人教版八年級數學上冊 專題14.2 乘法公式講練（解析版）

專題14.2乘方公式典例體系（本專題73題33頁）一、知識點平方差公式：即：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差；完全平方公式：即：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍；添括號：=1\*GB3①如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；=2\*GB3②如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號；二、考點點撥與訓練考點1：平方差公式的適用條件典例：（2020·山西左權·期末）下列各式能用平方差公式計算的是（）A．(a+b)(a-2b) B．(x+2y)(x-2y) C．（-a+2b)(a-2b) D．（-2m-n）（2m+n）【答案】B【解析】A：無法化為形式的式子，故其不能用平方差公式計算；B：符合平方差公式的形式，故其可以用平方差公式計算；C：無法化為形式的式子，故其不能用平方差公式計算；D：無法化為形式的式子，故其不能用平方差公式計算；故選：B.方法或規(guī)律點撥本題主要考查了平方差公式，熟練掌握相關公式是解題關鍵.鞏固練習1．（2022·河北南宮·期末）下列各式不能運用平方差公式計算的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：、兩項都是相同的項，不能運用平方差公式；、、中均存在相同和相反的項，故選：．2．（2020·河南舞鋼·期中）下列各式中，不能運用平方差公式計算的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵==，∴A不符合題意，∵==，∴B不符合題意，∵=∴C符合題意，∵=，∴D不符合題意．故選C．3．（2020·江蘇梁溪·期末）下列各式中，不能用平方差公式計算的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：A、能用平方差公式進行計算，故本選項不符合題意；B、（1-2a）（-1+2a）=-（1-2a）2，不能用平方差公式進行計算，故本選項符合題意；C、能用平方差公式進行計算，故本選項不符合題意；D、能用平方差公式進行計算，故本選項不符合題意；故選：B．4．（2020·安徽臨泉·期末）能用平方差公式計算的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A．不能用平方差公式計算，該項不符合題意；B．可以用平方差公式計算，該項符合題意；C．不能用平方差公式計算，該項不符合題意；D．不能用平方差公式計算，該項不符合題意；故選：B．5．（2020·達州市通川區(qū)第八中學期中）下列各式不能用平方差公式計算的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】A.含x、y的項都符號相反，不能用平方差公式計算；B.含x的項符號相同，含y的項符號相反，能用平方差公式計算；C.含y的項符號相同，含x的項符號相反，能用平方差公式計算；D.含y的項符號相同，含x的項符號相反，能用平方差公式計算．故選:A.6．（2020·沈陽市第一二七中學期中）下列各多項式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】解：①（-2ab+5x）(5x+2ab)=（5x-2ab）(5x+2ab)，符合平方差公式，故①正確;②(ax－y)(-ax-y)=-(ax－y)(ax+y)，符合平方差公式，故②正確;③(-ab-c)(ab-c)=-(a+-c)(ab-c)，符合平方差公式，故③正確;④(m+n)(-m-n)=-(m+n)(m+n)，不符合平方差公式，故④錯誤.正確的有①②③.故選B.7．（2020·西藏日喀則·期末）下列乘法運算中不能用平方差公式計算的是（）A．（x+1）（x﹣1） B．（x+1）（﹣x+1）C．（﹣x+1）（﹣x﹣1） D．（x+1）（﹣x﹣1）【答案】D【解析】解：選項A：(x+1)(x-1)=x2-1，故選項A可用平方差公式計算，不符合題意，選項B：(x+1)(-x+1)=1-x2，故選項B可用平方差公式計算，不符合題意，選項C：(-x+1)(-x-1)=x2-1，故選項C可用平方差公式計算，不符合題意，選項D：(x+1)(-x-1)=-(x+1)2，故選項D不可用平方差公式計算，符合題意，故選：D．考點2：應用平方差公式進行計算典例：（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學初一課時練習）______．【答案】【解析】方法或規(guī)律點撥本題考查了平方差公式，運用平方差公式計算時，關鍵要找相同項和相反項，其結果是相同項的平方減去相反項的平方．鞏固練習1．（2020·聊城市茌平區(qū)教育和體育局教研室期末）若，則代數式的值為（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】D【解析】解：，上式故選D．2．（2020·湖南漣源·初一期末）計算的正確結果是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】．

