誤差傳播定律

《誤差理論與測量平差基礎(chǔ)》Thetheoryoferrorsandadjustmentofobservationsfoundation學時：64學時主講：魏峰遠

河南理工大學測量工程系2005年2月1/22/20241第一章觀測誤差及其傳播本課程的主要任務(wù)是講授測量平差的基本理論和基本方法，為進一步學習和研究測量數(shù)據(jù)處理奠定基礎(chǔ)。授課周數(shù)：1-14周周學時：6學時總學時：84學時最后進行閉卷考試。本課程的任務(wù)1/22/20242第一章觀測誤差及其傳播

本課程的主要內(nèi)容1.誤差及誤差傳播理論（第一章）2.平差模型的建立、最小二乘原理（第二章）3.測量平差基本方法（第三、四、五章）包括條件平差、間接平差、附有參數(shù)的條件平差、附有條件的間接平差、附有條件的條件平差。介紹平差計算的基本原理和相應(yīng)的精度評定方法。4、誤差橢圓（第六章）5、測量平差的統(tǒng)計假設(shè)檢驗方法（第七章）6、近代平差理論簡介。1/22/20243第一章觀測誤差及其傳播

學習本課程必須具備的基本理論知識《高等數(shù)學》、《線性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》、《現(xiàn)代測量學》等。1/22/20244第一章觀測誤差及其傳播

參考文獻1.測量平差，中國礦業(yè)大學出版社，2005年2.誤差理論與測量平差基礎(chǔ)，武漢大學出版社，2003年3.測量平差基礎(chǔ)，測繪出版社，1996年4.測量平差基礎(chǔ)，測繪出版社，1981年5.測量平差通用習題集，武漢測繪科技大學出版社，1999。6.觀測與最小二乘法，測繪出版社，1984。7.ObservationsandLeastSquares,E.M.MIKHAIL,NewYork,1976.8.近代平差理論及其應(yīng)用，解放軍出版社，1992年1/22/20245第一章觀測誤差及其傳播學習方法課程特點：公式多、計算量大，所需數(shù)學知識多，比較枯燥學習方法：復(fù)習測量學、線性代數(shù)、高等數(shù)學、概率論及數(shù)理統(tǒng)計等課程知識，對本課程的知識要通過預(yù)習-----聽課----復(fù)習----完成作業(yè)---編寫計算機程序等步驟來掌握所學知識。1/22/20246第一章觀測誤差及其傳播§1-1概述

測量平差的基本任務(wù)

1.處理一系列帶有偶然誤差的觀測值，求出未知量的最可靠值（也稱為平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等）。2.評定測量成果的精度。本章主要介紹：偶然誤差的規(guī)律性、衡量精度的指標、協(xié)方差傳播律、權(quán)的定義以及測量中常用的定權(quán)方法、協(xié)因數(shù)傳播律等內(nèi)容。1/22/20247第一章觀測誤差及其傳播§1-2觀測誤差及其分類

在同一量的各觀測值之間，或在各觀測值與其理論上的應(yīng)有值之間存在差異的現(xiàn)象，在測量工作中是普遍存在的，這是由于觀測值中包含有觀測誤差的緣故。一、觀測誤差產(chǎn)生的原因1．測量儀器2．觀測者3．外界條件：測量儀器、觀測者、外界條件三方面的因素是引起誤差的主要來源。通常把這三方面的因素合起來稱為觀測條件。觀測條件好---誤差小----觀測成果質(zhì)量高。反之亦然。如果觀測條件相同，觀測成果的質(zhì)量也就可以說是相同的。不管觀測條件如何，測量中產(chǎn)生誤差是不可避免的。1/22/20248第一章觀測誤差及其傳播§1-2觀測誤差及其分類

二、觀測誤差的分類根據(jù)觀測誤差對觀測結(jié)果的影響性質(zhì)，可將觀測誤差分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩種。1.系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測過程中按一定的規(guī)律變化，或者為某一常數(shù)，那么，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。簡言之，符合函數(shù)規(guī)律的誤差稱為系統(tǒng)誤差。

2.偶然誤差：在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。簡言之，符合統(tǒng)計規(guī)律的誤差稱為偶然誤差。除了系統(tǒng)誤差和偶然誤差外，還可能發(fā)生錯誤，又叫粗差。一般來說，錯誤不算作觀測誤差。1/22/20249第一章觀測誤差及其傳播§1-2觀測誤差及其分類

