清華大學(xué)材料科學(xué)基礎(chǔ)-作業(yè)習(xí)題第二章

第二章目錄

2.1要點(diǎn)掃描.....................................................1

2.1.1點(diǎn)缺陷及其平衡濃度....................................1

2.1.2位錯的基本類型及柏氏矢量..............................6

2.1.3位錯的應(yīng)力場.........................................14

2.1.4位錯的彈性能和線張力.................................16

2.1.5作用在位錯上的力和Peach-Koehler公式.................19

2.1.6位錯間的交互作用.....................................23

2.1.7位錯的起動力——Peirls-NabaiTO力......................30

2.1.8FCC晶體中的位錯.....................................31

2.1.9位錯反應(yīng).............................................37

2.1.10HCP、BCC及其他晶體中的位錯.......................40

2.1.11晶體中的界面與表面..................................42

2.1.12位錯的觀察及位錯理論的應(yīng)用.........................45

2.2難點(diǎn)釋疑...................................................47

2.2.1柏氏矢量的守恒性.....................................47

2.3解題示范...................................................48

2.4習(xí)題訓(xùn)練....................................................53

第二章晶體中的缺陷

2.1要點(diǎn)掃描

2.1.1點(diǎn)缺陷及其平衡濃度

1.點(diǎn)缺陷的類型

在實際情況中，晶體內(nèi)并不是所有原子都嚴(yán)格地按照周期性規(guī)律排列。因

為晶體中總存在?些微笑區(qū)域，這些區(qū)域的原子排列周期收到破壞。這些偏離

原子周期性排列的區(qū)域，都稱為缺陷。

如果在任何方向上缺陷區(qū)的尺寸都遠(yuǎn)小于晶體或晶粒的線度，因而可以忽

略不計，那么這種缺陷就叫做點(diǎn)缺陷。

點(diǎn)缺陷有以下三種基本類型：

①空位

實際晶體中某些晶格結(jié)點(diǎn)的原子脫離原位，形成的空著的結(jié)點(diǎn)位置就

叫做空位，如圖2-1所示?？瘴坏男纬捎谠拥臒嵴駝佑嘘P(guān)。在一定溫度

下，晶體中的原子都是圍繞其平衡位置做熱振動的，由于熱振動的無規(guī)性,

?些原子在某一瞬間獲得足以克服周圍原子束縛的振動能，因而脫離其平

衡位置，在原有位置出現(xiàn)空位。因此，溫度越高，原子脫離平衡位置的幾

率也越大，空位也越多。

②間隙原子

進(jìn)入點(diǎn)陣間隙中的原子稱為間隙原子，如圖2-2所示。間隙原子的形

成使其周圍的原子偏離平衡位置，造成晶格脹大而產(chǎn)生晶格畸變。

圖2-1晶體中的空位

圖2-2晶體中的間隙原子

③置換原子

那些占據(jù)原來基體原子平衡位置上的異類原子稱為置換原子。由于置

換原子的半徑通常與原有基體原子半徑不相同，因此也會造成晶格畸變，

如圖2-3和2-4所示。

圖2-3半徑較小的置換原子圖2-4半徑較大的置換原子

脫離平衡位置的原子如果逃逸到晶體外表面，在原來位置只形成空位，沒

2

有形成間隙原子，這樣的空位缺陷叫做肖脫基缺陷(Schottkydefect)。如果脫

離平衡位置的原子進(jìn)入到晶格間隙中，則同時形成了等量的空位和間隙原子，

這樣的缺陷叫做弗蘭克爾缺陷(Frenkeldefece)?

2.熱平衡缺陷

熱力學(xué)分析表明，在高于0K的任何溫度下，晶體最穩(wěn)定的狀態(tài)并不是完

整晶體，而是含有一定濃度的點(diǎn)缺陷狀態(tài)，即在該濃度情況下，自由能最低。

這個濃度就稱為該溫度下晶體「I?點(diǎn)缺陷的平衡濃度。具有平衡濃度的缺陷乂稱

為熱平衡缺陷。

下面針對金屬晶體，分析熱平衡濃度與溫度的關(guān)系。

假設(shè)溫度T和壓強(qiáng)P條件下，從N個原子組成的完整晶體中取走n個原子,

即生成〃個空位。并定義晶體中空位缺陷的平衡濃度為：

Cv=—

N

則有

\G\H-T\SMJ+P\V-T(AS1,泡+\Smix)

