線性系統(tǒng)理論跟蹤控制

第六節(jié)跟蹤控制一問題提出

考慮上述在參考信號(hào)和干擾的同時(shí)作用下系統(tǒng)，如果存在相應(yīng)的控制律使得下式成立：就稱該系統(tǒng)是無靜差跟蹤的。系統(tǒng)的跟蹤問題意味著要到達(dá)系統(tǒng)的漸近跟蹤，又要抑制干擾，也就是說當(dāng)干擾為零〔不存在〕時(shí)，對任意的參考信號(hào)都有：且當(dāng)參考信號(hào)為零(不存在時(shí))，對任意的擾動(dòng)都有亦稱為“跟蹤問題中的干擾解耦〞w一般情況下，無靜差跟蹤系統(tǒng)可以看作是一個(gè)具有補(bǔ)償器的輸出反響系統(tǒng)鎮(zhèn)定補(bǔ)償器：使整個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定伺服補(bǔ)償器：實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤和擾動(dòng)抑制伺服補(bǔ)償器通過在系統(tǒng)內(nèi)部復(fù)制一個(gè)參考信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)的不穩(wěn)定信號(hào)模型，依靠該模型的不穩(wěn)定特征根與跟蹤信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)的不穩(wěn)定振型實(shí)現(xiàn)精確對消，從而到達(dá)完全的漸近跟蹤和擾動(dòng)抑制目的。通常把引入的這個(gè)不穩(wěn)定信號(hào)模型稱為內(nèi)模，這種控制方法就稱為內(nèi)模原理。內(nèi)模原理的優(yōu)點(diǎn)：控制結(jié)果對除了內(nèi)模之外的受控系統(tǒng)和補(bǔ)償器參數(shù)變化不敏感。即使控制系統(tǒng)或補(bǔ)償器的參數(shù)出現(xiàn)攝動(dòng)，哪怕是相當(dāng)大的攝動(dòng)，只要閉環(huán)系統(tǒng)仍然是漸近穩(wěn)定的，那么此閉環(huán)系統(tǒng)仍具有無靜差跟蹤特性。但在上述跟蹤控制系統(tǒng)中，內(nèi)模的參數(shù)變化是不容許的，內(nèi)模參數(shù)的任何攝動(dòng)都會(huì)破壞它與參考信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)不穩(wěn)定振型的精確對消，從而破壞了漸近穩(wěn)定和擾動(dòng)抑制。二．不穩(wěn)定信號(hào)模型的建立通常情況下，參考信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)可以看作是在未知初始條件下，有這樣兩個(gè)模型產(chǎn)生的：在跟蹤問題中只需考慮參考信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)的不穩(wěn)定振型，令表示這兩個(gè)矩陣中不穩(wěn)定特征根的根因式的最小公倍式，也就是所有不重合的根因式之積：為保證內(nèi)模與參考、擾動(dòng)信號(hào)不穩(wěn)定振型的精確對消，可以由此導(dǎo)出兩信號(hào)不趨近于零的那局部共同模型。把它與受控系統(tǒng)串聯(lián)，并把跟蹤誤差e作為輸入信號(hào)，其模型可以寫成：其中三無靜差跟蹤控制w把信號(hào)模型作為內(nèi)模與受控系統(tǒng)順序串聯(lián)，可以得到相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)：再取狀態(tài)反響保證閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，這樣就實(shí)現(xiàn)了無靜差跟蹤的閉環(huán)控制。無靜差跟蹤條件：給定線性定常系統(tǒng)是無靜差跟蹤的充要條件是：輸入維數(shù)m>＝輸出維數(shù)p

對的每個(gè)特征根都有

實(shí)際上這兩個(gè)條件就等價(jià)于內(nèi)模系統(tǒng)與受控系統(tǒng)相組合的串聯(lián)系統(tǒng)是能控的舉例：給定受控系統(tǒng)參考信號(hào)，擾動(dòng)信號(hào)為階躍信號(hào)，求系統(tǒng)無靜差跟蹤的控制律解：〔1〕建立內(nèi)模：參考信號(hào)sin(2t)函數(shù)本身存在兩種不穩(wěn)定模態(tài)±2j，擾動(dòng)階躍信號(hào)存在一種不穩(wěn)定模態(tài)0，兩信號(hào)不穩(wěn)定模態(tài)的最小公倍式即為：于是導(dǎo)出參考、擾動(dòng)信號(hào)的不穩(wěn)定共有模型為：

