江蘇省南京市部分學(xué)校(天印高級(jí)中學(xué)、秦淮中學(xué)、臨江高級(jí)中學(xué)等)2021-2022學(xué)年高二年級(jí)上冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021?2022年度第一學(xué)期期末試卷

高“自.一___-數(shù)必1學(xué)J、，.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

TT

1.已知函數(shù)/（x）=cos2x,那么/'（一）的值為（）

6

A.一且B.BC.&D._73

22

【答案】D

【解析】

【分析】直接求導(dǎo)，代入計(jì)算即可.

【詳解】/'（x）=-2sin2x,故/，（代）=-2sin工=一6.

63

故選：D.

2.設(shè)aeR,若直線4：ax+2y—8=0與直線/2：x+3+l）y+5=0平行，則。的值為（）

-2

A.1B.-2C.1或一2D.一一

3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線的一般式判斷平行的條件進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】a+l=0時(shí)，容易驗(yàn)證兩直線不平行，當(dāng)。+1。0時(shí)，根據(jù)兩直線平行的條件可知：

—=—^―豐—，解得a=1或a=-2.

1a+15

故選：C.

3.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等，問

各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之

和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單

位），這個(gè)問題中戊所得為（）

A.24錢3B.'錢C.3士錢D.23錢

5453

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題即可解決.

【詳解】解：由題意，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為％,a2,%，%，%.

則,%,%，44,%成等差數(shù)列，設(shè)公差為

4+。2+/+。4+。5=5,

《+%=。3+。4+。5?

整理上面兩個(gè)算式，得：

4+2d=1

4+8。=0'

「4

412

?.?%=4+4i/=-+4x(--)=-.

3o5

故選：D.

4.若拋物線J=4x與直線/：y=x-1相交于A3兩點(diǎn)，則弦A8的長為()

A.6B.8C.60D.5及

【答案】B

【解析】

【分析】由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(1,。),剛好在直線y=x-i上，再聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋

達(dá)定理和拋物線的定義求解.

【詳解】解：由題得"=2.

由題得拋物線尸=4X的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(l,o),剛好在直線y=x-l±,

設(shè)4和％),6(尤2，%)，聯(lián)立直線和拋物線方程得｛,，工2—6x+l=0,

y^x-l

所以無I+尤2=6.

所以|AB1=1AF\+\BF|=^+-^+X2+-^=6+2=8.

故選：B

5.函數(shù)/(x)=ex-er+sinx,則不等式/(x)>0的解集是()

A.(0,4-oo)B.(-oo,0)C.(0,1)D.(一肛0)

【答案】A

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)遞增，然后進(jìn)行求解.

【詳解】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)：r（x）=e'+er+cosx,因?yàn)?'+422,-l<cosx<b所以

e

r（x）>o,

因?yàn)?所以/（x）是奇函數(shù)，所以/（x）在R上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?（O）=e°-eY>+sinO=O,所以/（x）>0的解集為（0,+e）.

故選：A

6.已知半徑為2的圓經(jīng)過點(diǎn)（5,12）,則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【解析】

【分析】由條件可得圓心的軌跡是以點(diǎn)（5,12）為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.

【詳解】因?yàn)榘霃綖?的圓經(jīng)過點(diǎn)（5,12）,

所以圓心的軌跡是以點(diǎn)（5,12）為圓心，半徑為2的圓，

所以圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為J52+122—2=11，

故選：B

7.在平面內(nèi)，A,B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若而.覺=1，則點(diǎn)C的軌跡為（）

A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線

【答案】A

【解析】

【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.

