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文檔簡(jiǎn)介

題庫(kù):幾何圖形操作變化型問(wèn)題

類(lèi)型一折疊問(wèn)題

★1.將一個(gè)矩形紙片A3CQ放置到平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、8恰好落在工

軸的正、負(fù)半軸上,若將該紙片沿Ab折疊,點(diǎn)3恰好落在y軸上的點(diǎn)E處,

設(shè)04:1.

(1)如圖①,若03=1,則點(diǎn)b的坐標(biāo)為

(2)如圖②,若03=2,求點(diǎn)F的坐標(biāo);

⑶若08=〃,

第1題圖

解:⑴(1,¥)

【解法提示】由折疊的性質(zhì)可知4E=A3=2,NE4尸-:0A=l,

AE=2,NAOE=90°,AZAEO=30°,AZEAO=60°,:.ZFAB=3Q°,:.BF

=ABtanZMB=則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,蔣3.

⑵如解圖,作加_Ly軸于點(diǎn)M,

:.ZAEF=ZABF=90°,月0J_y軸,

.NAE0+NFEM=90°,ZFEM+ZEFM=9G0,

:.AAEO=ZEFM,

.iAO1

「sinNAEO=布二Q,

第1題解圖

sinZEFM=g.

設(shè)EM=%,貝!JE尸=3%,

由勾股定理得Mb=2mx,0E=2&

-:OB=2,

:.2吸x=2,

解得光=孚,

:.OM=OE-EM=

.?點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,平);

n2+n

(3)(〃,/,)?

y/+2〃

【解法提示】如解圖,作FMLy軸于點(diǎn)M,

同理NAEO=ZEFM,

AO_1

Vsin^AEO

A£??4-1

.,.sinZEFM=-------

/?+1

設(shè)=貝!JE/=(〃+1)%,

由勾股定理得MF=1/+2nx,OE-4+2H,

'.'OB-n,

解得%=In

\n2+2n

n+n

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為5,I).

yjn2+2n

★2.如圖,將一個(gè)正方形紙片AOC。放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,

4),點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)。在第一象限,點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)人

點(diǎn)D重合),將正方形紙片折疊,使點(diǎn)0落在點(diǎn)。處,點(diǎn)C落在點(diǎn)G處,PG

交0c于點(diǎn)",折痕為ER連接OP,O”.設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為九

⑴若NAPO=60。,求NOPG的大小;

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在邊A。上移動(dòng)時(shí),的周長(zhǎng)/是否發(fā)生變化?若變化,用

含m的式子表示/;若不變化,求出周長(zhǎng)/;

(3)設(shè)四邊形MG尸的面積為5,當(dāng)S取得最小值時(shí),求點(diǎn)尸的坐標(biāo)(直接寫(xiě)

出結(jié)果即可).

第2題圖

解:(1)二.折疊正方形紙片,使點(diǎn)O落在點(diǎn)P處,點(diǎn)C落在點(diǎn)G處,

:.APOC=ZOPG,

.?四邊形AOCQ是正方形,

:.AD\\OC,

:.^APO=ZPOC,

:.^APO=ZOPG,

?.NAPO=60°,

??.NOPG=60。;

(2)A尸。”的周長(zhǎng)不發(fā)生變化,

理由:如解圖①,過(guò)點(diǎn)O作。QLPG,垂足為點(diǎn)。,則ND4O=NPQO=

90°.

第2題解圖①

由(3)知N4P0二ZOPG,

又OP=OP,

「.△AO尸也△QOP,

:.AP=QP,AO=QO,

:AO=OC,

:.OC=OQ,

■:^OCD=ZOQH=9Q°,OH=OH,

:.CH=QH,

:.^PDH的周長(zhǎng)l=PD+DH+PH=PD+DH+PQ+QH=PD+PQ+DH+

QH=PD+AP+DH+CH=AD+CD=S,

??.△PDH的周長(zhǎng)Z不發(fā)生變化,周長(zhǎng)Z為定值8;

(3)當(dāng)S取得最小值時(shí),點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,4).

【解法提示】如解圖②,過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)M,設(shè)E尸與0P交于點(diǎn)

N,

第2題解圖②

由折疊的性質(zhì)知^EON與AEPN關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),

.,aEONeAEPN,

:.ON=PN,EP=EO,EN±PO,

:^OAP=ZENO,ZAOP=ZNOE,

."POAsdEON,

POPAOA

,EO~EN~ON山’

設(shè)PA=x,

,.點(diǎn)A(0,4),

:.OA=4,

:.OP=弋05+出2=/6+/,

:.0N=goP=16+P

將。P,ON代入①式得,OE=PE=

"EFM+ZOEN=90°,

NAOP+ZOEN=90°,

."EFM=.ZAOP,

在^E尸A/和4P.OA中,

ZEFM:ZAOP

IFM=OA,

<ZOAP=ZEMF

.,.△EFM^APOA(ASA),

.'.EM=PA=x,

:.FG=CF=OM=OE-EM=

1(16+x2)-x=^x2-x+2,

+0£>0C=;;&2%+2+1(16+%2)]X4=

■S=S梯形EFGP=S梯形OCFE=o

-2)2+6,

,當(dāng)%=2時(shí),S最小,

即AP=2,

.?點(diǎn)。的坐標(biāo)是(2,4).

