高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練36 立體幾何中的向量方法（含解析）新人教A版-新人教A版高三數(shù)學(xué)試題

考點(diǎn)規(guī)范練36立體幾何中的向量方法一、基礎(chǔ)鞏固1.直線l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量為n=(2,x2+x,-x),若直線l∥平面α,則x的值為()A.-2 B.-2 C.2 D.±22.已知平面α的一個(gè)法向量為n=(1,-3,0),則y軸與平面α所成的角的大小為()A.π6 B.π3 C.π4 3.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A.(1,1,1) B.2C.22,224.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,點(diǎn)M在AC1上,且AM=12MC1,N為B1B的中點(diǎn),則A.216a B.66a C.156a D5.如圖,過正方形ABCD的頂點(diǎn)A,作PA⊥平面ABCD.若PA=BA,則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30° B.45°C.60° D.90°6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為()A.22 B.155 C.64 7.如圖,在正四棱錐S-ABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角為.

8.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn),且AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).對于結(jié)論:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面ABCD的法向量;④AP∥BD.其中正確的是9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為正三角形,底面ABCD為正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足MP=MC,則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為.(填序號)

10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求證:PD⊥平面PAB.(2)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM∥平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,說明理由11.如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點(diǎn)(1)證明:直線CE∥平面PAB;(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦值.二、能力提升12.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則(A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面13.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上,直線OP與平面A1BD所成的角為α,則sinα的取值范圍是()A.3B.6C.6D.214.如圖,等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角C-AB-D的余弦值為33,M,N分別是AC,BC的中點(diǎn),則EM,AN所成角的余弦值等于.15.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.(1)求證:MN∥平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為721,求線段AH的長三、高考預(yù)測16.如圖,在四棱錐A-EFCB中,△AEF為等邊三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O為EF的中點(diǎn).(1)求證:AO⊥BE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE⊥平面AOC,求a的值.