〔2〕判斷系統(tǒng)是否可以實(shí)現(xiàn)無靜差跟蹤條件滿足，所以系統(tǒng)是可實(shí)現(xiàn)無靜差跟蹤的?！?〕求控制律首先寫出受控系統(tǒng)與內(nèi)模系統(tǒng)的串聯(lián)組合系統(tǒng)方程：受控系統(tǒng)滿足無靜差跟蹤條件就等價(jià)于上述串聯(lián)系統(tǒng)是能控的，只要取一反響保證閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，這樣就實(shí)現(xiàn)了無靜差跟蹤的閉環(huán)控制。根據(jù)鎮(zhèn)定要求假使期望閉環(huán)極點(diǎn)為-1,-1,-2,-1+j,-1-j,那么可以求出相應(yīng)的反響為：k＝[107];kc＝[4-30-4]四漸近跟蹤問題——定常參考信號(hào)的情況考慮如下系統(tǒng)：其設(shè)計(jì)目標(biāo)仍舊為擾動(dòng)抑制的漸近跟蹤，考慮參考信號(hào)y0(t)=y0為定常的情形。回憶經(jīng)典控制理論中的伺服設(shè)計(jì)思想，為使系統(tǒng)做到零靜態(tài)誤差，常采用PI控制器，即對誤差進(jìn)行比例積分控制。由于PI控制器的積分作用，只要閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且當(dāng)參考信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)為階躍信號(hào)時(shí)，有誤差e(t)0將上述思想推廣到多變量系統(tǒng)中，需要在誤差向量的每個(gè)分量后面串聯(lián)一個(gè)積分器，從而使穩(wěn)態(tài)誤差的每個(gè)分量均為零，因此在控制u中含有誤差e(t)的積分項(xiàng)。記聯(lián)立系統(tǒng)與上述方程可以得到增廣系統(tǒng)：對該增廣系統(tǒng)采取狀態(tài)控制律：相對于初始系統(tǒng)，這是一個(gè)廣義的PI控制器，類似于單變量伺服控制系統(tǒng)。通過上述方法，將定常信號(hào)的跟蹤控制問題轉(zhuǎn)化為增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反響鎮(zhèn)定問題，其控制方案是時(shí)變信號(hào)跟蹤控制問題的特例，其中誤差信號(hào)積分器記為內(nèi)模系統(tǒng)。上述問題是否有解？定理：假設(shè)[A,B]能控，那么增廣系統(tǒng)完全能控的充要條件是：通過求解增廣系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，不僅可以實(shí)現(xiàn)原系統(tǒng)的輸出對階躍給定信號(hào)的跟蹤，還可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的輸出關(guān)于定常擾動(dòng)信號(hào)的靜態(tài)解藕，即當(dāng)時(shí)間充分長后，系統(tǒng)的定常擾動(dòng)信號(hào)對于系統(tǒng)輸出無影響。第七節(jié)模型參考控制系統(tǒng)分析迄今為止，本書已經(jīng)介紹了線性定?？刂葡到y(tǒng)的設(shè)計(jì)方法。因?yàn)樗械奈锢韺ο笤谀撤N程度上均是非線性的，所以設(shè)計(jì)出的系統(tǒng)僅在一個(gè)有限的工作范圍內(nèi)才能得到滿意的結(jié)果。如果取消對象方程是線性的這一假設(shè)，那么，到目前為止，不能應(yīng)用本書介紹過設(shè)計(jì)方法。在這種情況下，本節(jié)討論的對系統(tǒng)設(shè)計(jì)的模型參考方法可能是有用的。確定系統(tǒng)性能的一種有效的方法是利用一個(gè)模型，對給定的輸入產(chǎn)生所希望的輸出。模型不必是實(shí)際的硬件設(shè)備，可以是在計(jì)算機(jī)上模擬的數(shù)學(xué)模型。在模型參考控制系統(tǒng)中，將模型的輸出和對象的輸出進(jìn)行比較，差值用來產(chǎn)生控制信號(hào)。假設(shè)對象的狀態(tài)方程為：希望控制系統(tǒng)緊隨某一模型系統(tǒng)。設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是綜合出一個(gè)控制器，使得控制器總是產(chǎn)生一個(gè)信號(hào)，迫使對象的狀態(tài)接近于模型的狀態(tài)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖。假設(shè)模型參考系統(tǒng)是線性的：其中又假設(shè)A的所有特征值都有負(fù)實(shí)部，那么該模型參考系統(tǒng)具有一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。令誤差向量為在該問題中，希望通過一個(gè)適宜的控制向量u，使得誤差向量減小到零。即(1)現(xiàn)在設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得在穩(wěn)態(tài)時(shí)和或。因此，原點(diǎn)e=0是一個(gè)平衡狀態(tài)。在綜合控制向量u時(shí)，一個(gè)方便的出發(fā)點(diǎn)就是對式(1)給出的系統(tǒng)構(gòu)造一個(gè)Lyapunov函數(shù)。假設(shè)Lyapunov函數(shù)的形式為式中的P是正定的Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣。求V(e)對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，可得式中，是純量。