★3.已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCZ)(AQ>AB),將紙片折疊一次,

使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,再展開(kāi),折痕EF交AD邊于點(diǎn)E,交BC邊于點(diǎn)F,分別

連接AF和CE.

⑴求證:四邊形AFCE是菱形;

(2)若AE=10cm,△ARF的面積為24cm2,求△AB廠的周長(zhǎng);

(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)P,使得2AE2=ACAP?若存在,請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P

的位置,并予以證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

第3題圖

(1)證明:由題意可知04=。。,EFA.AO,

■:AD\\BC,

:.Z.XEO=ACFO,/EAO=ZFCO,

:.^AOE^^COF(AAS),

:.AE=CF,

又,.,AE〃CR

二?四邊形AECb是平行四邊形,

由圖形折疊的性質(zhì)可知,ACLEF,

???四邊形AECV是菱形;

⑵解:?四邊形AECb是菱形,

.'.AF=AE=10cm,

設(shè)A3=a,BF=b,

“ABF的面積為24cm2,

.'.a2+h2=100,ah=48,

.'.(a+力2=196,

:.a+b=14^a+h=-14(不合題意,舍去),

:.^ABF的周長(zhǎng)為14+10=24cm;

(3)解:存在,如解圖,過(guò)點(diǎn)£作8。的垂線,交AC于點(diǎn)P,點(diǎn)尸就是符

合條件的點(diǎn);

證明:?.?NAEP=NAOE=90。,ZEAO=ZEAO,

??.△AOES/XAER

,AE_AO

一麗二而

:.AE^=AOAP,

???四邊形4E6是菱形,

二.AO=;AC,

:.AE^=^AC-AP,

:.2AE2=ACAP.

第3題解圖

★4.如圖①,已知△ABC中,ZC=90°,AC=6,點(diǎn)E,尸分別在

AC,3c上,將△ABC沿歷折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)。處,設(shè)△取>/與四邊形ABFE

重疊部分面積為y,CT長(zhǎng)為x.

⑴如圖②,EF//AB,CF=4時(shí),試求y的值;

⑵當(dāng)"〃A3時(shí),試求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求x為何值時(shí)),的值最大;

(3)如圖③,當(dāng)CF=4,DF_LBC時(shí),求y的值.

解:(1)如解圖①,連接。,交EF于點(diǎn)H

第4題解圖①

VCF=4,BC=8,

AC^BC

CD=-rs—=4.8,

:.BF=4,/In

■:EF\\AB,

:.EF=^AB=5,CH=DH=^CD=2A,

.,.y=1X£TX£)//=^X5X2.4=6;

(2)①當(dāng)0<%W4時(shí),如解圖②,作CMLAB交AB于點(diǎn)M,則CM必過(guò)點(diǎn)

D,

第4題解圖②

由(1)知CM=4.8,

:EF\\AB,

.CNCFEF

-CM=BC=AB,

.,.CN=0.6%,EF=^x,

-'-y=S、DEF-S^CEF-^xEFxCN-;x±x0.6x=

3

??當(dāng)X=4時(shí),ymax=gx4~=6;

②當(dāng)4<%W8時(shí),如解圖③,

c

AC'W"/NB

T)

第4題解圖③

過(guò)點(diǎn)。作CML4B交A3于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)/作硒,A3交A3于點(diǎn)N,連接

ED,FD,分別交A8于點(diǎn)G,/,

.BFFN

''BC=CM,

,.'CF=x,

:.BF=8-%,

由⑴有,CM=4.8,

S-xFN

?'--8-=48,

.JN=0.6(8-x),

:DH=CH=CM-HM=CM-FN=4.8-0.6(8-x)=0.6x,

DM=DH-MH=DH-FN=0.6x-0.6(8-%)=1.2%-4.8,

?:EF\\AB,

,EF_CH_EF0.6%

-AB=CM,即訶

5

:.EF=~^x,

:EF\\AB,

,DMGI

,'DH=EF,

1.2x-4.8QI

’06%"丁'

5

.'.y=;(G/+EF)xFN=^x;|(x-4)+,]x0.6(8-x)=-1(%-T~)2+8,

???當(dāng)二!x八—-—3g口v1l-,yvmax--5.

⑶如解圖④,在CB上取一點(diǎn)日使C"=QM,作NCHG=NQMN,

C

第4題解圖④

在Rt」3C中,AC=6,3c=8,

?AC63

??tanzB=BC=8=?

在中,DF1BC,BF二BC-CF=4,ZB+ZBMF=90°,

nFM=FM3.e,.

