專題07 翻轉折疊問題（精講）-2019年中考數學高頻考點突破全攻略（解析版）

【課標解讀】 折疊問題題型多樣，變化靈活，從考察學生空間想象能力與動手操作能力的實踐操作題，到直接運用折疊相關性質的說理計算題，發(fā)展到基于折疊操作的綜合題，甚至是壓軸題.?考查的著眼點日趨靈活，能力立意的意圖日漸明顯.這對于識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了比以往更高的要求.本專題內容在考查中常涉及到特殊平行四邊形的折疊與性質、特殊三角形的判定、勾股定理的運用，角平分線的性質等.因此考生在復習中應熟練掌握一些基本圖形的性質和判定定理以及圖形折疊的性質.圖形折疊是中考中常考題型，這種題型主要考察學生對圖形的認知，特別是考察軸對稱的性質、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知識綜合運用?！窘忸}策略】有關圖形折疊的相關計算，首先要熟知折疊是一種軸對稱變換，即位于折痕兩側的圖形關于折痕成軸對稱；然后根據圖形折疊的性質，即折疊前、后圖形的對應邊和對應角相等，對應點的連線被折痕垂直平分進行相關計算.圖形的折疊通常和動點問題結合在一起進行考查，常見的問題類型有以下3種：（1）求線段的取值范圍；（2）求最值問題；（3）分類討論線段長度.【考點深剖】★考點一涉及特殊三角形的翻轉折疊【典例1】（2018·浙江臨安·8分）如圖，△OAB是邊長為2+的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點B在y軸正方向上，將△OAB折疊，使點A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF．（1）當A′E∥x軸時，求點A′和E的坐標；（2）當A′E∥x軸，且拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A′和E時，求拋物線與x軸的交點的坐標；（3）當點A′在OB上運動，但不與點O、B重合時，能否使△A′EF成為直角三角形？若能，請求出此時點A′的坐標；若不能，請你說明理由．【考點】待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換、直角三角形的判定和性質.【分析】（1）當A′E∥x軸時，△A′EO是直角三角形，可根據∠A′OE的度數用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+，由此可求出OA′的長，也就能求出A′E的長．據此可求出A′和E的坐標；（2）將A′，E點的坐標代入拋物線中，即可求出其解析式．進而可求出拋物線與x軸的交點坐標；（3）根據折疊的性質可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能為直角，因此要使△A′EF成為直角三角形只有兩種可能：①∠A′EF=90°，根據折疊的性質，∠A′EF=∠AEF=90°，此時A′與O重合，與題意不符，因此此種情況不成立．②∠A′FE=90°，同①，可得出此種情況也不成立．因此A′不與O、B重合的情況下，△A′EF不可能成為直角三角形．（2）因為A′、E在拋物線上，所以，所以，函數關系式為y=﹣x2+x+1，由﹣x2+x+1=0，得x1=﹣，x2=2，與x軸的兩個交點坐標分別是（，0）與（，0）．所以不能使△A′EF成為直角三角形．學科&網★考點二涉及特殊四邊形的翻轉折疊【典例2】（2018湖北荊州）（8.00分）如圖，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合，得到折痕MN，將紙片展平；再一次折疊，使點D落到MN上的點F處，折痕AP交MN于E；延長PF交AB于G．求證：（1）△AFG≌△AFP；（2）△APG為等邊三角形．【分析】（1）由折疊的性質得到M、N分別為AD、BC的中點，利用平行線分線段成比例得到F為PG的中點，再由折疊的性質得到AF垂直于PG，利用SAS即可得證；（2）由（1）的全等三角形，得到對應邊相等，利用三線合一得到∠2=∠3，由折疊的性質及等量代換得到∠PAG為60°，根據AP=AG且有一個角為60°即可得證．【解答】證明：（1）由折疊可得：M、N分別為AD、BC的中點，∵DC∥MN∥AB，∴F為PG的中點，即PF=GF，由折疊可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2，在△AFP和△AFG中，，∴△AFP≌△AFG（SAS）；★考點三涉及圓知識的翻轉折疊【典例3】如圖，點O是圓形紙片的圓心，將這個圓形紙片按下列順序折疊，使和都經過圓心O，則陰影部分的面積是⊙O面積的（）A.B.C.D.解：作OD⊥AB于點D，連接AO，BO，CO，∵OD=AO，∴∠OAD=30°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴陰影部分的面積=S扇形AOC=×⊙O面積．故選：B．★考點四涉及函數的翻轉折疊【典例4】（2018·重慶市B卷）（12.00分）拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．（1）如圖1，連接CD，求線段CD的長；（2）如圖2，點P是直線AC上方拋物線上一點，PF⊥x軸于點F，PF與線段AC交于點E；將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對應線段是O1B1，當PE+EC的值最大時，求四邊形PO1B1C周長的最小值，并求出對應的點O1的坐標；（3）如圖3，點H是線段AB的中點，連接CH，將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置，再將△O2B2C繞點B2旋轉一周在旋轉過程中，點O2，C的對應點分別是點O3，C1，直線O3C1分別與直線AC，x軸交于點M，N．那么，在△O2B2C的整個旋轉過程中，是否存在恰當的位置，使△AMN是以MN為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長；若不存在，請說明理由．（3）先確定對折后O2C落在AC上，△AMN是以MN為腰的等腰三角形存在四種情況：①如圖4，AN=MN，證明△C1EC≌△B2O2M，可計算O2M的長；②如圖5，AM=MN，此時M與C重合，O2M=O2C=；③如圖6，AM=MN，N和H、C1重合，可得結論；④如圖7，AN=MN，過C1作C1E⊥AC于E證明四邊形C1EO2B2是矩形，根據O2M=EO2+EM可得結論．（2）在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，則﹣x2﹣x+=0，解得：x1=﹣3，x2=，∴A（﹣3，0），B（，0），∵C（0，），易得直線AC的解析式為：y=，設E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，Rt△ACO中，AO=3，OC=，∴AC=2，∴∠CAO=30°，∴AE=2EF=，∴PE+EC=（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE），=﹣﹣x+[2﹣（）]，=﹣﹣x﹣x，=﹣（x+2）2+，（5分）∴當PE+EC的值最大時，x=﹣2，此時P（﹣2，），（6分）∴PC=2，∵O1B1=OB=，∴要使四邊形PO1B1C周長的最小，即PO1+B1C的值最小，（3）O2M的長度為或或2+或2．