【詳解】設(shè)A3=2a（a>0）,以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

y

則：A(-67,O),B((2,O),設(shè)C(X,y),可得：ib=(x+〃,y),由=(x—〃,y)，

—>—>

從而：AC3C=(x+a)(x—4)+/，

結(jié)合題意可得：(x+a)(x-a)+y2=1,

整理可得：x2+y2=a2+l,

即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，GTi為半徑的圓.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能

力和計(jì)算求解能力.

lnx+x,x>0

8.已知函數(shù)/(》)=<g(x)=/(x)—x-a.若g(x)存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

-(2x+l)ev+x,x<0

取值范圍是()

(_2\(3A

A.0,e'B.0,2e2

\7

(_2\(_3\

C.0,2e-^D.0,”

\7\7

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，當(dāng)/>0時(shí)，g(x)=/(x)—X—。有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí),

—(2x+l)e”=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再研究函數(shù)%(%)=—(2x+l)e”,xW0即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)間(x)存在三個(gè)零點(diǎn)，所以方程〃x)=x+a有三個(gè)實(shí)數(shù)根，

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，由/(x)=x+6/得lnx=a,解得x=e"，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,

所以當(dāng)XWO時(shí);〃x)=x+a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即一(2x+l)e'="有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以令/i(x)=-(2x+l)e*,x40,則/?'(x)=—(2x+3)ex,x<0,

所以當(dāng)時(shí)，廳(x)>0,旗力單調(diào)遞增，

3

當(dāng)一1<x40時(shí)，〃(x)<0,力(力單調(diào)遞減，

因?yàn)閤f—>0,/?(0)=-1,Mx%'=〃(一5)=2e5>0,

所以/2(力=一(2萬+1)0%<0的圖象如圖所示，

(_3\

所以一(2x+l)e、=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則0,2/5

\7

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對得5分，部分選對得2

分，不選或有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(幻=；/+/一2辦+1,若函數(shù)/(x)(1,2)上有極值，則實(shí)數(shù)a可以取()

A.1B.2C.3D.4

【答案】BC

【解析】

【分析】函數(shù)f(x)在(1,2)上有極值，即導(dǎo)數(shù)在(1,2)上有變號(hào)零點(diǎn)，列出關(guān)于。的不等式組，進(jìn)而求出參

數(shù)a的取值.

【詳解】由題意知，/1'(%)=-+2x-2。在(L2)上有變號(hào)零點(diǎn),又易知/口)=爐+2%-2。在(1,2)上

單調(diào)遞增，故/(x)w(3-2a,8-2a),

[3-2?<03

可得《，解得二<。<4,故?？扇?,3.

8-2?>02

故選：BC.

10.已知等比數(shù)列｛a,,｝,公比為q,前〃項(xiàng)和為S“，則下列結(jié)論一定正確的是()

A.若加+〃=s+r,(加eN*),則a〃ja“=ajq

B.若=a*y,eN"),貝!|加+〃=s+r

C.當(dāng)4>1時(shí)，數(shù)列｛a.｝單調(diào)遞增；

D.若S"=如"一1且4*1,則女=1

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷A；根據(jù)非零常數(shù)列判斷B；根據(jù)鄉(xiāng)>1且q<0時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)

遞減判斷c；根據(jù)s“=善——=初"一1求解判斷D.

1-<71-<7

【詳解】解：對于A選項(xiàng)，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得：

2is+r2

-an=alq'"~''a｝q"'=a^q"'"'~,as-a,=aiq~'-axq'~'=a^q~,由于加+〃=5+/,(加,〃,$,/€1^*),

故a,“-a“=4y,正確；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛4｝的公比為1時(shí)，金?《,=《?4始終滿足，但m+w=s+f不一定成立，故錯(cuò)

誤；

對于C選項(xiàng)，當(dāng)4>1且4<0時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的〃項(xiàng)和為S:見1二￡)=」!——%_./=初"_],故

"\-q\-q\-q

a.a.

x1,所以％=——=1,故正確；

\-q\-q

故選：AD

11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在圓(x—3y+(y—3『=4上，點(diǎn)4(2,0)、B(O,1),貝ij()

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于6B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)NPA4最小時(shí)，|/回=3D.當(dāng)NPB4最大時(shí)，儼6|=3

【答案】ACD

【解析】

【分析】先求出直線A2的方程，圓心和半徑.利用幾何法求出點(diǎn)P到直線42的距離的范圍，判斷A、B；

判斷出當(dāng)過B的直線與圓相切時(shí)，滿足NPBA最小或最大，利用勾股定理求出|「耳=3,可判斷C、D.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)、6(0,1),所以過48的直線方程為即x+2y-2=0.

