空間幾何復(fù)習(xí)題（含答案解析）

空間幾何復(fù)習(xí)題

1.如圖，直三棱柱ABC-A8G的體積為4,ABC的面積為2&.

(1)求A到平面ABC的距離;

(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，AAI=AB,平面ABC,平面A網(wǎng)A，求二面角A—BD—C的正

弦值.

2.如圖，四面體ABC。中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面BEDJ_平面AC。；

(2)設(shè)48=3。=2,4窈=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面

回￡＞所成的角的正弦值.

3.在四棱錐P-MCD中，PD_L底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=\,AB=2,DP=.

(1)證明：BDLPA；

(2)求與平面以8所成的角的正弦值.

4.如圖，P0是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,ABJ.AC,E是PB的中點(diǎn).

(1)證明：。舊//平面尸47；

(2)若NABO=/C8O=30。，P0=3,PA-5,求二面角C—AE-8的正弦值.

5.如圖，在三棱錐A-8C。中，平面平面BCD,AB=AD,。為2D的中點(diǎn).

(1)證明：OALCD；

(2)若，OC￡＞是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱A。上，DE=2EA,且二面角

E-BC-O的大小為45。，求三棱錐的體積.

6.已知直三棱柱ABC-48G中，側(cè)面44,48為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC

和C￡的中點(diǎn)，。為棱A用上的點(diǎn).BFLA^

試卷第2頁(yè)，共8頁(yè)

(1)證明：BF^DE-,

(2)當(dāng)用力為何值時(shí)，面8BCC與面所成的二面角的正弦值最??？

7.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面PD=DC=1,M為BC

的中點(diǎn)，且P8J_AW.

(1)求8C；

(2)求二面角A-RW-3的正弦值.

8.在四棱錐Q-A8CO中，底面AfiCO是正方形，若AD=2,Q￡>=QA=后,QC=3.

(1)證明：平面平面ABCD；

(2)求二面角B-QO-A的平面角的余弦值.

9.如圖，四面體A8CO中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面AC￡)；

(2)設(shè)48=8。=2,44圓=60。，點(diǎn)尸在80上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求三棱錐

尸-ABC的體積.

10.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABC。，M為8c的中點(diǎn)，且

PBVAM.

(1)證明：平面平面尸BD；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-"CZ)的體積.

11.小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面

ABCD是邊長(zhǎng)為8(單位：cm)的正方形，，E4B,.FBC,一GCD"D4均為正三角形,

且它們所在的平面都與平面A8CZ)垂直.

⑴證明：EF〃平面ABCD；

(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度).

12.如圖，已知ABCO和C￡>E尸都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,

試卷第4頁(yè)，共8頁(yè)

EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸-OC-3的平面角為60。.設(shè)M,N分別為

AE,8c的中點(diǎn).

(1)證明：FNLAD；

(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

13.如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.ABC

是底面的內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點(diǎn)，PO=^DO.

6

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

14.如圖，在三棱柱ABC-44G中，側(cè)面8CC內(nèi)為正方形，平面BCC41平面A88a，

AB=BC=2,M,N分別為4圈，AC的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面BCG用；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線A3與平面8MN所成

角的正弦值.

條件①：ABA.MN-,

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

15.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是平行四邊形，

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15,M,N分別為BC,PC的中點(diǎn),

PD±DC,PMLMD.

P

(1)證明：ABLPM；

(2)求直線AN與平面P/加所成角的正弦值.

16.已知直三棱柱ABC-AEG中，側(cè)面AAB避為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為

AC和CG的中點(diǎn)，BFLA^.

(1)求三棱錐尸-ESC的體積；

(2)己知。為棱A片上的點(diǎn)，證明：BF^DE.

17.直三棱柱ABC-ASC中，AA1=AB=AC=2,AA,1AB,AC1AB,。為的中

點(diǎn)，E為AA的中點(diǎn)，尸為的中點(diǎn).

