遼寧省大連市綜合高級(jí)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

遼寧省大連市綜合高級(jí)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試

題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.設(shè)/為直線，4力是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是

兒若〃則B.若以aJ-從財(cái)a%

c.心則a%D.若a_及/〃a,則/1/?

參考答案：

【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)

系G3G4G5

【答案解析】B解析：若〃〃△則平面a〃可能相交，此時(shí)交線與/平行，故A錯(cuò)

誤；

若a,1_LB,根據(jù)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，可得B正確；

若l，a,1〃B,則存在直線mU6,使l〃m,則m_La,故此時(shí)aJ.B,故C錯(cuò)誤；

若a_￡B,l〃a,則1與B可能相交，可能平行，也可能線在面內(nèi)，故D錯(cuò)誤；

故選：B

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線面平行的幾何特征及面面平行的判定方法，可判斷A；

根據(jù)面面平行的判定方法及線面垂直的幾何特征，可判斷B；

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，線面垂直及面面垂直的判定定理，可判斷C；

根據(jù)面面垂直及線面平行的幾何特征，可判斷D.

x-y+2>0

1x+尸-4之0

2.已知實(shí)數(shù)XJ滿足不等式組二工一尸一^,。,目標(biāo)函數(shù)z=>-ax(aeR).若取最大值

時(shí)的唯一最優(yōu)解是(1,3),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.「xo)B,(…)C.")

D.（2.-HO）

參考答案:

B

3.閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（）.

A.：B.13C.33D.123

參考答案：

B

4.己知函數(shù)/8）=。1吸工+61/3"2且'（而^",則」（2010）的值為（）

A.-4B.2C.0D.-2

參考答案：

C

5.若定義在R上的偶函數(shù)/㈤滿足/（X+2）=/㈤且X€[0.1]時(shí),〃x）=九則方程

/‘"二四3卜|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4

個(gè)D.多于4個(gè)

參考答案：

C

6.設(shè)全集將甲、乙、丙、丁、戊共五位同學(xué)分別保送到北大、上海交大和浙大3所大學(xué),

若每所大學(xué)至少保送1人，且甲不能被保送到北大，則不同的保送方案共有多少種？

A.150B.114C.100D.72

參考答案：

C

先將五人分成三組，因?yàn)橐竺拷M至少一人，所以可選擇的只有2,2,1或者3,1,1,

+5=25

所以共有—2~-20種分組方法。因?yàn)榧撞荒苋ケ贝?，所以有甲的那組只有

交大和浙大兩個(gè)選擇，剩下的兩組無(wú)約束，一共4種排列，所以不同的保送方案共有

25x4=100種。

7.“卜7<2成立”是“x(x-3)<0成立，，的

A.既不充分也不必要條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.必要不充分條件

參考答案：

D

略

-2i

8.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)K的虛部為()

A.2B.-1C.1D.-2

參考答案：

B

9.設(shè)｛即｝是等差數(shù)列，從｛“I,s，的，…，3。｝中任取3個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)

仍成等差數(shù)列，則這樣不同的等差數(shù)列最多有

(A)9()個(gè)(B)120個(gè)(C)16()個(gè)(D)180個(gè)

參考答案:

D

略

10.某程序框圖如圖所示，若輸出的S=120,則判斷框內(nèi)應(yīng)為

（型a）

I1+1I

|S=2S+kI

/■出5/

A4>4?B.4>5?ci>6?D,4>7?

參考答案：

B

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.函數(shù)/⑶.J-3/+6在，=處取得

極小值.

參考答案：

x-2

12.已知向量。=G9,3=（RD,若S-W，。，則實(shí)數(shù)K等于.

參考答案：

7

因?yàn)镚-U=。一。9,所以G-?_LG=>6-*X3+3X4=0=>*=7,故答

案為7.

13.設(shè)關(guān)于x的方程*2-"+1）（/-從+1）=°的四個(gè)實(shí)根構(gòu)成以g為公比的

^€[-,2],

等比數(shù)列，若31則而的取值范圍是.

