理科數(shù)學(xué)2021年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷（新課標(biāo)Ⅱ卷）02（全解全析）

2021年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測卷(新課標(biāo)n卷)02

理科數(shù)學(xué)?全解全析

123456789101112

BABCBCADACDB

1.已知集合(7={x|y=k)g2(x+2)},A={X|(X-1)(X-Q)<0},若CuA=[L+oo),則實(shí)數(shù)()。

A、-4

B、-2

C、0

D、2

【答案】B

【解析】VU={x|j=log2(x+2)}={x|x>-2),又C"=[l,+8),AA=(-2,1),

又A={X|(X-1)(X—Q)<0},?二一2、1是方程(X—1)(X—Q)vO的兩個(gè)根，,。=一2,故選B0

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足I(3+2i)=-嚴(yán)"，則復(fù)數(shù)z=()。

-2+3Z

A、

13

2+3Z

B、

13

3-2/

C、

13

3+2i

D、

13

【答案】A

；2O21

-/(3-2z)-3/+2Z2-2-3i普，故選。

【解析】z=A

3+2i-(3+2i)(3-2i)1313

3.某裝修公司為了解客戶對(duì)照明系統(tǒng)的需求，對(duì)照明系統(tǒng)的兩種設(shè)計(jì)方明系統(tǒng)評(píng)分面達(dá)圖案在穩(wěn)固性、創(chuàng)

新性、外觀造型、做工用料以及成本五個(gè)方面的滿意度評(píng)分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制出如圖所示的雷

達(dá)圖，則下列說法正確的是()。

A、客戶對(duì)兩種設(shè)計(jì)方案在外觀造型上沒有分歧

B、客戶對(duì)設(shè)計(jì)一的滿意度的總得分高于設(shè)計(jì)二的滿意度的總得分

C、客戶對(duì)設(shè)計(jì)二在創(chuàng)新性方面的滿意度高于設(shè)計(jì)一在創(chuàng)新性方面的滿意度

D、客戶對(duì)兩種設(shè)計(jì)方案在穩(wěn)固性和做工用料方面的滿意度相同

【答案】B

【解析】根據(jù)雷達(dá)圖可列表如下:

評(píng)分類別穩(wěn)固性創(chuàng)新性外觀造型做工用料成本

設(shè)計(jì)一得分8分8分8分10分10分

設(shè)計(jì)二得分8分8分10分8分9分

根據(jù)表格分析可得A、C、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確，故選B。

4.二次函數(shù)"依2+法+c（a/o）的圖像如圖所示，則正比例函與反比例函數(shù)y=a~b+c在

同一坐標(biāo)系中的大致圖像是（）。

【解析】由二次函數(shù)圖像可知。＞0、c＞0,由對(duì)稱軸》=心＞0,可知力＜0,

故a-6+c>0,

2a

當(dāng)x=l時(shí)，a+b+c<01BPb+c<0<

二正比例函數(shù)y=S+c）x的圖像經(jīng)過二、四象限,

反比例函數(shù)y="一1+］的圖像經(jīng)過一、三象限，

x

故選C。

5.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相

等，相傳這個(gè)圖形是阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)?，F(xiàn)有一底面半徑與高的比值為4的圓柱，則該圓柱的表

