中考數(shù)學全面突破：題型7　綜合實踐題

題型7綜合實踐題eq\x(題型解讀)此類題考查形式多樣，但都與實際問題結(jié)合，且解決實際問題時一般會用到前面的結(jié)論，解題時要多結(jié)合前面的問題，大膽猜想．綜合性較強，入手簡單，但要得滿分較難，此類題型是今后中考命題的方向，應引起重視．1.如圖①，△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D.(1)求證：eq\f(BC,AB)＝eq\f(EF,DE)；(2)由(1)中的結(jié)論可知，等腰三角形ABC中，當頂角∠A的大小確定時，它的對邊(即底邊BC)與鄰邊(即腰AB或AC)的比值也就確定，我們把這個比值記作T(A)，即T(A)＝eq\f(∠A的對邊（底邊）,∠A的鄰邊（腰）)＝eq\f(BC,AB).如T(60°)＝1.①理解鞏固：T(90°)＝________，T(120°)＝________，若α是等腰三角形的頂角，則T(α)的取值范圍是________；②學以致用：如圖②，圓錐的母線長為9，底面直徑PQ＝8，一只螞蟻從點P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點Q，求螞蟻爬行的最短路徑長(精確到0.1)．(參考數(shù)據(jù)：T(160°)≈1.97，T(80°)≈1.29，T(40°)≈0.68)2.(1)如圖①，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD，請你完成圖形(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)，并證明：BE＝CD；(2)如圖②，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE、CD，猜想BE與CD有什么數(shù)量關系？并說明理由；(3)運用(1)，(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖③，要測量池塘兩岸相對的兩點B、E的距離，已經(jīng)測得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的長(結(jié)果保留根號)．3.問題：如圖①，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關系．【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF＝BE＋FD，請你利用圖①證明上述結(jié)論．【類比引申】如圖②，四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足__________關系時，仍有EF＝BE＋FD.【探究應用】如圖③，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分別有景點E、F，且AE⊥AD，DF＝40(eq\r(3)－1)米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直的道路，求這條道路EF的長．(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)4.理解：數(shù)學興趣小組在探究如何求tan15°的值，經(jīng)過思考、討論、交流，得到以下思路：思路一如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB至點D，使BD＝BA，連接AD.圖①設AC＝1，則BD＝BA＝2，BC＝eq\r(3).tanD＝tan15°＝eq\f(1,2＋\r(3))＝eq\f(2－\r(3),（2＋\r(3)）（2－\r(3)）)＝2－eq\r(3).思路二利用科普書上的和(差)角正切公式：tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).假設α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan15°＝tan(60°－45°)＝eq\f(tan60°－tan45°,1＋tan60°tan45°)＝eq\f(\r(3)－1,1＋\r(3))＝2－eq\r(3).思路三在頂角為30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…請解決下列問題(上述思路僅供參考)．(1)類比：求出tan75°的值；(2)應用：如圖②，某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平面上有一點A，則得A、C兩點間距離為60米，從A測得電視塔的視角(∠CAD)為45°，求這座電視塔CD的高度；(3)拓展：如圖③，直線y＝eq\f(1,2)x－1與雙曲線y＝eq\f(4,x)交于A、B兩點，與y軸交于點C，將直線AB繞點C旋轉(zhuǎn)45°后，是否仍與雙曲線相交？若能，求出交點P的坐標；若不能，請說明理由．圖②圖③備用圖5.【操作發(fā)現(xiàn)】在計算器上輸入一個正數(shù)，不斷地按“eq\r()”鍵求算術平方根，運算結(jié)果越來越接近1或都等于1.【提出問題】輸入一個實數(shù)，不斷地進行“乘以常數(shù)k，再加上常數(shù)b”的運算，有什么規(guī)律？【分析問題】我們可用框圖表示這種運算過程：也可用圖象描述：如圖①，在x軸上表示出x1，先在直線y＝kx＋b上確定點(x1，y1)，再在直線y＝x上確定縱坐標為y1的點(x2，y1)，然后在x軸上確定對應的數(shù)x2，…，依次類推．【解決問題】研究輸入實數(shù)x1時，隨著運算次數(shù)n的不斷增加，運算結(jié)果xn怎樣變化．