如果：1、是一個(gè)負(fù)定矩陣；2、控制向量u可選擇得使純量M為非正值于是，注意到當(dāng)，有，要看出平衡狀態(tài)e=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。條件1總可通過選擇適當(dāng)?shù)腜而得到滿足，因?yàn)锳的所有特征值均假設(shè)具有負(fù)實(shí)部。因此，這里的問題就是選擇一個(gè)適宜的控制向量u，使得M或等于零，或?yàn)樨?fù)值。舉例說明如何使用該方法設(shè)計(jì)非線性控制器例：考慮由下式描述的非線性時(shí)變系統(tǒng)式中a(t)是時(shí)變參數(shù)，b為正常數(shù)。設(shè)參考模型的方程為:試設(shè)計(jì)一個(gè)非線性控制器，使得系統(tǒng)能夠穩(wěn)定地工作。解：定義誤差向量為：Lyapunov函數(shù)為：式中P是正定實(shí)對稱矩陣，參照上述推導(dǎo)，得：由參考模型方程確定矩陣A和B，并選擇矩陣Q為可得：其中：如果選擇u使得：式中：(2)那么采用由式(2)給出的控制函數(shù)u時(shí)，平衡狀態(tài)e=0就是大范圍漸近穩(wěn)定的穩(wěn)定的。因此，方程(2)確定了一個(gè)非線性控制律，它將保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定地工作。注意，瞬態(tài)響應(yīng)收斂的速度取決于矩陣P，矩陣P取決于設(shè)計(jì)開始階段所取的矩陣Q。第八節(jié)線性二次型最優(yōu)控制問題〔LQ〕本節(jié)將研究基于二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)?？紤]如下的線性定常系統(tǒng)式中：在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，我們感興趣的經(jīng)常是選擇向量u(t)，使得給定的性能指標(biāo)到達(dá)極小。可以證明，當(dāng)二次型性能指標(biāo)的積分限由零變化到無窮大時(shí)，如式中的L〔x,u〕是x和u的二次型函數(shù)或Hermite函數(shù)，將得到線性控制律，即這里，線性狀態(tài)反響矩陣。從而因此，基于二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制系統(tǒng)和最優(yōu)調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的設(shè)計(jì)歸結(jié)為確定矩陣K的各元素。采用二次型最優(yōu)控制方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是除了系統(tǒng)不可控的情況外，所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)將是穩(wěn)定的。在設(shè)計(jì)二次型性能指標(biāo)為極小的控制系統(tǒng)時(shí)，需要解黎卡提方程?？紤]上述系統(tǒng)，假設(shè)性能指標(biāo)為式中，Q為正定〔或正半定〕Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣，R為正定Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣，u是無約束的向量。最優(yōu)控制系統(tǒng)使性能指標(biāo)到達(dá)極小，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解決此類問題有許多不同的方法，這里介紹一種基于李亞普夫諾夫第二法的解法。優(yōu)化問題的分類從時(shí)間角度：有限時(shí)間LQ問題無限時(shí)間LQ問題工程應(yīng)用角度調(diào)節(jié)問題：最優(yōu)控制把系統(tǒng)由初態(tài)驅(qū)動(dòng)到零平衡點(diǎn)，且性能指標(biāo)為最小跟蹤問題：最優(yōu)控制使系統(tǒng)輸出跟蹤參考信號(hào)的同時(shí)，性能指標(biāo)為最小。基于Lyapunov第二法的控制系統(tǒng)最優(yōu)化從經(jīng)典意義而言，首先設(shè)計(jì)出控制系統(tǒng)，再判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；與此不同的是，該方法先用公式表示出穩(wěn)定性條件，再在這些約束條件下設(shè)計(jì)系統(tǒng)。如果能用Lyapunov第二法作為最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)的根底，就能保證系統(tǒng)正常工作，也就是說，系統(tǒng)輸出將能連續(xù)地朝所希望的狀態(tài)轉(zhuǎn)移。因此，設(shè)計(jì)出的系統(tǒng)具有固有穩(wěn)定特性的結(jié)構(gòu)〔注意，如果系統(tǒng)是不可控制的，不能采用二次型最優(yōu)控制〕。