.,.tanZB='BKFF~4A~4~??尸M=3,

:.CH=DM=\,

.2CHG=ZDMN,ZBMF=ZDMN,

;ZCHG=/BMF,':ZB+ZBMF=90°,

?:AB+ZCHG=90°,ZCHG+ZCGH=90°,

:.^B=ZCGH,

CH344

在RQ//CG中,ta.nZ.CGH=-tanZB=7,:.CG二qxCH二Q,

CCJ433

,.ZBFD=90°,

由折疊有ZCFE=ZDFE=45°,ACE=CF,

1

-X

-''y=S四邊形EFMN=S&DEF-S&DMN=S&CEF-S^CHG=~^CE^CF-]XCHXCG2

一1,422

4x4-2Xlx3=^--

★5.將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片4BCQ沿EG折疊(折痕EG分別與A3、

DC交于點(diǎn)E、G),使點(diǎn)8落在4)邊上的點(diǎn)/處,F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M,連接

BF與EG交于點(diǎn)P.

第5題圖

(1)當(dāng)點(diǎn)尸與AQ的中點(diǎn)重合時(shí)(如圖①);

①AAE/的邊AE=cm,EF=cm,線段EG與3廠的大

小關(guān)系是EG3F;(域>"、“二”或V”)

②求△FDM的周長(zhǎng).

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在A。邊上除點(diǎn)A,D外的任意位置時(shí)(如圖②);

①試問(wèn)第(1)題中線段EG與BF的大小關(guān)系是否發(fā)生變化?請(qǐng)證明你的結(jié)

論;

②當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí),四邊形AEGD的面積S最大?最大值是多少?

解:(1)①A£=3cm,EF=5cm;EG=BF,

設(shè)AE=%,則£77=8-x,AF=4,NA=90°,42+x2=(8-x)2,解得%=3.

.,.AE=3cm,EF=5cm,EG=BF;

②如解圖①,???NM//E=90。,

"DFM+ZAFE=9Q°,

又ZA=ZD=90°,ZAFE=ZDMF,

:.^AEF^/\DFM,

.EFAEAF

,TM=DF=DM,

又?.?AE=3,AF=DF=4,EF=5,

.?磊解得加=與,就,解得。M=與

第5題解圖

.(2)①尸G=BF不會(huì)發(fā)生變化,

證明:如解圖②,???8、/關(guān)于GE對(duì)稱(chēng),

??.BFLEG于點(diǎn)P,過(guò)G作GK_LAB于點(diǎn)K,

:ZFBE=ZKGE,

在正方形ABCD中,GK=BC=AB,NA=NEKG=90。,

:QAFB會(huì)△KEG(AAS),

:.EG=BF;

②如解圖②,設(shè)AF=%,EF=8-AE,則f+A序=(8-AE)2,

"AFBmAKEG,

:.AF=EK=x,AK=AE+EK=AF+AE=4+x,

AE+DGi111

S------2----x8=2x8(AE+AK)-4x(4-+4-^x2+%)=-產(chǎn)+4JC+

32,

S=-聲-守+40,(0<x<8),

當(dāng)%=4,即尸與AQ的中點(diǎn)重合時(shí),S最大=40.

類(lèi)型二旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

★1.在RNA8C中,AB=BC=5,N3=90。,將一塊等腰直角三角板的直

角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)。處,三角板的兩直角邊分別交AB、BC的延長(zhǎng)線

于反尸兩點(diǎn),如圖①.

⑴求證:△EOB^/XFOC;

(2)將等腰直角三角板繞直角頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交

AB、BC于E、/兩點(diǎn),如圖②,貝必0尸。能否成為等腰直角三角形?若能,直

接寫(xiě)出△ORS是等腰直角三角形時(shí)8尸的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若將三角板的直角頂點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)。處,兩直角邊分別交A3、BC于E、

尸兩點(diǎn),如圖③,若僚=/請(qǐng)求出出的長(zhǎng).

圖①圖②圖③

第1題圖

⑴證明:由題知,△A8C和△OE77均為等腰直角三角形,。為AC.中點(diǎn),

:.^BOC=ZEOF=90°,OB=OC,OE=OF,

?."03+NCOE=90。,ZFOC+ZCOE=90°,

:.^EOB=ZFOC.

在^EOB和4尸OC中,

'OB=OC

<ZEOB=ZFOC,

<OE=OF

???△EO30△尸OC(SAS);

⑵解:△OFC能成為等腰直角三角形,止匕時(shí)3/二楙或0;

【解法提示】?「△ABC為等腰直角三角形,

.-.ZACB=45°.

①當(dāng)CKZOFC=90°,時(shí)

?.ZABC=9O°,

:.OF\\AB,

又:。為AC的中點(diǎn),

??.OF為△A3c的中位線,

.J為3c的中點(diǎn),

「.△0”是等腰直角三角形,

:AB=BC=5,

5

:.BF=3;

②當(dāng)0/二。。時(shí),點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合,此時(shí)△。尸C為等腰直角三角形,

:.BF=0.