試卷第6頁(yè)，共8頁(yè)

⑴求證：EF//平面ABC；

(2)求直線BE與平面CC.D所成角的正弦值;

(3)求平面A。。與平面eq。所成二面角的余弦值.

18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，底面4BCD.設(shè)平面外力與平面PBC

的交線為/.

P

(1)證明：△平面PDC-,

(2)已知P￡>=AO=1,。為/上的點(diǎn)，求PB與平面QCQ所成角的正弦值的最大值.

19.如圖，直四棱柱A8CD-A/BQZ)/的底面是菱形，AAi=4,AB=2,ZBAD=6Q°,E,

M,N分別是BC,BBi,4。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面C/OE；

(2)求二面角4M4/-N的正弦值.

20.如圖，已知三棱柱ABC-A/B/C/的底面是正三角形，側(cè)面BQGC是矩形，M,N分

別為8C,B/G的中點(diǎn)，尸為AM上一點(diǎn)，過B/G和尸的平面交AB于E,交AC于F.

(1)證明：AA/〃MN,且平面4/4MN_LE8/C/F；

(2)設(shè)。為△A/B/G的中心，若A。〃平面EB/C/F,且AO=A8,求直線B/E與平面

A/4MN所成角的正弦值.

試卷第8頁(yè)，共8頁(yè)

參考答案：

1.（1）72

（2也

2

【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；

（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得5c工平面4880，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量法即可得解.

【詳解】（1）在直三棱柱A8C-中，設(shè)點(diǎn)A到平面48C的距離為人

則VA-A,BC=gSwe-力=手h=匕…BC=；SA8C.A|A=；g，

解得〃=

所以點(diǎn)A到平面ABC的距離為近；

（2）取AB的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)锳A=AB,所以AE^AB,

又平面ABC,平面ABB小，平面ABCc平面ABB|A=4B,

且AEu平面ABB0,所以AE_L平面ABC,

在直三棱柱ABC-AgG中，BBJ平面ABC,

由BCu平面ABC,BCu平面ABC可得AE_LBC,BB,1BC,

又AE,BB|u平面ABB|A且相交，所以BC工平面ABB,A,,

所以BC,BAB四兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

答案第1頁(yè)，共46頁(yè)

由（1）得4E=夜，所以A4,=AB=2,A^B=2啦,所以BC=2,

則A(0,2,0),A(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以4C的中點(diǎn)。(LU)，

則80=（1/」），fi4=（0,2,0）,8C=（2,0,0）,

m-BD=x+y+z=0

設(shè)平面沏的一個(gè)法向量加=(x,y,z),則

m-BA=2y=0

可取，"=（1,0,-1）,

n?BD=a+b+c=0

設(shè)平面80C的一個(gè)法向量”=貝?卜

n?BC=2（7=0

可取”=（0,1,-1）,

/\mn11

則8s〈肛〃上麗=7^=5,

所以二面角A—C的正弦值為=*.

2.(1)證明過程見解析

(2)CF與平面43。所成的角的正弦值為第

【分析】(1)根據(jù)已知關(guān)系證明△A8公^C3。，得到AB=CB,結(jié)合等腰三角形三線合一

答案第2頁(yè)，共46頁(yè)

得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

(2)根據(jù)勾股定理逆用得到從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則

進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)因?yàn)锳Z)=C￡>,E為AC的中點(diǎn)，所以ACLQE；

在AABD和4CBD中，因?yàn)锳。=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以△AB*4CBD,所以43=CB,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以ACL8E；

又因?yàn)?。E,BEu平面BED,DECBE=E,所以AC_L平面BED,

因?yàn)锳Cu平面AC。，所以平面BED_L平面ACO.

(2)連接EF,由(1)知，AC_L平面BED,因?yàn)镋Fu平面3匹，

所以ACJ_EF,所以&AFC=；ACEF,

當(dāng)￡F_L3D時(shí)，EF最小，即△AFC的面積最小.