對于一大類控制系統(tǒng)，在Lyapunov函數(shù)和用來綜合最優(yōu)控制系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)之間可找到一個(gè)直接的關(guān)系式。下面我們將用Lyapunov方法來解簡單情況下的最優(yōu)化問題，該問題通稱為參數(shù)最優(yōu)化問題。一。參數(shù)最優(yōu)問題的Lyapunov第二法的解法下面討論Lyapunov函數(shù)和二次型性能指標(biāo)之間的直接關(guān)系，并利用這種關(guān)系求解參數(shù)最優(yōu)問題?？紤]如下的線性系統(tǒng)式中，A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，即原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的〔稱矩陣A為穩(wěn)定矩陣〕。假設(shè)矩陣A包括一個(gè)〔或幾個(gè)〕可調(diào)參數(shù)。要求以下性能指標(biāo)到達(dá)極小，式中Q為正定〔或正半定〕Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣。因而該問題變?yōu)榇_定幾個(gè)可調(diào)參數(shù)值，使得性能指標(biāo)到達(dá)極小。在求解該問題時(shí)，利用Lyapunov函數(shù)是很有效的。假設(shè)式中，P是一個(gè)正定的Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣，因此可得根據(jù)Lyapunov第二法可知，如果A是穩(wěn)定矩陣，那么對給定的Q，必存在一個(gè)P，使得因此，可由該方程確定P的各元素。因此性能指標(biāo)J可按下式計(jì)算。由于A的所有特征值均有負(fù)實(shí)部，可得。所以因而性能指標(biāo)J可依據(jù)初始條件x(0)和P求得，而P與A和Q的關(guān)系取決于lyapunov方程。例如，如果欲調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)，使得性能指標(biāo)J到達(dá)極小，那么可對討論中的參數(shù)，用取極小值來實(shí)現(xiàn)。由于是給定的初始條件，Q也是給定的，所以P是A的各元素的函數(shù)。因此求J為極小，將使得可調(diào)參數(shù)到達(dá)最優(yōu)值。例：研究如下圖的系統(tǒng)。確定阻尼>0的值，使得系統(tǒng)在單位階躍輸入r(t)=1(t)作用下，性能指標(biāo)到達(dá)極小。式中的e為誤差信號(hào)，并且e=r-c。假設(shè)系統(tǒng)開始時(shí)是靜止的。應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，參數(shù)最優(yōu)值通常與初始條件x(0)有關(guān)。然而，如果只含一個(gè)不等于零的分量，例如x1(0)

0，而其余的初始分量均等于零，那么參數(shù)最優(yōu)值與x1(0)的數(shù)值無關(guān)由圖可知：根據(jù)誤差e的形式可得：由于輸入r(t)是單位階躍函數(shù)，所以。因此，對于t

0有定義如下變量為：誤差狀態(tài)方程為：性能指標(biāo)J可以寫成其中由于A是穩(wěn)定矩陣，所以參照上述推導(dǎo)過程可知，J的值為式中的P由下式確定上述Lyapunov方程可以寫為：該方程可以寫出以下方程組：求解得：于是性能指標(biāo)J為將初始條件：，代入上式得：對使J為極小，可令，即因此，的最優(yōu)值是。例如，假設(shè)μ＝1，那么的最優(yōu)值為0.707。二、二次型最優(yōu)控制問題現(xiàn)在我們來研究最優(yōu)控制問題，系統(tǒng)方程為：確定最優(yōu)控制向量使得性能指標(biāo)達(dá)極?。菏街蠶是正定〔或正半定〕實(shí)對稱矩陣，R是正定實(shí)對稱矩陣。注意，性能指標(biāo)右邊的第二項(xiàng)是考慮到控制信號(hào)的能量損耗而引進(jìn)的。矩陣Q和R確定了誤差和能量損耗的相對重要性。在此，假設(shè)控制向量是不受約束的。正如上面所講的，假設(shè)能確定矩陣K中的未知元素，使得性能指標(biāo)達(dá)極小，那么對任意初始狀態(tài)x(0)而言均是最優(yōu)的。該最優(yōu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方塊圖如下：將反響控制代入系統(tǒng)中，得：在以下推導(dǎo)過程中，假設(shè)(A-BK)是穩(wěn)定矩陣。將控制律代入性能指標(biāo)中有依照解參數(shù)最優(yōu)化問題時(shí)的討論，取式中的P是正定的Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣。于是比較上式兩端，并注意到方程對任意x均應(yīng)成立，這就要求(1)根據(jù)Lyapunov第二法可知，如果(A-BK)是穩(wěn)定矩陣，那么必存在一個(gè)滿足上式的正定矩陣P。因此，該方法由上述Lyapunov方程確定P的各元素，并檢驗(yàn)其是否為正定的〔注意，這里可能不止一個(gè)矩陣P滿足該方程。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么總存在一個(gè)正定的矩陣P滿足該方程。這就意味著，如果我們解此方程并能找到一個(gè)正定矩陣P，該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。滿足該方程的其他矩陣P不是正定的，必須丟棄〕。性能指標(biāo)的計(jì)算為：