故選：B．3．（2020·紹興市文瀾中學期中）若，且，則_____【答案】2.5【解析】∵，，∴()÷()=2.54．（2020·河南洛寧·月考）計算：__________．【答案】9【解析】根據平方差公式可得，故答案為9.5．（2020·山東中區(qū)·初一期末）若，，則_____．【答案】15【解析】解：∵，，∴故答案為156．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學初一課時練習）________．【答案】【解析】解：故答案為：．7．（2020·吉林延邊·初二期末）計算：=____________．【答案】4【解析】解：，故答案為：4．8．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學初一課時練習）【答案】【解析】解：原式＝＝＝＝．考點3：乘法公式與圖形面積典例：（2020·北京通州·初一期中）將邊長為a的正方形的左上角剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），將剩下部分按照虛線分割成①和②兩部分，將①和②兩部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）設圖1中陰影部分的面積為S?，圖2中陰影部分的面積為S?，請用含a．b的式子表示：S?＝，S?＝；（不必化簡）（2）以上結果可以驗證的乘法公式是．（3）利用（2）中得到的公式，計算；20202﹣2019×2021．【答案】（1）a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；（2）（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）1．【解析】解：（1）根據圖形以及正方形和長方形的面積計算公式可得：S?＝a2﹣b2，S?＝（a＋b）（a﹣b）故答案為：a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；（2）以上結果可以驗證的乘法公式是a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）．故答案為：（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（3）20202﹣2019×2021＝20202﹣（2020﹣1）×（2020＋1）＝20202﹣（20202﹣1）＝20202﹣20202＋1＝1．方法或規(guī)律點撥本題考查了平方差公式的幾何背景及其在簡算中的應用，數形結合并明確平方差公式的形式是解題的關鍵．鞏固練習1．（2020·沈陽市第一二七中學期中）如圖，它由兩塊相同的直角梯形拼成，由此可以驗證的算式為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，拼成的等腰梯形如下：上圖陰影的面積s＝a2?b2，下圖等腰梯形的面積s＝2（a＋b）（a?b）÷2＝（a＋b）（a?b），兩面積相等所以等式成立a2?b2＝（a＋b）（a?b）．這是平方差公式．故選：A．2．（2020·福建省惠安科山中學月考）如下圖所示，在邊長為的正方形中，剪去一個邊長為的小正方形（），將余下部分拼成一個梯形，根據兩個圖形陰影部分面積的關系，可以得到一個關于、的恒等式為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：正方形中，S陰影=a2-b2；