三、誤差處理措施錯誤的存在不僅大大影響測量成果的可靠性，而且往往造成返工浪費，給工作帶來難以估量的損失，必須采取適當?shù)姆椒ê痛胧?，保證觀測結(jié)果中不存在錯誤。系統(tǒng)誤差對于觀測結(jié)果的影響一般有累積的作用，它對觀測成果的質(zhì)量影響也特別顯著。在實際工作中，應(yīng)該采用各種方法來消除或減弱系統(tǒng)誤差對觀測成果的影響，達到實際上可以忽略不計的程度。當觀測序列中已經(jīng)排除了系統(tǒng)誤差的影響，或者說系統(tǒng)誤差與偶然誤差相比已處于次要地位，即該觀測序列中主要是存在著偶然誤差。對于這樣的觀測序列，就稱為帶有偶然誤差的觀測序列。這樣的觀測結(jié)果和偶然誤差便都是一些隨機變量，如何處理這些隨機變量，是測量平差這一學科所要研究的內(nèi)容。

1/22/202410第一章觀測誤差及其傳播§1-2觀測誤差及其分類

四、測量平差的任務(wù)由于觀測結(jié)果不可避免地存在著偶然誤差的影響，在實際工作中，為了提高成果的質(zhì)量防止錯誤發(fā)生，通常要使觀測值的個數(shù)多于未知量的個數(shù)，也就是要進行多余觀測。由于偶然誤差的存在，通過多余觀測必然會發(fā)現(xiàn)在觀測結(jié)果之間不相一致，或不符合應(yīng)有關(guān)系而產(chǎn)生的不符值。因此，必須對這些帶有偶然誤差的觀測值進行處理，消除不符值，得到觀測量的最可靠的結(jié)果。由于這些帶有偶然誤差的觀測值是一些隨機變量，因此，可以根據(jù)概率統(tǒng)計的方法來求出觀測量的最可靠結(jié)果，這就是測量平差的一個主要任務(wù)。測量平差的另一個主要任務(wù)是評定測量成果的精度。1/22/202411第一章觀測誤差及其傳播§1-3偶然誤差的規(guī)律性

一、真值與真誤差1.真值任何一個被觀測量，客觀上總是存在著一個能代表其真正大小的數(shù)值。這一數(shù)值就稱為該觀測量的真值。通常用表示真值。2.真誤差設(shè)進行了n次觀測，各觀測值為L1、

L2、…、Ln，真值為，每一個觀測值的真值與觀測值之間必存在一個差數(shù)，稱為真誤差，即： (1-3-1），，

用向量表示：

（1-3-2）1/22/202412第一章觀測誤差及其傳播§1-3偶然誤差的規(guī)律性

二、偶然誤差的規(guī)律特性前面已經(jīng)指出，就單個偶然誤差而言，其大小或符號沒有規(guī)律性，即呈現(xiàn)出一種偶然性（或隨機性）。但就其總體而言，卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性。并且指出它是服從正態(tài)分布的隨機變量。人們從無數(shù)的測量實踐中發(fā)現(xiàn)，在相同的觀測條件下，大量偶然誤差的分布也確實表現(xiàn)出了一定的統(tǒng)計規(guī)律性。下面用一個實例來說明。在相同的條件下，獨立地觀測了358個三角形的全部內(nèi)角，由于觀測值帶有偶然誤差，故三內(nèi)角觀測值之和不等于其真值180o。各個三角形內(nèi)角和的真誤差：

將計算的真誤差按大小和符號列于下表：1/22/202413第一章觀測誤差及其傳播§1-3偶然誤差的規(guī)律性

，，

誤差的區(qū)間″

Δ為

負

值

Δ為

正

值備注個數(shù)vi頻率vi/n個數(shù)頻率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.80-1.001.00-1.201.20-1.401.40-1.601.60以上4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.0110.0000.0630.5600.4600.3200.2350.1800.0850.0550.0004641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.0060.0000.0640.5750.4600.2950.2250.1800.0700.0300.000=0.02″

等于區(qū)間左端值的誤差算入該區(qū)間內(nèi)。和1810.505

1770.495

1.在一定的觀測條件下，誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零。2.絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大。3.絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同。4.偶然誤差的數(shù)學期望為零，即：