由于假設(shè)A-BK的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，所以。因此

(2)于是，性能指標(biāo)J可根據(jù)初始條件x(0)和P求得。為求二次型最優(yōu)控制問題的解，可按以下步驟操作：由于所設(shè)的R是正定實(shí)對稱矩陣，可將其寫為式中T是非奇異矩陣。于是，Lyapunov方程可寫為：求J對K的極小值，即求下式對K的極小值由于上面的表達(dá)式不為負(fù)值，所以只有當(dāng)其為零，即當(dāng)下式成立時(shí)才存在極小值。上式給出了最優(yōu)矩陣K。所以此時(shí)最優(yōu)控制律是線性的，并由下式給出〔3〕上式中的矩陣P必需滿足Lyapunov方程，即滿足下述退化方程：〔4〕具體設(shè)計(jì)步驟如下：1、求解退化矩陣?yán)杩ㄌ崾?4〕，以求出矩陣P。如果存在正定矩陣P〔某些系統(tǒng)可能沒有正定矩陣P〕，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即矩陣是穩(wěn)定矩陣。2、將矩陣P代入式(3〕，求得的矩陣K就是最優(yōu)矩陣。確定最優(yōu)反響增益矩陣K還有另一種方法，其設(shè)計(jì)步驟如下：1、由作為K的函數(shù)的式(1〕中確定矩陣P。2、將矩陣P代入式(2〕,于是性能指標(biāo)成為K的一個(gè)函數(shù)。3、確定K的各元素，使得性能指標(biāo)為極小。這可通過令等于零，并解出的最優(yōu)值來實(shí)現(xiàn)J對K各元素為極小。例：研究如以下圖所示系統(tǒng)，假設(shè)控制信號(hào)為：選擇適當(dāng)?shù)姆错懺鲆婢仃嘖，使得以下性能指標(biāo)到達(dá)極小：Kx1x2u由結(jié)構(gòu)圖可以看出系統(tǒng)的方程為：應(yīng)用退化矩陣?yán)杩ㄌ岱匠逃糜谧钫_控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，其中化簡得到以下三個(gè)方程：聯(lián)立方程求解，并要求P為正定，那么有：計(jì)算最正確反響增益矩陣K在該反響控制下，在給定性能指標(biāo)下對任意初試狀態(tài)都能得出最正確的結(jié)果。三最優(yōu)跟蹤控制問題考慮線性定常系統(tǒng)：系統(tǒng)完全能控能觀測。假定跟蹤信號(hào)為以下系統(tǒng)〔完全能觀〕的輸出：尋找最優(yōu)，使得y跟蹤，同時(shí)極小化：方法：將跟蹤問題轉(zhuǎn)換為等價(jià)的調(diào)節(jié)問題定義增廣狀態(tài)和增廣矩陣：即可轉(zhuǎn)化為等價(jià)的調(diào)節(jié)問題：利用結(jié)論：最優(yōu)控制律：其中矩陣?yán)杩ㄌ岱匠虨椋鹤顑?yōu)性能值為：將分解為其中P在維數(shù)上與A相同。那么可以導(dǎo)出相對于P的黎卡提方程：最優(yōu)控制為：最優(yōu)性能值為：矩陣?yán)杩ㄌ岱匠痰那蠼釲Q控制問題的最關(guān)鍵為求解矩陣?yán)杩ㄌ岱匠桃话闱闆r，不可能找到由系數(shù)矩陣和加權(quán)矩陣直接表示的解陣解析表達(dá)式采用數(shù)值方法，利用計(jì)算機(jī)解黎卡提方程算法研究：直接數(shù)值解法，增量迭代法，舒爾向量法，特征向量法，符號(hào)函數(shù)法等等第九節(jié)狀態(tài)重構(gòu)問題與Luenberger狀態(tài)觀測器觀測器分類全維觀測器：觀測器與系統(tǒng)維數(shù)相同降維觀測器：觀測器維數(shù)小于系統(tǒng)維數(shù)狀態(tài)觀測器：觀測器輸出漸近跟蹤狀態(tài)函數(shù)觀測器：觀測器輸出漸近跟蹤狀態(tài)函數(shù)一全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)考慮如下線性定常系統(tǒng)在下面有關(guān)狀態(tài)觀測器的討論中，我們用表示被觀測的狀態(tài)向量。利用系數(shù)矩陣(A,B,C)來對被估計(jì)系統(tǒng)進(jìn)行直接復(fù)制，即可到達(dá)狀態(tài)重構(gòu)的目的。如果保證觀測器的初始狀態(tài)和輸入與給定系統(tǒng)的完全相同，那么就可以實(shí)現(xiàn)在整個(gè)時(shí)間區(qū)域上的狀態(tài)復(fù)制。這是一種完全的狀態(tài)重構(gòu)。一般來講，這種開環(huán)型的觀測器本身沒有任何的實(shí)際價(jià)值。上述開環(huán)型的觀測器很難應(yīng)用，主要缺點(diǎn)有：一要使用此觀測器必須計(jì)算出系統(tǒng)的初始狀態(tài)，并設(shè)置觀測器的初始狀態(tài)與給定系統(tǒng)相同；二是如果系數(shù)矩陣A中包含了不穩(wěn)定特征根的話，那么即使觀測器和給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)存在微小的差異，也會(huì)隨著時(shí)間的增加而無限放大〔誤差方程為〕。