(3)解:如解圖,過(guò)點(diǎn)尸作PML48,垂足為〃,作PNJ_3C,垂足為N,

"EPM+/EPN=ZEPN+ZFPN=90°,

;ZEPM=/FPN,

又ZEMP=ZFNP=90°,

PMPE

."PMEsAPNF,=

rlNrr

?.?△ABC為等腰直角三角形,

???△4PM和4PCN均為等腰直角三角形,

.SMsMPCN,

AMAP

,麗二正’

A

第4題解圖

':AM=PM,

,PMAP

…麗二定’

,PA__PE

'~PC=~PF,

,PE1

~PF=y

__R4_1

,~pc=y

.'.PA=^AC,

:AB=BC=5,

「.AC=5娘,

??外=%c=尊

★2.已知RaA3c中,ZACB=90°,CA=CB,有一個(gè)圓心角為45。,半徑

長(zhǎng)等于C4的扇形C£尸繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),直線C£、C尸分別與直線A3交于點(diǎn)M、

N.

⑴當(dāng)扇形繞點(diǎn)C在NAC3的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí),如圖①,求證:=

+3N2;

思路點(diǎn)撥:考慮mV2=AM2+B用符合勾股定理的形式,需轉(zhuǎn)化為在直角三

角形中解決.可將△ACM沿直線CE對(duì)折,得^DCM,連DN,只需證DN二

BN,NMQN=90。就可以了.

請(qǐng)你完成證明過(guò)程;

(2)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖②的位置時(shí),關(guān)系式MN2=AM2+BN2是否

仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

第2題圖

⑴證明:將△ACM沿直線CE對(duì)折,得△QCM,連接QM如解圖①,

第2題解圖①

則4DCM^AACM.

有CD=C4,DM=AM,4DCM=/ACM,^CDM=ZA.

:CA=CB,:.CD=CB,

■:Z.DCN=ZECF-ZZ)CM=45°-ZACM,

乙BCN二ZACB-ZECF-ZACM=90°-45°-ZACM=45°-ZACM,

"DCN=ZBCN.

又,:CN=CN,

「.△CON也△CBN.

:.DN=BN,ZCDN=ZB.

;ZMDN=ZCDM+ZCDN=ZA+ZB=90°.

.?.在RtdMQN中,由勾股定理,

得MUD^+DI^,gpMN2=AM2+BN2;

⑵關(guān)系式MN2=ANP+BM仍然成立.

證明:將△ACM沿直線CE對(duì)折,得AGCM,連接GN,如解圖②,

第2題解圖②

則4GCM^AACM.

:.CG=CA,GM=AM,

NGCM=/ACM,NCGM=/CAM.

:CA=CB,

:.CG=CB.

"GCN=ZGCM+ZECF=zGCM+45°,

乙BCN=ZACB-/ACN=90°-(ZECF-NACM)=45°+NACM,

.?.NGCN=ZBCN.

又,:CN=CN,

「.△CGN之△CBN.

??.GN=BN,ZCGN=Z5=45°,ZCGM=ZCAM=1800-ZCAB=135°,

:.Z.MGN=ZCGM-ZCGN=135°-45°=90°.

??在Rt^MGN中,由勾股定理,

彳導(dǎo)MN1=GM2+GM,即MTV2=AM2+BN2.

4

★3.如圖,在△ABC中,AB=BC=10,tanNA8C=點(diǎn)P是邊3c上的

一點(diǎn),M是線段AP上一點(diǎn),線段PM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段PN,設(shè)BP

=t.

(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)3,點(diǎn)M是AP中點(diǎn)時(shí),試求AN的長(zhǎng);

(2)如圖②,當(dāng)喘■時(shí),

①求點(diǎn)N到BC邊的距離(用含t的代數(shù)式表示);

②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí),試求點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).

AA

解:(1),.,在RtMBN中,ZABN=90°,AB=10,

:.BN=BM=^AB=5,

.,AN川IO?+52=54;

(2)①(I)當(dāng)0<W6時(shí)(如圖①),

如解圖:過(guò)點(diǎn)A作AE1BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)N作NF1BC于點(diǎn)F,

AE4

,.tanzAfiC=設(shè)A£=4%,貝[JBE=3%,

£)£SJ

在RQ4BE中,ZAEB=90°,

.'.AB1=AE2+BE1,102=(3%)2+(4%>,

解彳導(dǎo):x=2,.?.AE=8,BE=6

當(dāng)0WO6時(shí).

■:^AEP=ZPFN=90°,4APE+/FPN=9。。,^APF+ZPAE=9Q°,

:.^PAE=ZFPN,

「.△APESAPNF,

,?-P--M-_1

?MA一3,

,PF_FN_PN_1_

-AE=~PE=AP=4,

131

-z6=-^

4x(-2-4

(II)當(dāng)6?0時(shí),

113

同理可得:FN=a(t-6)=不-];

②如圖2點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑是一條線段,

第4題解圖②

3

當(dāng)p與。重合時(shí),F(xiàn)N=QPF=2,

當(dāng)P與C重合時(shí),F(xiàn)'N'=1,CF'=2,

?;點(diǎn)N的路徑長(zhǎng)NN'=1102+(1+|)2=

★4.已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,邊A3在射線OM上,且。4

=6,點(diǎn)。是射線。M上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)。不與點(diǎn)A重合時(shí),將△AC。繞點(diǎn)C逆

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到△BCE,連接DE.

⑴如圖①,猜想:△CDE的形狀是—三角形.