參考答案：

吟】

1+—

14.數(shù)式1+…中省略號(hào)"…”代表無(wú)限重復(fù)，但該式是一個(gè)固定值，可以用如下方法

石+1

求得：令原式X,則X,則,T-1一?，取正值得-2.用類似方法可得

42?^2+-

參考答案：

4

【分析】

根據(jù)類比的方式，設(shè)原式=￡,構(gòu)造方程2+“不=，，解出上的值即可.

【詳解】令原式=￡,則2*d=f,解得：1=4，32+=4

本題正確結(jié)果：4

【點(diǎn)睛】本題考查類比推理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確理解已知中的式子的形式，屬于基礎(chǔ)

題.

15.已知橢圓的半焦距為c,且滿足。,一"土?＜：0,則該橢圓的

離心率e的取值范圍是.

參考答案：

J33

+ac<0,c-(o-c)+oc<0,即2c‘-J+w<0,“2了"江<“即

…-1<?<—..0<—

"+51<0,解得2,又0<e<l,2.

16.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F且與該拋物線相交于A、B兩

點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方，若直線/的傾斜角為60。則AOAF的面積

為。

參考答案：

17.函數(shù)f(x)=|log3x|在區(qū)間［a,b］上的值域?yàn)椋?,1］,則b—a的取值范圍

為_(kāi)_________________

參考答案：

'28'

,3,3.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.(本小題滿分12分)

.Ar

/(X)-----(IX.C

設(shè)函數(shù)Inx'為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(/,/(/))處的切線方程為3r-4/-e'_0,求實(shí)數(shù)a,

b的值；

(2)當(dāng)b=l時(shí)，若存在工，》"一％」］,使/(X.)4/'(與)+°成立，求實(shí)數(shù)a的最小

值

參考答案：

【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；不等式的有關(guān)知識(shí).BllB12E8

1

(l)a=l,b=l；(2)24/.

./、bQnx-1)

/(X)=a

解析：(1)由已知得x>o,xWi,\(imx)?~

y(e3］=^--ae3=--f(ea)=--o=--

則一'J22且''44,解之得a=l,b=l.

a

(2)當(dāng)b=l時(shí),白網(wǎng)4

」-=」nx=/=1_Q

所以當(dāng)Inx2時(shí)，'4

而命題“若存在X＞X;fcI'—'I,使/（X.）＜/'（&）成立”等價(jià)于

［%/］時(shí)，有/（取4/（力“+。

“當(dāng)xe

㈤時(shí)，'（?=",所以八五+7

又當(dāng)XW

［??〃］時(shí)，有

問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)工￡

1當(dāng)04時(shí),

，（力在［%『］上為減函數(shù)，則〃E一""彳

故“4T

1

由于《AzQ在［'"1上的值域?yàn)橐?/p>

2當(dāng)4時(shí),4

（I）當(dāng)一。20=。工0時(shí),/'（x）NO在卜恒成立,故〃x）在值『］上為增函

數(shù),

于是〃XL=⑷"74,不合題意.

（H）當(dāng)一。＜0即"""時(shí)，由/,a）的單調(diào)性和值域知，存在唯一“￡（'?1）使

/卜）?0,且滿足：當(dāng)xe（"）時(shí)，/*（*）＜0,為減函數(shù);當(dāng)*e（M）時(shí),

一心、n/5口=〃4）=4-哄，/

/（藺＞0,f（x）為增函數(shù)；所以R升4,

所以心我-總白-99冷,與。矛盾.

綜上得a的最小值為2一審.

【思路點(diǎn)撥】⑴由點(diǎn)（/，/（/））在切線方程為3x-4/-e：-0及

'/44

得a,b的值；（2）命題“若存在Xr&Te?I,使/優(yōu)）＜/'（々）+。成立”等價(jià)于

“當(dāng)時(shí)，有』（力."（力?+""，這樣把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，然后利用

函數(shù)最值，以及導(dǎo)數(shù)，確定涉及到的函數(shù)的最值，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)a的最小值.