其中：AG為引進(jìn)n個空位后晶體的自由能變化

和ZLSvid分別為引進(jìn)n個空位后晶體的熔變和振動燃變

Z15mix為引進(jìn)空位后晶體增加的混合嫡變

△U為空位的生成能

△r為引進(jìn)空位引起的晶體體積變化

因為

N'

\S^k[na)=k\nCl=k\n------------

mmi，xx'加(N—")！

-Nk[ClnC+(l-C)ln(l-C)]

3

所以△G=CNAU+7M[ClnC+(l—C)ln(l-C)]

又因為

G=G0+AG

||=NkU+NkT[lnC+^-ln(l-C)+^]=0

其中：G為含有n個空位晶體的自由能

G。為完整晶體的自由能

C

^U=-kT\n------

1-C

_AC/AU

c=e打=eRT

3.非平衡點(diǎn)缺陷

在點(diǎn)缺陷的平衡濃度下，晶體的自由能最低，也最穩(wěn)定。但是在有些情況

下，晶體中的點(diǎn)缺陷濃度可能高于平衡濃度，這樣的點(diǎn)缺陷稱為過飽和點(diǎn)缺陷，

或非平衡點(diǎn)缺陷。

通常獲得過飽和點(diǎn)缺陷的方法有以下兒種：

①高溫淬火

由熱力學(xué)分析知道，晶體中的空位濃度隨溫度的升高而急劇增加。如果將

晶體加熱到高溫，然后迅速冷卻(淬火)，則高溫時形成的空位來不及擴(kuò)散消失,

使晶體在低溫狀態(tài)仍然保留高溫狀態(tài)的空位濃度，即過飽和空位。

②冷加工

金屬在室溫下進(jìn)行冷加工塑性變形也會產(chǎn)生大量的過飽和空位，其原因是

由于位錯交割所形成的割階發(fā)生攀移。

③輻照

在高能粒子的輻射卜，金屬晶體點(diǎn)陣上的原子可能被擊出，發(fā)生原子離位。

由于離位原子的能量高，在進(jìn)入穩(wěn)定間隙之前還會擊處其他原子，從而形成大

4

量的等量間隙原子和空位（即弗蘭克爾缺陷）。一般情況下，晶體的點(diǎn)缺陷平衡

濃度極低，對金屬的力學(xué)性能影響較小。但是在高能粒子輻照的情況下，由于

形成大量的點(diǎn)缺陷和擠塞子，而會引起金屬顯著硬化和脆化，該現(xiàn)象稱為輻照

硬化。

4.點(diǎn)缺陷的研究方法

點(diǎn)缺陷的形貌可以用電鏡直接觀測。點(diǎn)缺陷的其它性質(zhì)如生成焰、生成嫡、

擴(kuò)散激活能（或遷移率）、以及它引起的晶體體積變化等，都可以通過各種物理

實驗測定。

常見的實驗有：比熱容實驗；熱膨脹實驗；淬火實驗；淬火一退火實驗：

正電子湮沒實驗等。

下面介紹通過淬火實驗求得空位生成焰AU的方法：

首先在很低的溫度痣下測定晶體的電阻率00,然后將晶體加熱至高溫

Tq，保溫足夠長時間后急冷至低溫"，再在"下測定晶體的電阻率于是

根據(jù)兩次測量的電阻率差值求出空位生成焰。

2

p=A+BT+CT+Dc

To-~>Ti』^To

測。。測〃

MJ

△P=P\~2。=DG=DeRT'

23券

如圖2-5所示為金絲的“淬入”電阻率與淬火溫度的倒數(shù)一匚的關(guān)系

△Tq

直線，由該直線的斜率求得?94.5kJ/mol1,

5

T/t

圖2-5“淬入”電阻率與淬火溫度的關(guān)系直線

2.1.2位錯的基本類型及柏氏矢量

1.位錯概念的提出

位錯是晶體的線性缺陷（維缺陷）。缺陷區(qū)為細(xì)長的管狀區(qū)域，管內(nèi)的原

子排列混亂，破壞了點(diǎn)陣的周期性。

人們最早提出對位錯的設(shè)想是由于總多實驗當(dāng)中晶體的實際強(qiáng)度遠(yuǎn)低于其

理論強(qiáng)度，因而無法用理想晶體的模型來解釋。1926年，F(xiàn)rankel從剛體滑移

模型出發(fā)，推算了晶體的理論強(qiáng)度。如圖2-6所示，設(shè)作用在滑移面上沿滑移

方向的外加剪切應(yīng)力為丁，滑移面上部晶體相對于卜部晶體發(fā)生位移為心則

從圖中可以看出實現(xiàn)位移x所需的7應(yīng)該是周期函數(shù)，并假設(shè)該周期函數(shù)為：

6

其中％是晶體的理論強(qiáng)度。

對于一段很小的位移(x?a),可以由上式得到:

