第七章 立體幾何與空間向量 頂層設(shè)計(jì) 前瞻 立體幾何熱點(diǎn)問(wèn)題

立體幾何熱點(diǎn)問(wèn)題核心熱點(diǎn)真題印證核心素養(yǎng)線、面位置關(guān)系的證明與線面角2019·天津，17；2019·浙江，19；2018·Ⅰ，18；2018·Ⅱ，20；2016·天津，17；2018·天津，17；2017·北京·16數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象線、面位置關(guān)系的證明與二面角2019·Ⅰ，18；2019·Ⅱ，17；2019·Ⅲ，19；2019·北京，16；2018·Ⅲ，19；2017·Ⅲ，19；2017·Ⅰ，18；2017·Ⅱ，19；2016·Ⅰ，18；2016·Ⅱ，19數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象教材鏈接高考——線面位置關(guān)系與空間角[教材探究](選修2－1P109例4)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PA∥平面EDB；(2)求證：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小.[試題評(píng)析]

1.本例包括了空間向量在立體幾何中最主要的兩個(gè)應(yīng)用：(1)證明或判定空間中的線面位置關(guān)系，(2)求空間角.2.教材給出的解法雖然都用到了向量，但第(1)(2)題仍然沒(méi)有脫離線面平行、線面垂直的判定定理，第(3)題是先找到二面角的平面角，然后利用向量求解.3.除了教材給出的解法外，我們還可以利用相關(guān)平面的法向量解答本題，其優(yōu)點(diǎn)是可以使幾何問(wèn)題代數(shù)化.(1)證明取BC的中點(diǎn)O，連接OP，OA，如圖.所以O(shè)A⊥BC，OP⊥BC，且OA＝OP＝3.所以O(shè)P⊥OA.所以CD＝2.又因?yàn)镺A∩BC＝O，OA?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以O(shè)P⊥平面ABCD.又因?yàn)镺P?平面PBC.所以平面PBC⊥平面ABCD.設(shè)平面PBD的法向量為n＝(x，y，z)，由題圖知，二面角C－PB－D為銳二面角，依題意，平面PBC的一個(gè)法向量m＝(1，0，0)，探究提高1.本題與教材選修2－1P109例4相比其難點(diǎn)在于不易找到二面角C－PB－D的平面角，或者說(shuō)找到這個(gè)二面角的平面角對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)很大的難點(diǎn)，而利用空間向量，即找到相關(guān)平面的法向量并且利用法向量來(lái)求二面角，就可以化解這個(gè)難點(diǎn)，這也是向量法的優(yōu)勢(shì)所在.2.利用向量法解決問(wèn)題時(shí)，要注意運(yùn)算的正確性.【鏈接高考】

(2019·全國(guó)Ⅱ卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1. (1)證明：BE⊥平面EB1C1； (2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值.

(1)證明由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，

故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1?平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.設(shè)平面EBC的法向量為n＝(x1，y1，z1)，所以可取m＝(1，1，0).所以可取n＝(0，－1，－1).設(shè)平面ECC1的法向量為m＝(x2，y2，z2)，教你如何審題——立體幾何中的折疊問(wèn)題【例題】

(2019·全國(guó)Ⅲ卷)圖①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖②.(1)證明：圖②中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖②中的二面角B－CG－A的大小.[審題路線][自主解答](1)證明由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面.由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC?平面BCGE，所以AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解作EH⊥BC，垂足為H.因?yàn)镋H?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面BCGE∩平面ABC＝BC，所以EH⊥平面ABC.設(shè)平面ACGD的法向量為n＝(x，y，z)，因此二面角B－CG－A的大小為30°.又平面BCGE的法向量可取m＝(0，1，0)，探究提高立體幾何中折疊問(wèn)題的解決方法解決立體幾何中的折疊問(wèn)題，關(guān)鍵是搞清楚翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況，一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.(1)(一題多解)求證：平面C′FA⊥平面ABC′；(2)求平面AFC′與平面BEC′所成二面角的平面角的大小.設(shè)BC′的中點(diǎn)為H，連接GH，EH.∵∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴FE⊥BC，∴C′E⊥EF，BE⊥EF，∴∠BEC′為二面角C′－EF－B的平面角.∴∠BEC′＝60°.(1)證明法一∵F是AC的中點(diǎn)，∴AF＝C′F.設(shè)AC′的中點(diǎn)為G，連接FG，如圖(1).(1)∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC′，∴△BEC′為等邊三角形，∴EH⊥BC′.∵EF⊥C′E，EF⊥BE，C′E∩BE＝E，∴EF⊥平面BEC′.∵EF∥AB，∴AB⊥平面BEC′，又EH?平面BEC′，∴AB⊥EH.∵BC′∩AB＝B，∴EH⊥平面ABC′.∵G，H分別為AC′，BC′的中點(diǎn)，設(shè)AB＝2，則B(0，0，0)，A(0，0，2)，E(0，2，0)，∴FG∥EH，∴FG⊥平面ABC′.又FG?平面C′FA，∴平面C′FA⊥平面ABC′.法二∵∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別為BC，AC的中點(diǎn)，∴EF⊥BC，∴EF⊥BE，EF⊥EC′.∵BE∩EC′＝E，∴FE⊥平面BC′E.∴AB⊥平面BEC′.如圖(2)，分別以BE，BA所在直線為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.(2)設(shè)平面C′FA的法向量為b＝(x2，y2，z2)，設(shè)平面ABC′的法向量為a＝(x1，y1，z1)，顯然平面BEC′的一個(gè)法向量為m＝(0，0，1)，觀察圖形可知，平面AFC′與平面BEC′所成的二面角的平面角為銳角，∴平面AFC′與平面BEC′所成二面角的平面角的大小為45°.滿分答題示范——立體幾何中的開(kāi)放問(wèn)題【例題】

(12分)如圖①，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2.將△ADC沿AC折起，使得AD⊥BC，如圖②.又AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.2′

∵AD⊥BC，AD∩AC＝A，∴BC⊥平面ADC.3′

又∵BC?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.4′

[規(guī)范解答](1)證明∵等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，以C為原點(diǎn)，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，過(guò)點(diǎn)C垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.··················5′

設(shè)平面ACE的法向量為m＝(x，y，z)，令y＝t，則z＝2(t－1)，∴m＝(0，t，2(t－1)).

9′

由(1)知，平面ACD的一個(gè)法向量為n＝(0，1，0).

10′

[高考狀元滿分心得]?得步驟分：抓住得分點(diǎn)的步驟“步步為贏”，求得滿分.如第(1)問(wèn)中證明面面垂直時(shí)，層層遞進(jìn)，先證明線線垂直

，再證明線面垂直

，最后得到面面垂直

.?得關(guān)鍵分：解題過(guò)程中不可忽視關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無(wú)則沒(méi)分.如第(2)問(wèn)中的建系方法

，求兩個(gè)平面的法向量

.?得計(jì)算分：解題過(guò)程中計(jì)算準(zhǔn)確是得滿分的保證.如第(2)問(wèn)中由二面角的大小求t的值

等.又AD⊥DC，故以D為原點(diǎn)，DA，DC，DS所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2).(1)證明由SD⊥底面ABCD，AD，DC?平面ABCD，知SD⊥AD，S