引入一個(gè)修正項(xiàng)，這時(shí)就利用給定系統(tǒng)的輸入和輸出構(gòu)成了反響型觀測器：觀測器增益矩陣起到加權(quán)矩陣的作用。修正項(xiàng)監(jiān)控狀態(tài)變量。當(dāng)此模型的初始狀態(tài)與實(shí)際系統(tǒng)的初始狀態(tài)之間存在差異時(shí)，該附加修正項(xiàng)將減小這些影響。1.觀測器的誤差方程將給定系統(tǒng)和觀測器系統(tǒng)的狀態(tài)方程進(jìn)行相減得誤差向量的動(dòng)態(tài)特性由矩陣A-KeC的特征值決定。如果所選特征值使得誤差向量的動(dòng)態(tài)特性漸近穩(wěn)定且足夠快，那么任意誤差向量e(t)都將以足夠快的速度趨近于零(原點(diǎn))，此時(shí)稱為x(t)的漸近估計(jì)或重構(gòu)。2.可觀測條件全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)問題，是確定觀測器增益矩陣Ke，使得誤差動(dòng)態(tài)方程以足夠快的響應(yīng)速度漸近穩(wěn)定〔漸近穩(wěn)定性和誤差動(dòng)態(tài)方程的響應(yīng)速度由矩陣A-KeC的特征值決定〕。因此，全維觀測器的設(shè)計(jì)就歸結(jié)為如何確定適當(dāng)?shù)腒e，使得A-KeC具有期望的特征值。此時(shí)，全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)問題實(shí)際上就變成了與極點(diǎn)配置相同的問題。在設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測器時(shí)，求解如下對偶系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題：如果對偶系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，那么可確定狀態(tài)反響增益矩陣K，使得反響閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣得到一組期望的特征值：注意到與觀測器系統(tǒng)矩陣的特征多項(xiàng)式相比較，可找出Ke和K的關(guān)系為因此，觀測器問題與極點(diǎn)配置問題具有對偶關(guān)系，即觀測條件：系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器存在的充要條件是對偶系統(tǒng)完全能控或給定系統(tǒng)是完全能觀測的。3.全維狀態(tài)觀測器的B-G算法能觀標(biāo)準(zhǔn)型是將狀態(tài)空間表達(dá)形式與系統(tǒng)特征根聯(lián)系的最簡形式，而任意給定的系統(tǒng)通常不具有能觀標(biāo)準(zhǔn)型的形式，所以首先采用非奇異變換

,把系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型：要想將此標(biāo)準(zhǔn)型對偶系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到期望值所采用的增益矩陣為，即因?yàn)樯鲜鲇^測器增益是針對初始狀態(tài)空間x，而不是變換后的，所以需對上述增益矩陣要經(jīng)過一次變換才可，即觀測器的方程為Luenberger曾經(jīng)指出，當(dāng)觀測器期望極點(diǎn)的實(shí)部太負(fù)，使衰減太快，將導(dǎo)致觀測器的作用接近于一個(gè)微分器，從而使頻帶加寬，不能防止地將高頻噪聲分量放大，而且也存在觀測器的可實(shí)現(xiàn)性問題(因?yàn)樗p速度太快，那么矩陣較大)，因此進(jìn)行觀測器本身的極點(diǎn)配置時(shí)，只需使觀測器的期望極點(diǎn)比由此組成的閉環(huán)反響系統(tǒng)的特征值稍大一些即可。一般地，選擇的期望特征值，應(yīng)使?fàn)顟B(tài)觀測器的響應(yīng)速度至少比所考慮的閉環(huán)系統(tǒng)快2~5倍。

注意，迄今為止，我們假設(shè)觀測器中的矩陣A和B與實(shí)際系統(tǒng)中的嚴(yán)格相同。實(shí)際上，這做不到。因此，誤差動(dòng)態(tài)方程不可能由給出，這意味著誤差不可能趨于零。因此，應(yīng)盡量建立觀測器的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型，以使相應(yīng)的誤差小到令人滿意的程度。4.求觀測器增益矩陣Ke的直接代入法與極點(diǎn)配置算法的情況類似，如果系統(tǒng)是低階的(n<=3)，可將矩陣Ke直接代入期望的特征多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算。例如，假設(shè)x是一個(gè)3維向量，那么觀測器增益矩陣Ke可寫為將該Ke代入期望的特征多項(xiàng)式通過使上式兩端s的同次冪系數(shù)相等，即可確定出Ke1、Ke2和Ke3的值。