2

面積與其內(nèi)切球的表面積之比為（）。

A、4:3

B、3:2

C、2:1

D、8:3

【答案】B

【解析】設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則圓柱的面半徑為R，高為2R,

故圓柱的衣面積5|=2兀/?2+2兀/?-27?=6兀/?2,內(nèi)切球的表面積52=4兀產(chǎn)，

該圓柱的表面積與其內(nèi)切球的表面積之比為圖■=9咚=3,故選B。

_1

6.如圖的程序框圖，若輸入Q=log23，Z?=log,3,c=312

2

A、?og32

B、log23

、

C10gl3

2

1

D、3萬

【答案】C

【解析】此程序圖的功能是輸出的a、b、。中的最小數(shù),

又a=log23>log22=1、Z?=logj3<h=logi1=0>0<c=3^<3°=1,

22

：.a>c>b,輸出的值為8=log]3,故選C。

2

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()。

A、2

B、4

正視圖仰視圖

16

C、

T

22

D、

y俯視圖

【答案】A

【解析】根據(jù)幾何體的三祝圖可知，還原到正方體如圖,

該幾何體是底面為直角形(上底是卜底是2,高是2),

高為2的四棱推P—ABCO,

,該幾何體的體積V=LX,X(1+2)X2X2=2,故選A。

32

8.已知函數(shù)/(x)=sincox-百COSCOX(CD>0),若集合｛XG(0,兀)|/(3)=-1｝含有4個(gè)元素，則實(shí)數(shù)①的取

值范圍是()。

A、[粉

(―21

B、

2’2

25

C、

26

【答案】D

【解析】/(x)=2sin(cox--),V2sin((ox--)=-1,sin(cox--)=——，

3332

JTTTIT/JT

解得：cox——=——+2質(zhì)或cox——=——+2kn(kwZ),

3636

.7i2kjiq3兀2kli,,)

??x=---1----或x-----1----(k￡Z),

6coCD2coco

設(shè)直線y=-1與y=/3)在(0,+oo)上從左到右的第四個(gè)交點(diǎn)為A,第五個(gè)交點(diǎn)為B，

則4畸+于此時(shí)…喘+乎此時(shí)

由于方程/（幻=-1在（0,兀）上有且只有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則4<兀4/,

p1.3冗2冗7t4兀&ZJ4F1725i1一

即---1---<TI<——+——，解得一V（D<一，故選D。

2coco6coco26

9.半徑為2的圓。上有三點(diǎn)A、B、C滿足加+詬+41=6,點(diǎn)P是圓內(nèi)一點(diǎn)，則兩為+而?記的

取值范圍為（）。

A、HM4）

B、［0,4）

C、［4,14］

D、［4,16］

【答案】A

【解析】如圖，與交于點(diǎn)。，由次+M+=6得：

四邊形084c是菱形，且。4=。8=2,則AO=OD=1,BD=DC=K,

由圖知麗=麗+麗，正=方+反，而麗=-灰，

PBPC=PD-DB=|PD|2-|。8|2=|PD\2一3,

同理詼=麗+而，麗=麗+而，而萬^=一麗，

APAPO=PD-DO”。|2-lOOkpof—]

：.PAPO+PBPC^2\PD\1-4,

?.?點(diǎn)P是圓內(nèi)一點(diǎn)，5!ijO<|PDl<3,：.-4<PAPO+PBPC<\4,故選A。

10.南宋楊輝在他1261年所著的《詳解九章算術(shù)》一書中記錄了一種三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”

圖，即現(xiàn)在著名的“楊輝三角下圖是一種變異的楊輝三角，它是將數(shù)列｛4｝各項(xiàng)按照上小下大，左小右

大的原則寫成的，其中｛%｝是集合｛2*+2'|04s<r,且s、reZ）中所有的數(shù)從小到大排列的數(shù)列，4=3、

a2=5>%=6、。4=9、％=1°…下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()。

3

A、第四行的數(shù)是17、18、20、245,

Ra—910

°、an(n+\)一〉乙

2...................................

C、%(〃一1).=21+1

-2~

D、^]()0—16640

【答案】C

【解析】A選項(xiàng)，用(s,，)來表示每一項(xiàng)，則第一行:3(0,1),第二行：5(0,2)、6(1,2),

第三行：9(0,3)、10(1,3)、12(2,3),

第四行：17(0,4)、18(1,4)>20(2,4)、24(3,4),對(duì)，

B選項(xiàng),冊(cè)(〃+1)表示第〃項(xiàng)第〃列，則%5旬=2*2〃=3.2"T,對(duì),

C選項(xiàng)，*(.幻表示第〃項(xiàng)第1項(xiàng)，則%("T)+=2°+2"=1+2",錯(cuò)，

D選項(xiàng)，am第14行第9項(xiàng)，《00=28+214=16640,對(duì)，

故選C。

11.己知函數(shù)=+"+。在玉處取得極大值，在X2處取得極小值，且滿足為€(-1,0),

X,e(0,1),則“+20+4的取值范圍是()。

a+2

A、[0,3]