因?yàn)椤鰽BZ注△C3。，所以CB=AB=2,

又因?yàn)镹AC3=60。，所以A8C是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=B

因?yàn)锳DLCQ,所以O(shè)E=』AC=1,

2

在二。EB中，DE2+BE2=BD2，所以BE上DE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系￡一呼2,

則A(1,O,O),B(O,AO),0(0,0/)，所以A￡>=(-1,0,1),AB=(-1,>/3,0),

設(shè)平面的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

則廣，取尸百，則”=3,6,3,

n-AB=-x+y/3y=0''

又因?yàn)镃(-l,O,O),/o,g,』，所以CF=fl,*,』，

441I44J

64G

所以/晌=云

設(shè)CF與平面9所成的角的正弦值為e(o4e4口，

所以sin6=|cos(〃,CF)=>

答案第3頁(yè)，共46頁(yè)

所以CF與平面曲所成的角的正弦值為生叵.

7

3.（1）證明見解析;

⑵

【分析】（1）作于E，CFI/W于F,利用勾股定理證明AD1Q,根據(jù)線面垂

直的性質(zhì)可得P￡>J_B￡）,從而可得801平面PAQ,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

【詳解】（1）證明：在四邊形438中，作于E,6上鉆于尸，

因?yàn)镃D〃A8,AD=CO=CB=1,48=2,

所以四邊形ABC。為等腰梯形，

所以AE=B尸=4，

2

故DE=^~,BD=yjDE2+BE2=A/3-

所以3+5=6，

所以AZ）18D,

因?yàn)槠矫鍭BC。，8￡）u平面A8CQ,

所以Pr>_LBE>,

又PDcAD=D,

所以皮>1平面PAO,

又因?yàn)镻Au平面PAD,

所以8￡>_LQ4；

答案第4頁(yè)，共46頁(yè)

(2)解：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

BD=y[3,

則A(1,O,O),B(O,8,O),P(O,O,G),

設(shè)平面PAB的法向量〃=(x,y,z),

n-AP=-x+\l3z=0

則有｛可取”=(6,1,1),

n-BP=S+gz=6

/\n-DP#)

則c°s("'nODP卜胸=T，

所以PD與平面上鉆所成角的正弦值為手.

4.(1)證明見解析

答案第5頁(yè)，共46頁(yè)

【分析】（1）連接8。并延長(zhǎng)交4c于點(diǎn)。，連接04、PD,根據(jù)三角形全等得到。4=08,

再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AO=。。，即可得到。為80的中點(diǎn)從而得到0E〃P￡）,即可

得證；

（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同

角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.

【詳解】（1）證明：連接8。并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)。，連接。4、PD,

因?yàn)镻0是三棱錐P—ABC的高，所以P。工平面ABC,AO,8Ou平面ABC,

所以POLAO、PO1BO,

又PA=PB,所以少。!三△P08,即。4=03,所以=

又A51AC,即NBAC=90°,所以NCMB+N（MD=90°,ZOBA+ZODA=90°,

所以NODA=NOW

所以AO=DO,即4O=￡）O=OB,所以。為8。的中點(diǎn)，又E為總的中點(diǎn)，所以0E〃尸。，

又0￡0平面PAC,PDu平面PAC,

所以0E//平面P4C

因?yàn)镻0=3,AP=5,所以=4,

又N03A=N0BC=30°,所以20A=8,貝i」AD=4,48=46,

所以AC=12,所以。（2瓶2,0）,網(wǎng)4百,0,0）,哈瓦2,3）,C（0,12,0）,

所以E（38,1，S，

則=「"）

AE1,|,AB=（46,0,0）,AC=（0,12,0）,

答案第6頁(yè)，共46頁(yè)

n?AE=3\j3x+y+—z=0

設(shè)平面A￡B的法向量為〃=(x,y,z),則，2，令z=2,則產(chǎn)-3,x=0,

nAB=4y/3x=0

所以鹿二(O,—3,2)；

______/.m-AE=3y/3a+b+—c=0

設(shè)平面AEC的法［可重為加=(〃,b,c),則nl，2

m-AC=12b=0

令a=6,則c=-6,6=0,所以加=(6,0,-6)；

_n-m_-12_4>/3

所以cos",,〃"

-|/；||w|V?3x^9-13--

設(shè)二面角C—AE—B的大小為，,

所以sina=Jl-cos2/=1,即二面角C—AE-3的正弦值為?.