圓(x—3)一+(y—3)2=4的圓心坐標(biāo)為(3,3),半徑L2.

13+6-217石

因?yàn)閳A心到直線x+2y-2=0的距離d=，

I#77?5

所以點(diǎn)P到直線AB的距離的范圍為2-苧，苧+2.

點(diǎn)P到直線AB的距離小于6,但不一定大于2故A正確,B錯(cuò)誤.

如圖，

當(dāng)過B的直線與圓相切時(shí)，滿足NP8A最小或最大(尸點(diǎn)位于Pi時(shí)NP84最小，位于外時(shí)/尸8A最大)，此時(shí)

BC=d?+*=岳，

所以P8=13=JF4=3,故C、D正確?

故選：ACD

12.將數(shù)列｛2〃-1｝中的各項(xiàng)依次按第一個(gè)括號(hào)1個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)2個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)4個(gè)數(shù)，第四個(gè)

括號(hào)8個(gè)數(shù)，第五個(gè)括號(hào)16個(gè)數(shù)，…，進(jìn)行排列：(1),(3,5),(7,9,11,13).(15,17,19,21,

23,25,27,29）,....則以下結(jié)論中正確的是（）

A.第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為1023B.2021在第11個(gè)括號(hào)內(nèi)

C.前10個(gè)括號(hào)內(nèi)一共有1023個(gè)數(shù)D.第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字之和Se（2%22°）

【答案】ACD

【解析】

【分析】由第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列｛2〃一1｝的第512項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)為數(shù)列｛2〃-1｝的第1023

項(xiàng)即可求解.

【詳解】解：由題意，第〃個(gè)括號(hào)有2'i個(gè)數(shù)，

對A：前9個(gè)括號(hào)內(nèi)一共有1+2+2?+...+28匚1=29.1=511個(gè)數(shù)，所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的

1-2

第一個(gè)數(shù)為數(shù)列｛2九一1｝的第512項(xiàng)，所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為2x512—1=1023,故選項(xiàng)A正

確；

對C：前10個(gè)括號(hào)內(nèi)一共有1+2+2?+…+2。~%）=2"'-1=1023個(gè)數(shù)，故選項(xiàng)C正確；

1-2

對B：令2〃-1=2021,得〃=1011，所以2021為數(shù)列｛2〃-1｝的第1011項(xiàng)，由上面選項(xiàng)A、C分析可

得，2021在第10個(gè)括號(hào)內(nèi)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對D：因?yàn)榈?0個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為2x512—1=1023,最后一個(gè)數(shù)為2x1023—1=2045,所以第

10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字之和S=2'002；+2°49=29X]534e（219,2",），故選項(xiàng)D正確；

故選：ACD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置

13.過圓x2+V=5上一點(diǎn)P（l,-2）的圓的切線的一般式方程為一

【答案】x-2y—5=0

【解析】

【分析】求出過切線的半徑所在直線斜率，由垂直關(guān)系得切線斜率，然后得直線方程，現(xiàn)化為一般式.

【詳解】圓心為0（0,0）,kOP=-=-2,所以切線/的斜率為A=〈，切線方程為y+2=；（x-l）,即

122

x—2y—5=0.

故答案為：x-2y-5=O

【點(diǎn)睛】本題考查求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程，利用切線性質(zhì)求得斜率后易得直線方程.

14.牛頓迭代法又稱牛頓一拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的-一種

方法.具體步驟如下：設(shè)r是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取xo作為r的初始近似值，作曲線_y=f(x)

在點(diǎn)(次，/(⑹)處的切線(，設(shè)/i與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為XI,并稱可為『的1次近似值；作曲線)，=/(x)在

點(diǎn)(XI,/(XI))處的切線/2,設(shè)/2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X2,并稱X2為r的2次近似值.一般的，作曲線

(x)在點(diǎn)(X”,f(x〃))("eN)處的切線/"+1,記/"+1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X"+I,并稱X"+1為，?的"+1次近似

值.設(shè)/。)=爐+》-1的零點(diǎn)為r,取xo=O,則r的2次近似值為.