【典例剖析】本題第二小問(wèn)題是具有代表性的問(wèn)題，由于的取值相互之間沒(méi)有影

響，所以命題“若存在I,使/（x）4/'（x?）+a成立”等價(jià)于

“存在］時(shí)有/（""WBM”，又當(dāng)時(shí)，，（"*一彳

所以,（X”秋+“一彳所以問(wèn)題等價(jià)于：“存在X時(shí)，有‘（“'彳"，所以只

/（xl＜-

需使-%*4即可.

19.已知函數(shù)132J,（4^毛星且。）。）.

（1）當(dāng)十二1?石=。時(shí)，若已知不多是函數(shù)〃9的兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿足：

胃＜】＜馬＜2,求證：r（-i）＞3,

（2）當(dāng)4=0-4=】時(shí)，①求實(shí)數(shù)*=/（x）一3（l+h3）x（x＞0）的最小值；②對(duì)于任意

正實(shí)數(shù)當(dāng)a$6+c=3時(shí)，求證：H+AT+d5fA9.

參考答案：

（1）詳見(jiàn)解析（2）①-3.3②詳見(jiàn)解析

tUtfrl

{盟:阿可

試就分析?（i）先承導(dǎo)s?r（x）?H2+e-i）x+i,再根售一元二;欠方11次搐分布物

a^b<0

,辦.c,而/（T）=a-b+2,可根黑線性則M，卜值,也可利用不等式等量代1ft求?小

{W"T>Q

值,電力T代ii<2>①利*悻由州區(qū)先求導(dǎo)。7?3，*加工+1）-3（上3+1）,再睢等麗*

a,x=1,■后多倍分析餐值取法G>分析要g論與已蠅8論關(guān)系是第決*H的關(guān)&：由①如I

Z'23（l+b3）x-3l?3,當(dāng)x分伽。也土?xí)r有

63°士即+b3.-3b3b3>乂l+loDHOcnaa-IUKTS,又a+?,c=3,械

三武聞B昭G*+A3*，e3'±9

試題解析：⑴當(dāng)4=1冬=°時(shí)，

，(力=，+?/?./*(*)=￡t(*-l)r+)

J/

已知再f是函數(shù)*=兩個(gè)極值點(diǎn)，則耳?'是方程,（X）=°的兩根點(diǎn)

(ro)<oaift<0

<

由a>0,<】<,<2.(Z(2)>0即?>?2^—1>0

/(-l)=a-*+2=-3(a+i)*(4a+2A-l)+3>3...............................

或線性規(guī)劃可M(T)>3.

(2)=0,4=1時(shí)，/(X)=A3'，再y=x?3,-3(l+h3)x,

八3%加.3*-3作3+1)

'.=3乂力“+1)-乂103+1)

令：8任)-3。他3+1)-3(3+1),g'(x)>0.(x>0),所以,是(O.??)哂H.

且x-I盤(pán)它的一個(gè)零點(diǎn)，也建“一的一個(gè)卷點(diǎn)，

瞅：當(dāng)ovxvirt,y<o,當(dāng)x>i時(shí)，y>o,

二當(dāng)X01Ff,y=外3'-3(1+In3)x有最小值為-3hJ-…….“………8分

砂由①W：xT'?3(l+l#3)x-31i?3,當(dāng)8分刖取。也c時(shí)有

o?3,23(1+1n3)a-3ln3.b?3f3(l+ln3)b-31n3,c3t23(l+ln3)e-3ln3,

又a+b+c=3>a*3a+W*+e3'^9—........?12分

考點(diǎn)：函數(shù)極值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)證不等式

【方法點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題的“兩種”常用方法

(1)分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求

該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍.一般地，f(x)》a恒成立，只需f(x)min》a即可；

f(x)Wa恒成立，只需f(x)maxWa即可.