X

5.(1)證明見解析；(2)亙

6

【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；

(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體

積即可.

【詳解】(1)因?yàn)?W=AT>,。是8。中點(diǎn)，所以。4_LB￡>,

因?yàn)镺Au平面4町，平面AB￡>_L平面8CZ),

且平面A8￡)c平面3C￡)=3￡),所以。1J?平面8CQ.

因?yàn)镃Du平面BQ),所以04,8.

答案第7頁(yè)，共46頁(yè)

(2)［方法一］:通性通法一坐標(biāo)法

如圖所示，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，04為z軸，。。為y軸，垂直0。且過。的直線為x軸，建立

空間直角坐標(biāo)系。-型，

則。43。),以。,1,。)向。,-1,。)，設(shè)4。,0,小畤飆,

設(shè)。=(x,y,z)為平面EBC的法向量,

則由"=?可求得平面EBC的一個(gè)法向量為"=(-瓜1，).

|EC〃=0m

又平面BCD的一個(gè)法向量為0A=(0,0,m),

旦

所以cos(〃,OA)=解得，〃=1.

2

又點(diǎn)C到平面麗的距離為3,所以匕ico=%TM=LxLx2xlx』i=@,

23226

所以三棱錐A-BCD的體積為立.

6

［方法二］【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角

如圖所示，作EGL8O,垂足為點(diǎn)G.

作Gb_L3C,垂足為點(diǎn)F,連結(jié)EF,則。4〃EG.

因?yàn)镺4_L平面88,所以EG_L平面3C。,

/EFG為二面角E-BC-。的平面角.

答案第8頁(yè)，共46頁(yè)

因?yàn)镹EFG=45。，所以EG=FG.

由已知得OB=O￡>=1,故O3=OC=1.

又/OBC=NOC8=30。，所以BC=6.

24222

因?yàn)镚￡>=—,G8=—,R；=—CO=—,EG=—,QA=1,

33333

[1]]y/3y/3

^A-BCD=~SncDxOA=^x^SBOCxOA=-x2x(-x—xlxl)xl=—.

333226

[方法三]:三面角公式

考慮三面角B-EDC,記ZEBD為a,NEBC為0,ZDBC=30°,

記二面角七一8。一。為，.據(jù)題意，得。=45。.

對(duì)夕使用三面角的余弦公式，可得cos〃=cosa?cos30。,

化簡(jiǎn)可得cosp=j-cosa.①

使用三面角的正弦公式，可得sin￡=當(dāng)，化簡(jiǎn)可得sin/7=^sina.②

sin。

將①②兩式平方后相加，可得geos2a+2sin2a=1,

4

根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為?！辏镜娜确贮c(diǎn)，即可得8G=§,

結(jié)合a的正切值，

可得EG=20A=1從而可得三棱錐A-8CD的體積為由.

36

【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性

通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；

方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時(shí)可以對(duì)幾何體的幾

何特征有更加深刻的認(rèn)識(shí)，該法為本題的最優(yōu)解.

方法三：三面角公式是一個(gè)優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得

答案第9頁(yè)，共46頁(yè)

問題更加簡(jiǎn)單、直觀、迅速.