考點(diǎn)規(guī)范練36立體幾何中的向量方法1.D解析當(dāng)線面平行時(shí),直線的方向向量垂直于平面的法向量,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±2.2.B解析可知y軸的方向向量為m=(0,1,0),設(shè)y軸與平面α所成的角為θ,則sinθ=|cos<m,n>|.∵cos<m,n>=m·n|∴sinθ=32,∴θ=π3.C解析設(shè)M(x,x,1).由已知得A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),則AM=(x-2,x-2,1),BD=(2,-2,0),BE=(0,-2設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為n=(a,b,c),則n解得a令b=1,則n=(1,1,2).又AM∥平面BDE,所以n·AM=0,即2(x-2)+2=0,得x=22所以M224.A解析以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,設(shè)M(x,y,z),∵點(diǎn)M在AC1上,且AM=∴(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z)∴x=23a,y=a3,z=a3,得∴|MN|=a=216a5.B解析(方法一)建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系,不難求出平面APB與平面PCD的法向量分別為n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為n1·圖①圖②(方法二)將其補(bǔ)成正方體.如圖②,不難發(fā)現(xiàn)平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角,其大小為45°.6.C解析取B1C1的中點(diǎn)D1,以A1為原點(diǎn),A1D1,A1A所在直線為x軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則C1(3,1,0),A(0,0,2),AC1=(3,1,-2),平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n=所以AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為|A7.30°解析如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P0,-則CA=(2a,0,0),AP=-a,-a2,設(shè)平面PAC的法向量為n,可求得n=(0,1,1),則cos<CB,n>=CB·∴<CB,n>=60°,∴直線BC與平面PAC所成的角為90°-60°=30°.8.①②③解析因?yàn)锳B·AP=0,AD·AP=0,所以AB⊥AP,AD⊥AP又AB與所以AP是平面ABCD的法向量,則③正確.因?yàn)锽D=AD?AB=(2,3,4),AP=(所以BD與AP不平行,故④9.①解析以D為原點(diǎn),DA,DC所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)M(x,y,0),設(shè)正方形邊長為a,則Pa2,0,3則MC=x2MP=x-由MP=MC,得x=2y,所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線y=12x的一部分10.(1)證明因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,AB?平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD,PA∩AB=A,所以PD⊥平面PAB.(2)解存在.取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO.因?yàn)镻A=PD,所以PO⊥AD.又因?yàn)镻O?平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)镃O?平面ABCD,所以PO⊥CO.因?yàn)锳C=CD,所以CO⊥AD.故PO,CO,OA兩兩垂直.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).AP=(0,-1,1),DC=(2,1,0),DP=(0,1,1).設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量n=(x,y,z),則DC令x=1,得y=-2,z=2.所以平面PCD的一個(gè)法向量n=(1,-2,2).設(shè)M是棱PA上一點(diǎn),則存在λ∈[0,1],使得AM=λAP,因此點(diǎn)M(0,1-λ,λ),BM=(-1,-λ,λ).因?yàn)锽M?平面PCD,所以要使BM∥平面PCD,當(dāng)且僅當(dāng)BM·n=0,即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0,所以-1+4λ=0,解得λ=14.所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM∥平面PCD,此時(shí)AM11.(1)證明取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EF∥AD,EF=12AD由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,又BC=12AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE∥平面PAB.(2)解由已知得BA⊥AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的方向?yàn)閤軸正方向,|AB|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,-3),AB=(1,0,0).設(shè)M(x,y,z)(0<x<1),則BM=(x-1,y,z),PM=(x,y-1,z-3).因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos<BM,n>|=sin45°,|z即(x-1)2+y2-z2=0.①又M在棱PC上,設(shè)PM=λPC,則x=λ,y=1,z=3?3λ.由①②解得x=1+2所以M1-22設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則m即(所以可取m=(0,-6,2).于是cos<m,n>=m·因此二面角M-AB-D的余弦值為10512.B解析以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)正方體棱長為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),A1D=(-1,0,EF=-13BD1,A1D·EF=AC·EF=0,從而EF∥BD13.B解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.不妨設(shè)DC=DA=DD1=1,則D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O12,12,0,并設(shè)點(diǎn)P則OP=-12,12,t,A1設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x0,y0,z0),則有n取x0=1,y0=-1,z0=-1,∴n=(1,-1,-1).∴sinα=|cos<OP,n>|=|-1-t∴sin2α=t2+2t+1令f(t)=t2+2t則f'(t)=2t2+可知當(dāng)t∈0,12時(shí),f'(t當(dāng)t∈12,1時(shí),f'(又f(0)=23,f12=1,f(1)=∴f(t)max=f12=f(t)min=f(0)=23∴sinα的最大值為1,最小值為63∴sinα的取值范圍為6314.16解析過C點(diǎn)作CO⊥平面ABDE,垂足為O,取AB中點(diǎn)F,連接CF,OF,則∠CFO為二面角C-AB-D設(shè)AB=1,則CF=32,OF=CF·cos∠CFO=12,OC=則O為正方形ABDE的中心,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則E0,-22,A22,0,EM=cos<EM,AN>=15.解如圖,以A為原點(diǎn),分別以AB,AC,AP方向?yàn)閤軸、y依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)證明:DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2),設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則n不妨設(shè)z=1,可得n=(1,0,1).又MN=(1,2,-1),可得MN·n=0.因?yàn)镸N?平面BDE,所以MN∥平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)n2=(x,y,z)為平面EMN的法向量,則n因?yàn)镋M=(0,-2,-1),MN=(1,2,-1),所以-不妨設(shè)y=1,可得n2=(-4,1,-2).因此有cos<n1,n2>=n1·n于是sin<n1,n2>=10521所以,二面角C-EM-N的正弦值為10521(3)依題意,設(shè)AH=h(0≤h≤4),則H(0,0,h),進(jìn)而可得NH=(-1,-2,h),BE=(-2,2,2).由已知,得|cos<NH,BE>|=整理得10h2-21h+8=0,解得h=85或h=1所以,線段AH的長為8516.(1)證明因?yàn)椤鰽EF是等邊三角形,O為EF的中點(diǎn),所以AO⊥EF.又因?yàn)槠矫鍭EF⊥平面EFCB,AO?平面AEF,所以AO⊥平面EFCB,所以AO⊥BE.(2)解取BC中點(diǎn)G,連接OG.由題設(shè)知EFCB是等腰梯形,所以O(shè)G⊥EF.由(1)知AO⊥平面EFCB,又OG?平面EFCB,所以O(shè)A⊥OG.如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則E(a,0,0),A(