梯形中，S陰影=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；

故所得恒等式為：a2-b2=（a+b）（a-b）．

故選：C．3．（2020·廣東禪城·期末）在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a>b〉）把余下的部分剪拼成一個矩形，通過計算圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：左圖的陰影部分的面積為（a＋b）（a?b），右圖的陰影部分的面積為a2?b2，因此有為a2?b2＝（a＋b）（a?b），故選：D．4．（2021·河南汝陽·初二期末）圖（1）是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可得，正方形的邊長為，故正方形的面積為。又∵原矩形的面積為，∴中間空的部分的面積=。故選C。5．（2020·浙江鄞州·初一期末）有4張長為a、寬為b（a＞b）的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為（a+b）的正方形，圖中陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2．若S1＝S2，則a、b滿足（）A．2a＝3b B．2a＝5b C．a＝2b D．a＝3b【答案】C【解析】解：由題意可得：S2＝b（a+b）×2+ab×2+（a﹣b）2＝ab+b2+ab+a2﹣2ab+b2＝a2+2b2，S1＝（a+b）2﹣S2＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，∵S1＝S2，∴2ab﹣b2＝(a2+2b2)，∴4ab﹣2b2＝a2+2b2，∴a2+4b2﹣4ab＝0，∴(a﹣2b)2＝0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b．故選：C．6．（2020·福建寧德·初一期末）有若干個形狀大小完全相同的小長方形，現將其中3個如圖1擺放，構造一個正方形；其中5個如圖2擺放，構造一個新的長方形（各小長方形之間不重疊且不留空隙）．若圖1和圖2中陰影部分的面積分別為39和106，則每個小長方形的面積為___．【答案】14【解析】解：設小長方形的長為a，寬為b，在圖1中，有：（a+b）2-3ab=39，在圖2中，有：（a+2b）（2a+b）-5ab=106，分別整理得：a2+b2-ab=39，a2+b2=53，將a2+b2=53代入a2+b2-ab=39中，解得：ab=14，故每個小長方形的面積為14，故答案為：14.7．（2020·福建省惠安科山中學月考）用四塊長為acm、寬為bcm的矩形材料（如圖1）拼成一個大矩形（如圖2）或大正方形（如圖3），中間分別空出一個小矩形A和一個小正方形B．（1）求（如圖1）矩形材料的面積；（用含a，b的代數式表示）（2）通過計算說明A、B的面積哪一個比較大；（3）根據（如圖4），利用面積的不同表示方法寫出一個代數恒等式．【答案】（1）ab；(2)矩形的面積大；(3)a2-b2=（a-b）（a+b）．【解析】（1）S=長×寬=ab；（2）根據圖形可得：矩形的長=（2b+a），寬=a；正方形的邊長=a+b，矩形的面積=2ab+a2，正方形的面積=a2+2ab+b2，正方形面積-矩形的面積=b2，∴矩形的面積大；（3）根據圖形可得：a2-b2=（a-b）（a+b）．8．（2020·江蘇新沂·初一期末）把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如圖2，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形，試用不同的形式表示這個大正方形的面積，你能發(fā)現什么結論？請用等式表示出來．（2）利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．（3）如圖3，將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點在同一直線上，連接BD和BF．若這兩個正方形的邊長滿足a+b=10，ab=20，請求出陰影部分的面積．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．【解析】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；（3）∵a+b=10，ab=20，∴S陰影=a2+b2﹣（a+b）?b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50﹣30=20．9．（2020·四川成華·初一期末）圖1和圖2的大正方形都是由一些長方形和小正方形組成的．觀察圖形，完成下列各題：(1)如圖1，求S大正方形的方法有兩種：S大正方形=(x+y)2，同時，S大正方形=S①+S②+S③+S④=．所以圖1可以用來解釋等式：；同理圖2可以用來解釋等式：．(2)已知a+b+c=6，ab+bc+ca=11，利用上面得到的等式，求a2+b2+c2的值．【答案】(1)x2+2xy+y2，(x+y)2=x2+2xy+y2，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)14【解析】(1)∵S③=S④=xy，S①=x2，S②=y2，∴S大正方形=S①+S②+S③+S④=x2+2xy+y2．∴(x+y)2=x2+2xy+y2．∵圖2大正方形的面積=(a+b+c)2，同時圖2大正方形的面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案為：x2+2xy+y2，(x+y)2=x2+2xy+y2，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=(a+b+c)2﹣2(ab+ac+bc)=62﹣2×11=14．10．（2020·山東中區(qū)·初一期末）問題再現：數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數學里的一些代數公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋．例如：利用圖形的幾何意義證明完全平方公式．證明：將一個邊長為a的正方形的邊長增加b，形成兩個矩形和兩個正方形，如圖1：這個圖形的面積可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2∴（a+b）2＝a2+2ab+b2這就驗證了兩數和的完全平方公式．類比解決：（1）請你類比上述方法，利用圖形的幾何意義證明平方差公式．