B、(0,3)

C、[1,3]

D、(1,3)

【答案】D

V/(x)=-^x3+/?x+c,f'(x)=x2+ax+b,

?.?函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)取得極大值，在區(qū)間(0,1)內(nèi)取得極小值，

/(幻=/+辦+匕=0在(-i,o)和(0,1)內(nèi)各有一個(gè)根，/,(0)<0,,f(-i)>o,,r(i)>o,

b<0

即11-4+6>0,在坐標(biāo)系中畫出其表示的區(qū)域，竺竺±±=l+2x"1,

,。+2。+2

\+a+b>0

令吁筌，其幾何意義為區(qū)域中任意一點(diǎn)與點(diǎn)(-2,7)連線的斜率,

分析可得0<史工<1,則1<"+2"+4<3,...竺竺主±的取值范圍是(1,3),故選D。

。+2a+2。+2

22

12.已知雙曲線C：^--p-=l(fl>0,匕>0)的左、右焦點(diǎn)分別為《、鳥，過外的直線與雙曲線C的

右支交于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=|MF||,則雙曲線C的離心率的取值范圍是()。

A、Q乖)

B、(1,75)

C、(1,3)

D、(V5.3)

【答案】B

【解析】如圖，由雙曲線的定義知|嗎I—|g|=2。，

,?\MN\=\MF]\,：.\MN\-\MF2\=2a,BP|NF2\=2a,

ifn\NFi\-\NF2\=2a,：.\NFt\=4a,

在AN。巴中，|與外|=2a,設(shè)/耳”=0,

TT

由于則0<0<],

由余弦定理得：(2c)2=(4a)2+(24)2-2x4“x2a?cos0,

即(與2=5-4cos。,VO<cos0<l,Al<(-)2<5,即故選B。

aa

13.對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有d=即+q-(x-2)+a2,(x-2)2+%.(x-2)3,則/=。

【答案】6

【解析1=<2Q+<?!,(x—2)+%—2)~+的,(x—2)3,

而x3=[(X-2)+2]3=C；?(x_2)°23+C；?(x_2)122+《?(x_2)221+C；?(x_2)32°,

乂X)=劭+q?(X—2)+O-)?(x-2)?+113,(x—2)3,

由對(duì)應(yīng)相等得：a2=c；2'=3x2=6

14.隨著電商的興起，物流快遞的工作越來越重要了，早在周代，我國便已出現(xiàn)快遞制度，據(jù)《周禮?秋官》

記載，周王朝的官職中設(shè)置了主管郵驛，物流的官員“行夫”，其職責(zé)要求是“雖道有難，而不時(shí)必達(dá)”?，F(xiàn)某

機(jī)構(gòu)對(duì)國內(nèi)排名前五的5家快遞公司的某項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行了3輪測試(每輪測試的客觀條件視為相同)，每輪測試

結(jié)束后都要根據(jù)該輪測試的成績對(duì)這5家快遞公司進(jìn)行排名，那么跟測試之前的排名比較，這3輪測試中恰

好有2輪測試結(jié)果都出現(xiàn)2家公司排名不變的概率為。

【答案】—

72

c2X?701

【解析】每輪測試中有2家公司排名不變的概率為士?=義==，

另1206

因而3輪測試中恰好有2輪測試結(jié)果都出現(xiàn)2家公司排名不變的概率為C；x（：）2x，=^。

15.已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,a?=log?（n+l）（n>2,neN+）?定義：使乘積.以為正整數(shù)的

左（公以）叫做“幸運(yùn)數(shù)”，則在［1,2021］內(nèi)的所有“幸運(yùn)數(shù)”的和為。（用數(shù)字作答）

【答案】2036

【解析】：/=log”(〃+1)=旦”?,

1g〃

陵+1)