1/22/202414第一章觀測誤差及其傳播§1-3偶然誤差的規(guī)律性

二、偶然誤差的表示方法表格法：見上頁直方圖：以橫坐標表示誤差的大小，縱坐標代表各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間隔值，每一誤差區(qū)間上的長方條面積就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的頻率。

誤差分布曲線：在n無限大時，如果把誤差區(qū)間間隔無限縮小，左圖中各長方條頂邊所形成的折線將變成右圖所示的光滑曲線。這種曲線也就是誤差的概率分布曲線，或稱為誤差分布曲線。

1/22/202415第一章觀測誤差及其傳播§1-3偶然誤差的規(guī)律性

三、偶然誤差的概率分布密度函數(shù)式中為中誤差。當上式中的參數(shù)確定后，即可畫出它所對應(yīng)的誤差分布曲線。由于，所以該曲線是以橫坐標為0處的縱軸為對稱軸。當不同時，曲線的位置不變，但分布曲線的形狀將發(fā)生變化。偶然誤差Δ是服從分布的隨機變量。1/22/202416第一章觀測誤差及其傳播小結(jié)觀測值都是含有誤差的，測量誤差分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差，除此之外還有粗差；測量平差所處理的觀測值是僅含有偶然誤差的觀測值；偶然誤差服從正態(tài)分布，且具有四個規(guī)律特性；測量平差的兩大任務(wù)：求出觀測量的最可靠結(jié)果，評定測量成果的精度。偶然誤差的數(shù)學期望（真值）為零。

1/22/202417第一章觀測誤差及其傳播預(yù)習§1-4精度和衡量精度的指標

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202418第一章觀測誤差及其傳播作業(yè)無1/22/202419第一章觀測誤差及其傳播上節(jié)內(nèi)容回顧觀測值都是含有誤差的，測量誤差分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差，除此之外還有粗差；測量平差所處理的觀測值是僅含有偶然誤差的觀測值；偶然誤差服從正態(tài)分布，且具有四個規(guī)律特性；測量平差的兩大任務(wù)：求出觀測量的最可靠結(jié)果，評定測量成果的精度。偶然誤差的數(shù)學期望（真值）為零。

1/22/202420第一章觀測誤差及其傳播一、概述精度的定義：精度就是指誤差分布的密集或離散的程度。誤差分布相同，觀測成果的精度相同；反之，若誤差分布不同，則精度也就不同。從直方圖來看，精度高，則誤差分布較為密集，圖形在縱軸附近的頂峰則較高，且由長方形所構(gòu)成的階梯比較陡峭；精度低，則誤差分布較為分散，在縱軸附近頂峰則較低，且其階梯較為平緩。這個性質(zhì)同樣反映在誤差分布曲線的形態(tài)上。為了衡量觀測值的精度高低，可以按上節(jié)的方法，把在一組相同條件下得到的誤差，用組成誤差分布表、繪制直方圖或畫出誤差分布曲線的方法來比較。在實用上，是用一些數(shù)字特征來說明誤差分布的密集或離散的程度，稱它們?yōu)楹饬烤鹊闹笜?。衡量精度的指標有很多種，下面介紹幾種常用的精度指標。

§1-4精度和衡量精度的指標

1/22/202421第一章觀測誤差及其傳播二、衡量精度的指標1.方差和中誤差

誤差Δ的概率密度函數(shù)為：方差定義：就是中誤差：正態(tài)分布曲線具有兩個拐點，它們在橫軸上的坐標為，，對于偶然誤差，拐點在橫軸上，其大小可以反映精度的高低，所以常用中誤差作為衡量精度的指標。對于離散型：方差和中誤差的估值：§1-4精度和衡量精度的指標

1/22/202422第一章觀測誤差及其傳播二、衡量精度的指標2.平均誤差在一定的觀測條件下，一組獨立偶然誤差絕對值的數(shù)學期望稱為平均誤差。以表示。

平均誤差與中誤差的關(guān)系：所以也可以作為衡量精度的指標?！?-4精度和衡量精度的指標

1/22/202423第一章觀測誤差及其傳播二、衡量精度的指標或然誤差隨機變量X落入?yún)^(qū)間（a,b)內(nèi)的概率為：對于偶然誤差，誤差Δ落入?yún)^(qū)間(a,b)的概率為：或然誤差的定義是：誤差出現(xiàn)在之間的概率等于，即

