秒表示的形式；

(2)把33°24'36"轉(zhuǎn)化成度表示的形式.

【答案】

解：(1)26.29°=26°+0.29°=26°+0.29X60'=26°+17.4'

=26°+17'+0.4X60"=26°17'+24”=26°17'24"

(2)33°24'36"=33°+24'+36X=330+24'+0.6'

=33°+24.6'=330+24.6X°=33.41°

提示：在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后再進(jìn)行計(jì)算。

類型三、角的比較與運(yùn)算

不用量角器，比較圖1和圖2中角的大小.(用連接)

圖2

【思路點(diǎn)撥】圖1中兩角/a、均為銳角，因此，在不能測量的情形下，我們可以將圖

中的/a向NB平移，讓/a與始邊重合，觀察終邊的位置來比較角的大小.圖2中的

三個(gè)角按角的分類，N1為銳角，/2為直角，/3為鈍角，因此按照各自的范圍就可以將

它們的大小比較出來.

【答案與解析】

解：(1)如圖所示，將/a平移使/a的始邊與的始邊重合，發(fā)現(xiàn)/a落在內(nèi)部，

因此/P>Za.

(2)由圖可知N1是銳角，Zl<90°,N2是直角，即N2=90°,N3是鈍角，即90°<

Z3<180°,因此/3>N2>N1.

【總結(jié)升華】本例給出的兩題是在不用量角器測量角的情況下比較角的大小，一種方法是疊

合比較法，另外一種方法則是根據(jù)角的分類，由圖形觀察角的不同分類，按照常見的銳角<

直角〈鈍角〈平角〈周角來比較大小.

舉一反三：

【變式】已知NAOB(如圖所示)，畫一個(gè)角等于這個(gè)角.

【答案】

作法：(D以點(diǎn)0為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交0A、OB于點(diǎn)C、D；

(2)畫一條射線O'A',以點(diǎn)0'為圓心，0C長為半徑畫弧1,交O'A'于點(diǎn)C'；

(3)以點(diǎn)C'為圓心，CD長為半徑畫弧，交弧1于點(diǎn)D'；

(4)過點(diǎn)D'畫射線O'B',則NA'O'B'=ZA0B.

5.如圖所示，已知0C平分/B0D,且/B0C=20°,0B是NA0D的平分線，求NA0D

的度數(shù).

【答案與解析】

解：因?yàn)?C平分NB0D,且NB0C=20°,

所以NB0D=2NB0C=2X20°=40°.

又0B是NAOD的平分線，

所以NA0D=2NB0D=2X40°=80°.

【總結(jié)升華】應(yīng)用角的平分線的定義時(shí)根據(jù)兩點(diǎn)：若0B是/AOC的平分線，則①/A0B=N

BOC--ZA0C；②NA0C=2/A0B=2/B0C,在解題時(shí)要學(xué)會靈活應(yīng)用.

2

【高清課堂：角397364角的有關(guān)計(jì)算例3】

舉一反三：

【變式】已知：如圖，0M是NA0B的平分線，0N是NB0C的平分線，ZA0C=80°,求：ZM0N.

0A

【答案】

解：?；0M平分NAOB,ON平分NCOB,

.*.ZM0B=-!-ZA0B,/BON=L/BOC.（角平分線的定義）

22

ZM0N=ZM0B+ZB0N

=-ZA0B+-ZB0C=-（ZAOB+ZBOC）

222

=-ZA0C=-X80°=40°.

22

即NM0N=40°.

類型四、余角和補(bǔ)角

Cb.（2016春?曹縣校級月考）一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的2倍還多40°,求這個(gè)

角的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】這類題目要先設(shè)出這個(gè)角的度數(shù).設(shè)這個(gè)角為x°,分別寫出它的余角和補(bǔ)角,

根據(jù)題意寫出等量關(guān)系，解之即可得到這個(gè)角的度數(shù).

【答案與解析】

解：設(shè)這個(gè)角為x°,則其余角為（90-x）°,補(bǔ)角為（180-x）°,依題意有

180-x=2（90-x）+40,

解得x=40.

答：這個(gè)角的度數(shù)是40°.

【總結(jié)升華】本題考查了余角和補(bǔ)角，是基礎(chǔ)題，列出方程是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】（2015?金華）已知/a=35°,則Na的補(bǔ)角的度數(shù)是（）

A.55°B.65°C.145°D.165°

【答案】C.

類型五、方位角

7.A看B的方向是北偏東30°,那么B看A的方向是（）.

A.南偏東60°B.南偏西60°

C.南偏東30°D.南偏西30°

【答案】D

【解析】依題意畫出示意圖.由圖可知，圖中N1即表本從A看B的北偏東30°,N2是從

B看A的方位角.由此可確定從B看A是南偏西300.

|北

【總結(jié)升華】從本例的分析與結(jié)果來看，從A看B與從B看A正好是一對對立的觀察過程,

其方向是一種“相反”的對應(yīng)關(guān)系.方位角的確定首先以什么點(diǎn)為基點(diǎn)（即人站在此處觀察）

要弄清楚，再由正南或正北到視線夾角測量出來.

舉一反三：

【變式】小王從家出發(fā)向南偏東30°的方向走了1000米到達(dá)小軍家，此時(shí)小王家在小軍家

的方向.

【答案】北偏西30°

類型六、鐘表上有關(guān)夾角問題

Cg.（2015?丹東模擬）如圖是一個(gè)時(shí)鐘的鐘面，下午1點(diǎn)30分，時(shí)鐘的分針與時(shí)針?biāo)?/p>

夾的角等于_________.