"%(2―■政)、

a

同時，由虎克定律可得：

Y

T=Gr=G(-)

a

比較兩式得到：

即，晶體的理論強(qiáng)度應(yīng)為0.1G,但實驗測得的實際強(qiáng)度％卻只有IO"4?

10-8G,比理論強(qiáng)度低了至少3個數(shù)量級。

]934年，Taylor、Polanyi和Orowan兒乎同時從晶體學(xué)角度提出位錯概念,

把位錯和晶體塑性變形聯(lián)系起來，開始建立并逐步發(fā)展了位錯理論。但一直到

1950年以后，由于電子顯微鏡實驗技術(shù)的發(fā)展，才證實了位錯的存在及其運(yùn)動。

2.柏氏回路和柏氏矢量

7

柏氏回路是在有缺陷的晶體中圍繞缺陷區(qū)將原子逐個連接而成的封閉回

路。如果在完整的晶體中按照同樣的順序?qū)⒃又饌€連接起來，能夠得到一個

封閉的回路，那么原來柏氏回路包含的就是?個點(diǎn)缺陷。相反，如果在完整晶

體中的對應(yīng)回路不封閉，則原來的柏氏1口1路包含的就是一個位錯，如圖2-9（a）

所示。

應(yīng)注意，柏氏回路不得穿過位錯線，也不能經(jīng)過晶體中的其他缺陷，但是

可以經(jīng)過位錯中心區(qū)以外的彈性變形區(qū)。

對于無法封閉的柏氏回路，為了使其封閉（起點(diǎn)與終點(diǎn)重合），必須增加一

個向量,如圖2-7⑻所示。該向量就稱為柏氏矢量,記做鼠

圖2-7柏氏回路與柏氏矢量的確定

柏氏矢量作為完整晶體中對應(yīng)回路的不封閉段，也可以看作是位錯的滑移

矢量（或位移矢量）。因此，面心立方晶體的b=@<110>,體心立方晶體的

2

/>=—<111>?密排六方晶體的方=@<1120>。

23

同時，柏氏矢量匕也是在有缺陷的晶體中沿柏氏回路晶體的彈性變形（彈

性位移）的疊加。顯而易見，b越大，由于位錯引起的晶體彈性能越高，并且

8

有：位錯彈性能8^。

3.位錯的類型

位錯中心區(qū)內(nèi)的原子排列方式取決于位錯線和滑移方向兩者的相對位向。

根據(jù)相對位向的不同，將位錯分為以卜.三類：

①刃型位錯

力型位錯的位錯線垂直于滑移方向，模型如圖2-8所示，相當(dāng)于在正常排

列的晶體當(dāng)中插入了半個原子面。擁有半原子面的晶體部分，原子間距減小，

品格受到壓應(yīng)力；在缺少半原子面的晶體部分，原子間距增大，晶體收到拉應(yīng)