稱為或然誤差與中誤差的關(guān)系：

實用上只能得到的估值：將相同觀測條件下得到的一組誤差，按絕對值的大小排列，當為奇數(shù)時，取位于中間的一個誤差值作為，當為偶數(shù)時，則取中間兩個誤差值的平均值作為。在實用上，通常都是先求出中誤差的估值，然后關(guān)系式求出或然誤差。§1-4精度和衡量精度的指標

1/22/202424第一章觀測誤差及其傳播二、衡量精度的指標4.極限誤差誤差落在、和的概率分別為：

一般以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值，并稱為極限誤差。

§1-4精度和衡量精度的指標

1/22/202425第一章觀測誤差及其傳播二、衡量精度的指標5.相對誤差對于某些長度元素的觀測結(jié)果，有時單靠中誤差還不能完全表達觀測結(jié)果的好壞。相對中誤差，它是中誤差與觀測值之比。在測量中一般將分子化為1，用表示。

例[1-1]觀測了兩段距離，分別為1000m±2cm和500m±2cm。問：這兩段距離的真誤差是否相等？中誤差是否相等？它們的相對精度是否相同？解：這兩段距離的真誤差不相等。這兩段距離中誤差是相等，均為±2cm。它們的相對精度不相同，前一段距離的相對中誤差為2/100000=1/50000，后一段距離的相對中誤差為2/50000=1/25000。第一條邊精度高。角度元素沒有相對精度?！?-4精度和衡量精度的指標

1/22/202426第一章觀測誤差及其傳播協(xié)方差傳播律是研究函數(shù)與自變量之間的協(xié)方差運算規(guī)律。描述觀測值方差與觀測值函數(shù)方差之間的關(guān)系式。例如，圖中A和B為已知點，為了確定P的平面坐標，觀測了邊長s和角度β。P點坐標為：式中：

現(xiàn)在的問題是在已知觀測邊長s和角度β的方差和協(xié)方差條件下，如何計算P點坐標的方差和協(xié)方差。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202427第一章觀測誤差及其傳播一、協(xié)方差與相關(guān)

1．協(xié)方差協(xié)方差是用數(shù)學期望來定義的。設(shè)有觀測值向量X和Y，它們的協(xié)方差定義是：

2.相關(guān)如果協(xié)方差為零，表示這兩個（或兩組）觀測值的誤差之間是不相關(guān)的，并稱這些觀測值為不相關(guān)觀測值；如果協(xié)方差不為零，則表示它們的誤差之間是相關(guān)的，稱這些觀測值是相關(guān)觀測值。由于在測量上所涉及的觀測值和觀測誤差都是服從正態(tài)分布的隨機變量，“不相關(guān)”與“獨立”是等價的，所以把不相關(guān)觀測值也稱為獨立觀測值，同樣把相關(guān)觀測值也稱為不獨立觀測值。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202428第一章觀測誤差及其傳播一、協(xié)方差與相關(guān)3.方差-協(xié)方差陣假定有個不同精度的相關(guān)觀測值，數(shù)學期望和方差分別為和，它們兩兩之間的協(xié)方差為,用矩陣表示為:為觀測值向量的方差-協(xié)方差陣，簡稱為協(xié)方差陣?！?-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

，1/22/202429第一章觀測誤差及其傳播一、協(xié)方差與相關(guān)3.方差-協(xié)方差陣設(shè)有觀測值向量和，它們的數(shù)學期望分別為和。令：；則的方差陣為：

是X關(guān)于Y的互協(xié)方差陣。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

和

1/22/202430第一章觀測誤差及其傳播二、觀測值線性函數(shù)的方差

設(shè)有觀測值向量，其數(shù)學期望為，協(xié)方差陣為,即

又設(shè)有的線性函數(shù)為：如何求Z的方差？§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202431第一章觀測誤差及其傳播二、觀測值線性函數(shù)的方差令：則對上式兩邊取數(shù)學期望：Z的方差為

協(xié)方差傳播律§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202432第一章觀測誤差及其傳播二、觀測值線性函數(shù)的方差的純量形式：