3

【答案】-##0.75

4

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)r的2次近似值的定義求解即可

【詳解】由/(%)=X3+%一1,得/'(%)=3犬+1,取/=0,/(0)=-1,/,(0)=1,

所以過點(diǎn)(0,-1)作曲線y=f(x)的切線乙的斜率為1,

所以直線4的方程為y=x-l,其與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，即再=1,

因?yàn)?(D=1/(1)=4,所以過點(diǎn)(1,1)作曲線y=/(X)的切線12的斜率為4,

33

所以直線4的方程為y=4%-3,其與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為即/=；,

3

故答案為：一

4

22

15.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，已知雙曲線C：二一二=1(。＞0力＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為￡,F2,過

a~b~

￡且與圓O:相切的直線與雙曲線。的一條漸近線相交于點(diǎn)“(點(diǎn)”在第一象限)，若

則雙曲線。的離心率e=.

MFXLMF2,

【答案】2

【解析】

【分析】設(shè)切點(diǎn)N,根據(jù)N6NO=N6M8=90。，可得ON//MF”在AM。工中，利用余弦定理構(gòu)

造齊次式，從而可得出答案.

【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)N，由/耳NO=N6"=90。，.?.ON“M鳥，

為耳打中點(diǎn)，則。v為△6MB中位線，

a

MF2=2a,cos/MO6=

△MO居中,4a2=c2+c2-2-C-C--,

c

2=I—j—>e2—e—2=0,e=2-

\a）\a）

故答案為：2.

16.設(shè)數(shù)列｛%｝滿足q=I,4=5且a“+2-2a“+]+=2,則4—%=.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)知

【答案】①.5②.n2-2n+2

【解析】

【分析】設(shè)2=。用一%，根據(jù)題意得到數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列，求得々=2〃-1,得到

an+x-an=2n-\,利用%-6="，結(jié)合“累加法”，即可求得

【詳解】解：由題意，數(shù)列｛與｝滿足a,.-2"“+]+%=2,

所以當(dāng)〃=1時(shí)，《=1,。3=5,。3-2。2+4=2,解得%=2,

設(shè)"=%+「%，

則〃+「〃=（4+2一?！?1）-（4田-4）=4+2-2a,田+??=2,且4=2—1=1,

所以數(shù)列也“｝是等差數(shù)列，公差為2,首項(xiàng)為1,

所以?！?2〃-1,即a,m—a“=2"—1,

所以“4—。3=4=5,

當(dāng)〃22時(shí)，

可得a”=4+（。2-4）+（。3_“2）+…+3"-an-\）

=]+[1+3+5+I+(2“―3)]=]+(1+2”一；)("T)=/_2〃+2,

2

其中q=1也滿足an=n-2n+2,

所以數(shù)列[a,,｝的通項(xiàng)公式為a“=〃2-2〃+2.

故答案為：5；rr—2n+2-

四、解答題：本大題共6小題，共70分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的

文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)/(%)=63+尤2+云(a/eR)的圖像在％=1處的切線斜率為3,且x=—2時(shí)，y=f(x)

有極值.

(1)求/(x)的解析式；

(2)求/(x)在卜3,2]上的最大值和最小值.

【答案】(1)/(x)=1x3+x2；

(2)最大值為多20，最小值為0.

【解析】

【分析】(1)由題得3a+b=l①，i2a+b=4@,解方程組即得解；

(2)令/'(x)=f+2尤=0解得x=-2或》=0,再列表得解.

【小問1詳解】

解：求導(dǎo)得/'(%)=3依2+2%+匕，

因?yàn)?(x)在尤=1出的切線斜率為3,則/'(1)=3,即3a+b=l①

因?yàn)?=-2時(shí),y=f(x)有極值,則((―2)=0.即12a+b=4②

.1

由①②聯(lián)立得《3,所以/(幻=一/+%2.

b=03

【小問2詳解】

解：由(1),令/'(無)=尤2+2x=()解得x=-2或％=0,

列表如下：

X-3(-3,-2)-2(-2,0)0(0,2)2

/w+—+

極大值

420

0

/(X)/3極小值0/T

所以，f(x)在[-3,2]上的最大值為行，最小值為0.