(2)函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù).求該函數(shù)的

極值(最值)，然后構(gòu)建不等式求解.

20.(本小題13分)已知函數(shù)/(x)=lnx+aK>l(a€R)

(I)若a=1時(shí)，求曲線TCD在點(diǎn)(1/?！诽幍那芯€方程；

(II)設(shè)g(W=2*-1,若存在/€(0.+C。),對(duì)于任意必€|■軻聞黛g(A),求a的

取值范圍.

參考答案：

/(r)=lnx+ax4-l(ae/?)xe(0,4-aj)

兒、1,ax+l

xx

(I)當(dāng)a=1J(D=2,k,=/(])=1+1=2.

故T")在點(diǎn)Q/Q))處的切線方程為：廣2=浜-1)，即2x-y=0；

(H)當(dāng)a20j'(x)>。,：/(x)在(0,+oo)為增函數(shù)

當(dāng)此0,/(%)在Q+b)上單調(diào)遞增，

/(xt)>/(0)-1,而g(xa)=2*-1在[0』上單謂遞增，則或““爆麻

因此，當(dāng)4N0時(shí)，一定符合題

意；

當(dāng)a<a令八力>°—一/5)<°2一

aV0JS購(gòu)單州嶇間為(0,二).城區(qū)間為(」,行)

所以，當(dāng)aa

/*)MtNgOOaw=g6=lnln(-3之In-1"<0

由題意知，只需滿足a?

a2——

綜上：e

21.(12分)(2015秋?哈爾濱校級(jí)月考)已知數(shù)列｛a.｝中,

-

a[=2,a|W.1=2an2n^2,nGN*

(I)記b,尸an-2n,求數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公式;

b

(ID設(shè)數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)的和為S0,數(shù)列《｝滿足'"1n+232rb若對(duì)任意

的正整數(shù)n,當(dāng)mW[-2,4]時(shí)，不等式6t?-12mt+l>6以恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范

圍.

參考答案：

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式.

【專題】分類討論：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】(I)*al=2,aft<-l=2an-2n+2,n€N,變形為a”2(n+1)=2[a?-

2n],bn=an-2n,即b*2bn,即可得出.

(II)由(I)可得：bn=an-2n=0,解得an=2n,可得數(shù)列{aj的前n項(xiàng)的和為Sn=r^+n.可

■Xi-1

得Sn=nn+1.利用“裂項(xiàng)求和”可得C”.可得(c.)根據(jù)對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)

me[-2,4]時(shí),不等式6t2-12mt+l>6c“恒成立,即可得出.

【解答】解：⑴Val=2,an+l=2an2n+2,n￡N",

-2(n+1)-2[an-2n],bn=an-2n,

???i—2bn,

而bi=ai-2=0,

可得bn=0.

(II)由(I)可得：bn=an-2n=0,解得an=2n,

n(2+2n)

數(shù)歹U{aj的前n項(xiàng)的和為S?=2=n2+n.

二一1一i,JL

，>n=n(nH)=nn+1.

.=^-+4+…(X--L)]

r.S"iS"S2n=n+1n+2+n+2n*3+?--+2n2n+l

1]nj-i

=n+l-2nH=2n"+3n+l=2n+n+^<6,

1

?,(Cn)max-6.

??,對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)mW[-2,4]時(shí),不等式6t?-12mt+l>6cn恒成立,

A6t2-12mt+l>l,

化為：t(t-2m)>0,

當(dāng)mW（0,4]時(shí)，解得t<0,或t>8；

當(dāng)m=0時(shí)，解得tWO；

當(dāng)mW[-2,0）時(shí)，，解得tV-4,或t>0.

綜上可得：t>8,或tV-4.

，實(shí)數(shù)t的取值范圍是t>8,或t<-4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方

法、變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

22.（本小題滿分14分）

I

已知點(diǎn)（1,3）是函數(shù)/5）=/（。>0.且axl）的圖象上一