當向量中的各分量兩兩獨立時

（中誤差傳播律）線性函數(shù)的協(xié)方差傳播律敘述為：設(shè)有函數(shù)：則：

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202433第一章觀測誤差及其傳播二、觀測值線性函數(shù)的方差例[1-2]在1：500的圖上，量得某兩點間的距離=23.4mm,d的量測中的誤差=±0.2mm，求該兩點實地距離及中誤差。解：

最后寫成:

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202434第一章觀測誤差及其傳播三、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣設(shè)有觀測值向量和

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202435第一章觀測誤差及其傳播三、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣若有的X個線性t函數(shù)：

令：§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

則現(xiàn)求Z的協(xié)方差陣？1/22/202436第一章觀測誤差及其傳播三、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣推導(dǎo)過程：

Z的協(xié)方差陣：

協(xié)方差傳播律§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

函數(shù)：函數(shù)的協(xié)方差陣：1/22/202437第一章觀測誤差及其傳播三、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣設(shè)另有Y的S個線性函數(shù)：如果W也是X的函數(shù)，同學們考慮公式該是什么樣？協(xié)方差傳播律§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202438第一章觀測誤差及其傳播三、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣

例[1-3]設(shè)有函數(shù)：的方差陣，的方差陣，關(guān)于的互協(xié)方差陣為，其中為常系數(shù)陣。且求：、、、、、、（1）．計算、、

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202439第一章觀測誤差及其傳播三、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣（2）．計算（3）．計算（4）．計算，（表示單位陣）

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202440第一章觀測誤差及其傳播三、多個觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差陣（5）．計算或:

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202441第一章觀測誤差及其傳播小結(jié)精度的概念衡量精度的指標：方差和中誤差、平均誤差、或然誤差、極限誤差、相對中誤差。協(xié)方差傳播律：1/22/202442第一章觀測誤差及其傳播預(yù)習§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用(非線性函數(shù)情況)看有關(guān)例題1/22/202443第一章觀測誤差及其傳播作業(yè)1.31/22/202444第一章觀測誤差及其傳播小結(jié)協(xié)方差傳播律：1/22/202445第一章觀測誤差及其傳播五、非線性函數(shù)的情況1．單個非線性函數(shù)

設(shè)有觀測值的非線性函數(shù)已知的協(xié)方差陣，求的方差。

為了求非線性函數(shù)的方差，只要對它求全微分就可以了。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202446第一章觀測誤差及其傳播五、非線性函數(shù)的情況2．多個非線性函數(shù)

設(shè)有觀測值的多個非線性函數(shù)將函數(shù)求全微分得

兩組非線性函數(shù)時怎么做？§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202447第一章觀測誤差及其傳播例[1-4]量得某矩形的長和寬為和，且，計算該矩形面積的方差。解：面積：線性化:用協(xié)方差傳播律得：先取對數(shù)然后再全微分能簡化計算。對函數(shù)式取自然對數(shù)：再微分：§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202448第一章觀測誤差及其傳播例[1-5]設(shè)：，

和的方差為零，

的方差為，的方差為，且計算？解：為什么要除?§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202449第一章觀測誤差及其傳播

是用于角度與弧度的換算。如果以弧度為單位，則該項不需要。通常以秒為單位，則。

在測量工作中，常用點位方差來衡量點的精度，點位方差等于該點在兩個互相垂直方向上的方差之和，即：通常稱為縱向方差，它是由邊長BP方差引起的。在BP邊的垂直方向的方差稱為橫向方差，它是由邊的坐標方位角的方差引起的。點位方差也可由和來計算。即：

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202450第一章觀測誤差及其傳播應(yīng)用協(xié)方差傳播律的具體步驟為：1.按要求寫出函數(shù)式，如：或：2.如果為非線性函數(shù)，則對函數(shù)式求全微分，得：

3.寫成矩陣形式：4.應(yīng)用協(xié)方差傳播律求方差或協(xié)方差陣。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202451第一章觀測誤差及其傳播例[1-6]經(jīng)個N測站測定兩水準點A、B間的高差，其中第i(i=1,2…N)站的觀測高差為解：A、B兩水準點間的高差為：設(shè)：各測站觀測高差是精度相同的獨立觀測值，其中誤差均為，。應(yīng)用協(xié)方差傳播律，得設(shè)：若水準路線敷設(shè)在平坦的地區(qū)，前后量測站間的距離s大致相等，設(shè)A、B間的距離為S，則測站數(shù)N=S/s，代入上式得：如果S=1km，s以km為單位，則一公里的測站數(shù)為：而一公里觀測高差的中誤差即為：所以，距離為S公里的A、B兩點的觀測高差的中誤差為：可見，當各測站高差的觀測精度相同時，水準測量高差的中誤差與測站數(shù)的平方根成正比；當各測站的距離大致相等時，水準測量高差的中誤差與距離的平方根成正比。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202452第一章觀測誤差及其傳播例[1-7]設(shè)對某量以同精度獨立觀測了N次，得觀測值，它們的中誤差均等于。求N個觀測值的算術(shù)平均值的中誤差。 解：應(yīng)用協(xié)方差傳播律得：

