概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第四版)-第二章習(xí)題答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章習(xí)題1考慮為期一年的一張保險單，若投保人在投保一年內(nèi)意外死亡，則公司賠付20萬元，若投保人因其它原因死亡，則公司賠付5萬元，若投保人在投保期末自下而上，則公司無需傳給任何費(fèi)用。若投保人在一年內(nèi)因意外死亡的概率為0.0002，因其它原因死亡的概率為0.0010，求公司賠付金額的分崣上。解設(shè)賠付金額為X，則X是一個隨機(jī)變量，取值為20萬，5萬，0，其相應(yīng)的概率為0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律為X20（萬）5萬00.00020.00100.99882.（1）一袋中裝有5只球，編號為1,2，3,4，5。在袋中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律（2）將一顆骰子拋擲兩次，以X表示兩次中得到的小的點(diǎn)數(shù)，試求X的分布律。解（1）在袋中同時取3個球，最大的號碼是3,4，5。每次取3個球，其總?cè)》ǎ?，若最大號碼是3，則有取法只有取到球的編號為1,2，3這一種取法。因而其概率為若最大號碼為4，則號碼為有1,2，4；1，3,4；2，3，4共3種取法，其概率為若最大號碼為5，則1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6種取法其概率為一般地，其中為最大號碼是的取法種類數(shù)，則隨機(jī)變量X的分布律為X345（2）將一顆骰子拋擲兩次，以X表示兩次中得到的小的點(diǎn)數(shù)，則樣本點(diǎn)為S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36個基本事件，X的取值為1,2，3,4，5,6，最小點(diǎn)數(shù)為1，的共有11種，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），；最小點(diǎn)數(shù)為2的共有9種，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），；最小點(diǎn)數(shù)為3的共有7種，；最小點(diǎn)數(shù)為4的共有5種，；最小點(diǎn)數(shù)為5的共有3種，；最小點(diǎn)數(shù)為6的共有1種，于是其分布律為1234563設(shè)在15只同類型的產(chǎn)品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品的次數(shù)，（1）求X的分布律；（2）畫出分布律的圖形。解從15只產(chǎn)品中取3次每次任取1只，取到次品的次數(shù)為0，1，2。在不放回的情形下，從15只產(chǎn)品中每次任取一只取3次，其總的取法為：，其概率為若取到的次品數(shù)為0，即3次取到的都是正品，其取法為其概率為若取到的次品數(shù)為1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法為其概率為若取到的次品數(shù)為2，，其概率為。于是其分布律為X012（2）分布律圖形略。4進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為，失敗的概率為（），（1）將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需要的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。（此時稱X服從以為參數(shù)的幾何分布。）。（2）將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)次成功為止，以Y表示所需要的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律。（此時稱Y服從以，為參數(shù)的巴斯卡分布或負(fù)二項(xiàng)分布。）解（1）X的取值為，對每次試驗(yàn)而言，其概率或?yàn)?，或?yàn)樗云浞植悸蔀?234…n………(2)Y的取值為，對每次試驗(yàn)而言，其概率或?yàn)?，或?yàn)樗云浞植悸蔀椤?.一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛往了房間，它只能從開著的窗子飛出去，鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如房主所說的是確實(shí)的，試求Y的分布律。（3）求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解（1）X服從的幾何分布，其分布律為123……(2)Y所有可能的取值為1,2，3.方法一方法二由于鳥飛向扇窗是隨機(jī)的，鳥飛出指定窗子的嘗試次數(shù)也是等可能的，即即Y的分布律為123(3)6.一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時刻每個設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時刻（1）恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？（3）至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？（4）至少有1個設(shè)備被使用的概率是多少？解設(shè)對每個設(shè)備的觀察為一次試驗(yàn)，則試驗(yàn)次數(shù)為5且各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，于是（1）恰有2個設(shè)力被使用，即：（2）至少有3個設(shè)備被使用，即：（3）至多有3個設(shè)備被使用，即：（4）至少有一個設(shè)備被使用，即7設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，A發(fā)生不少于3次時指示燈發(fā)出信號，（1）進(jìn)行5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號的概率；（2）進(jìn)行7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號的概率。解設(shè)A發(fā)生的次數(shù)為X，則，，設(shè)B“指示燈發(fā)出信號”（1）或同理可得（2）或8.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6，0.7，今各投3次，求（1）兩人投中的次數(shù)相等的概率；（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。