(1)若k＝2，b＝－4，得到什么結(jié)論？可以輸入特殊的數(shù)如3，4，5進行觀察研究；(2)若k>1，又得到什么結(jié)論？請說明理由；(3)①若k＝－eq\f(2,3)，b＝2，已在x軸上表示出x1(如圖②所示)，請在x軸上表示x2，x3，x4，并寫出研究結(jié)論；②若輸入實數(shù)x1時，運算結(jié)果xn互不相等，且越來越接近常數(shù)m，直接寫出k的取值范圍及m的值(用含k，b的代數(shù)式表示)．6.問題提出(1)如圖①，已知△ABC.請畫出△ABC關于直線AC對稱的三角形．問題探究(2)如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在邊BC、CD上分別存在點G、H，使得四邊形EFGH的周長最??？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由．問題解決(3)如圖③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．現(xiàn)想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝eq\r(5)米，∠EHG＝45°.經(jīng)研究，只有當點E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時，才有可能裁出符合要求的部件．試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；若不能，請說明理由．1.(1)證明：∵AB＝AC，DE＝DF，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(AC,DF)，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，∴eq\f(BC,EF)＝eq\f(AB,DE)，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(EF,DE).(2)解：①eq\r(2)，eq\r(3)，0<T(α)<2.【解法提示】①如解圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝∠C＝45°，∴設AB＝AC＝x，由勾股定理得BC＝eq\r(2)x，∴T(90°)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(2)x,x)＝eq\r(2)；第1題解圖①第1題解圖②如解圖②，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，過點A作AD⊥BC，∴∠BAD＝60°，BD＝eq\f(1,2)BC，設AD＝y(tǒng)，在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，∴BD＝AD·tan60°＝eq\r(3)y，AB＝2AD＝2y，∴BC＝2BD＝2eq\r(3)y，∴T(120°)＝eq\f(2\r(3)y,2y)＝eq\r(3)；∵∠A<180°，當∠A＝180°時，此時AB＝AC＝eq\f(1,2)BC即T(A)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(BC,\f(1,2)BC)＝2，∵要構成三角形，∴T(A)<2，∵T(A)＞0，∴0<T(α)<2.第1題解圖②如解圖，設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，∵圓錐的底面圓周長＝圓錐展開圖扇形的弧長，即2πr＝eq\f(nπl(wèi),180)，∴eq\f(r,l)＝eq\f(n,360)，∵r＝4，l＝9，∴n＝160.∵T(80°)≈1.29，∴螞蟻爬行的最短距離＝T(80°)×l≈1.29×9≈11.6.2.解：(1)作圖如解圖①，第2題解圖①證明：∵△ABD和△ACE為等邊三角形，則AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(2)BE＝CD.理由如下：∵四邊形ABFD和四邊形ACGE為正方形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(3)如解圖②，以AB為邊，作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，第2題解圖②則AD＝AB＝100米，∠ABD＝45°，∴BD＝100eq\r(2)米，連接CD，則由(2)可得，BE＝CD，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝90°，在Rt△DBC中，BC＝100米，BD＝100eq\r(2)米，由勾股定理得CD＝eq\r(1002＋（100\r(2)）2)＝100eq\r(3)米，則BE＝CD＝100eq\r(3)米．3.【發(fā)現(xiàn)證明】證明：如解圖①，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△ADG，則AB與AD重合，第3題解圖①∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，BE＝GD，AE＝AG，∴∠GAF＝∠DAF＋∠GAD＝∠BAE＋∠DAF＝45°，在正方形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即G、D、F在一條直線上，∵∠EAF＝45°，在△EAF和△GAF中，AE＝AG，∠EAF＝∠GAF＝45°，AF＝AF，∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴EF＝GF，∴EF＝FG＝FD＋DG＝FD＋BE.