安徽省馬鞍山市當涂第一中學2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁當涂一中2022-2023年度第二學期高一期中測試數(shù)學試題（時間：120分鐘滿分：150分）一、單選題（12小題，每小題5分；每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知，其中為虛數(shù)單位，則（）A.5 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)的除法運算，化簡求復數(shù)的代數(shù)形式，再利用復數(shù)模的計算公式，即可求解．【詳解】由復數(shù)滿足，則，則，故選：B．2.已知單位向量、滿足，則（）A.0 B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)單位向量長度為1，結(jié)合，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因為單位向量、滿足，所以，，所以，故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)量積的定義求數(shù)量積，屬簡單題.3.已知向量，，且與的夾角為，則的值為（）A. B.2C. D.1【答案】D【解析】【分析】由向量夾角的坐標表示得到方程，解得即可；【詳解】解：由向量夾角的坐標表示得：，解得：；故選：D．4.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合二倍角公式、誘導公式，由即可轉(zhuǎn)化求值【詳解】．故選：A5.在中，角的對邊分別為，且，，，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理可構(gòu)造方程直接求得結(jié)果.【詳解】在中，由余弦定理得：，即，解得：或（舍），.故選：B.6.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，則結(jié)合的值，下列解三角形有兩解的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得，，所以，因為三角形有兩解，所以，且，因此由選項知，只有符合.故選：B7.把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，所得圖像關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出平移后解析式，根據(jù)關(guān)于軸對稱由出的最小值.【詳解】函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，所得函數(shù)解析式，其圖象關(guān)于軸對稱，則，即，因為，所以當時的最小值是.故選：C8.奇函數(shù)在區(qū)間上恰有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性求出，從而，根據(jù)得到，列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，即，當時，則，所以，解得：.故選：B二、多選題（4小題，每小題5分；每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.）9.已知，則（）A. B.C.∥ D.⊥【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)兩個平面向量的坐標，算出模和的坐標，再通過向量平行的坐標運算和向量數(shù)量積的坐標運算即可判斷是否平行和垂直.【詳解】對于A，，所以正確；對于B，，所以正確；對于，由于，所以∥，所以正確；對于，由于，所以與不垂直，所以不正確．故選：．10.設(shè)復數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確為（）A.是純虛數(shù) B.對應點位于第二象限C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的概念判斷A；算出判斷B；算出判斷C；求出判斷D.【詳解】對于A：，其實部為零，虛部不為零，是純虛數(shù)，A正確；對于B：，其在復平面上對應的點為，在第四象限，B錯誤；對于C：，則，C錯誤；對于D：，則，D正確.故選：AD.11.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.是函數(shù)的周期B.C.為了得到的圖象，只需將的圖象向左平移個單位長度D.為了得到的圖象，只需將的圖象向左平移個單位長度【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)可得最小正周期，再求得，代入分析可得，可判斷AB，再結(jié)合三角函數(shù)圖象變化的性質(zhì)判斷CD即可.【詳解】對A，由圖可知，，最小正周期T滿足，所以，所以是函數(shù)的周期，故正確；對B，，即，將代入可得，得，又，所以，故B正確；對C，由上述結(jié)論可知，為了得到，應將函數(shù)向左平移個單位長度.故C錯誤，D正確.故選：ABD.12.在中，分別是邊中點，下列說法正確的是（）A.B.C.若，則是在的投影向量D.若點是線段上的動點（不與重合），且，則的最大值為【答案】BD【解析】【分析】對選項A，B，利用平面向量加減法即可判斷A錯誤，B正確.對選項C，首先根據(jù)已知得到為的平分線，即，再利用平面向量的投影概念即可判斷C錯誤.對選項D，首先根據(jù)三點共線，設(shè)，，再根據(jù)已知得到，從而得到，即可判斷選項D正確.【詳解】如圖所示：對選項A，，故A錯誤.對選項B，，故B正確.對選項C，，，分別表示平行于，，的單位向量，由平面向量加法可知：為的平分線表示的向量.因為，所以為的平分線，又因為為的中線，所以，如圖所示：在的投影為，所以是在的投影向量，故選項C錯誤.對選項D，如圖所示：因在上，即三點共線，設(shè)，.又因為，所以.因為，則，.令，當時，取得最大值為.故選項D正確.故選：BD.三、填空題（4小題，每小題5分）13.在中，，則的形狀為__________.【答案】直角三角形【解析】【詳解】試題分析：因為，所以由余弦定理得，整理得，是直角三角形.考點：正弦定理、余弦定理的應用.14.如圖，在中，為線段上一點，若，，且與的夾角為，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由，將數(shù)量積的運算轉(zhuǎn)化為基底向量運算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以即.故答案為：.15.已知，，，，則______.【答案】##【解析】【分析】求出，再由求得的值.【詳解】因為，，所以，所以，所以，因為，所以.故答案為：16.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)區(qū)間的長度不大于半周期求出，再根據(jù)的范圍確定所滿足的范圍，得到答案.【詳解】由題意有,可得,又由，在上為減函數(shù)，故必有,可得.故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題（6題，共70分；請書寫必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知是虛數(shù)單位，復數(shù).（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的類型列出相應的不等式組，即可求得答案；（2）根據(jù)復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，列出相應的不等式組，求得答案.【小問1詳解】因為復數(shù)是純虛數(shù)，故，解得；【小問2詳解】由于復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，故，解得，即的取值范圍是.18.已知是第四象限角．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再結(jié)合誘導公式，化弦為切，代入求值即可；（2）變形得到，求出的值.【小問1詳解】∵是第四象限角，，所以，∴，∴．【小問2詳解】∵，∴，∴或．19.已知平面向量，，，，，且A，C，D三點共線.（1）求的坐標；（2）已知，若A，B，D，E四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點E的坐標.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得與可以作為平面內(nèi)的一組基底，表示出，再根據(jù)，，三點共線，即可求出，從而求出的坐標；（2）首先求出、A的坐標，設(shè)，根據(jù)得到方程組，解得即可；【小問1詳解】解：因為，，所以與不共線，即與可以作為平面內(nèi)的一組基底，因為，所以，又，因為，，三點共線，所以，解得.所以.【小問2詳解】解：由（1）知，又因為，則有，因為，所以，因為A，B，D，E四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，所以.設(shè)，則，因為，所以解得，即點E的坐標為.20.已知在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求；（2）若的面積為1，且求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由及正弦定理得，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得；（2）由面積為1求得，根據(jù)余弦定理及其變形求得，從而求得周長.【小問1詳解】由及正弦定理得，整理得，因為，，所以，∴，，因為在銳角中，所以【小問2詳解】由的面積為1，得，所以，在銳角中，由，得，由余弦定理得，所以，，所以，即的周長為21.已知函數(shù)，0?ω?4，且．（1）求ω的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間的最小值和最大值．【答案】（1），，（2）最小值－1；最大值2．【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化簡可得，再由可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得答案；（2）根據(jù)的范圍和正弦函數(shù)值域可得答案．【小問1詳解】，由知，則，或，，所以，或，，又，則，所以，令，，則，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)為，；【小問2詳解】由（1）知，，則，當，即時，函數(shù)有最小值－1；當，即時，函數(shù)有最大值2．22.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值及相應自變量的取值；（2）如圖四邊形中，，，，，，求的最小值.【答案】（1）當，時，最大值為1；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題