2022年北京市高級中等學(xué)校自主招生數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022年北京市高級中等學(xué)校自主招生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．（2分）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A．長方體 B．三棱柱 C．圓錐 D．圓柱2．（2分）2020年6月23日，北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星從西昌發(fā)射中心發(fā)射升空，6月30日成功定點于距離地球36000公里的地球同步軌道．將36000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．3.6×104 B．3.6×105 C．0.36×104 D．36×1043．（2分）如圖，AB和CD相交于點O，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠54．（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．（2分）正五邊形的外角和為（）A．180° B．360° C．540° D．720°6．（2分）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示．若實數(shù)b滿足﹣a＜b＜a，則b的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．27．（2分）不透明的袋子中有兩個小球，上面分別寫著數(shù)字“1”，“2”，除數(shù)字外兩個小球無其他差別．從中隨機摸出一個小球，記錄其數(shù)字，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，記錄其數(shù)字，那么兩次記錄的數(shù)字之和為3的概率是（）A． B． C． D．8．（2分）有一個裝有水的容器，如圖所示，容器內(nèi)的水面高度是10cm，現(xiàn)向容器內(nèi)注水，并同時開始計時，在注水過程中，水面高度以每秒0.2cm的速度勻速增加，則容器注滿水之前，容器內(nèi)的水面高度與對應(yīng)的注水時間滿足的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．二次函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．10．（2分）已知關(guān)于x的方程x2+2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值是．11．（2分）寫出一個比大且比小的整數(shù)為．12．（2分）方程組的解為．13．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x與雙曲線y＝交于A，B兩點．若點A，B的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，則y1+y2的值為．14．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC上（不與點B，C重合）．只需添加一個條件即可證明△ABD≌△ACD，這個條件可以是（寫出一個即可）．15．（2分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關(guān)系為：S△ABCS△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．16．（2分）如圖是某劇場第一排座位分布圖．甲、乙、丙、丁四人購票，所購票數(shù)分別為2，3，4，5．每人選座購票時，只購買第一排的座位相鄰的票，同時使自己所選的座位號之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后順序購票，那么甲購買1，2號座位的票，乙購買3，5，7號座位的票，丙選座購票后，丁無法購買到第一排座位的票．若丙第一個購票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，寫出一種滿足條件的購票的先后順序．三、解答題（本題共68分，第17-20題，每小題5分，第21題6分，第22題5分，第23-24題，每小題5分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）計算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°．18．（5分）解不等式組：19．（5分）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代數(shù)式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．20．（5分）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：線段BP，使得點P在直線CD上，且∠ABP＝∠BAC．作法：①以點A為圓心，AC長為半徑畫圓，交直線CD于C，P兩點；②連接BP．線段BP就是所求作的線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴點B在⊙A上．又∵點C，P都在⊙A上，∴∠BPC＝∠BAC（）（填推理的依據(jù)）．∴∠ABP＝∠BAC．21．（6分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．22．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)y＝x的圖象平移得到，且經(jīng)過點（1，2）．（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x＞1時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝kx+b的值，直接寫出m的取值范圍．23．（6分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，OF⊥AD于點E，交CD于點F．（1）求證：∠ADC＝∠AOF；（2）若sinC＝，BD＝8，求EF的長．24．（6分）小云在學(xué)習(xí)過程中遇到一個函數(shù)（x≥﹣2）．下面是小云對其探究的過程，請補充完整：（1）當(dāng)﹣2≤x＜0時，對于函數(shù)y1＝|x|，即y1＝﹣x，當(dāng)﹣2≤x＜0時，y1隨x的增大而，且y1＞0；對于函數(shù)y2＝x2﹣x+1，﹣2≤x＜0當(dāng)時，y2隨x的增大而，且y2＞0；結(jié)合上述分析，進一步探究發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)y，當(dāng)﹣2≤x＜0時，y隨x的增大而．（2）當(dāng)x≥0時，對于函數(shù)y，當(dāng)x≥0時，y與x的幾組對應(yīng)值如下表：x0123?y01?綜合上表，進一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x≥0時，y隨x的增大而增大．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出當(dāng)x≥0時的函數(shù)y的圖象．（3）過點（0，m）（m＞0）作平行于x軸的直線l，結(jié)合（1）（2）的分析，解決問題：若直線l與函數(shù)的圖象有兩個交點，則m的最大值是．25．（5分）小云統(tǒng)計了自己所住小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量（單位：千克），相關(guān)信息如下：a．小云所住小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量統(tǒng)計圖：b．小云所住小區(qū)5月1日至30日分時段的廚余垃圾分出量的平均數(shù)如下：時段1日至10日11日至20日21日至30日平均數(shù)100170250（1）該小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量的平均數(shù)約為（結(jié)果取整數(shù)）；（2）已知該小區(qū)4月的廚余垃圾分出量的平均數(shù)為60，則該小區(qū)5月1日至30日的廚余垃圾分出量的平均數(shù)約為4月的倍（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（3）記該小區(qū)5月1日至10日的廚余垃圾分出量的方差為s12，5月11日至20日的廚余垃圾分出量的方差為s22，5月21日至30日的廚余垃圾分出量的方差為s32．直接寫出s12，s22，s32的大小關(guān)系．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，其中x1＜x2．（1）若拋物線的對稱軸為x＝1，當(dāng)x1，x2為何值時，y1＝y(tǒng)2＝c；（2）設(shè)拋物線的對稱軸為x＝t，若對于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范圍．27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線AC上一動點，連接DE．過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點時，設(shè)AE＝a，BF＝b，求EF的長（用含a，b的式子表示）；（2）當(dāng)點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點，AB＝1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分別為點A，B的對應(yīng)點），線段AA'長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．（1）如圖，平移線段AB得到⊙O的長度為1的弦P1P2和P3P4，則這兩條弦的位置關(guān)系是；在點P1，P2，P3，P4中，連接點A與點的線段的長度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；（2）若點A，B都在直線y＝x+2上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d1，求d1的最小值；（3）若點A的坐標(biāo)為（2，），記線段AB到⊙O的“平移距離”為d2，直接寫出d2的取值范圍．參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．A； 2．A； 3．A； 4．D； 5．B； 6．C； 7．C； 8．B； 二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．x≠7； 10．1； 11．2（或3）； 12．； 13．0； 14．BD＝CD； 15．＝； 16．丙、丁、甲、乙或丙、丁、乙、甲或丙、甲、丁、乙或丙、乙、丁、甲； 三、解答題（本題共68分，第17-20題，每小題5分，第21題6分，第22題5分，第23-24題，每小題5分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．5； 18．

