子空間的交與和_第1頁
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§6.6子空間的交與和一、子空間的交二、子空間的和三、子空間交與和的有關(guān)性質(zhì)也為V的子空間，設(shè)V1、V2為線性空間V的子空間，則集合

一、子空間的交1、定義任取

則有

同時有

故為V的子空間.

事實上，

稱之為V1與V2的交空間.顯然有,2、推廣

多個子空間的交為線性空間V的子空間，則集合也為V的子空間，稱為的交空間.

二、子空間的和1、定義其中，則有

設(shè)V1、V2為線性空間V的子空間，則集合

也為V的子空間，稱之為V1與V2的和空間.任取設(shè)

事實上，顯然有,2、推廣

多個子空間的和

為線性空間V的子空間，則集合也為V的子空間，稱為的和空間.

V的兩子空間的并集未必為V的子空間.例如

注意：皆為R3的子空間，但是它們的并集

并不是R3的子空間.因為它對R3的運算不封閉，如但是三、子空間的交與和的有關(guān)性質(zhì)2、設(shè)為線性空間V的子空間，則以下三

1、設(shè)

為線性空間V的子空間

1）若則

2）若則

條件等價:3、為線性空間V中兩組向量，則4、維數(shù)公式

（定理7）設(shè)為線性空間V的兩個子空間，則或注：從維數(shù)公式中可以看到，子空間的和的維數(shù)往往比子空間的維數(shù)的和要小.

例如，在R3中，設(shè)子空間其中，但，則，由此還可得到，推論：設(shè)為

n

維線性空間V的兩個子空間，若，則必含非零的公共向量.即中必含有非零向量.證：由維數(shù)公式有又是V的子空間，∴若則故中含有非零向量.①

與②的解空間，則就是齊次線性方程組③

例1、在中，用分別表示齊次線性方程組③

的解空間.

證：設(shè)方程組①,②,③分別為

即

設(shè)W為③的解空間，任取，有從而

反之，任

取，則有

從而

故例2、在中，設(shè)1）求

的維數(shù)的與一組基；

2）求

的維數(shù)的與一組基.

例3、在中，令

求及易知，皆為

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