6.（1）證明見解析；（2）=1

【分析】（1）方法二：通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)

系，借助空間向量證明線線垂直；

（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)

而可以確定出答案；

【詳解】（1）［方法一］:幾何法

因?yàn)?尸_1_48|，44〃48,所以

又因?yàn)锳B，a%BFcBB.,所以A8/平面8CGg.又因?yàn)锳B=BC=2,構(gòu)造正方

體ABCG-A4GG，如圖所示，

\/E'^\7N

GC

過E作A8的平行線分別與4G,8c交于其中點(diǎn)連接AM罟N,

因?yàn)镋,尸分別為AC和C&的中點(diǎn)，所以N是8C的中點(diǎn)，

易證RtBCF=RtB、BN,則NCBF=NBB1N.

又因?yàn)閆BB1N+NB|NB=90°,所以NC8F+/4NB=90°,BF1B.N.

又因?yàn)槎鶱A4=4,所以BE,平面AMNg.

又因?yàn)镋Du平面所以BFLDE.

［方法二］【最優(yōu)解】：向量法

因?yàn)槿庵鵄BC-AAG是直三棱柱，，BB,_L底面ABC,：.1AB

A\B\〃AB,8F，A區(qū),又8用cBF=8,.：AB1平面BCG旦.所以瓦

兩兩垂直.

答案第10頁(yè)，共46頁(yè)

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以84,BC，8與所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

.-.B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),4(。，0,2),AQ,0,2),40,2,2),￡(1,1,0),F(0,2,1).

由題設(shè)0(。,0,2)(0<a<2).

因?yàn)锽F=(O,2,1),DE=(1—a,l,-2),

所以BF-￡)E=0x(l—q)+2xl+lx(-2)=0,所以BFLDE.

I方法三］:因?yàn)?尸，4石，A片〃4B,所以故即九44=0,BFAB=0,所

以BF-ED=BF《EB+BB\+BQ)=BF-B、D+BF(EB+BB)=BFEB+BFBB］

=BF\--BA--Bc\+BFBBt=」BF?BA」BF-BC+BF-BB、=--BF-BC+BF-BB.

I22J22121

［12i

=_l|gF|.|BC|cosZFBC+|BF|.|BB,|cosZFBBl=--x>75x2x-^+75x2x-^=0,所以

BF±ED.

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：向量法

設(shè)平面￡)尸￡的法向量為，"=(x,y,z),

因?yàn)榉?(一1,1,1),￡?￡=(1-。,1,一2),

\m-EF=0口Jr+),+z=。

所以《"7即<八\on.

m-DE-0［(l-a)x+y-2z=0

令z=2-a,貝!］，〃=(3,l+a,2-a)

因?yàn)槠矫鍮CG線的法向量為BA=（2,0,0）,

設(shè)平面BCQBi與平面DEF的二面角的平面角為6,

答案第II頁(yè)，共46頁(yè)

\m?BA\63

則k°sq—網(wǎng).網(wǎng)―2xJ2a2-2.+14yj2a2-2a+}4

127

當(dāng)a=7；■時(shí)，2/-2a+4取最小值為工，

22

3-

此時(shí)cos。取最大值為J亍一彳.

所以(sin6)向“=卜”=亭，此時(shí)耳。=；.

[方法二]:幾何法

如圖所示，延長(zhǎng)E尸交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)QS交8?于點(diǎn)7,則平面。在平面

BB￡C=FT.

作B〔H1FT,垂足為，，因?yàn)?.平面8BCC，聯(lián)結(jié)則NZ)HB1為平面8BCC與

平面OFE所成二面角的平面角.

設(shè)4。=f,re[0,2],BJ=s,過C1作C\GU%B\交DS于點(diǎn)G.

由胃=品蕾得CO*"

B.DB,T—f—=工3/

又*方即黑一)27,所以s=>

B.HB.TB[HsDU-s

又運(yùn)二無‘即丁="廿所以‘J|+(2—S)2.

所以的=阿E=后三"=層"2.