4=10g2(Z+l),

Igklg2

為使Iog2（%+1）為正整數(shù)，即滿足2"=%+1,則％=2"-1,

則在［1,2021］內(nèi)的所有“幸運(yùn)數(shù)”的和為：

2|-1+22-1+---+210-1=2(1-2^10=1023x2-10=2036。

1-2

16.如圖，圓形紙片的圓心為0,半徑為4c、m,該紙片上的正方形438的中心為0,E、F、G、H為

圓O上的點(diǎn)，MBE.MCF、kCDG、AZM”分別是以AB、BC、CD、D4為底邊的等腰三角形，沿

虛線剪開后，分別以AB、BC、CD、04為折痕折起A4BE、MCF、ACDG.AZMH,使得E、F、

G、”重合，得到一個(gè)四棱錐，當(dāng)正方形A8CO的邊長為cm時(shí)，四棱錐體積最大。

【答案】—

5

【解析】連接0G交C。于點(diǎn)M,則OG_LDC,點(diǎn)M為CO的中點(diǎn),

連接OC,AOCM為直角三角形，

設(shè)正方形的邊長為2x,則OM=x,由圓的半徑為4,貝i」MG=4—x,

設(shè)E、F、G、”重合于點(diǎn)尸，PM=MG=4-x>x,則0<x<2,

高PO=J(4r)2-f=J16-8X,V=g(2x)2J16-8x=苧反—丁

設(shè)y=2x4-x5,y'=8x3-5x4=x3(8-5x),

Q

當(dāng)0<x<1時(shí)y'>0,y=2x4-%5單調(diào)遞增，

Q

當(dāng)g<x<2時(shí)y'<（）,y=2x4-x5單調(diào)遞減，

...當(dāng)x=§時(shí)，V取得最大值，此時(shí)2X=3,即答案為更。

555

17.（本小題滿分12分）

在AABC中，角A、8、C所對(duì)的邊分別為。、力、c,已知邊c=2,且〃611124-4?$1113=20也。一〃?sin3。

(1sinC+sin(B-A)=sin2A,求AA3C的面積；

(2)記A3邊的中點(diǎn)為M,求|CM|的最大值，并說明理由。

【解析】(1)在AABC中，A+B+C=TC,*.*c=2,{2sinA-6Z-sinB=2sinC-Z?sinB,

/.asinA—asin8=c?sinC—Osin8,1分

則由正弦定理得：a2-ab^c2-b2,U\ia2+b2-c2^ab,2分

由余弦定理得：cosC=cr+b~~C'=-,則C=工，

3分

2ab23

,/sinC+sin(B—A)=sin2A,

sin(A+B)+sin(B-A)=2sinA-cosA,

/.sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosA,

2cosAsinB=2sinAcosA,

7T

；?cosA=0或sin8=sinA,即A=—或A=3,5分

2

當(dāng)A=時(shí)，B屋,b=一哈2與當(dāng)

.c_1,_12V3O_2A/3

6分

當(dāng)A=JB時(shí)，AABC為正三角形，a=b=c=2,

5M?c=^c-sinA=^x2x2x-y=^3；

7分

(2)；A8邊的中點(diǎn)為M,：.CM^-(CA+CB).

2

A|CM|2=-(|CA|2+|Cfi|2+2|G4|-|CB|)

4

=—(b2+a2+2ab-cosC)=—(tz2+tr+ab),9分

44

由余弦定理可知：c?=/+)2—2。人.cosC,c=2,C=—>a2+b2=ab+4,

3

/.|CM|2=—(2ah+4)=—?Z?+1,XVa2+b2>lab,ab+4>2ab>Aab<4<11分

42

.,.|O7|2<3,.,.|awi<V3,故|CM|的最大值為百。12分

18.(本小題滿分12分)

如圖所示，四棱錐P—A8C￡)中，平面PAD,平面ABC。，PAYPD,PA=PD,ABLAD,AB=1,

AD=2,AC=CD=后°

⑴求證：PD_L平面尸AB；

(2)求直線PB與平面PC。所成角的正弦值;

(3)在棱/>4上是否存在點(diǎn)使得〃平面PC。？若存在，求——的值；若不存在，說明理由。

【解析】⑴證明：???平面平面ABC。，平面/平面ABCQ=A。，AB±AD.