18.已知數(shù)列｛6,｝滿足。,戶0,4=1,且乙-4加=2a“a“+],/isN*

(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)%=?an+],求數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為.

【答案】(1)證明見解析，??=—5—■；

2〃一1

【解析】

【分析】(1)對遞推公式進(jìn)行變形，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可;

(2)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)??！耙?山=2?！啊４?，且a,,H0，

a..-a..111

所以""+t'—2即---------=2,所以數(shù)列〈一〉是公差為2的等差數(shù)歹U.

aa

4%〃+1[n,

1,即=—?—；

又q=1,所以7=1+(/i-l)x2=2/7-l

2〃一1

【小問2詳解】

11z11、

由(1)得4〃一，所以C〃=S1WO=in

2〃一1(2〃—1)(2拉+1)22n—12鹿+1

…1八1、1A11.11.

故,-2-3+2,)+???+?(■)

3522/7-12“+1

1f.11111)

=—?11---1-----+???+

213352/1-12n+lJ

n

212n+\)2n+1

19.我們知道：當(dāng)尸（七,%）是圓0：*2+）;2=/上一點(diǎn)，則圓。的過點(diǎn)P的切線方程為玉/+%>,=/；

當(dāng)尸（玉）,為）是圓0：/+,2=/外一點(diǎn)，過尸作圓0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,則方程

x0x+%y=/表示直線AB的方程，即切點(diǎn)弦所在直線方程.請利用上述結(jié)論解決以下問題：已知圓C的

圓心在x軸非負(fù)半軸上，半徑為3,且與直線y=x+3、歷相切，點(diǎn)尸在直線2x+y=9上，過點(diǎn)尸作圓C

的兩條切線，切點(diǎn)分別為AB.

（1）求圓C的方程；

（2）當(dāng)P（3,3）時(shí)，求線段AB的長；

（3）當(dāng)點(diǎn)尸在直線2x+y=9上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB長度的最小值.

【答案】（1）f+y2=9；

⑵3&；

（3）4.

【解析】

【分析】⑴根據(jù)圓圓心和半徑設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（尤-。）2+丁=9,520）,利用圓心到切線的距離等于

圓的半徑即可求出a；

（2）根據(jù)題意寫出AB的方程，根據(jù)垂徑定理即可求出弦長；

⑶根據(jù)題意求出A8經(jīng)過的定點(diǎn)Q,當(dāng)CQ垂直于48時(shí);A8最短.

【小問I詳解】

由題，設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（尤—a）?+尸=9,（?>0）,

I”-0+3\/21

則J_,___匚3,解得。=0.

故圓C方程為無2+y2=9；

【小問2詳解】

根據(jù)題意可知，直線的方程為3x+3y=9,即x+y=3,

|0+0-3|3族

圓心C到直線AB的距離為d=lI---匕工,

2

故弦長MM=2,9-1=2^9-1=30；

【小問3詳解】

設(shè)尸(玉),，0)，則2X()+,%=9,又直線A3方程為：Xax+yoy=9,

故直線A3過定點(diǎn)。(2,1),

設(shè)圓心C到直線A8距離為"，則|陰=2的-/,

故當(dāng)"最大時(shí)，|AB|最短，而d〈|CQ|,故AB與CQ垂直時(shí)d最大，此時(shí)d=|CQ|=g,|A6|=4,

.??線段A3長度的最小值4.

20.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃和為S“，數(shù)列出｝是公比為2的等比數(shù)列，且q=4=4,邑=21.

(1)求數(shù)列｛對｝和數(shù)列屹“｝的通項(xiàng)公式；

(2)現(xiàn)由數(shù)列｛%｝與[b,,｝按照下列方式構(gòu)造成新的數(shù)列｛%｝

①將數(shù)列｛《,｝中的項(xiàng)去掉數(shù)列｛"｝中的項(xiàng)，按原來的順序構(gòu)成新數(shù)列｛%｝；

②數(shù)列｛%｝與｛"｝中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A與B,將集合AU8中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一

個(gè)新數(shù)列｛%｝;

在以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)做為己知條件，求數(shù)列｛%｝的前30項(xiàng)和.