如果n=1,2或3，其中n是狀態(tài)向量x的維數(shù)，那么該方法十分簡便〔雖然該方法可應(yīng)用于n=4,5,6,…的情況，但計(jì)算有可能非常繁瑣〕。5.最優(yōu)Ke選擇的注釋應(yīng)當(dāng)指出，作為對觀測器動(dòng)態(tài)方程修正的觀測器增益矩陣Ke，通過反響信號(hào)來考慮系統(tǒng)中的未知因素。如果含有明顯的未知因素，那么利用矩陣Ke的反響信號(hào)也應(yīng)該比較大。然而另一方面，如果由于干擾和測量噪聲使輸出信號(hào)受到嚴(yán)重干擾，那么輸出y是不可靠的。因此，由矩陣Ke引起的反響信號(hào)應(yīng)該比較小。在決定矩陣時(shí)，應(yīng)該仔細(xì)檢查包含在輸出y中的干擾和噪聲的影響。應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是觀測器增益矩陣Ke依賴于期望的特征方程在許多情況中，μ1,μ2,…,μn的選取不是唯一的。在設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器時(shí)，最好在幾個(gè)不同的期望特征方程的根底上決定Ke。對不同的矩陣Ke必須進(jìn)行仿真驗(yàn)證，以評估系統(tǒng)的最終性能。應(yīng)從系統(tǒng)總體性能的觀點(diǎn)來選取最好的。在許多實(shí)際問題中，最優(yōu)矩陣的選取，歸結(jié)為對快速響應(yīng)及對干擾和噪聲靈敏性之間的一種折衷。[例1]考慮如下的線性定常系統(tǒng)式中設(shè)計(jì)一個(gè)全維狀態(tài)觀測器，期望特征值為由于狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)實(shí)際上歸結(jié)為確定一個(gè)適宜的觀測器增益矩陣Ke，為此先檢驗(yàn)?zāi)苡^測性矩陣，即的秩為2。因此，該系統(tǒng)是完全能觀測的，并且可確定期望的觀測器增益矩陣。我們將用2種方法來求解該問題。[解]方法1：由于該狀態(tài)空間表達(dá)式已是能觀測標(biāo)準(zhǔn)形，因此變換矩陣Q=I。由于給定系統(tǒng)的特征方程為觀測器的期望特征方程為故觀測器增益矩陣可求得如下那么觀測器方程為方法2：直接代入法定義那么此時(shí)特征方程為

期望的特征方程為二者比較可得即無論采用什么方法，所得的都是相同的。二降階觀測器的設(shè)計(jì)全維觀測器是重構(gòu)所有的系統(tǒng)狀態(tài)變量。實(shí)際上，有一些狀態(tài)變量是可以準(zhǔn)確量測的。對此類狀態(tài)變量就不必估計(jì)了。 假設(shè)狀態(tài)向量x為n維向量，輸出向量y為可量測的p維向量。如果rankC＝p，p個(gè)輸出變量是狀態(tài)變量的線性組合，所以p個(gè)狀態(tài)變量就不必進(jìn)行估計(jì)，只需估計(jì)n-p個(gè)狀態(tài)變量即可，因此，該降維觀測器為n-p維觀測器，又稱為最小階觀測器。具有降階觀測器的觀測-狀態(tài)反響控制系統(tǒng)最小階狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)步驟：Step1因?yàn)閞ankC＝p，說明可以用輸出表征狀態(tài)中的p個(gè)，通過坐標(biāo)變換，使得新坐標(biāo)下x1－p＝y(tǒng)1－p，此時(shí)系統(tǒng)為n-p維系統(tǒng)〔因?yàn)榍皃個(gè)狀態(tài)可以用輸出來表征〕Step2在新坐標(biāo)空間下，對n-p維系統(tǒng)進(jìn)行全維觀測器設(shè)計(jì)Step3最終寫出觀測器的狀態(tài)和輸出方程〔注意，返回原來的坐標(biāo)空間〕1.(n-p)維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立設(shè)可觀測被控系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為將狀態(tài)x分解成兩局部，其中是p個(gè)直接由輸出測得的狀態(tài)變量，為此引入非奇異變換變換后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為因此有將變換后系統(tǒng)展開得：令那么v可以看作是n-p維子系統(tǒng)的輸入向量，z可以看作是n-p維子系統(tǒng)的輸出向量，于是n-p維子系統(tǒng)〔可觀測)的狀態(tài)方程為:2.(n-p)維狀態(tài)觀測器的構(gòu)成與全維狀態(tài)觀測器的構(gòu)成方法相同，首先構(gòu)造(n-p)維子系統(tǒng)的觀測系統(tǒng)，利用子系統(tǒng)與狀態(tài)觀測器輸出之差，通過反響增益矩陣Ke來任意配置降維觀測器極點(diǎn)，使得觀測器輸出盡快逼近子系統(tǒng)的局部狀態(tài)。結(jié)構(gòu)圖如下：降維狀態(tài)觀測器方程為其中降維狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)由下述特征方程決定顯而易見，在上述觀測器方程中包含輸出的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，從抗擾動(dòng)性上是不希望的，為此引入中間變量從而到達(dá)消去輸出導(dǎo)數(shù)的目的。