即：N個同精度獨立觀測值的算術(shù)平均值的中誤差，等于各觀測值的中誤差除以。

§1-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202453第一章觀測誤差及其傳播例[1-8]一個觀測結(jié)果同時受到許多獨立誤差的聯(lián)合影響。在這種情況下，觀測結(jié)果的真誤差是各個獨立誤差的代數(shù)和，即由于這里的真誤差是相互獨立的，各種誤差的出現(xiàn)都是隨機的，因而也可由（1-5-12）并顧及得出它們之間的方差關(guān)系式

即觀測結(jié)果的方差，等于各獨立誤差所對應(yīng)的方差之和?！?-5協(xié)方差傳播律及其應(yīng)用

1/22/202454第一章觀測誤差及其傳播協(xié)方差傳播律小結(jié)線性函數(shù)：2.非線性函數(shù)只需對函數(shù)全微分，然后按協(xié)方差傳播律計算即可。1/22/202455第一章觀測誤差及其傳播預(yù)習§1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法1/22/202456第一章觀測誤差及其傳播作業(yè)1.21.31.41.51.61/22/202457第一章觀測誤差及其傳播一、權(quán)的定義

1.權(quán)的定義式表示各觀測值方差之間比例關(guān)系的數(shù)字特征稱之為權(quán)。設(shè)有觀測值，它們的方差為，選定任一常數(shù)，定義觀測值的權(quán)為：由權(quán)的定義知，觀測值的權(quán)與其方差成反比。即方差愈小，其權(quán)愈大，或者說，精度愈高，其權(quán)愈大。因此，權(quán)同樣可以作為比較觀測值之間的精度高低的一種指標?！?-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202458第一章觀測誤差及其傳播一、權(quán)的定義

2.權(quán)的性質(zhì)

1．選定了一個值，即有一組對應(yīng)的權(quán)?；蛘哒f，有一組權(quán)，必有一個對應(yīng)的值。2．一組觀測值的權(quán)，其大小是隨的不同而異，但不論選用何值，權(quán)之間的比例關(guān)系始終不變。3．為了使權(quán)能起到比較精度高低的作用，在同一問題中只能選定一個值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。4．事先給出一定的條件，就可以確定出觀測值的權(quán)的數(shù)值。5．權(quán)是用來比較各觀測值相互之間精度高低的，權(quán)的意義不在于它們本身數(shù)值的大小，重要的是它們之間所存在的比例關(guān)系。下面通過一個例子來了解這些性質(zhì)：§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202459第一章觀測誤差及其傳播觀測高差：水準路線長度：設(shè)每公里觀測值高差的方差為

各水準路線的方差為：

?。簷?quán)：?。簷?quán)：權(quán)之間的比例關(guān)系：§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

平差計算之前，精度的絕對數(shù)字特征（方差）往往是不知道的，而精度的相對的數(shù)字特征（權(quán)）卻可以根據(jù)事先給定的條件予以確定，然后根據(jù)平差的結(jié)果估算出表示精度的絕對的數(shù)字特征（方差）。

1/22/202460第一章觀測誤差及其傳播二、單位權(quán)中誤差

1.定義

權(quán)等于1的觀測值稱為單位權(quán)觀測值。權(quán)等于1的觀測值的方差稱為單位權(quán)方差。即：是單位權(quán)方差，也稱為方差因子。權(quán)等于1的觀測值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差。即：是單位權(quán)中誤差。2.權(quán)的單位同類觀測值：權(quán)是無量綱，無單位；不同類觀測值：權(quán)是有單位的。例如：邊角網(wǎng)中：設(shè)測角中誤差單位為“秒”；測邊中誤差單位為“mm”若單位取秒，則角度的權(quán)無單位，邊長的權(quán)的單位為：若單位取mm，則邊長的權(quán)無單位，角度的權(quán)的單位：§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202461第一章觀測誤差及其傳播三、常用定權(quán)的方法

