應(yīng)用回歸分析-第2章課后習(xí)題參考答案

未知驅(qū)動(dòng)探索，專(zhuān)注成就專(zhuān)業(yè)應(yīng)用回歸分析_第2章課后習(xí)題參考答案1.簡(jiǎn)答題1.1什么是回歸分析？回歸分析是一種統(tǒng)計(jì)建模方法，用于研究自變量與因變量之間的關(guān)系。它通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)已知的自變量和因變量數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)因變量與自變量之間的關(guān)系，并進(jìn)行相關(guān)的推斷和預(yù)測(cè)。1.2什么是簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸和多元線(xiàn)性回歸？簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸是指只包含一個(gè)自變量和一個(gè)因變量的回歸模型，通過(guò)擬合一條直線(xiàn)來(lái)描述兩者之間的關(guān)系。多元線(xiàn)性回歸是指包含多個(gè)自變量和一個(gè)因變量的回歸模型，通過(guò)擬合一個(gè)超平面來(lái)描述多個(gè)自變量和因變量之間的關(guān)系。1.3什么是殘差？殘差是指回歸模型中，觀測(cè)值與模型預(yù)測(cè)值之間的差異。在回歸分析中，我們希望最小化殘差，使得模型與觀測(cè)數(shù)據(jù)的擬合效果更好。1.4什么是擬合優(yōu)度？擬合優(yōu)度是用來(lái)評(píng)估回歸模型對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的擬合程度的指標(biāo)。一般使用R方（CoefficientofDetermination）來(lái)表示擬合優(yōu)度，其值范圍為0到1，值越接近1表示模型擬合效果越好。2.計(jì)算題2.1簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸假設(shè)我們有一組數(shù)據(jù)，其中X為自變量，Y為因變量，如下所示：X們想要建立一個(gè)簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸模型，計(jì)算X與Y之間的線(xiàn)性關(guān)系。首先，我們需要計(jì)算擬合直線(xiàn)的斜率和截距。根據(jù)簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸模型的公式Y(jié)=β0+β1*X，我們可以通過(guò)最小二乘法計(jì)算出斜率和截距的估計(jì)值。首先，計(jì)算X和Y的均值：mean_x=(1+2+3+4+5)/5=3

mean_y=(3+5+7+9+11)/5=7然后，計(jì)算X和Y的方差：var_x=((1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2)/5=2

var_y=((3-7)^2+(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(11-7)^2)/5=8接下來(lái)，計(jì)算X和Y的協(xié)方差：cov_xy=((1-3)*(3-7)+(2-3)*(5-7)+(3-3)*(7-7)+(4-3)*(9-7)+(5-3)*(11-7))/5=4根據(jù)最小二乘法的公式：β1=cov_xy/var_x=4/2=2

β0=mean_y-β1*mean_x=7-(2*3)=1因此，擬合直線(xiàn)的方程為：Y=1+2X。2.2多元線(xiàn)性回歸假設(shè)我們有一組數(shù)據(jù)，其中X1和X2為自變量，Y為因變量，如下所示：X1X2Y125238341145145617我們想要建立一個(gè)多元線(xiàn)性回歸模型，計(jì)算X1、X2與Y之間的線(xiàn)性關(guān)系。首先，我們需要計(jì)算回歸系數(shù)的估計(jì)值。根據(jù)多元線(xiàn)性回歸模型的公式Y(jié)=β0+β1X1+β2X2，我們可以通過(guò)最小二乘法計(jì)算出回歸系數(shù)的估計(jì)值。首先，定義自變量矩陣X和因變量向量Y：X=[[1,2],[2,3],[3,4],[4,5],[5,6]]

Y=[5,8,11,14,17]然后，計(jì)算X的轉(zhuǎn)置矩陣X’和X’與X的乘積X’X：X'=[[1,2,3,4,5],[2,3,4,5,6]]

X'X=[[55,70],[70,95]]接下來(lái)，計(jì)算X’與Y的乘積X’Y：X'Y=[195,260]最后，根據(jù)最小二乘法的公式：β=inv(X'X)*X'Y=[[-0.5],[2.5]]因此，回歸模型的方程為：Y=-0.5*X1+2.5*X2。3.思考題3.1殘差分布檢驗(yàn)在回歸分析中，殘差分布檢驗(yàn)用于檢查回歸模型中殘差是否滿(mǎn)足正態(tài)分布的假設(shè)。一種常用的方法是繪制殘差分布的Q-Q圖。Q-Q圖是一種圖形工具，用于比較兩個(gè)概率分布之間的差異。在殘差分布檢驗(yàn)中，我們將殘差的排序值與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的排序值進(jìn)行比較，并繪制成散點(diǎn)圖。如果殘差分布滿(mǎn)足正態(tài)分布假設(shè)，那么散點(diǎn)圖中的點(diǎn)應(yīng)該近似位于一條直線(xiàn)上。如果出現(xiàn)明顯的彎曲或扭曲，則表示殘差分布不滿(mǎn)足正態(tài)分布假設(shè)，可能需要進(jìn)行進(jìn)一步的分析和修正。3.2多重共線(xiàn)性檢驗(yàn)多重共線(xiàn)性是指回歸模型中自變量之間存在高度相關(guān)性的情況。當(dāng)自變量之間存在高度相關(guān)性時(shí)，模型的系數(shù)估計(jì)可能不穩(wěn)定，且可能會(huì)導(dǎo)致誤差增大。一種常用的多重共線(xiàn)性檢驗(yàn)方法是計(jì)算自變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣，并查看相關(guān)系數(shù)的大小。如果相關(guān)系數(shù)接近于1或-1，則表示自變量之間存在高度相關(guān)性。另一種方法是計(jì)算方差膨脹因子（VIF），VIF越大表示自變量之間的相關(guān)性越強(qiáng)。如果檢驗(yàn)結(jié)果顯示存在多重共線(xiàn)性問(wèn)題，可以考慮采取以下措施：-刪除高度相關(guān)的自變量；-結(jié)合領(lǐng)域知識(shí)進(jìn)行變量選擇；-使用主成分分析或因子分析等方法進(jìn)行降維；-使用正則化方法（如嶺回歸或LASSO回歸）來(lái)處理多重共線(xiàn)性。參考文獻(xiàn)Kutner,M.H.,Nachtsheim,C.J.,Neter,J.,&Li,W.(2004).AppliedLinearStatisticalModels(5thed.).McGraw-Hill.Mo