（要求畫出圖形并寫出推理過程）問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法證明：13+23＝32？如圖2，A表示1個1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一個（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32嘗試解決：（2）請你類比上述推導過程，利用圖形的幾何意義確定：13+23+33＝．（要求寫出結論并構造圖形寫出推證過程）．（3）問題拓廣：請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+…+n3＝．（直接寫出結論即可，不必寫出解題過程）【答案】（1）見解析；（2）62，推證過程見解析；（3）[n（n+1）]2【解析】（1）∵如圖，左圖的陰影部分的面積是a2﹣b2，右圖的陰影部分的面積是（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），這就驗證了平方差公式；（2）如圖，A表示1個1×1的正方形，即1×1×1＝13；B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即：2×2×2＝23；G與H，E與F和I可以表示3個3×3的正方形，即3×3×3＝33；而整個圖形恰好可以拼成一個（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62；故答案為：62；（3）由上面表示幾何圖形的面積探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，又∵1+2+3+…+n＝n（n+1），∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2．故答案為：[n（n+1）]2．11．（2020·浙江新昌·初一期末）某同學利用若干張正方形紙片進行以下操作：（1）從邊長為a的正方形紙片中減去一個邊長為b的小正方形，如圖1，再沿線段AB把紙片剪開，最后把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形，這一過程所揭示的公式是________．（2）先剪出一個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片，再剪出兩張邊長分別為a和b的長方形紙片，如圖3，最后把剪成的四張紙片拼成如圖4的正方形．這一過程你能發(fā)現什么代數公式？（3）先剪出兩個邊長為a的正方形紙片和一個邊長為b的正方形紙片，再剪出三張邊長分別為a和占的長方形紙片，如圖5，你能否把圖5中所有紙片拼成一個長方形？如果可以，請畫出草圖，并寫出相應的等式．如果不能，請說明理由．【答案】（1）．（2）．（3）能拼成長方形．見解析，【解析】（1）圖1的面積為a2-b2，圖2的面積為，∴根據圖1和圖2的面積相等可得到；（2）拼圖前的面積為，拼圖后的面積為，因此可得；（3）能拼成長方形．等式：．12．（2020·河北邢臺·初一月考）若x滿足(x－4)(x－9)＝6，求(x－4)2+(x－9)2的值．解：設x－4＝a，x－9＝b，則(x－4)(x－9)＝ab＝6，a－b＝(x－4)－(x－9)＝5，∴(x－4)2+(x－9)2＝a2+b2＝(a－b)2＋2ab＝52＋2×6＝37請仿照上面的方法求解下面問題：(1)若x滿足(x－2)(x－5)＝10，求(x－2)2+(x－5)2的值(2)已知正方形ABCD的邊長為x，E，F分別是AD、DC上的點，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是15，分別以MF、DF作正方形，求陰影部分的面積．【答案】(1)29；(2)16【解析】（1）設，，則，∴（2）根據題意可知正方形ABCD的邊長為x，∵EMFD是長方形，∴MF＝ED，∴，,設，，則S長方形EMFD＝，，，得∵S陰影部分＝MF2－DF2，即S陰影部分＝故陰影部分的面積是16.13．（2020·浙江衢州·初一期中）（閱讀材料）我們知道，圖形也是一種重要的數學語言，它直觀形象，能有效地表現一些代數中的數量關系，而運用代數思想也能巧妙地解決一些圖形問題．在一次數學活動課上，張老師準備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片，其中甲種紙片是邊長為的正方形，乙種紙片是邊長為的正方形，丙種紙片是長為，寬為的長方形，并用甲種紙片一張，乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個大正方形．（理解應用）（1）觀察圖2，用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個等式，請你直接寫出這個等式．（拓展升華）（2）利用（1）中的等式解決下列問題．①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】（1）；（2）①13；②4044．【解析】（1）．（2）①由題意得：，把，代入上式得：．②由題意得：．考點4：求完全平方公式的字母系數典例：（2020·沈陽市第一二七中學期中）如果二次三項式x2﹣16x+m2是一個完全平方式，那么m的值是（）A．±8 B．4 C．±4 D．8【答案】A【解析】解：∵﹣16x＝﹣2×8?x，∴m2＝82＝64，解得m＝±8．故選：A．方法或規(guī)律點撥本題考查了完全平方公式．能夠掌握完全平方公式的運用，兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式，根據乘積二倍項確定出這兩個數是求解的關鍵．鞏固練習1．（2020·長春市第五十二中學月考）若是完全平方式，則的值是（）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】解：∵是完全平方式，∴，∴，解得：或；故選：C．2．（2020·紹興市長城中學期中）若x2﹣2(k﹣1)x+4是完全平方式，則k的值為（）A．±1 B．±3 C．﹣1或3 D．1或﹣3【答案】C【解析】解：∵x2﹣2(k﹣1)x+4是完全平方式，∴﹣2(k﹣1)=±4，解得：k=﹣1或3，故選：C．3．（2020·達州市通川區(qū)第八中學期中）若(x-2y)2=(x+2y)2+M,則M=()A．4xy B．-4xy C．8xy D．-8xy【答案】D【解析】∵(x-2y)2=(x+2y)2+M∴M=(x-2y)2-(x+2y)2=x2-4xy+4y2-x2-4xy-4y2=-8xy故選D.4．（2020·四川巴州·期末）若是完全平方式，則的值應為（）A．3 B．6 C． D．【答案】D【解析】∵=x2+mx+9，