【答案】⑴氏=3〃+1,a=2"(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)由題意可直接得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；求出等差數(shù)列的公差，即可得到其通項(xiàng)公式；

(2)若選①，則可確定由數(shù)列前33項(xiàng)的和減去仇,“，/，即可得答案；若選②，則可確定由數(shù)列

｛叫前27項(xiàng)的和加上乙也也，即可得答案.

【小問1詳解】

因?yàn)閿?shù)列他,｝為等比數(shù)列，且4=4,q=2,

所以d=%xq-2=4x2"-2=2".

又因S3=〃]+%+〃3=3%=21,所以〃2=7,

又4=4,則d=3,

故等差數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為4=4+(〃-1)x3=3〃+1.

【小問2詳解】

因?yàn)閍“=3〃+1,2=2",

所以4=2,b2=4,4=8,b4=16?b5=32,b6=64,4=128,

而用o=9La3l=94,%2=97,=100<Z?7=128

若選①

因?yàn)?,4,d在數(shù)列｛%｝前30項(xiàng)內(nèi)，4，0也不在在數(shù)列｛4｝前30項(xiàng)內(nèi).，

則數(shù)列｛&｝前30項(xiàng)和為：533-2-優(yōu)一％=33*4+至/x3—(4+16+64)=1632.

若選②

因?yàn)榇蛞苍跀?shù)歹！J｛4｝前30項(xiàng)內(nèi)，々也也不在在數(shù)列｛4,｝前30項(xiàng)內(nèi).，

則數(shù)列｛%｝前30項(xiàng)和為：S27+仇+"+4=27x4+4|、x3+(2+8+32)=1203.

22

21.已知橢圓C：=+:=1(a>/?>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±6,0),長軸長是短軸長的2倍.

a~b~

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知直線/不過點(diǎn)P(0,l)且與橢圓。交于A3兩點(diǎn)，從下面①②中選取一個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成

立.

①直線PA尸3的斜率分別為匕,月，則%-％2=1；②直線/過定點(diǎn)

【答案】(1)—+y2=l

4-

(2)證明見解析

【解析】

.c=￡

【分析】(I)由條件可得(2a=4b，解出即可；

2122

礦=Zr+c

(2)選①證②，當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/：y=kx+m,A(%,y),5(%,當(dāng))，然后聯(lián)立直線與橢圓的

方程消元，然后韋達(dá)定理可得為+兌=-普一，%X2J叫一),然后由匕?%,=1可算出現(xiàn)=-3，即

4《+11-4k2+]3

可證明，選②證①，設(shè)/：y=Ax-1,AOCQ"小,%)，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋

40人64

達(dá)定理可得再+無2=3(4&2+1)，再￡=9(4爐+])，然后可算出4?2=L

【小問1詳解】

'c=Ga=2

由條件可得，2a=4b,解得，b=\

2*422

a=b+cc=6

所以橢圓方程為三+9=1

4

【小問2詳解】

選①證②：當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/：y=kx+m,A（%，x）,8（X2，y2）

2

X22

由，4+"得（4攵2+l）x?+8hnx+4（加2—1）=（）,則玉+9=-1三丁玉々=曳4■辿

y=kx+m+4《+1

由仁山2=1得"^總」=1

X]x2

即（,-1）（y2—1）—=。，即（3+加-1）（任+加-1）—七％2=°

2

所以伏2—+Z（機(jī)—1）（與+x2）+（m—1）=0

代入e2_1）槳押+上（加-1）（一黑1）+（加2-1）=0

所以4（加2—1）/2一1）—85W（加一1）+（4L2+1）（m一1）2=0

所以4機(jī)2—4—（加一1）2=（）

解得：m=l（舍去），m=~

3

所以直線過定點(diǎn)（0,一|）

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)/：%=曷

所以J+*=l，由仁?&=1得-----------=1

4ss

2

所以『+/=1,即$2=J,解得s=0

4

所以直線x=0（不符合題意，舍去）

綜上：直線過定點(diǎn)