1.距離觀測值的權(quán)（1）設(shè)單位長度（例如一公里）的距離觀測值的方差為，則全長為S公里的距離觀測值的方差為取長度為C公里的距離觀測值方差為單位權(quán)方差，即：則距離觀測值的權(quán)為：（2）設(shè)長度為S公里的距離觀測值的方差為，和分別為測距固定誤差和比例誤差。取單位權(quán)方差則距離觀測值的權(quán)為：§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202462第一章觀測誤差及其傳播三、常用定權(quán)的方法2.水準測量的權(quán)（1）設(shè)每公里的觀測高差的方差均相等，均為；第i條水準線路的觀測高差為，長度為公里則第i條水準線路（觀測高差）的方差為：取線路長度為C公里的觀測高差的方差為單位權(quán)方差：則線路長度為公里的觀測高差的權(quán)為：（2）設(shè)每一測站觀測高差的精度相同，其方差均為；第i條水準線路的觀測高差為，測站數(shù)為,則第i條水準線路（觀測高差）的方差為：取測站數(shù)為C的高差觀測值為單位權(quán)方差：則第i條水準線路（觀測高差）的權(quán)為：§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202463第一章觀測誤差及其傳播三、常用定權(quán)的方法3.同精度觀測值的算術(shù)平均值的權(quán)設(shè)有它們分別是次同精度觀測值的平均值，若每次觀測的方差均為，則的方差為：取：則算術(shù)平均值的權(quán)為：§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202464第一章觀測誤差及其傳播三、常用定權(quán)的方法4．邊角網(wǎng)中方向觀測值和邊長觀測值的權(quán)邊角網(wǎng)中有兩類不同量綱的觀測值：方向（或角度）和邊長。設(shè)方向觀測值的方差為（），邊長觀測值的方差為（、或）取：則方向觀測值的權(quán)：（無單位）。邊長觀測值的權(quán)§1-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202465第一章觀測誤差及其傳播特別強調(diào)：在測量工作中，一般是先根據(jù)事先給定的條件，按上述方法確定觀測值權(quán)，然后進行平差，再根據(jù)權(quán)的定義式的變形公式，來求觀測值或其他函數(shù)的中誤差。權(quán)的變形公式：該公式不僅適合于觀測值，同時也適合于觀測值的函數(shù)?！?-6權(quán)與定權(quán)的常用方法

1/22/202466第一章觀測誤差及其傳播一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣

1.協(xié)因數(shù)設(shè)有觀測值和，稱為的協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)，它們的權(quán)分別為和，為的協(xié)因數(shù)或權(quán)倒數(shù)，它們的方差分別為和，為關(guān)于的協(xié)因數(shù)或相關(guān)權(quán)倒數(shù)它們之間的協(xié)方差為，單位權(quán)方差為。令：

§1-7協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律

協(xié)因數(shù)與權(quán)成反比，因此，也可作為衡量精度的相對指標。當=0，說明兩觀測值獨立（不相關(guān)）。1/22/202467第一章觀測誤差及其傳播一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣

2.協(xié)因數(shù)陣設(shè)有觀測值向量X和Y，它們的方差陣分別為和，關(guān)于的互協(xié)方差陣為單位權(quán)方差為令：稱為X的協(xié)因數(shù)陣，為Y的協(xié)因數(shù)陣，為X關(guān)于Y的互協(xié)因數(shù)陣。§1-7協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律

協(xié)因數(shù)陣中的主對角線元素就是各個的權(quán)倒數(shù)，它的非主對角線元素是關(guān)于的相關(guān)權(quán)倒數(shù)；中的元素就是關(guān)于Yj的相關(guān)權(quán)倒數(shù)。也稱為X的權(quán)逆陣，為的Y權(quán)逆陣，為X關(guān)于Y的相關(guān)權(quán)逆陣。當說明X與Y相互獨立（不相關(guān)）1/22/202468第一章觀測誤差及其傳播一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣

3.權(quán)陣設(shè)有獨立觀測值，其方差為，權(quán)為，單位權(quán)方差為。X的協(xié)因數(shù)陣為：=則有：

§1-7協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律