2012年考研數(shù)學三真題及答案

2012年考研數(shù)學三真題一、選擇題(1~8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四【解析】由limx→+coy=limx→+ox2+xx2-1=1=limx→-【考點】高等數(shù)學—一元函數(shù)微分學—函數(shù)圖形的凹凸、拐點及漸近線(2)設(shè)函數(shù)fx=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n),其中n為正整數(shù)，則fO=【解析】【方法1】令gx=(e2x-2)…(enx-n),則【方法2】由于fO=0,由導數(shù)定義知f'O=limx→0f(x)x=limx→0(ex-1)(=limx→0(ex-1)x·limx→0(e2x-2【方法3】則(B)(C)(D)均不正確綜上所述，本題正確答案是(A)【考點】高等數(shù)學—一元函數(shù)微分學—導數(shù)和微分的概念(3)設(shè)函數(shù)f(t)連續(xù)，則二次積分0π2d02cos02f(r2)rdr=【解析】x2+y2=4,r=2cos所對應的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1。綜上所述，本題正確答案是(B)?！究键c】高等數(shù)學—多元函數(shù)微積分學—二重積分的概念、基本【答案】D?！窘馕觥坑杉墧?shù)n=1%(-1)nnsin1na絕對收斂，且當n→~時(-1)nnsin1na~1na-12,故α-12>1,即α>32由級數(shù)n=1%(-1)nn2-α條件收斂，知α<2綜上所述，本題正確答案是(D)【考點】高等數(shù)學—無窮級數(shù)一數(shù)項級數(shù)斂散性的判定任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為【解析】綜上所述，本題正確答案是(C)。【考點】線性代數(shù)一向量一向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)【答案】B?！窘馕觥坑捎赑經(jīng)列變換(把第2列加至第1列)為Q,有=100-110001100010002100110001綜上所述，本題正確答案是(B)?！窘馕觥考磃x,y是在正方形0<x<1,0<y<1上等于常數(shù)1,其余地方均為0,量分布二、填空題(9~14小題，每小題4分，共24分。)(tanx)1cosx-sinx=[1+(talimx→π4tanx-1cosx-sinx=limx→π4tanx-1cosx(1-tanx)=limx【答案】4In2【答案】le【解析】【考點】高等數(shù)學—一元函數(shù)微分學—導數(shù)和微分的概念(11)設(shè)連續(xù)函數(shù)z=f(xy)滿足limx→0y→1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0, o【答案】2dx-dy【解析】【考點】高等數(shù)學—多元函數(shù)的微分學—多元函數(shù)偏導數(shù)的概念(12)由曲線y=4x和直線y=x及y=4x【解析】曲線y=4x和直線y=x及y=4x在第一象限中圍成的平面域如下圖，則所圍面積為【考點】高等數(shù)學—一元函數(shù)積分學—定積分的應用(13)設(shè)A為3階矩陣，A=3,A*為A的伴隨矩陣。若交換A的第1行與第2行得到矩陣B,則BA*=【答案】-27【解析】【方法1】兩行互換兩列互換A變成B,所以A=-B,再由行列式乘法公式及【方法2】根據(jù)題意【考點】線性代數(shù)一行列式—行列式的概念和基本性質(zhì)線性代數(shù)—矩陣—伴隨矩陣，矩陣的初等變換?！敬鸢浮?4【解析】A,C互不相容，自然有C>A,當然更有C>AB,所以PABC=P(ABC)P(C)=P(AB)1-P(C【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計一隨機事件和概率—事件的關(guān)系與運算，概率的基本公式，事件的獨立性三、解答題：15~23小題，共94分。解答應寫出文字說明、證明過【解析】【方法1】limx→0ex2-e2-2cosxx4=limx→0e2-2cosxlimx→=limx→0x2-2+2cosxx4(等價無窮小代換)=12limx→01-cosx3x2=16limx→0【方法2】limx→0ex2-e2-2cosxx4=limx→0e2-2cosxlimx=limx→0x2-2+2cosxx4(等價無窮小代換)=limx→0x2-2+2(1-x22!