力。

圖2-8刃型位錯

力型位錯的形成與晶體的局部滑移有關(guān)。如圖2-9所示，晶體在ABCD面

上方的部分在剪切應(yīng)力7?的作用下向左滑移了個原子間距。此時晶體上方的

左半部分未發(fā)生滑移，而右半部分發(fā)生了滑移，滑移區(qū)和未滑移區(qū)的分界線是

EF,位錯線與滑移方向垂直，這種位錯就叫做刃型位錯。

②螺型位錯

如圖2-10所示，晶體右上半部分在外力的作用下發(fā)生局部滑移，滑移面為

ABCD,滑移方向如圖所示。與刃型位錯不同，此時的已滑移區(qū)BCFE和未滑

移區(qū)ADFE的邊界線EF與滑移方向平行。這種和滑移方向平行的位錯就叫做

9

螺型位錯。

圖2-9晶體局部滑移產(chǎn)生刃型位錯

圖2-10晶體局部滑移產(chǎn)生的螺型位錯

③混合位錯

混合位錯的位錯線呈曲線狀，與滑移方向既不垂直也不平行，而是呈任意

角度。因此，混合位錯可以看成是由刃型位錯和螺型位錯混合而成。

對于可滑移的位錯，柏氏矢量》總是平行于滑移方向的。因此，可以用b

來判斷位錯的類型：當(dāng)力垂直于位錯線時，位錯為刃型位錯：當(dāng)b平行于位錯

線時，位錯為螺型位錯；當(dāng)b和位錯線成任意角度時，位錯為混合型位錯。

為表征力型位錯的正、負(fù)，及螺型位錯是左旋還是右旋，需將位錯線/看

10

作矢量/,并規(guī)定：對于刃型位錯，若/X力指向附加的半原子面，則為正刃型

位錯，否則為負(fù)刃型位錯；對于螺型位錯，若柏氏矢量占于位錯線正方向一致,

則為右螺型位錯，否則為負(fù)螺型位錯。

4.位錯的運(yùn)動

①刃型位錯的運(yùn)動

力型位錯的運(yùn)動方式有兩種：滑移和攀移。

?滑移

位錯沿滑移面的運(yùn)動稱為滑移運(yùn)動，如圖2-11所示。位錯的滑移是在切應(yīng)

力的作用下進(jìn)行的，只有當(dāng)滑移面上的切應(yīng)力分量達(dá)到一定值后位錯才能滑移。

當(dāng)位錯掃過整個滑移面時，即位錯線運(yùn)動移出晶體表面時，滑移面兩邊的

晶體將產(chǎn)生一個柏氏矢量寬度（回）的位移。

caxoxgxa

ann9QQQ09X-

1rAAAY

YfAYAAAXo

AfVOTXXVYr

A69XXXAXe

XaiY1AVYYX

TxOATA9X4

9AT9VOOXS

OiCI06A66X

圖2-11刃型位錯的運(yùn)動

?攀移

在高溫卜原子的擴(kuò)散或外加應(yīng)力的作用卜，位錯的半原子面擴(kuò)大或縮小,

導(dǎo)致位錯線沿滑移面法線方向的運(yùn)動叫做攀移。如圖2-12所示。

11

攀移時，位錯的運(yùn)動面就是半原子面，位錯的運(yùn)動方向仍然和位錯線垂直。

當(dāng)位錯掃過包含半原子面的整個晶面時，半原子面兩邊的晶體沿半原子面法線

方向被拉開一段距離b.

②螺型位錯的運(yùn)動

螺型位錯只能滑移，不能攀移。因為位錯的滑移面是位錯線及柏氏矢量所

在的品面，而螺型位錯的位錯線和柏氏矢量平行，說明螺位錯的滑移面不定。

從幾何學(xué)上講，包含位錯線的任何面都可以稱為滑移面，但從晶體學(xué)上講，滑

移面還要受晶體學(xué)條件的限制。

③混合位錯的運(yùn)動

混合位錯也有兩種運(yùn)動方式，即守恒運(yùn)動和非守恒運(yùn)動。守恒運(yùn)動就是位

錯在滑移面上的滑移。非守恒運(yùn)動是位錯線脫離滑移面的運(yùn)動，它不是簡單的

攀移，而是由力型分量的攀移和螺型分量的滑移合成的運(yùn)動。

無論何種混合型位錯，其位錯線的運(yùn)動方向總是和位錯線垂有。位錯打過

整個運(yùn)動面時運(yùn)動面兩邊的晶體的相對位移也總是6。

5.位錯的密度

位錯密度的定義為單位體積的晶體中位錯線的總長度。

假定晶體中所有的位錯線都是巨線，長度都是/,且共有N條位錯線，則

位錯密度為：

12

NlNlNN

其中/，力〃是晶體的尺寸，如圖2-13所示。為垂直于位錯線表

面的面積。

圖2-13假定晶體（位錯線全是直線）中的位錯

位錯密度和晶體的強(qiáng)度是緊密聯(lián)系在一起的。-方面，從晶體理論強(qiáng)度分

析可知，實際晶體中的位錯密度越低，晶體的強(qiáng)度越高。另一方面，實驗發(fā)現(xiàn)

冷加工金屬的強(qiáng)度遠(yuǎn)高于退火金屬，因此又得到位錯密度越高，晶體強(qiáng)度越高.