(2)設(shè)。。二九

①當(dāng)6<加<10時(shí),△3DE周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求出△8DE周長(zhǎng)

的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

②是否存在m的值,使△DEB是直角三角形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值;

若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖①圖②

第4題圖

解:⑴等邊;

[解法提示]:二,將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到△BCE,

.,.ZDCE=60°,=."CDE是等邊三角形;

(2)①存在,當(dāng)6〈機(jī)<10時(shí),

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,BE=AD,

:.C〉DBE—BE+DB+DE—AB+DE—4+DE,

由(1)知,是等邊三角形,

:.DE=CD,

..(△DBE—CD+4,

由點(diǎn)到直線垂線段最短可知,當(dāng)CQJ_AB時(shí),△BQE的周長(zhǎng)最小,

此時(shí),CD=2小,

??.△BDE的最小周長(zhǎng)=CQ+4=2小+4;

②存在,當(dāng)m=2或14時(shí),以。、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三解形,;

【解法提示】:I???當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí),D、&E不能構(gòu)成三角形,

二?當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)3重合時(shí),不符合題意,

【當(dāng)0Wm<6時(shí),由旋轉(zhuǎn)可知NC8E=120°,

.-.ZABE=60°,NBDE<60°,

??若/BED=90。,

由(1)可知,△CDE是等邊三角形,

/.ZDEC=60°,

..ZCEB=30°,

:Z.CEB=ZCDA,

.*.ZCDA=30°,

?.ZCAB=60°,

:.^ACD=ZADC=30°,

:.DA=CA=4,

:.OD=OA-DA=6-4=2,

.,.m=2;

HI當(dāng)6<zn<10時(shí),由/DBE=120°>90°

,此時(shí)不存在;

IV當(dāng)機(jī)>10時(shí),由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知/C8E=60。,...NDBE=60。,

又由⑴知NCQE=60。,

"BDE=ZCDE+ZBDC=60°+ZBDC,

?N8DC>0°,

"BDE>60°,

.?若NBDE=90。,

;ZBCD=ZBDC=30°,

:.BD=BC=4,

:.OD=\4,

??ITL—14,

綜上所述:當(dāng)相二2或14時(shí),以。、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.

★5.如圖①,在口A8CQ中,48=10cm,BC=4cm,ZBCD=120°,CE

平分/BCD交AB于點(diǎn)E點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿AB方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng),

連接“,將△PCE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,使CE與。?重合,得到△QC3,

連接PQ.

(1)求證:△PCQ是等邊三角形;

(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P在線段£8上運(yùn)動(dòng)時(shí),△P8Q的周長(zhǎng)是否存在最小值?

若存在,求出△PBQ周長(zhǎng)的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)P在射線4M上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在以點(diǎn)P、B、。為頂點(diǎn)的

直角三角形?若存在,求出此時(shí)/的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

DCDC

圖①圖②

:.CP=CQ

?:APCQ=60°,

??.△PCQ為等邊三角形;

⑵解:存在.

平分N8CQ,

.-.ZBCE=60°,

?.,在口ABCD中,

:.AB\\CD,

:.^ABC=180°-120°=60°,

.?.△3CE為等邊三角形,

:.BE=CB=4,

???△PC£旋轉(zhuǎn)得到^QCB,

.2PCE24QCB,

:.EP=BQ,

-C^PBQ—PB+BQ+PQ

=PB+EP+PQ

=BE+PQ

=4+CP.

???CP_LAB時(shí),△P3Q周長(zhǎng)最小,

當(dāng)CP±AB時(shí),CP=BCsin60°=2小,

???△P3Q周長(zhǎng)最小為4+23;

⑶存在①當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)尸重合時(shí),P,B,。不能構(gòu)成三角形.

②當(dāng)0WX6時(shí),由旋轉(zhuǎn)可知,

ZCPE=ZCQB,

Z.CPQ=ZCPB+NBPQ=60°,

貝[J:ZBPQ+ZCQB=60°,

又:ZQPB+ZPQC+ZCQB+ZPBQ=\S00,

:.ZPQC=180°-60°-60°=60°,

??.NQBP=60°,ZBPQ<60°,

尸Q3可能為直角,若NPQ3=90。,

由(1)知,△PC。為等邊三角形,

:.^PBQ=60°,ZCQB=30°,

':ZCQB=ZCPB,

:.^CPB=30°,

?.ZCEB=60°,

:.APCE=ZCPB=30°,

:.PE=CE=4,

:.AP=AB-BE-EP=10-4-4=2,

.'.t=27=2s

③當(dāng)6<Y10時(shí),由NP3Q=120o>90。,所以不存在;

④當(dāng),>10時(shí),由旋轉(zhuǎn)得:NPBQ=60。,由(1)得NCPQ=60。,

:ZBPQ=ZCPQ+NBPC=60。+/BPC,

■.ZBPC>O°,

??.NBPQ>60°,

若NBPQ=90。,:.ZBPC=30°,

,.ZCBE=60°,;ZBPC=/BCP,

:.BP=BC=4,

:AP=14cm

.,.t=14s,

綜上所述:,為2s或者14s時(shí),以點(diǎn)P、B、。為頂點(diǎn)的三角形為直角三角

形.