+x44!【方法3】limx→0ex2-e2-2cosxx4=·limx→0eξ(日中值定理)【考點】高等數(shù)學—函數(shù)、極限、連續(xù)—無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較，極限的四則運算高等數(shù)學—一元函數(shù)微分學—微分中值定理，洛必達(L'Hospital)法則(16)計算二重積分D其中D是以曲線y=x,y=1x及y軸為邊【解析】D算且這兩種產(chǎn)品的邊際成本分別為20+x2(萬元/件)與6+y(萬元/(II)當總產(chǎn)量為50件時，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時可使總成本最小?求最小成本；(III)求總產(chǎn)量為50件且總成本最小時甲產(chǎn)品的邊際成本，并解【解析】(I)總成本函數(shù)Cxy=10000+20x+x24+6y+y22(萬元)數(shù)Fx,y,λ=Cx,y+λx+y-50=10000+20x+x24+6y+y22解方程組F'x=20+x2+λ=0,F'y=6+y+λ=0,x+y-50=0.得甲乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別是24,26時可使總成本最小，且此時投Cminx,y=10000+20×24+2424+6×26+其經(jīng)濟意義為：當甲乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別是24,26時，若甲的產(chǎn)量每增加一件，則總成本增加32萬元。【解析】【方法1】于是fO=0是函數(shù)fx在(-1,1)內(nèi)的最小值。【方法2】由于ln1+x1-x>02x1-x2>2x=x+x>x+sinx從而有fx>0,x∈(-1,1)有fO=0【考點】高等數(shù)學—一元函數(shù)微分學—導數(shù)和微分的概念，導數(shù)和微分的四則運算，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值(19)已知函數(shù)fx滿足方程f'x+fx-2fx=0及f'x+fx=2ex(II)求曲線y=f(x2)0xf(-t2)dt的拐點?！窘馕觥?I)聯(lián)立f'x+fx-2fx=0,f'x+fx得fx-3fx=-2ex,因此代入f'x+fx=2ex,得C=0,所以fx=exy"=2x+2(1+2x2)ex20xe-【考點】高等數(shù)學—一元函數(shù)微分學—導數(shù)和微分的概念，導數(shù)和微分的四則運算，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線(20)設(shè)A=1a0001a0001aa001,β=1-100.(II)當實數(shù)a為何值時，方程組Ax=有無窮多解，并求其通解?！窘馕觥?I)按第一列展開A=1·1a001a001+a-14+1a001a001a(II)當A=0時，方程組Ax=有無窮多解，由上可知a=1或-111000110001110011-100→11000110000110001100111-10-2→11000110001rA=3,rA=4,方程組無解，舍去→rA=3=rA,方程組有無窮多解，取x4為自由變量，得方程組通解為【考點】線性代數(shù)一線性方程組—線性方程組有解和無解的判定，非齊次線性方程組的通解(21)已知A=101011-10aOa-1,二次型fx1,x2,x3=xT(ATA)x的秩為2(II)求正交變換x=Qy將f化為標準形?！窘馕觥?I)因為rATA=r(A),對A做初等行變換所以，當a=-1時，rA=2(II)由于a=-1,所以ATA=202022224,矩陣ATA的特征多項式為λE-ATA=λ-20-20λ-2-2-2-2λ-4=λ(λ-2于是ATA的特征值為λ1=2,λ2=6,λ3=0當λ1=2時，由方程組2E-ATAx=0,可得到屬于λ1=2的一個單位當λ2=6時，由方程組6E-ATAx=0,可得到屬于λ2=6的一個單位特征向量16(1,1,2)T;當λ3=0時，由方程組OE-ATAx=0,可得到屬于λ3=0的一個單位質(zhì)0120120000【解析】PX=0=14+