綜合起來，可以得出位錯密度和晶體強(qiáng)度的關(guān)系曲線，如圖2-14所示。

圖2-14位錯密度和晶體強(qiáng)度的關(guān)系曲線

因此，實際中通常使用兩種方法獲得較高的強(qiáng)度。一是盡量減小位錯密度,

13

例如將晶體拉得很細(xì)（晶須），得到絲狀單晶體，由于直徑很小，因而基本上不

含位錯等缺陷，故強(qiáng)度往往教普通材料高很多；二是盡量增大位錯密度，例如

非晶態(tài)材料，其位錯密度很大，強(qiáng)度也非常高。

2.1.3位錯的應(yīng)力場

1.螺型位錯的應(yīng)力場

建立如圖2-15所示的螺型位錯力學(xué)模型。從該模型可知，形成螺位錯時只

有軸向位移，沒有徑向和切向位移。

圖2-15螺型位錯應(yīng)力場

由于當(dāng)角6由0增至2n時軸向位移由0增至6,故有：

〃=0〃=0u=0=-^―tg~x(―)

xvZco\/

2萬2%x

/=d1u=0￡=d」u、,=0￡=d"u=0

dxdydz

duv

友（=反2）蜜+」=0

dx

14

dudub-y

V7=——Y工4------=--------------------------

dxdz2TT(X2+y2)

du7b?x

心=4+至=獲5

由此可得應(yīng)力為：

ax=ay=<rz=Q

_n_Gby_Gbx

Txy=0Txz=一丁----T)Tz-T—(------f)

2萬x+yv2萬x'+j/

由上面的結(jié)果可知，螺位錯的應(yīng)力場沒有正應(yīng)力分量，且剪應(yīng)力對稱分布,

在包含位錯線的任何晶向平面上剪應(yīng)力都是生，與8角無關(guān)。

2m-

2.刃型位錯的應(yīng)力場

同樣，建立如圖2-16所示的刃型位錯力學(xué)模型。該模型中圓筒的軸線對應(yīng)

刃位錯的位錯線，圓筒的空心部分相當(dāng)于位錯的中心區(qū)。

圖2-16刃型位錯應(yīng)力場

卜.面給出刃位錯的應(yīng)力場公式:

15

Gb心2+*

(y

2^-(1-u)(x2+y2)2

Gbv(x2-r)

(x2+y2)2

(TZ=O(b1.+by)

GbMi-/)

Txy2^-(1-u)(%2+y2)2

-，zy-°

由上面所得結(jié)論可以看出：

①%.與y的符號相反。在滑移面上方，y>0,Q為負(fù)(壓應(yīng)力)；在滑

移面下方,y<0,小為正(拉應(yīng)力)。

GbGb山

②在y=0處有crx=(ry=crz=0,^XV==°

2^-(1-o)x2萬(1一。)尸

以，無論是螺位錯還是刃位錯，作用在滑移面上的沿滑移方向的剪應(yīng)

力T都可以寫成是：

,G

b而"刃型位錯

「"一%='

rG

—螺型位錯

2%

2.1.4位錯的彈性能和線張力

由于位錯附近的原子離開了正常位置，使點(diǎn)陣發(fā)生了畸變，而使晶體增加

的能量稱為畸變能或應(yīng)變能。晶體的總應(yīng)變能記為少儂，它包括兩部分，一是

位錯中心區(qū)由于原子嚴(yán)重錯排引起的畸變能匕。?一是其他區(qū)域由于原子的微

小位移引起的彈性能明氐叱

16

由于位錯在運(yùn)動或與其他缺陷交互作用時，只有彈性能發(fā)生變化，因此，

我們只關(guān)心各類型位錯的彈性能。

1.刃型位錯的彈性能

卜面使用做功法計算刃型位錯的彈性能。

首先構(gòu)造一個刃位錯的圓筒模型，如圖2-17所示。假設(shè)在形成刃位錯過程

中的某一時刻滑移面兩邊的相互位移為b',0<b'<b,此時滑移面上x處產(chǎn)

生的剪應(yīng)力應(yīng)為：

圖2-17刃型位錯的圓筒模型

此后，使滑移面兩邊的晶體相對位移由獷增至b'+db',則此過程中外力

反抗故功為：

dWe=rxy(/dx)db'

對上式枳分可得形成柏氏矢量為b的刃型位錯過程中外力所做的總功，也

既是位錯的彈性能為:

17

唯=fhy(/dx)db，

1Gb'1.