題庫(kù):幾何圖形動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題

類(lèi)型一點(diǎn)動(dòng)

★1.如圖,在△43C中,ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)。從點(diǎn)C

出發(fā),以2cm/s的速度沿折線C-AT3向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā),

以1cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0<Z<8).

(1)AB=cm,sinB=;

(2)當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí),求,的值;

⑶若四邊形CDEF是以CD、DE為一組鄰邊的平行四邊形,

①設(shè)。CDEF的面積為ScnA求§與/的函數(shù)關(guān)系式;

②是否存在某個(gè)時(shí)刻3使。CQE尸為菱形?若存在,求出r的值;若不存

在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

3

解:(1)10,于

【解法提示】由勾股定理得:AB=\)62+S2=10,

.cAC63

sinfi=A8=l0=5-

(2)如解圖①,當(dāng)NBEO=90。時(shí),△8DE是直角三角形,

C

E

DB

第1題解圖①

則AC+AD=2t,

.??30=6+10-2t=16-2t,

cBEBC8

COSB=BD=AB=W,

t8

,記WT記

64

/7=13;

如解圖②,當(dāng)NEDB=90。時(shí),△8?!晔侵苯侨切?

則80=16-2t,

BDBC8

COSB=BE=AB=W

16-2t8

~~t-=To,

40

因此,當(dāng)△3QE是直角三角形時(shí),,的值為胃或?qū)?

第1解題圖③

⑶①如解圖③,當(dāng)0</3時(shí),BE=t,CD=2t,CE=8-t,

-"-SnCDEF=2S^CDE=2x^xCDCE=2x^x2/x(8-t)=-2?+166

如解圖④,當(dāng)3</<8時(shí),BE=t,CE=8-t,

過(guò)點(diǎn)。作垂足為”,

:.DH\\AC,

DHBD

-AC=

3(16-2/)

:.DH=---------------,

13(16-2/)6,96384

?SCDEF=2SACDE-2x-xCEDH=(8-t)--------------=9--/+-y-;

??.s與/的函數(shù)關(guān)系式為:

(-2t2+\6t(0</<3)

S1與2磬+等,

第1題解圖⑤

②存在,如解圖⑤,當(dāng)。CQE/為菱形時(shí),DFVCE,且CE與0b互相垂

直平分,交點(diǎn)為”,

易證得3s△4CB,

BHBDanBH16-2t

-BC=^即1~=一

4(16-2r)

:.BH=---------,

8-z

:BH=BE+EH,BE=t,EH=-

4(16-21)8-t

「?5小〒,

88

.1=亓

即當(dāng)々莽寸,口CDEF為菱形.

★2.已知:如圖,在矩形A8CD中,A8=6cm,BC=8cm.對(duì)角線AC,BD

交于點(diǎn)。,點(diǎn)p從點(diǎn)A出發(fā),沿AQ方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;同時(shí),點(diǎn)

。從點(diǎn)。出發(fā),沿OC方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),

另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).連接P0并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)Q作。/〃AC,交

BD于點(diǎn)E設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為心)(04<6),解答下列問(wèn)題;

第2題圖

(1)當(dāng),為何值時(shí),△AOP是等腰三角形?

(2)設(shè)五邊形OECQF的面積為5(cm2),試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)亥(],,使S五邊形OECQF:S^ACD=9:16?若

存在,求出,的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(4)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻3使。。平分/。0尸?若存在,求出

,的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:⑴分三種情況討論:

①若4P=A0,在矩形ABC。中,AB=6,3c=8,

:.AC=10.

.'.AO=CO=5.

:.AP=5.

?-t-5.

②若AP=PO=t,

在矩形ABC。中,AD//BC,OA=OC,

:.^PAO=ZOCE,ZAPO=ZOEC.

「.△APO%ACEO.

:.PO=OE=t..

如解圖①,過(guò)點(diǎn)A作AG〃尸E交3c于點(diǎn)G,則四邊形APEG是平行四邊

形.

:.AG=PE=2t,GE=AP=t.

又,:EC=AP=t,

:.BG=S-2t.

在Rt^A3G中,根據(jù)勾股定理,得62+(8-2/)2;⑵產(chǎn)

25

解得t=學(xué)

O

③若0P=A0=5,則/=0或,=8,不合題意,舍去.,

25

綜上可知,當(dāng),=5或,=三時(shí),△AOP是等腰三角形;

O

(2)如解圖②,過(guò)點(diǎn)。作0ML3C,垂足是作ONLCO,垂足是N.

第2題解圖②

貝!JOM=gA8=3,0N=^BC=4.

113

-'-S^OEC=2'CE-OM=尸3=亍,

SZ\OCO=;CO?ON=;X6X4=12.

:QF\\AC,

.,.△DFQSADOC.

S△DFQS△DFQ

=(DC)2>即]2=*/,

5ADOC

?'■S四邊形OFQC=12-

13

■S五邊形OECQF=S四邊形OFQC+S^OEC=12-

13

BP5=-/+,+12(0<t<6).

