常微分方程總結(jié)

常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容)(n階顯式微分方程)微分方程的基本概念一般地,

n

階常微分方程的形式是的階.分類或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1精選ppt課件引例2—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程—確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例1通解:特解:微分方程的解

—不含任意常數(shù)的解,定解條件其圖形稱為積分曲線.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2精選ppt課件定義32.微分方程的解（幾何意義）：3精選ppt課件轉(zhuǎn)化可分離變量微分方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二節(jié)解分離變量方程可分離變量方程第七章4精選ppt課件分離變量方程的解法:設(shè)y＝

(x)是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0時,說明由②確定的隱函數(shù)y＝

(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F’(x)=f(x)≠0時,上述過程可逆,由②確定的隱函數(shù)x＝

(y)也是①的解.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束5精選ppt課件形如的方程叫做齊次方程.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三節(jié)齊次方程6精選ppt課件內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件;2.可分離變量方程的求解方法:說明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個解.例如,方程分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).解;階;通解;特解y=–x

及

y=C

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.齊次方程的求解方法:令7精選ppt課件找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程(如:P263,5(2))

2)根據(jù)物理規(guī)律列方程(如:例4,例5)3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(如:例6)(2)利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3)求通解,并根據(jù)定解條件確定特解.3.解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟機動目錄上頁下頁返回結(jié)束8精選ppt課件一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束9精選ppt課件對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束該定理易讓我們想起《線性代數(shù)》中的一階非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理。10精選ppt課件二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利目錄上頁下頁返回結(jié)束11精選ppt課件內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束12精選ppt課件思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束13精選ppt課件可降階高階微分方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五節(jié)一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第七章解法：降階14精選ppt課件一、令因此即同理可得依次通過

n

次積分,可得含

n

個任意常數(shù)的通解.型的微分方程

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束既不含未知函數(shù)y,也不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解法:連續(xù)積分n次，便得通解。15精選ppt課件型的微分方程

設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、機動目錄上頁下頁返回結(jié)束即含自變量x,不含未知函數(shù)y16精選ppt課件三、型的微分方程

令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束即含有未知函數(shù)y,不含自變量x17精選ppt課件內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束18精選ppt課件思考與練習(xí)1.方程如何代換求解?答:令或一般說,用前者方便些.均可.有時用后者方便.例如,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?答:(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2)遇到開平方時,要根據(jù)題意確定正負號.例6例7機動目錄上頁下頁返回結(jié)束19精選ppt課件n階線性微分方程的一般形式為方程的共性

為二階線性微分方程.例1例2—可歸結(jié)為同一形式:時,稱為非齊次方程;時,稱為齊次方程.復(fù)習(xí):一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y機動目錄上頁下頁返回結(jié)束20精選ppt課件證畢二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)定理1.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束是不是所給二階方程的通解？問題：21精選ppt課件說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解！但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束22精選ppt課件定義:是定義在區(qū)間I上的

n個函數(shù),使得則稱這n個函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間I上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間I上都線性無關(guān).若存在不全為

0的常數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束23精選ppt課件兩個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個恒為0,則必線性相關(guān)(證明略)線性無關(guān)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束24精選ppt課件定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,則數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證)

推論.是n階齊次方程的n個線性無關(guān)解,則方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束25精選ppt課件三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:

將代入方程①左端,得②①復(fù)習(xí)目錄上頁下頁返回結(jié)束26精選ppt課件是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數(shù),例如,方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束27精選ppt課件定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)定理3,定理4均可推廣到n階線性非齊次方程.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束28精選ppt課件定理5.是對應(yīng)齊次方程的n個線性無關(guān)特解,給定n階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束29精選ppt課件*四、常數(shù)變易法復(fù)習(xí):常數(shù)變易法:對應(yīng)齊次方程的通解:設(shè)非齊次方程的解為代入原方程確定對二階非齊次方程情形1.已知對應(yīng)齊次方程通解:設(shè)③的解為③由于有兩個待定函數(shù),所以要建立兩個方程:④機動目錄上頁下頁返回結(jié)束30精選ppt課件⑤令于是將以上結(jié)果代入方程①:得⑥故⑤,⑥的系數(shù)行列式是對應(yīng)齊次方程的解P10目錄上頁下頁返回結(jié)束31精選ppt課件積分得:代入③即得非齊次方程的通解:于是得說明:將③的解設(shè)為只有一個必須滿足的條件即方程③,因此必需再附加一個條件,方程⑤的引入是為了簡化計算.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束32精選ppt課件情形2.僅知③的齊次方程的一個非零特解代入③化簡得設(shè)其通解為積分得(一階線性方程)由此得原方程③的通解:代入③目錄上頁下頁返回結(jié)束33精選ppt課件常系數(shù)