=-------------dxdZ>

Gib2

in(-)=aGb2l

4%(1一乃r0

2.螺型位錯的彈性能

采用與上面完全相同的做功法可以得到螺型位錯的彈性能：

匕=要出（當(dāng)

4乃r0

3.混和位錯的彈性能

混和位錯的彈性能應(yīng)該等于其螺型分量的彈性能和刃型分量的彈性能之

和。因此，對混和位錯做相應(yīng)分解，可以計算出混和位錯的彈性能為：

%誓智+2竽也］Y）

41（1+7）41ro

4.線張力和恢復(fù)力

由位錯的彈性能公式可以看出，位錯的彈性能正比于它的長度，說明晶體

中的位錯都表現(xiàn)出縮短其長度的趨勢。由此引入線張力的概念，即增加單位長

度的位錯所引起的位錯彈性能的變化。

線張力的公式如下：

=aGb2

d/

并可得出推斷：山于線張力的作用，彎曲的位錯線力圖伸直（縮短長度）。

18

2.1.5作用在位錯上的力和Peach-Koehler公式

晶體中的位錯在外應(yīng)力或其他缺陷產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力的作用下將會發(fā)生運(yùn)動或

UJ

有運(yùn)動趨勢。因此我們假設(shè)在位錯上作用有一個力/使得位錯產(chǎn)生運(yùn)動，而該

力得方向也必與位錯線的運(yùn)動方向一致，即F//v.

由于位錯的運(yùn)動和晶體的變形有確定的對應(yīng)關(guān)系(即/xF規(guī)則)，因此我

們令晶體發(fā)生塑性變形時其宏觀功等于微觀功，即：

dWM仇=dWMic

并以此為依據(jù)確立產(chǎn)。

1.作用在螺型位錯上的力

如圖2-18所示，圖中給出了螺型位錯的柏氏矢量方，應(yīng)力現(xiàn)假設(shè)位錯

線在力廠的作用卜移動了一小段距離此，則相應(yīng)的微觀功應(yīng)為：

d%"F.dS=..g).(LdS)

A

根據(jù)宏觀功等于微觀功可得：

F^rbL

圖2-18作用在螺位錯上的力

19

2.作用在刃型位錯上的力

如圖2-19(a)所示，設(shè)刃型位錯中的滑移力為攀移力為人，合力為凡

y八

fc

--s.p.

圖2-19(a)作用在刃型位錯上的力(b)刃型位錯的滑移力

對于滑移力來說，假設(shè)位錯沿滑移力方向運(yùn)動了一段很小的距離dS,如圖

2-19(b),則：

/"=(4,/).(：)IdS

fs=%b

如果滑移力的作用使位錯向相反方向運(yùn)動，貝U：

fs=

對于攀移力來說，同樣假設(shè)位錯沿攀移力方向攀移了一段很小的距離dS,

如圖2-20所示,則：

20

圖2-20作用在刃型位錯上的攀移力

A.1

4

?<?fc=qb

綜合上述分析，可得刃型位錯的合力為:

3.作用在混和位錯上的力

對于一般情況卜的位錯，即任意形狀的混合位錯，其每段線元受的總力都

可分解為兩個分量，即滑移力和攀移力。

----

如圖2-21所示，設(shè)有一個單位長度的位錯48,其柏氏矢量b平行于5。

則依據(jù)/Xv規(guī)則可得滑移力為：

fs=Jb

21

圖2-21混和位錯受力分析

為求攀移力，將N8分解為ZC和C8。

對于，CB段：F[=(y....bcosa

1-v

對于ZC段：F2--cy^bsina

由此可得攀移力為：

fc-+f2-/)(rn.cosa-crvsina)

4.Peach-Koehler公式

Peach-Koehler公式是位錯受力的普遍公式。如圖2-22所示，對于位錯線

上的任意一段線元出，假設(shè)在該段位錯的合力dF的作用下移動了dS的距高，

則其微觀功和宏觀功分別為：

圖2-22一般情況位錯受力分析

22

dW^^dF-ds"