⑶存在.

理由如下:要使S五邊形OECQF:S^ACD=9:16,

131

即(-g產(chǎn)+.+12):(]x6x8)=9:16,

解得n=3,h-1.5.兩個(gè)解都符合題意.

???存在兩個(gè)3使S五邊形OECQF:S/iACD=9:16,止匕時(shí)八=3,£2=1.5;

(4)存在.

第2題解圖③

理由如下:如解圖③,過(guò)點(diǎn)。作皿_LOP,垂足是/,DJ±OC,垂足是,,

過(guò)點(diǎn)4作4G〃尸E交BC于點(diǎn)G.

'''SAOCD=^OCDJ=^x5xDJ=12,

…24

??OQ平分NPOC,DILOP,DJLOC,

24

.'.DI=DJ=~^~.

?.AGIIPE,:./DPI=ZDAG.

:AD\\BC,

:.^DAG=ZAGB.

"DPI:/AGB.

?,.RtAASG^RtAD/P.

由⑴知,在RtaA3G中,BG=8-2t.

,AB_BG.68-21

?~DI=1P,-24=PI'

~5

4

???々=5(8-2。..

在RtADP/中,根據(jù)勾股定理得DP+Pl2=PD2,

BP(y)2+[|(8-2r)]2=(8-02,

11?—

解得日至,r=0(不合題意,舍去).

112

???存在,二書(shū)■時(shí),0。平分NCOP.

3.如圖,△A8C是等腰直角三角形,AB=4,AC=BC,NACB=90。,點(diǎn)。

為四的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)E,廠分別在邊AC,BC上(不與頂點(diǎn)重合),且/成>二45。.

(1)若設(shè)AE=九,BF=y,試確定y與%的函數(shù)關(guān)系;

(2)當(dāng)尸為等腰三角形時(shí),求CE,C尸的長(zhǎng);

(3)DH±AC,"為垂足,試探究以。為圓心,以QH為半徑的圓與E廠的

位置關(guān)系,并加以說(shuō)明.

解:⑴在△AOE和△KD3中,

?/ZADE+ZBDF=135°,ZADE+ZAED=135°,

?.NFDB=ZAED,

又:ZA=ZB,

??.△AEDMBDF,

,AE_AD

,麗二而

.AE=x,BF=y,AD=BD=^AB=2,

x24

?-2=?即產(chǎn)了

(2)①當(dāng)。E=歷時(shí),NQEF是直角,F(xiàn),C重合,。石是三角形45c的中

位線,E是AC的中點(diǎn),CE=^AC=yf2,CF=O;

②當(dāng)。公歷時(shí),NQFE是直角,與①同理,E,C重合,尸是BC的中點(diǎn),

CE=O,EF=^BC=^2;

③當(dāng)OE=Z)/時(shí),如解圖,如果連接。,那么CQ必然平分NAC8,

:.AD=BD,ZA=ZB=45°,ED=FD,

?.ZEDF=45°,

.,.ZADE+NBD.F=ZADE+ZAED=135°,

:ZBDF=ZAED,

.,.△AEZ)^ABr)F(ASA),

:AE=BD=^AB=2,

:.CE=CF=2yf2-2;

⑶以?!睘榘霃降膱A與斯相切,理由如下:

??,△AEDMBDF,

,AE_DE,AE_DE

:BD=~FD,'AD=^Ff

,AEAD

,~DE=~DF-

又:ZA=ZEDF=45°,

???△AEDFDEF,

.NAED=ZDEF.

??點(diǎn)D到AC和EF的距離相等,

???AC與。。相切,

、?點(diǎn)D到EF的距離等于。Q的半徑.

.??所與。。相切,

即以?!睘榘霃降膱A與反相切.

c

4.如圖①,已知RtAABC中,ZC=90°,AC=8cm,8C=6cm點(diǎn)。由3

出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)。由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C

勻速運(yùn)動(dòng),它們的速度均為2cm/s以AQ、PQ為邊作口AQPD,連接DQ,交

AB于點(diǎn)E.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為《單位:5)(0</<4).解答下列問(wèn)題:

圖①

⑴用含有t的代數(shù)式表示AE=

⑵如圖②,當(dāng)/為何值時(shí),口AQPD為菱形;

(3)求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,°AQPD面積的最大值.

[解法提示]?「AC=8,

BC=6,ZC=90°

.,^=^62+82=10

AB-BP10-2t

.'.AE=2=~"2=5-t.

解:(1)5-t;

(2)當(dāng)DQLA尸時(shí),QAQ尸。是菱形,

易證△AEQSZ\AGB,

B

第4題解圖

.隹_煦an-

,AC~ABf即8-10,

25

解得t=15,

當(dāng),二f|時(shí),平行四邊形AQPQ是菱形;

⑶設(shè)平行四邊形AQPO面積為5,如解圖,過(guò)點(diǎn)P作PHLAC,

易證△AZ/Ps/^ACB,

APPHnn10-2rPH

,AB=~BC,即10二丁

6

A19

;.S=AQPH=2t(-7f+6)=--^t2+12r(0<x<4),

I?5

???一餐o;...該函數(shù)在押取得最大值,

又,.,0<|<4,.?.當(dāng)7=3時(shí),S有最大值,最大值為15cm2.