（12分）理由是：如圖3，∵H是AB的中點，∴OH=，∵OC=，∴CH=BC=2，∴∠HCO=∠BCO=30°，∵∠ACO=60°，∴將CO沿CH對折后落在直線AC上，即O2在AC上，∴∠B2CA=∠CAB=30°，∴B2C∥AB，∴B2（﹣2，），①如圖4，AN=MN，∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，由旋轉得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，過C1作C1E⊥B2C于E，∵B2C=B2C1=2，∴=B2O2，B2E=，∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，∠B2O2M=∠C1EC=90°，∴△C1EC≌△B2O2M，∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣；④如圖7，AN=MN，過C1作C1E⊥AC于E，∴∠NMA=∠NAM=30°，∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，∴C1B2∥AC，∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，∵∠C1EC=90°，∴四邊形C1EO2B2是矩形，∴EO2=C1B2=2，，∴EM=，∴O2M=EO2+EM=2+，綜上所述，O2M的長是或或2+或2．★考點五涉及綜合圖形翻轉折疊【典例5】（2018黑龍江齊齊哈爾）（12.00分）綜合與實踐折紙是一項有趣的活動，同學們小時候都玩過折紙，可能折過小動物、小花、飛機、小船等，折紙活動也伴隨著我們初中數學的學習在折紙過程中，我們可以通過研究圖形的性質和運動、確定圖形位置等，進一步發(fā)展空間觀念，在經歷借助圖形思考問題的過程中，我們會初步建立幾何直觀，折紙往往從矩形紙片開始，今天，就讓我們帶著數學的眼光來玩一玩折紙，看看折疊矩形的對角線之后能得到哪些數學結論．實踐操作如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，使點B′落在矩形ABCD所在平面內，B'C和AD相交于點E，連接B′D．解決向題（1）在圖1中，①B′D和AC的位置關系為；②將△AEC剪下后展開，得到的圖形是；（2）若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r（AB≠BC），如圖2所示，結論①和結論②是否成立，若成立，請?zhí)暨x其中的一個結論加以證明，若不成立，請說明理由；（3）小紅沿對角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現所得圖形是軸對稱圖形，沿對稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對稱圖形，則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為；拓展應用（4）在圖2中，若∠B=30°，AB=4，當△AB′D恰好為直角三角形時，BC的長度為．【解答】解：（1）①BD′∥AC．②將△AEC剪下后展開，得到的圖形是菱形；故答案為BD′∥AC，菱形；（2）①選擇②證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′=∠ACB，∴∠DAC=∠ACB′，∴AE=CE，∴△AEC是等腰三角形；∴將△AEC剪下后展開，得到的圖形四邊相等，∴將△AEC剪下后展開，得到的圖形四邊是菱形．（3）①當矩形的長寬相等時，滿足條件，此時矩形紙片的長寬之比為1：1；∵∠AB′D+∠ADB′=90°，∴y﹣30°+y=90°，②當矩形的長寬之比為：1時，滿足條件，此時可以證明四邊形ACDB′是等腰梯形，是軸對稱圖形；綜上所述，滿足條件的矩形紙片的長寬之比為1：1或：1；（4）∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∴四邊形ACB′D是等腰梯形，∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，∵△AB′D是直角三角形，當∠B′AD=90°，AB＞BC時，如圖3中，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∴四邊形ACB′D是等腰梯形，∵∠ADB′=90°，∴四邊形ACB′D是矩形，∴∠ACB′=90°，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，AB=4，∴BC=AB=×4=6；當∠B′AD=90°，AB＜BC時，如圖5，當∠AB′D=90°時，如圖6，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∴四邊形ACDB′是等腰梯形，∵∠AB′D=90°，∴四邊形ACDB′是矩形，∴∠BAC=90°，∵∠B=30°，AB=4，∴BC=AB÷=8；∴已知當BC的長為4或6或8或12時，△AB′D是直角三角形．故答案為：平行，菱形，1：1或：1，4或6或8或12；學科&網【講透練活】變式1：（2018廣西南寧）（3.00分）如圖，矩形紙片ABCD，AB=4，BC=3，點P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE、DE分別交AB于點O、F，且OP=OF，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．【解答】解：根據折疊，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．設EF=x，則BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=，∴DF=4﹣x=，∴cos∠ADF==．故選：C．變式2：．（2018貴陽）（12.00分）如圖，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC邊上的一點，且BP=2CP．（1）用尺規(guī)在圖①中作出CD邊上的中點E，連接AE、BE（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖②，在（1）的條體下，判斷EB是否平分∠AEC，并說明理由；（3）如圖③，在（2）的條件下，連接EP并廷長交AB的廷長線于點F，連接AP，不添加輔助線，△PFB能否由都經過P點的兩次變換與△PAE組成一個等腰三角形？如果能，說明理由，并寫出兩種方法（指出對稱軸、旋轉中心、旋轉方向和平移距離）【解答】解：（1）依題意作出圖形如圖①所示，（2）EB是平分∠AEC，理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=，∵點E是CD的中點，∴DE=CE=CD=1，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE，∴∠AED=∠BEC，在Rt△ADE中，AD=，DE=1，∴tan∠AED==，∴∠AED=60°，∴∠BCE=∠AED=60°，∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC，∴BE平分∠AEC；在Rt△ABP中，tan∠BAP==，∴∠PAB=30°，∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB，∵CB⊥AF，∴AP=FP，∴△AEP≌△FBP，∴△PFB能由都經過P點的兩次變換與△PAE組成一個等腰三角形，變換的方法為：將△BPF繞點B順時針旋轉120°和△EPA重合，①沿PF折疊，②沿AE折疊．變式3：(2018四川省綿陽市)如圖，已知△ABC的頂點坐標分別為A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。動點M，N同時從A點出發(fā)，M沿A→C,N沿折線A→B→C，均以每秒1個單位長度的速度移動，當一個動點到達終點C時，另一個動點也隨之停止移動，移動時間記為t秒。連接MN。