CU3

d%=（dA）P-b

UJ

其中P為作用在面元上的總應(yīng)力。

乂因為.討，所以可得:

w3EI33

"%=尸或x?b=9?&卜/X?b

VJ

二|搞磷b湍?般

w3E

=（b?b）?（dlxds）

3wm

二（（y?b）xdl?ds

由d^Mic=dl^MacndF-ds5=（（yb）xdl,ds

UJUJUJ

/.dF=（o,b）xdl

UJ

口dF88

/?=S）x/?

al

UJ

該式即為Peach-Koehler公式，其中l(wèi)o為該位錯所討論點(diǎn)的單位向量。

2.1.6位錯間的交互作用

1.兩個平行位錯之間的交互作用

①同號刃型位錯間的相互作用力

對于兩個位于相距為d的平行滑移面上的同號位錯1和2,設(shè)其柏氏

矢量分別為仇和歷。為求位錯1對位錯2的作用力力2,現(xiàn)選擇如圖2-23

所示坐標(biāo)系。

23

7Fy

L

-----------Fv

d、2

—X——.2--------------A

of片

圖2-23同號刃型位錯間的相互作用力

由物理論證法容易得出位錯2受位錯1的滑移力,/；（,/xJ2）和攀移力fc

fyA2）：

f_T，_G岫2-2一筋）

工一<,12-AT2-2次1_切（》2+屋）2

_G她y（3x2+/）

Jc-Jy,\2--<Tx^2_T_7；■

2^-（1-v）（x+y）

由公式可以作出/m2和x的關(guān)系曲線如圖2-24所示。從圖像中可以看出，

位錯2在x=0和x=y兩點(diǎn)時/,12=0。但在x=y處是亞穩(wěn)平衡狀態(tài)（位錯2

無論沿x軸正向或負(fù)向偏離該點(diǎn)，/口2的作用都是使其更加偏離平衡位置），

而在x=0為穩(wěn)定平衡狀態(tài)（在該點(diǎn)無論位錯2沿x軸的哪個方向偏離，,人口對

它的作用都是使其回到平衡位置）。由此可見，晶體中的同號刃型位錯總是力圖

排成一列（x=0）,形成所謂的位錯墻。由公式還可以看出同號刃型位錯是相斥

的，即排成位錯墻的各同號位錯之間力圖互相遠(yuǎn)離。

24

通過同樣的方法計算位錯2對位錯1的作用力可得4,21=—人,12,

fy,2\~~fy,\2°

②異號刃型位錯間的相互作用

UJUJ

上面已求得同號刃型位錯間作用力的公式，只需將其中的3換成-b2就可

得到異號力型位錯間的相互作用力公式：

22

___Gbxb2x(x-d)

人=加2=-%-通5(父+/)2

f_Gb]b2X3x2+/)

Z-A.2-^2-2而?)*+嚴(yán)2

由此作得異號刃型位錯間作用力和X之間的關(guān)系曲線，如圖2-25所示。

從公式和曲線中可以看出，當(dāng)位錯2位于x=0和x=y兩點(diǎn)時工,12=°。

但在x=0處是亞穩(wěn)平衡狀態(tài)，而在x=y為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。因此，異號刃型位

錯力圖排在和滑移面成45°的平面上。且異號刃型位錯之間相互吸引。

同樣，對異號刃型位錯也可以得到工,21=一人/2,4,2!=-fy,X2?

25

③平行螺位錯之間的相互作用力

對于兩個平行螺位錯1和2（設(shè)柏氏矢量分別為b}和歷），我們選取如圖

2-26所示的坐標(biāo)系。則位錯1在位錯2處產(chǎn)生的應(yīng)力為7,9=*-?」，因此位

2%r

錯1對位錯2的作用力應(yīng)該為：

,,,Gbb->

frx=±rz0b2=±二-}

271r

其中，兩平行螺位錯同號時取“+”，異號時取“一”。這也說明了同號平

行螺位錯之間相互排斥，異號平行螺位錯之間相互吸引。

圖2?26兩個平行螺位錯之間的相互作用

26

④螺位錯和刃位錯之間的相互作用

對于螺位錯1和刃位錯2之間的相互作用，我們選取如圖2-27所示的坐標(biāo)