5.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為36cm,點(diǎn)。以6cm/s的速度從點(diǎn)B沿射

線BC方向運(yùn)動(dòng),射線4。交直線DC于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

第5題圖

(1)當(dāng),=9時(shí),DE的長(zhǎng)為cm;

⑵設(shè)DE=y,求),關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)在線段B0上取點(diǎn)G,使得OC:OG=4:5.當(dāng)以0C為半徑的。。與直

線AG相切時(shí),求,的值.

5.解:(1)24;

第5題解圖①

【解法提示】如解圖①,當(dāng)/=9時(shí),0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到DC右側(cè),則OC=6x9-

36=18,

AACOCE

':BC\\AD,.,.ACOE^ADAE,■■U-7/T\7=7UTtLF.

1836-%

設(shè)DE長(zhǎng)為%,則石=--一,解得x=24./.DE長(zhǎng)為24cm..

(2)由正方形4BCO得:N8=NO=90。,AB//DC,

由題意得:BO-6t,

丁ABWCD,

NBAO=/AED,

ABBO

,ED=DA,

366t曰216

.?亍二%,整理得”不,

即y關(guān)于%的函數(shù)關(guān)系式為:y=平0>0);

(3)設(shè)oc=4%,貝(JOG=5%,

(i)如解圖②,當(dāng)點(diǎn)。在BC邊上,。。切AG于點(diǎn)尸,OP=OC=4x,

??在△OGP中,NO尸G=90。,

:.GP=yJoG2-OP?=4(5%)2_(4%)2=3%,

==

tanZOGP=GPQ3-xQ3>

「4

tanZAGfi=

tan/AGB=4^=^7;=解得:BG=27,

在ZkAfiG中,ZB=90°,T,

nOJDU3

3c=27+5%+4%=36,解得:X=1,

BO27+516

“6-6-3(s);

KDn

B喉

圖②圖③

第5題解圖

(五)如解圖3,當(dāng)點(diǎn)。在3c的延長(zhǎng)線上時(shí),。。切AG于點(diǎn)P,OP=OC

=4x,

同(i)可得:3G=27,

:.BC=21+5x-4x=36,解彳導(dǎo):x=9,

BO36+4x9

?z=T=一^二立

綜上:當(dāng)以O(shè)C為半徑的。O與直線AG相切時(shí),,的值為號(hào)或12.

類(lèi)型二動(dòng)圖問(wèn)題

★1.如圖,是等腰直角三角形,ZACB=90°,AB=4cm,點(diǎn)。是

A3的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P、。同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)(點(diǎn)P、。不與點(diǎn)。重合),點(diǎn)。沿。一A

以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)。沿DTB—D以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng),回到

點(diǎn)D停止.以PQ為邊在AB上方作正方形PQMN,設(shè)正方形PQMN與△ABC

重疊部分的面積為S(cm2),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為z(s).

⑴當(dāng)點(diǎn)N在邊AC上時(shí),求1的值;

(2)用含t的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng);

(3)當(dāng)點(diǎn)Q沿D—B運(yùn)動(dòng),正方形PQMN與AABC重疊部分圖形是五邊形時(shí),

求S與,之間的函數(shù)關(guān)系式;

解:(1)如解圖①所示:

第1題解圖①

???A3=4,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),

.'.AD=BD=;AB=2,

???四邊形尸QMN是正方形,

:.PN=MN=MQ=PQ=33ZAPN=ZQPN=ZPQM=ZNMQ=/MNP

=90°,

?「△ABC是等腰直角三角形,

.?.Z/4=ZB=45°,

:.AANP=NA=45。,

:.AP=PN,

.,.2-t=3t,

1

?■?z=2;

(2)①當(dāng)0(合1時(shí),PQ=3Z;

②當(dāng)l</<2時(shí),BQ=2t-2,

:.DQ=2-(2r-2)=4-2t,

:.PQ=PD+DQ=4-t;

(3)①當(dāng)|<£;時(shí),如解圖②所示:

c

/N\F

A//PDQB

第1題解圖②

QF=BQ=2-23ME=MF=3t-(2-2t)=5t-2,

.1.S=(3r)2-1(5r-2)2=-夕+101-2;

?:AC=BC=^AB=2y[2,

.?.S=;x(2的2gx(2-t)2-;x(2-=-|z2+6t;

★2.兩個(gè)三角板ABC,DEF,按如圖所示的位置擺放,點(diǎn)B與點(diǎn)。重合,

邊A3與邊?!暝谕粭l直線上(假設(shè)圖形中所有的點(diǎn),線都在同一平面內(nèi)).其

中,NC=ZDEF=90°,ZABC=N尸=30。,4C=QE=6cm.現(xiàn)固定三角板QER

將三角板ABC沿射線DE方向平移,當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)三角

板平移的距離為了(cm),兩個(gè)三角板重疊部分的面積為

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