【答案】135°.

【解析】

解：30°X（4+1）=30。X-=135°.

22

【總結(jié)升華】根據(jù)鐘面平均分成12份，可得每份30°,根據(jù)每份的度數(shù)乘以時(shí)針與分針相

距的份數(shù)，可得答案.本題考查了鐘面角，每份的度數(shù)乘以時(shí)針與分針相距的份數(shù)是解題關(guān)

鍵.

舉一反三：

【變式】2時(shí)48分時(shí)針與分針的夾角.

【答案】解法1：如圖⑵，

設(shè)2時(shí)48分時(shí)針與分針的夾角為/a,

所以/a=360°-（48X6°-2X30°-48X0.5°）

=360°-204°=156°

解法2：如圖⑵

ZB0D=30°X4=120°,

(2)

ZC0D=2X6°=12°,

NA0B=48X0.5°=24°,

所以/A0C=/B0D+/C0D+/A0B=156°.

即2時(shí)48分時(shí)針與分針的夾角為156°.

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.下面四個(gè)圖形中，能用/I,ZA0B,/0三種方法表示同一個(gè)角的圖形是（）.

D

A

B

O\A

A

2.下列說法中，錯(cuò)誤的是（）.

A.借助三角尺，我們可以畫135°的角

B.把一個(gè)角的兩邊都延長后，所得到的角比原來的角要大

C.有公共頂點(diǎn)的兩條邊組成的圖形叫做角

D.兩個(gè)銳角之和是銳角、直角或鈍角

3.（2015?株洲）已知Na=35",那么/a的余角等于（）

A.35°B.55°C.65°D.145°

4.下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）.

①銳角的補(bǔ)角一定是鈍角；②銳角和鈍角互補(bǔ)；③一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角;

④如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么它們相等.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)

5.如圖，點(diǎn)A位于點(diǎn)0的（）方向上.

A.南偏東35°B,北偏西65°

C.南偏東65°D,南偏西65°

6.鐘表上2時(shí)25分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘牵?/p>

A.77.5°B.77°5'C.75°

7.（2016春?武隆縣期末）如果/I與/2互補(bǔ)，Z2與/3互余，則N1與N3的關(guān)系是（）

A.Z1=Z3B.Zl=180°-Z3C.Zl=90°+Z3D.以上都不對

8.如圖，點(diǎn)A、0、E在同一直線上，

ZA0B=40°,ZE0D=28°46',0D平分

ZC0E,則/COB的度數(shù)為（）.

A.68°46'B.82°32'

C.82°28'D.82°46'

二、填空題

9.已知Na的余角是35°45'20",則Na的度數(shù)是_____（用度分秒表示）.

10.已知Na與N/?互補(bǔ)，且Na=35°18',則/夕=.

11.（2015春?萬州區(qū)期末）如圖，/AOC=/BOD=110°，若NA0B=150°,/C0D=m°,則m=

12.鐘表8時(shí)30分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕菫槎?

13.南偏東80。的射線與西南方向的射線組成的角（小于平角）的度數(shù)是

14.(2016春?濰坊校級月考)(1)131°28'-51°32'15"=；

(2)58°38，27"+47°42'40"=.

15.相鄰的兩個(gè)角又互為余角，則這兩個(gè)角的平分線夾角為；相鄰的兩個(gè)角又

互為補(bǔ)角，則這兩個(gè)角的平分線夾角為.

16.如圖所示，將一平行四邊形紙片ABCD沿AE,EF折疊，使點(diǎn)E,B,,C在同一條直線上,

則NAEF=.

三、解答題

17.如圖，已知點(diǎn)C、點(diǎn)。分別在NAO3的邊上，請根據(jù)下列語句畫出圖形:

(1)作ZAOB的余角ZAOE；

(2)作射線DC與OE相交于點(diǎn)尸;

(3)取的中點(diǎn)用，連接CM.

18.(2015春?黃岡校級期中)如圖，A點(diǎn)在B處的北偏東40°方向，C點(diǎn)在B處的北偏東

85°方向，A點(diǎn)在C處的西北方向，求/ABC及NBCA的度數(shù).

19.如圖所示，五條射線0A、OB、0C、0D、0E組成的圖形中共有幾個(gè)角？如果從0點(diǎn)引出n

條射線，能有多少個(gè)角?你能找出規(guī)律嗎？

20.(2016春?啟東市月考)如圖，ZA0B=90°,ZA0C是銳角，OD平分NB0C,0E平分NA0C.求

ND0E的度數(shù).

B

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】A選項(xiàng)不能用/0表示，C選項(xiàng)不能用/0表示，D選項(xiàng)不能用NAOB表示.

2.【答案】B

【解析】借助三角尺能畫出15n（n為正整數(shù)）的角，角的大小與邊的長短無關(guān)，兩個(gè)銳角

的和可能是銳角、直角、鈍角.

3.【答案】B.

4.【答案】B

【解析】①④正確.

5.【答案】B

6.【答案】A

【解析】所求夾角為：6。X25-（1）°X25-300X2=77.5°

7.【答案】C；

【解析】解：；/1+/2=180°

AZ1=180°-Z2

又「Z2+Z3=90°

Z.N3=90°-Z2

AZI-Z3=90°,即Nl=90°+Z3.

故選：C.

8.【答案】C

【解析】如圖，ZB0C=180°-40°-2X28°46'=82°2