為此可以得出觀測器方程可以看出，這是一個(gè)以u和y為輸入的(n-p)維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其中的特征值是可以任意配置的。且的重構(gòu)狀態(tài)為對于變換狀態(tài)的重構(gòu)狀態(tài)為考慮到，所以相應(yīng)的有進(jìn)而可以確定出系統(tǒng)狀態(tài)x的重構(gòu)狀態(tài)為全維狀態(tài)觀測器與降維狀態(tài)觀測器的比較結(jié)構(gòu)：降維觀測器只需(n-q)個(gè)積分器，遠(yuǎn)少于全維觀測器抗擾動(dòng)性：降維觀測器中輸出y直接通過增益矩陣Q1直接傳遞，假設(shè)y中包含干擾，那么全部出現(xiàn)在觀測狀態(tài)中，而全維觀測器中，y經(jīng)過積分濾波器后才傳遞，在觀測狀態(tài)中包含的干擾影響已經(jīng)大為減小結(jié)論：工程應(yīng)用中，采用何種觀測器應(yīng)視具體情況。[例2]考慮如下的線性定常系統(tǒng)式中試設(shè)計(jì)一個(gè)最小階觀測器〔顯然該最小階觀測器是二階的〕，期望特征值為解：從狀態(tài)方程可以看出，此系統(tǒng)輸出就等于第一個(gè)狀態(tài)，即變換矩陣P為單位陣。1.構(gòu)造2維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：令輸入、輸出變量為于是可以導(dǎo)出2維子系統(tǒng)方程：2.構(gòu)造2維觀測器期望特征方程為二者比較，可得觀測器增益：觀測器方程為為消除觀測器方程中的輸出導(dǎo)數(shù)，定義推出觀測器狀態(tài)方程：觀測器輸出方程：對于題中給定的系統(tǒng)，可利用如下MATLABProgram5.2來確定最小階狀態(tài)觀測器增益矩陣Ke，并用simulink來完成對整個(gè)帶觀測器系統(tǒng)的仿真。仿真1：初值相同—實(shí)際狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡(x0=0):仿真1：初值相同—觀測狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡():仿真1：初值相同—實(shí)際輸出運(yùn)動(dòng)軌跡:仿真2：初值不同—實(shí)際狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡(x0=0):仿真2：初值不同—觀測狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡():仿真2：初值不同—實(shí)際輸出運(yùn)動(dòng)軌跡:三函數(shù)觀測器進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)的目的是為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反響，而狀態(tài)觀測器的最小維數(shù)是n-p為了進(jìn)一步降低觀測器維數(shù)，可以直接對狀態(tài)函數(shù)Kx進(jìn)行重構(gòu)，稱為函數(shù)觀測器較之狀態(tài)觀測器，函數(shù)觀測器在理論和計(jì)算上都較為復(fù)雜，只作概要性介紹定義：考慮如下線性定常系統(tǒng)以Kx為重構(gòu)目標(biāo)的函數(shù)觀測器可取為：其中z為l維，矩陣維數(shù)該觀測器輸出w(t)漸進(jìn)趨近于Kx(t)，即函數(shù)觀測器存在的充分必要條件：

F的全部特征根均具有負(fù)實(shí)部

說明：由條件1，2成立可知：即：由條件3可知，從而有再由條件4成立，那么有由此可以看出當(dāng)條件1－4滿足時(shí)，函數(shù)觀測器的輸出w漸進(jìn)趨近于觀測函數(shù)Kx問題1：如何確定函數(shù)觀測器的維數(shù)l如果所設(shè)計(jì)的Kx，〔K1×n〕函數(shù)觀測器，那么可以取l＝ν－1，ν是能觀測性指數(shù)當(dāng)系統(tǒng)輸出p維數(shù)較大時(shí)，一般ν－1遠(yuǎn)小于n-p，即函數(shù)觀測器的維數(shù)遠(yuǎn)小于最小階狀態(tài)觀測器的維數(shù)。問題2：對于函數(shù)Kx，(Km×n)，函數(shù)觀測器的最小維數(shù)常因具體問題不同而不同，情況較為復(fù)雜假設(shè)rankK＝1，那么引入L＝ρK，(ρ1×m)，對Lx，可以采用ν－1維函數(shù)觀測器來重構(gòu)，而ρw(t)即為Kx(t)的漸進(jìn)重構(gòu)函數(shù)四系統(tǒng)設(shè)計(jì)的別離性原理：觀測器的引入對閉環(huán)系統(tǒng)的影響在極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)過程中，假設(shè)真實(shí)狀態(tài)x(t)可用于反響。然而實(shí)際上，真實(shí)狀態(tài)x(t)可能無法量測，所以必須設(shè)計(jì)一個(gè)觀測器，并且將觀測到的狀態(tài)用于反響，因此，