解記甲投中的次數(shù)為X，乙投中的次數(shù)為Y，則，，同理，若記A為事件“兩人投中次數(shù)相等”，B為事件“甲比乙投中的次數(shù)多”，則又所以9.有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先作第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)檢驗(yàn)無次品，接受這批產(chǎn)品，次品大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時接受這批產(chǎn)品。若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率。（2）需作第二次檢驗(yàn)的概率。（3）這批產(chǎn)品按第二次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率。（4）這批產(chǎn)品在第一次檢驗(yàn)未能作決定且第二次檢驗(yàn)時被通過的概率。（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解設(shè)X為“第一次檢驗(yàn)出的次品數(shù)”，Y為“第二次檢驗(yàn)出的次品數(shù)”，則，（1）這批產(chǎn)品第一次檢驗(yàn)后接收，即沒有發(fā)現(xiàn)次品，也就是X＝0，而（2）需作第二次檢驗(yàn)，即第一次檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)次品數(shù)為1或2件：（3）這批產(chǎn)品按第二次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)接收，即在第二次取出的5件產(chǎn)品中沒有次品：（4）這批產(chǎn)品在第一次檢驗(yàn)未能作決定且第二次檢驗(yàn)時被通過，即：（兩事件相互獨(dú)立）（5）.10.有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯，如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗(yàn)成功一次。（1）某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒，他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次，試推斷他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的）解（1）可看作是古典概型問題，總挑法數(shù)為，則成功一次的挑法為，于是試驗(yàn)成功一次的概率的為.（2）設(shè)成功的次數(shù)為X，則因?yàn)槟艹晒?次的概率特別小，所以可以認(rèn)為他確有區(qū)分的能力。11盡管在幾何教科書已經(jīng)講過僅用直尺和園規(guī)三等分任意角是還可能的，但是每一年總是有一些“發(fā)明者”撰寫關(guān)于僅用園規(guī)和直尺將角三等分的文章。設(shè)某地區(qū)每年撰寫此類文章的篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分布，求明年沒有此類文章的概率。解泊松分布當(dāng)時，明年沒有此類文章，即，于是明年沒有此類文章的概率12一電話總機(jī)每分鐘收到的呼喚次數(shù)X服從參數(shù)為4的泊松分布。求（1）某一分鐘恰有8次的概率。（2）某一分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。解（1）當(dāng)，時，某一分鐘恰有8次的概率（2）當(dāng)時，某一分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率13.某一公安局在長度為的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布，而與時間間隔的起點(diǎn)無關(guān)（時間以小時計）。（1）求某一天中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；（2）求某一天中午2時至下午5時至少收到1次緊急的概率。解因?yàn)?，所以?）某一天中午12時至下午3時，即，則，對應(yīng)的泊松分布為，，從而某一天中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率（2）求某一天中午2時至下午5時，即，，對應(yīng)的泊松分布為，，從而某一天中午2時至下午5時至少收到1次緊急的概率（查表時），于是方法二.14某人家中在時間間隔（小時）內(nèi)接到電話的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布。（1）若他外出計劃用時10分鐘，問其間有電話鈴響一次的概率是多少？（2）若他希望外出時沒有電話的概率至少為0.5，問他外出應(yīng)控制最長的時間是多少？解（1）若他外出計劃用時10分鐘，則，其間有電話鈴響一次的概率（2）若他希望外出時沒有電話的概率至少為0.5，即，時，即，，或（min）15保險公司承保了5000張相同年齡，為期一年的保險單每人一份。在合同的有效期內(nèi)若投保人死亡，則需賠付3萬元。設(shè)在一年內(nèi)，該年齡段的死亡率為0.0015，且各投保人是否死亡是相互獨(dú)立。求保險公司對這批投保人的賠付總額不超過30萬元的概率（利用泊松定理計算。）解設(shè)在合同有效期內(nèi)死亡的投保人為隨機(jī)變量X，根據(jù)題設(shè)條件知死亡的投保人不超過10人，即，因此這可以看作是，的二項(xiàng)分布，其概率為應(yīng)用泊松定理，此時，（查表得）＝0.8622。16有一繁忙的汽車站，每天有大量的汽車通過。設(shè)一輛汽車在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001，在某天的該時間段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的車輛數(shù)不小于2的概率是多少？（利用泊松定理計算）解設(shè)在該時間段內(nèi)出事故的汽車數(shù)為隨機(jī)變量X，則這可以看作是，的二項(xiàng)分布，其概率為設(shè)，泊松定理，（查表：，）＝0.0047。17（1）設(shè)X服從（0－1）分布，其分布律為（），求X的分布函數(shù)并作圖形。（2）求第2題（1）中隨機(jī)變量的分布函數(shù)。解（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，則；當(dāng)，，，則即（圖形略）。