【類比引申】∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD.【解法提示】如解圖②，延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD,∠ABM＝∠D,BM＝DF))，第3題解圖②∴△ABM≌△ADF(SAS)，∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF＋∠BAE＝∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，∴∠EAB＋∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AE,∠FAE＝∠MAE,AF＝AM))，∴△FAE≌△MAE(SAS)，∴EF＝EM，又∵EM＝BE＋BM＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.【探究應用】解：如解圖③，連接AF，延長BA、CD交于點O，∵∠BAD＝150°，∠ADC＝120°，∴∠OAD＝30°，∠ODA＝60°，∴△OAD是直角三角形．∵AD＝80，∴AO＝40eq\r(3)，OD＝40，∵OF＝OD＋DF＝40＋40(eq\r(3)－1)＝40eq\r(3)，∴AO＝OF，第3題解圖③∴∠OAF＝45°，∵∠OAD＝30°，∴∠DAF＝15°，∵∠EAD＝90°，∴∠EAF＝∠EAD－∠DAF＝75°＝eq\f(1,2)∠BAD，又∠B＋∠ADC＝180°，由(2)知EF＝BE＋DF.∠BAE＝∠BAD－∠EAD＝150°－90°＝60°＝∠B，∴△ABE為等邊三角形，∴BE＝AB＝80，∴EF＝BE＋DF＝80＋40(eq\r(3)－1)≈109(米)．4.解：(1)如解圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB至點D，使BD＝BA，連接AD.第4題解圖①設AC＝1，則BD＝BA＝2，BC＝eq\r(3)，tan∠DAC＝tan75°＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(BD＋BC,AC)＝eq\f(2＋\r(3),1)＝2＋eq\r(3).【一題多解】tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq\f(tan45°＋tan30°,1－tan45°·tan30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝eq\f(3＋\r(3),3－\r(3))＝2＋eq\r(3).第4題解圖②(2)如解圖②，在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(602－302)＝30eq\r(3)，sin∠BAC＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2)，即∠BAC＝30°，∵∠DAC＝45°，∴∠DAB＝45°＋30°＝75°.在Rt△ABD中，tan∠DAB＝eq\f(DB,AB)＝2＋eq\r(3)，∴DB＝AB·tan∠DAB＝30eq\r(3)·(2＋eq\r(3))＝60eq\r(3)＋90，∴DC＝DB－BC＝60eq\r(3)＋90－30＝60eq\r(3)＋60.(米)答：這座電視塔CD的高度為(60eq\r(3)＋60)米.第4題解圖③(3)直線AB能與雙曲線相交，點P的坐標為(－1，－4)或(eq\f(4,3)，3)，理由如下：若直線AB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，與雙曲線相交于點P1、P2，如解圖③，過點C作CD∥x軸，過點P1作P1E⊥CD于點E，過點A作AF⊥CD于點F.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x－1,y＝\f(4,x)))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝1))，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝－2))，∴點A(4，1)，點B(－2，－2)．對于y＝eq\f(1,2)x－1，當x＝0時，y＝－1，則C(0，－1)，OC＝1，∴CF＝4，AF＝1－(－1)＝2，∴tan∠ACF＝eq\f(AF,CF)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∴tan∠P1CE＝tan(∠ACP1＋∠ACF)＝tan(45°＋∠ACF)＝eq\f(tan45°＋tan∠ACF,1－tan45°·tan∠ACF)＝eq\f(1＋\f(1,2),1－\f(1,2))＝3，即eq\f(P1E,CE)＝3.設點P的坐標為(a，b)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝4,\f(b＋1,a)＝3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－4))，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,3),b＝3))，∴點P的坐標為(－1，－4)或(eq\f(4,3)，3)；(ii)若直線AB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°后，與x軸相交于點G，如解圖④.