（1）求直線BC的解析式；（2）移動過程中，將△AMN沿直線MN翻折，點A恰好落在BC邊上點D處，求此時t值及點D的坐標；（3）當點M,N移動時，記△ABC在直線MN右側部分的面積為S，求S關于時間t的函數關系式。

（2）解：依題可得：AM=AN=t，

∵△AMN沿直線MN翻折，點A與點點D重合，

∴四邊形AMDN為菱形，

作NF⊥x軸，連接AD交MN于O′，

∵A（3，0），B（0，4），

∴OA=3,OB=4，

∴AB=5,

∴M（3-t，0），

又∵△ANF∽△ABO，

∴==,

∴==,

∴AF=t，NF=t，

∴N（3-t，t），

∴O′（3-t,t），

又∵D在直線BC上，

∴×（3-t）+4=t，

∴t=，

∴D（-，）.

（3）①當0<t≤5時（如圖2），

△ABC在直線MN右側部分為△AMN，

∴S==·AM·DF=×t×t=t,

②當5<t≤6時，△ABC在直線MN右側部分為四邊形ABNM，如圖3

=-t+t-12.學科&網變式4：（2018·湖北省武漢·10分）已知點A（a，m）在雙曲線y=上且m＜0，過點A作x軸的垂線，垂足為B．（1）如圖1，當a=﹣2時，P（t，0）是x軸上的動點，將點B繞點P順時針旋轉90°至點C，①若t=1，直接寫出點C的坐標；②若雙曲線y=經過點C，求t的值．（2）如圖2，將圖1中的雙曲線y=（x＞0）沿y軸折疊得到雙曲線y=﹣（x＜0），將線段OA繞點O旋轉，點A剛好落在雙曲線y=﹣（x＜0）上的點D（d，n）處，求m和n的數量關系．【解答】解：（1）①如圖1﹣1中，由題意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3，∴C（1，3）．②圖1﹣2中，由題意C（t，t+2），∵點C在y=上，∴t（t+2）=8，∴t=﹣4或2，（2）如圖2中，變式5：（2018包頭）（12.00分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一個動點．（1）如圖1，連接BD，O是對角線BD的中點，連接OE．當OE=DE時，求AE的長；（2）如圖2，連接BE，EC，過