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七節(jié)齊次線性微分方程

基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化第七章34精選ppt課件二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束35精選ppt課件2.當(dāng)時,特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束36精選ppt課件3.當(dāng)時,特征方程有一對共軛復(fù)根利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解（歐拉公式)37精選ppt課件小結(jié):特征方程:實根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束38精選ppt課件若特征方程含k重復(fù)根若特征方程含k重實根r,則其通解中必含對應(yīng)項則其通解中必含對應(yīng)項特征方程:推廣:n階常系數(shù)齊次線性方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束39精選ppt課件由于n次代數(shù)方程有n個根，而每個根對應(yīng)著通解中的一項，且每一項各含一個任意常數(shù)。將上表中各對應(yīng)項相加，就得到n階微分方程的通解。小結(jié):解法40精選ppt課件內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當(dāng)時,通解為(2)當(dāng)時,通解為(3)當(dāng)時,通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束41精選ppt課件思考與練習(xí)求方程的通解.答案:通解為通解為通解為作業(yè)P3101(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3第九節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束42精選ppt課件常系數(shù)非齊次線性微分方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八節(jié)一、二、

第七章

43精選ppt課件二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)f(x)的兩種特殊形式,44精選ppt課件一、

為實數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)

若

不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m次多項式.Q(x)為m次待定系數(shù)多項式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束45精選ppt課件(2)

若

是特征方程的單根,為m次多項式,故特解形式為(3)

若

是特征方程的重根,是m次多項式,故特解形式為小結(jié)對方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時,可設(shè)特解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束46精選ppt課件簡例47精選ppt課件二、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束48精選ppt課件第一步利用歐拉公式將f(x)變形機動目錄上頁下頁返回結(jié)束49精選ppt課件第二步

求如下兩方程的特解

是特征方程的k

重根(k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③

的特解.②③設(shè)則②

有特解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束50精選ppt課件第三步

求原方程的特解

利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

m次多項式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束51精選ppt課件第四步分析因均為

m次實多項式.本質(zhì)上為實函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束52精選ppt課件小結(jié):對非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束53精選ppt課件內(nèi)容小結(jié)

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束54精選ppt課件思考與練習(xí)時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為提示:1.(填空)

設(shè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束55精選ppt課件2.

求微分方程的通解(其中為實數(shù)).解:特征方程特征根:對應(yīng)齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束56精選ppt課件3.

已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束57精選ppt課件機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

第十節(jié)歐拉方程歐拉方程常系數(shù)線性微分方程第十二章58精選ppt課件歐拉方程的算子解法:

則計算繁!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束59精選ppt課件則由上述計算可知:用歸納法可證于是歐拉方程

轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束60精選ppt課件思考:如何解下述微分方程提示:原方程直接令作業(yè)P3192;6;8

第11節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束61精選ppt課件機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一節(jié)微分方程的冪級數(shù)解法一、一階微分方程問題二、二階齊次線性微分方程問題微分方程解法:積分法—只能解一些特殊類型方程冪級數(shù)法—本節(jié)介紹數(shù)值解法—計算數(shù)學(xué)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:

第十二章62精選ppt課件一、一階微分方程問題冪級數(shù)解法:將其代入原方程,比較同次冪系數(shù)可定常數(shù)由此確定的級數(shù)①即為定解問題在收斂區(qū)間內(nèi)的解.①設(shè)所求解為本質(zhì)上是待定系數(shù)法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束63精選ppt課件常系數(shù)線性微分方程組機動目錄上頁下頁返回結(jié)束*第十二節(jié)解法舉例解方程組高階方程求解消元代入法

算子法第十一章64精選ppt課件常系數(shù)線性微分方程組解法步驟:第一步用消元法消去其他未知函數(shù),得到只含一個函數(shù)的高階方程;第二步求出此高階方程的未知函數(shù);第三步把求出的函數(shù)代入