由(i)可知∠ACP＝45°，P(eq\f(4,3)，3)，則CP⊥CG.過點P作PH⊥y軸于H，則∠GOC＝∠CHP＝90°，∠GCO＝90°－∠HCP＝∠CPH，第4題解圖④∴△GOC∽△CHP，∴eq\f(GO,CH)＝eq\f(OC,HP).∵CH＝3－(－1)＝4，PH＝eq\f(4,3)，OC＝1，∴eq\f(GO,4)＝eq\f(1,\f(4,3))＝eq\f(3,4)，∴GO＝3，G(－3，0)．設直線CG的解析式為y＝kx＋b，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋b＝0,b＝－1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,3),b＝－1))，∴直線CG的解析式為y＝－eq\f(1,3)x－1.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,3)x－1,y＝\f(4,x)))，消去y，得eq\f(4,x)＝－eq\f(1,3)x－1，整理得x2＋3x＋12＝0，∵b2－4ac＝32－4×1×12＝－39<0，∴方程沒有實數(shù)根，∴直線繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°，與雙曲線無交點．(綜上所述，直線AB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，能與雙曲線相交，交點P的坐標為(－1，－4)或(eq\f(4,3)，3)．5.解：(1)若k＝2,b＝－4，①x1＝3時，x2＝2×3－4＝2，x3＝2×2－4＝0，x4＝2×0－4＝－4，x5＝2×(－4)－4＝－12；②x1＝4時，x2＝2×4－4＝4，x3＝2×4－4＝4，x4＝2×4－4＝4，x5＝2×4－4＝4；③x1＝5時，x2＝2×5－4＝6，x3＝2×6－4＝8，x4＝2×8－4＝12，x5＝2×12－4＝20，由上面的特殊值可得，y＝2x－4與y＝x交點的橫坐標為4，所以當輸入的值x>4時，xn的值會隨著運算次數(shù)的增大而增大；當輸入的值x＝4時，xn的值不變；當輸入的值x<4時，xn的值會隨著運算次數(shù)的增大而減?。?2)當k>1時，y＝kx＋b與y＝x的交點坐標橫坐標為x＝－eq\f(b,k－1)，所以當輸入的值x>－eq\f(b,k－1)時，xn的值會隨著運算次數(shù)的增大而增大；當輸入的值x＝－eq\f(b,k－1)時，xn的值不變；當輸入的值x<－eq\f(b,k－1)時，xn的值會隨著運算次數(shù)的增大而減?。碛扇缦拢褐本€y＝kx＋b與直線y＝x的交點坐標為(eq\f(b,1－k)，eq\f(b,1－k))，當x＞eq\f(b,1－k)時，對于同一個x的值，kx＋b＞x，∴y1＞x1，∵y1＝x2，∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，∴當x1＞eq\f(b,1－k)時，隨著運算次數(shù)n的增加，xn越來越大，同理，當x1＜eq\f(b,1－k)時，隨著運算次數(shù)n的增加，xn越來越小，當x＝eq\f(b,1－k)時，隨著運算次數(shù)n的增加，xn保持不變．(3)①畫如解圖，第5題解圖結(jié)論：通過畫圖可得，xn的值越來越靠近兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標即eq\f(6,5)；②|k|<1且k≠0時，m＝－eq\f(b,k－1).即－1＜k＜1且k≠0，【解法提示】兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標滿足kx＋b＝x，解得x＝－eq\f(b,k－1)，且k≠0，由(1)得|k|＜1.6.(1)【思路分析】要作對稱圖形，先要考慮對稱的性質(zhì)，即對應點關于對稱軸對稱，只需作出點B關于直線AC的對稱點D，連接AD，CD即可．第6題解圖①解：如解圖①，△ADC即為所求作三角形．【作法提示】(1)過點B作直線AC的垂線，垂足為點O；(2)在垂線上截取OD＝OB，連接AD，CD，則△ADC即為所要求作的三角形．(2)【思路分析】四邊形EFGH的周長＝EF＋FG＋GH＋HE，由題意可知AF和AE的長均為定值，利用勾股定理可求得EF的長為定值，所以要求四邊形周長的最小值，只需令FG＋GH＋HE最小即可，利用作對稱線段將所求線段和轉(zhuǎn)化到三角形中進行求解，進而利用直角三角形三邊關系求出線段和最小值．第6題解圖②解：存在．理由如下：如解圖②，作點E關于CD的對稱點E′，作點F關于BC的對稱點F′，連接E′F′，交BC于點G，交CD于點H，連接FG、EH，則F′G＝FG，E′H＝EH，所以此時四邊形EFGH的周長最?。@是因為：在BC上任取一點G′，在CD上任取一點H′，則FG′＋G′H′＋H′E＝F′G′＋G′H′＋H′E′≥E′F′.由題意得：BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，∴AF′＝6，AE′＝8.∴E′F′＝10，EF＝2eq\r(5).∴四邊形EFGH周長的最小值為EF＋FG＋GH＋HE＝EF＋E′F′＝2eq\r(5)＋10.∴在BC、CD上分別存在滿足條件的點G、H，使四邊形EFGH的周長最小，最小值是2eq\r(5)＋10.(3)【思路分析】要使四邊形EFGH面積最大，因為E、F、G的位置確定，即△EFG的面積是固定的，只要求以EG為底邊的△EGH最大面積即可，且∠EHG為45°，作△EFG關于EG的對稱圖形，以點F的對稱點O為圓心，作以EG為弦的圓，根據(jù)圓的基本性質(zhì)，即EG的中垂線與圓的交點即為所求的點H′，然