AB_L平面PA。，又；POu平面PAD，；.ABLPD，2分

又P4J_P￡>，赫口%=4,平面AW；3分

(2)解：取AD的中點(diǎn)O,連接尸O、CO,,:PA=PD,：.PO=AD.

,：POu平面PAD.平面PAD,平面ABCD.：.POL平面ABCD,

?；COu平面ABC。，.IPO_LCO，：AC=C。，ACOA.AD,5分

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

由題意可知A(0,l,0)、3(1,1,0)、C(2,0,0)、0(0,-1,0),P(0,0,l),6分

-n-PD=0--=()

設(shè)平面PC。的個(gè)法向量為〃=(x,y,z),則《____.，即4yz,

n-PC=0[2x-z=0

令z=2,則x=l，y=-2,An=(l,-2,2),又麗=(1,1,—1),8分

.「黃、_/麗V3

?*cos<幾PB>=—=；—,i=----,

\n\-\PB\3

Z7

二直線PB與平面PCD所成角的正弦值為—；9分

3

(3)解：設(shè)M是棱P4上一點(diǎn)，則存在九使得赤=九而，.?.點(diǎn)M(0,l—入，入)，1()分

則麗=(-1,-九，X),：平面尸CD，...要使5M〃平面PCD,

則-3---M---*?〃—=(),即(一1,—九，X).(1,-2,2)=0,解得九二三I，II分

4

二在棱PA上存在點(diǎn)M,使得〃平面尸CD,此時(shí)州=1。12分

AP4

19.(本小題滿分12分)

為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有

面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額。

⑴若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元。求：

①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；

②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)商場對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或

標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成。為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的

獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由。

【解析】(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X,1分

11

①依題意，得P(X=60)=SC./C=±1,即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為1已，2分

Cl22

②依題意，得X的所有可能取值為20、60,3分

P(X=6O)=L,P(X=20)=4=1，即X的分布列為

2Cl2

X2060

j_

P

22

顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望為E(X)=20xl+60xl=40(元)，5分

22

(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元，，先尋找期望為60元的可能方案，

對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，

如果選擇(10,10,10,50)的方案，???60元是面值之和的最大值，.?.期望不可能為60元，

如果選擇(10,50,50,50)的方案，：60元是面值之和的最小值，...期望也不可能為60元，

因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案A,設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為y,

則Y的分布列為:

Y2060100

121

P—

636

121

則丫的數(shù)學(xué)期望為七(丫)=20乂一+60乂一+100、一二60(元)，

636

方差為。(y)=(20-60)2x,+(60—60)2x2+(100—60)2=&分

6363

對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理，可排除(20,20,20,40)和(20,40,40,40)的方案,

???可能的方案是(20,20,40,40),記為方案B,設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為Z,

則Z的分布列為：

Z406080

j_2j_

P

636

121

則Z的數(shù)學(xué)期望為￡（Z）=40x—+60x—+80x—=60（元），

636

i2i4（x）

方差為0（Z）=（40—60）2X-+（60-60）2X—+（80-60）2X-=—，11分

6363

由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但方案3獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案A的小，