（2）第2題（1）“在袋中同時取3個球，最大的號碼是3,4，5X的分布律為X345其分布函數(shù)為18在區(qū)間上任意投擲一個質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)這個質(zhì)點(diǎn)落在區(qū)間上上中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例。試求X的分布函數(shù)。解當(dāng)時，；當(dāng)時，，其中為常數(shù)，特別地當(dāng)時，質(zhì)點(diǎn)落在區(qū)間上上中任意小區(qū)間內(nèi)的概率為1，所以，即，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜合得。19.以X表示某商店從早晨開始營業(yè)直到第一個顧客到達(dá)的等待時間（以分計），X的分布函數(shù)是求下述概率：（1）p{至多3分鐘}；（2）p{至少4分鐘}；（3）p{3分鐘至4分鐘}；（4）p{至多3分鐘或至少4分鐘}；（5）p{恰好2.5分鐘}。解（1）（2）（3）（4）（5）20設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為（1）求，，；（2）求概率密度。解（1）注意對連續(xù)型隨機(jī)變量而言，，其中是任意實(shí)數(shù)。（2）因?yàn)?，?yīng)用分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法，得概率密度為21設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為（1）（2）求X的分布函數(shù)，并畫出（2）中和的圖形。解（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；同理，當(dāng)時，所以（2）同理可得，即22.（1）由統(tǒng)計物理學(xué)知，分子運(yùn)動的速度的絕對值X服從馬克斯韋爾（Maxwall）分布，其概率密度為其中，，為Boltzmann常數(shù)，T為絕對溫度，是分子的質(zhì)量。試確定常數(shù)A。（2）研究了英格蘭在1875～1951年間，在礦山發(fā)生導(dǎo)致10人或10人以上死亡的事故的頻繁程度，得知相繼兩次事故之間的時間（以日計）服從指數(shù)分布，其概率密度為求分布函數(shù)，并求概率。解（1）由密度函數(shù)的性質(zhì)有（注意：）故.（2）當(dāng)時，當(dāng)時，.故?；?23某種型號的器件的壽命X（以小時計）具有概率密度現(xiàn)有一大批這種器件（設(shè)各器件損壞與否相互獨(dú)立），任取5只，問其中至少有2只的壽命大于1500小時的概率是多少？解（?。┫惹筮@種器件的壽命大于1500小時的概率：。（ⅱ）求任取5只，至少有2件的壽命大于1500小時的概率設(shè)Y＝“器件的壽命大于1500小時”，則。。24.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（min）服從指數(shù)分布，其概率密度為某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求。解(ⅰ)該顧客在窗口未等到服務(wù)而離開的概率為(ⅱ)顧客未行到服務(wù)而離開銀行的次數(shù)的概率由已知條件可知，，故，.25設(shè)K在區(qū)間（0,5）服從均勻分布，求的方程有實(shí)根的概率。解因?yàn)镵的分布密度為而方程有實(shí)根，即其判別式即，解得或。因?yàn)镵在（0，5）內(nèi)服從均勻分布，所以只有在區(qū)間（0，5）內(nèi)，所以所給方程有實(shí)根的概率為。26.設(shè)，求（1），，，；（2）確定使得。解（1）.（2）因?yàn)椋傻眉此浴?7.某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮壓，以mmHg計）服從。在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測量她的血壓X（1）求，；（2）確定最小的，使解（1）（2）要使，必須，即，亦即故，或，即最小的值為129.74。28由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長度（）cm服從參數(shù)，的正態(tài)分布。規(guī)定長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一為不合格品的概率。解（方法一）設(shè)的長度為X，則，一個螺栓不合格，即或。其概率為，而所以（方法二）設(shè)A＝“螺栓合格”，則所以不合格的概率為。29一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時計）服從參數(shù)為，的正態(tài)分布，若要求，允許最大為多少？解得，查表知所以，最大為。30設(shè)在一電路中，電阻兩端的電壓V服從，今獨(dú)立測量了5次，試確定有2次測量值落在區(qū)間［118，122］之外的概率。解（ⅰ）求測量值落在區(qū)間［118，122］之外的概率設(shè)A＝“測量值X落在區(qū)間［118，122］之內(nèi)”則所以測量值落在區(qū)間［118，122］的概率為（2）求在5次獨(dú)立測量中有2次測量值區(qū)間［118，122］之外的概率設(shè)測量值落在區(qū)間之外的次數(shù)為Y，則故所求的概率為31某人上班，自家中去辦公樓要經(jīng)過一交通指示燈。這一指示燈有80%的時間亮紅燈，此時他在指示燈旁等待直到綠燈亮，等待時間在區(qū)間［0，30］（秒）服從均勻分布。以表示他等待的時間，求的分布函數(shù)，畫出的圖形。并問是否為連續(xù)型隨機(jī)變量？是否為離散型隨機(jī)變量？（要說明理由）。解（1）求隨機(jī)變量的分布函數(shù)若他到達(dá)交通指示燈旁時亮綠燈，則其等待時間；若他到達(dá)交通指示燈旁時亮紅燈，則等待時間設(shè)＝“指示燈亮綠燈”，對于固定的，由全概率公式，有其中，（即該人到達(dá)指示燈旁時亮綠燈，當(dāng)然他可以過去，也即他等待的時間為0，在［0.30］秒）內(nèi)）；（等待時間在［0.30］內(nèi)均勻分布）。當(dāng)時，，當(dāng)時，（亮紅燈的時間為80%）所以時，當(dāng)時于是的分布函數(shù)的分布函數(shù)為（ⅱ）（圖形略）。（ⅲ）說明隨機(jī)變量的由于分布函數(shù)在處不連續(xù)，故隨機(jī)變量不是連續(xù)型隨機(jī)變量，又因?yàn)椴淮嬖谝粋€可列的點(diǎn)集，使得在這個集上的取值的概率為1，故也不是離散型隨機(jī)變量。這樣的隨機(jī)變量稱為混合型隨機(jī)變量。32設(shè)，都是概率密度函數(shù)，求證，（）也是一個密度函數(shù)。解要證明一個函數(shù)是密度函數(shù)，主要是要驗(yàn)證。因?yàn)?，，所以即也是一個概率