解：解不等式5x-3＞2x,得：x＞1，

解不等式，得：x＜2，

則不等式組的解集為1＜x＜2．； 19．解：（3x+2）（3x-2）+x（x-2）

=9x2-4+x2-2x

=10x2-2x-4，

∵5x2-x-1=0，

∴5x2-x=1，

∴原式=2（5x2-x）-4=-2．； 20．∠BPC； 同弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半； 21．解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴OB=OD，

∵E是AD的中點，

∴OE是△ABD的中位線，

∴OE∥FG，

∵OG∥EF，

∴四邊形OEFG是平行四邊形，

∵EF⊥AB，

∴∠EFG=90°，

∴平行四邊形OEFG是矩形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，AB=AD=10，

∴∠AOD=90°，

∵E是AD的中點，

∴OE=AE=AD=5；

由（1）知，四邊形OEFG是矩形，

∴FG=OE=5，

∵AE=5，EF=4，

∴AF=√AE2?EF2=3，

∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．；

解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象由直線y=x平移得到，

∴k=1，

將點（1，2）代入y=x+b,

得1+b=2，解得b=1，

∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1；

（2）把點（1，2）代入y=mx,求得m=2，

∵當(dāng)x＞1時，對于x的每一個值，函數(shù)y=mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y=x+1的值，

∴m≥2．； 23．

解：（1）連接OD，

∵OF⊥AD，

∴∠AOF+∠DAO=90°，

∵CD是⊙O的切線，D為切點，

∴∠CDO=90°，

∴∠ADC+