二應(yīng)該選擇方案12分

20.（本小題滿分12分）

已知圓。：/+y2=4,點(diǎn)尸（0,石），以線段F尸為直徑的圓內(nèi)切于圓O,記點(diǎn)P的軌跡為C。

⑴求曲線C的方程；

⑵若A0i，%）、B{X2,%）為曲線C上的兩點(diǎn)，記，*=（卬￡）、〃=（々,券），且，“！?〃，試問AAOB的面

積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由。

【解析】⑴取F（0,-Q）,連接尸F(xiàn),設(shè)動(dòng)圓的圓心為：兩圓相內(nèi)切，

：.\OM\=2--\PF\,又|OM|=，|PF'|,：.\PF\+\PF'\=4>\FF'\=273,

2分

22

.?.點(diǎn)P的軌是以尸'、F為焦點(diǎn)的橢圓，其中加=4,2c=26，

______2

2

tz=2>C=5/3'。=J。？—/=1,C的軌跡方程為—FX=1;4分

4

(2)當(dāng)A4_Lx軸時(shí)，有否=尤2、由機(jī)JL鹿得I弘1=2|西|,

2/y

又4+=1，，1%1=k、I1=V2,

42

116

?*-5AA(?B=-X|x,1X21Y)|=-X^X2V2=1.6分

當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為>=履+m，

聯(lián)立4,,得：(22+4)/+2%加+加2-4=0,8分

4x2+/=4

1

,1I12kmm-4,ZR.八

貝I」X{+X2=——2~1西?巧=下一~，由機(jī)-L〃得帆?〃=0,即4玉?%2+%?%=0，

4內(nèi)?x2+(kX[+m)?(g+m)=0,

整理得：（爐+4）玉+女機(jī)（玉+工2）+〃產(chǎn)=。，2AH2=+4,10分

21

SMOti=gxIn?IXIX]—々|=gxIIXyl(x}+X2)-4xix2=21m=,

綜上所述，AAO3的面積為定值1。12分

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/。)=。0—1)?，一匕」11X，其中aNl,beR0

(1)當(dāng)無21時(shí)，證明不等式InxWa?(x-1)恒成立；

(2)若？>e(e=2.718…)，證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)。

a

1—nX

【解析】(1)令機(jī)(x)=lnx-Q?(x-l),則加(x)=-------,1分

x

當(dāng)xNl時(shí)，m"(x)<0,二m(x)在［1,+8)上單調(diào)遞減，3分

/.m(x)<m(\)=Ot即不等式lnx〈4?(x-l)恒成立；4分

hn?x~,。八一h

⑵/(X)的定義城為(0,+8),且/'(九)=〃[(1一1)/+/]—,

XX

令g(x)=〃?x?,gXx)=ax(x+2)ex>0,則g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

當(dāng)2>e時(shí)，]n2>1,；?8⑴=ae-〃v0,6分

aa

^(ln—)=tz(ln—)2叱-b=a(ln-)2?--Z?=Z?[(ln—)2-1]>0,7分

aaaaa

故g(x)=0在(0,+oo)上有唯一解，從而尸(x)=0在(0,+8)上有唯一解，

不妨設(shè)為玉,，貝(H<Xo<ln2,

a

當(dāng)xe(0,/)時(shí)，/'1)=更立<區(qū)魚2=0,；./(x)在(0,與)上單調(diào)遞減，

XX

r

當(dāng)X￡(如+8)時(shí)，f(x)=叢。>."))=0Tf(x)在(xo,+co)上單調(diào)遞增，

XX

因此與是/(x)唯一極值點(diǎn)，8分

VO<l<xo,A/(xo)</(l)=O,即/*)在(0,與)上有唯一零點(diǎn)，9分

/(In—)=a?(In----l)-ea-Z?ln(ln—

aaa

=Q?(In—1)-----。?In(In—)=Z?[In—l-ln(ln—)],

aaaaa

VIn->1,由(1)可知In?-l>ln(ln2),/(in-)>0,

aaaa

即/(X)在(如+8)上有唯一零點(diǎn)，II分

綜上，f(x)在(0,+00)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)。12分

22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

X-(1'cost

c.”為參數(shù),a>0)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，無軸正半

{y=2sinto

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線/的極坐標(biāo)方程為p?cos?+二)=-2A/2。

(1)設(shè)尸是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)2當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P到直線/的距離的最大值。

(2)若曲線C上所有的點(diǎn)均在直線/的右下方，求。的取值范圍。

【解析】(1)由p-cos(0+—)=-2>/2得--(p-cos0-p-sinG)=-2V2，即/：x-