∴m=±6，

故選：D．5．（2022·南陽市第三中學月考）如果整式恰好是一個整式的平方，那么的值是（）A．±3 B．±4.5 C．±6 D．9【答案】C【解析】∵整式x2+mx+9恰好是一個整式的平方，∴mx=±2?x?3，解得：m=±6，故選C．6．（2020·廣東高州·期中）已知4x2＋mx＋36是完全平方式，則m的值為_____________【答案】【解析】∵（2x±6）2=4x2±24x+36，∴mx=±24x，即m=±24，故答案為：．7．（2020·山東長清·期中）若x2﹣mx+9是個完全平方式，則m的值是__．【答案】±6【解析】完全平方公式：∴∴故答案為：8．（2020·達州市通川區(qū)第八中學期中）已知是完全平方式，則△＝_______．【答案】±7【解析】解：∵是一個完全平方式，

∴△==±7．

故填：±7．9．（2020·達州市通川區(qū)第八中學期中）若9x2+kx+1是一個完全平方式，則k＝_____．【答案】±6【解析】解：∵（3k±1）2＝9x2+kx+1，∴k＝±6故答案為：±6．10．（2020·廣西百色·期末）在多項式中添加一個單項式，使其成為一個完全平方式，則添加的單項式是______（只寫出一個即可）．【答案】或【解析】∵4x2+1±4x=（2x±1）2；4x2+1+4x4=（2x2+1）2；4x2+1-1=（±2x）2；4x2+1-4x2=（±1）2．∴加上的單項式可以是±4x、4x4、-4x2、-1中任意一個．11．（2020·江蘇盱眙·期末）若是關于的完全平方式，則的值是______．【答案】7或－1【解析】解：∵x2-2（a-3）x+16是一個完全平方式，

∴-2a+6=±8，

∴a=7或-1．

故答案為7或-1．考點5：應用完全平方公式求值典例：（2020·福建寧化·期末）已知有理數，滿足，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）（x+1）（y+1）