系。根據(jù)前面對兩刃型位錯之間的作用力分析，我們可以得出，此時螺位錯1

對刃位錯2的作用力應(yīng)該為=力2,=—）為2，而螺型位錯的應(yīng)力

場中％,==0。由此我們可以得出結(jié)論：螺型位錯和刃型位錯之間無相互

作用（fx,12=%力2=°，/>,12=—5也=。）。

2.位于同一滑移面上的一對平行混和位錯間的交互作用

如圖2-28所示，一對位于同一平面的一對平行混和位錯1和2,其柏氏矢

量分別為小和/>2,且各自與位錯線的夾角為a和外

圖2-28位于同一滑移面上的一對平行混和位錯間的交互作用

27

要求位錯I對位錯2的作用力，首先要將by和歷分解為平行和垂直于位錯

線的分量，即分解為刃型和螺型分量：

333

偽―4〃+許」，bX!f=b}cosa,bxY=b}sina

333

b2-%//+與,，壇〃=與cos￡,b2±=b2sin/

由于螺位錯和刃位錯之間無相互作用，因此只用分別計算兩個螺位錯以及

兩個刃位錯之間的交互作用。

(JJtu

〃G6［也,〃

Jx=-；-------

2zrr

UJVJ

''2zrr(l-v)

Gb*]b2H?G仇也」

/=/；+/；"=

21r24r(l-v)

Gb也/門sintzsinZ?

———(cosacosp+------------)x

2TTr1-v

對于金屬材料，泊松比v一般都比較小，所以可以令1一射心1,由此可得:

Gb\b?o''o\

f=——(cosacos/+sinasinp)

x2萬r

也

=——Gb?]-^2cos{/3A-a)=——G6L^-cos^n

2兀r2TIr

GJAW

0b、h2—0—[5—oc

Gb、?b2

.42萬r

對上述計算結(jié)果進(jìn)行分析，可以得出以下結(jié)論:

28

UJUJ

?,也>0時,。為銳角，％>0,兩位錯相互排斥;

33

?許小2<0時，。為鈍角，入<0,兩位錯相互吸引；

33CL?UJ

?許?%=0時，b[工b2,九=。。

3.交叉位錯間的交互作用

螺位錯而和刃位錯而在空間相隔為d,如圖2-29所示。

已知：

b=[0,0,b2],v=[-l,0,0]

外=%,=?=%=°

Gbxy_Gbxx

%=-2標(biāo)+/)，%=2%(?2)

圖2-29交叉位錯間的交互作用

(0

ob=0

ijk0

f\2~b2txz^yz。=S2k

-100

29

.,，._hGhbx

■-J\2-Jz-TyzbZ-n/2x,2/2\

27T（X4-（7）

00

乂因為jfxdx=0,所以刃位錯函在螺位錯方的作用下不會平移，只

-00

會繞y軸旋轉(zhuǎn)（或有旋轉(zhuǎn)的趨勢），直至二者平行為止。這也說明了為什么在晶

體中見到的位錯通常都是相互平行的o

2.1.7位錯的起動力----Peirls-Nabarro力

位錯的起動力就是使位錯開始滑移所需的剪應(yīng)力，也叫作派-納力

（Peirls-NabarroStress）。它也是晶體點(diǎn)陣對位錯運(yùn)動的阻力。

將一個簡單立方晶體沿其滑移面切開，令滑移面上部晶體沿x軸方向位移

bi4,下部晶體沿x軸反方向位移6/4,此即為派-納模型。

對于產(chǎn)生位移“（X）所需的剪應(yīng)力7中有：

Gb.,4加、

sm（—）

2.7iab

若將柏氏矢量b的刃位錯看成是無數(shù)個分散位錯，則此分散位錯在x處產(chǎn)

生的應(yīng)力為：

Txy/2%（1一丫）（x-x’）

聯(lián)立上面兩式可求得位移"（X）：

,、b_|x

u（x）=~tg-

2兀q

2(1-v)

位錯發(fā)生位移前，在x處的錯排能E%為:

30

1巾

陰呦

20

Gb32

當(dāng)位錯線位移演以后，各列原子的坐標(biāo)變?yōu)?

x=(y-a)b,”為0,±1,+2

因而在X處的錯排能為：

Gb32

4兀%2

7+弓-a)6

因此，總的錯排能為:

gGb3一Gb2E.,

-\———cos47ta

2自高24兀(1一V)2

2

qx+(5-a)，

由此可以計算出滑移面上下兩層原子間的作用力及其最大值人,max進(jìn)而

求得位錯的起動力:

./.v,max2G2兀VV、

=------=-----exp(------)

。b