=xy+（x+y）+1

=

=；

（2）x2+y2

=（x+y）2-2xy

=

=．方法或規(guī)律點撥本題考查了利用完全平方公式變形求值，解題關鍵是整體思想的應用．鞏固練習1．（2020·樹德中學都江堰外國語實驗學校期中）已知a+b＝3，ab＝，則（a+b）2的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝32＝9．故選：D．2．（2020·達州市通川區(qū)第八中學期中）已知|x+y+5|+（xy﹣6）2＝0，則x2+y2的值等于（）A．1 B．13 C．17 D．25【答案】B【解析】解：∵|x+y+5|+（xy﹣6）2＝0，∴x+y+5＝0，xy﹣6＝0，∴x+y＝﹣5，xy＝6，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣12＝13．故選：B．3．（2022·河北涿鹿·期末）若a+b=0，ab=11，則a2－ab+b2的值為（）A．33 B．－33 C．11 D．－11【答案】B【解析】，∵a+b=0，ab=11，∴原式=；故答案是B．4．（2020·重慶南開中學期末）若，，則__________．【答案】12【解析】解：由完全平方公式：，代入數據：得到：，∴，∴，故答案為：12．5．（2022·江西南康·其他）已知實數a，b滿足，則=______．【答案】8【解析】＝=（a?b）2＝×(-4)2＝8．故答案為：8．6．（2020·甘肅鎮(zhèn)原·初二期末）已知，則的值為__________．【答案】【解析】解：，，，，，，．故答案為．7．（2020·山東濟陽·初一期末）已知，ab=6，則a2+b2的值是__________．【答案】244【解析】∵(a+b)=a+2ab+b=256，ab=6，∴a+b=244，故答案為2448．（2022·河北石家莊·初一期末）若，，則的值為_________．【答案】25【解析】∵，∴a+b+3=0，即a+b=-3，又，即（a+b）(a-b)=15，∴a-b=-5，∴=．故答案為25．9．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學初一課時練習）已知，，求下列各式的值：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵∴（2）∵∴．考點6：配方法及其應用典例：（2020·四川成都·初一期末）(1)已知：a(a+1)﹣(a2+b)=3，a(a+b)+b(b﹣a)=13，求代數式ab的值．(2)已知等腰ABC的兩邊分別為a、b，且a、b滿足a2+b2﹣6a﹣14b+58=0，求ABC的周長．【答案】(1)2；(2)17【解析】(1)a(a+1)﹣(a2+b)=3，a2+a﹣a2﹣b=3，a﹣b=3，兩邊同時平方得：a2﹣2ab+b2=9①，a(a+b)+b(b﹣a)=13，a2+ab+b2﹣ab=13，a2+b2=13②，把②代入①得：13﹣2ab=9，13﹣9=2ab，∴ab=2；(2)a2+b2﹣6a﹣14b+58=0，a2﹣6a+9+b2﹣14b+49=0，(a﹣3)2+(b﹣7)2=0，∴a﹣3=0，b﹣7=0，∴a=3，b=7，當3為腰時，三邊為3，3，7，因為3+3＜7，不能構成三角形，此種情況不成立，當7為腰時，三邊為7，7，3，能構成三角形，此時△ABC的周長=7+7+3=17．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了完全平方公式，三角形三邊關系，非負數的性質，等腰三角形的定義和整式的混合運算，（1）正確將已知條件變形是解題關鍵，（2）利用配方法配方得出a和b的值是關鍵．鞏固練習1．（2020·四川省射洪縣射洪中學外國語實驗學校期中）已知-2x-6y+10＝0，則的值為（）A． B．9 C．1 D．99【答案】B【解析】解：由題意可知：，即：，∴，∴，故選：B．2．（2020·全國初二課時練習）代數式的值（）A．大于或等于零 B．小于零 C．等于零 D．大于零【答案】A【解析】解：∵．故選A．3．（2020·湖州市第四中學教育集團期中）若a，b都是有理數，且a2﹣2ab+2b2+4b+4＝0，則＝_____．【答案】2【解析】解：∵a2﹣2ab+2b2+4b+4＝0，∴a2﹣2ab+b2+b2+4b+4＝0，∴（a﹣b）2+（b+2）2＝0，∴a﹣b＝0，b+2＝0，∴a＝b＝﹣2，∴．故答案為2．4．（2020·興縣教育科技局教學研究室期末）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明進行了以下探索：設（其中、、、均為整數），則有．，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當、、、均為正整數時，若，用含、的式子分別表示、，得_____，_______；（2）試著把寫成一個完全平方式：；（3）若是的立方根，是的平方根，試計算：．【答案】（1），；（2）；（3）【解析】解：（1）∵，則有，，故答案為：；；（2）（3）是的立方根，是的平方根，，．5．（2020·泉州市第六中學初二期中）回答下列問題(1)填空：x2+＝(x+)2﹣_____＝(x﹣)2+_____.(2)若a+＝5，則a2+＝_____；(3)若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值.【答案】(1)2，2；(2)23；(3)7.【解析】（1）故答案為2，2.（2）.（3）兩邊同除以a得（顯然）則.6．（2020·湖南天元·建寧實驗中學初一開學考試）已知，則=______．【答案】-2【解析】解：即根據非負數的非負性可得：解得:所以故答案為：-2．7．（2020·貴州石阡·期末）老師在講完乘法公式的多種運用后，要求同學們運用所學知識解答：求代數式的最小值？同學們經過交流、討論，最后總結出如下解答方法：解：∵，當時，的值最小，最小值是0，∴當時，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1.請你根據上述方法，解答下列各題（1）當x=______時，代數式的最小值是______；（2）若，當x=______時，y有最______值（填“大”或“小”），這個值是______；（3）若，求的最小值.【答案】（1）3，3；（2）1，大，-2；（3）當時，的最小值為-6.【解析】（1）∵，∴當時，有最小值3；故答案為3，3.（2）∵，∴當時最大值-2；故答案為1，大，-2.（3）∵，∴∴，∵，∴，∴當時，的最小值為-6.8．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學初一課時練習）已知，求【答案】23【解析】∵，，∴．9．（2022·河北安平·初二期末）閱讀下面的材料：我們可以用配方法求一個二次三項式的最大值或最小值，例如：求代數式的最小值.方法如下：∵，由，得；∴代數式的最小值是4.（1）仿照上述方法求代數式的最小值.（2）代數式有最大值還是最小值？請用配方法求出這個最值.【答案】（1）；（2）有最大值，最大值為32.【解析】解：（1）∵，由，得；∴代數式的最小值是；（2），∵，∴，∴代數式有最大值，最大值為32.10．（2020·廣西興賓·初一期中）閱讀下列材料，解答問題：例：已知a－b=3，ab=2，求a2＋b2的值．解：方法1：a2＋b2=(a－b)2＋2ab=32＋4=13方法2：∵a－b=3∴(a－b)2=32即a2－2ab＋b2=9a2＋b2=9＋2ab=9+4=13請選擇任意一種解題方法解決下列問題．（1）已知a＋b=6，ab=－3，求代數式a2＋b2的值；（2）已知a＋b=－2，ab=－1，求代數式(a－b)2的值．【答案】（1）42；（2）8【解析】（1）解：方法1：a2+b2=(a+b)2－2ab=62－2×(－3)=36+6=42；方法2：∵a+b=6，∴(a+b)2=36，a2+2ab+b2=36，a2+b2=36－2ab=36－2×(－3)=42；（2）方法1：(a－b)2