答案第12頁(yè)，共46頁(yè)

1

［方法三］:投影法

如圖，聯(lián)結(jié)FBjN,

DEF在平面BBGC的投影為,記面BB?C與面。莊所成的二面角的平面角為。,

則cose=~.

SDEF

設(shè)8]D=f(04f42),在Rt。瓦F中，DF=+BiF2=yjt2+5.

在RtECF中,EF=4EC2+FC1過。作與N的平行線交EN于點(diǎn)Q.

在RtAD￡Q中，DE=4QD-+EQ1=j5+(l-f.

“cllfJ人力士EF/CLLDF2+EF2-DE2J3/+15"+1)

在JDEF中，由余弦定理得cosNDFE=-----------------------=-一—r^,一R一,

2DFEF3(r+5)

l2r-2/+14i11；-----------3

smNDFE=｛飛尸1，5DFE=-DF-EFsinZ.DFE=-^-2t+\^,SBiNF=-,

COS9=￡=/,3,sin?=11--9

SDFEV2r-2r+14V2(f-t+7)

當(dāng)f=g,即用。=；,面BBC。與面。FE所成的二面角的正弦值最小，最小值為當(dāng).

【整體點(diǎn)評(píng)】第一問，方法一為常規(guī)方法，不過這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適

答案第13頁(yè)，共46頁(yè)

的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡(jiǎn)單，也是最優(yōu)解：方法三利用空間向量加減法

則及數(shù)量積的定義運(yùn)算進(jìn)行證明不常用，不過這道題用這種方法過程也很簡(jiǎn)單，可以開拓學(xué)

生的思維.

第二問：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法,

也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面與面所成的二面角，并求

出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DEE在面8BCC上的投影三角形

的面積與△￡>￡￡面積之比即為面B8CC與面DFE所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最

小值，進(jìn)而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開闊學(xué)生的思維.

7.(1)V2；(2)叵

14

【分析】(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、。尸所在直線分別為x、了、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，設(shè)3C=2a,由已知條件得出PRAM=0,求出。的值，即可得出8C的長(zhǎng)；

(2)求出平面PAM、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求

得結(jié)果.

【詳解】(1)［方法一］：空間坐標(biāo)系+空間向量法

平面ABC。，四邊形A3CD為矩形，不妨以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC.。尸所在

直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一町2,

設(shè)BC=2a,則。（0,0,0）、*0,0,1）、B（2a,l,0）、M（a,l,0）、A（2a,0,0）,

貝iJP8=（2a,l,-l）,AM=（-a,1,0）,

答案第14頁(yè)，共46頁(yè)

PBYAM,則尸&AM=-2/+1=0，解得a=J，故BC=2a=瓜

2

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法

如圖，連結(jié)30.因?yàn)镻O_L底面A8CQ,且AMu底面4BC。，所以P￡>/40.

又因?yàn)镻BPD=P,所以平面尸8Q.

又3E>u平面PBD,所以

從而ZADB+ZDAM=90P.

因?yàn)镹M4B+ND4M=90。，所以NM4B=ZAD8.

LL2T口4。BA

所以..AD3S..B4",于是不=二7.

ABBM

所以;BC=l.所以BC=&.

［方法三］:幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)30交AM于點(diǎn)N.

答案第15頁(yè)，共46頁(yè)

p

由［方法二］知AW_L05.

ANDA2

在矩形43CD中，有《DAN—,BMN,所以——=一=2,即AN=：AM.

MNBM3

令8c=2f(f>0),因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，則助W=r,DB=,4/+1，AM=J*+1.

由SDM=174?+1-|V?2+1,解得”=；,所以8c=2f=0.

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法

設(shè)平面R4M的法向量為加=（國(guó),加4）,貝iJAM=-苧I，。，”=卜夜，?！唬?，

fV2

m-AM=------x+V1=0l,/廣■.八\

由，2'",取為=應(yīng)，可得加=(夜,1,2),

m-AP=-5/2%,+Z1=0

設(shè)平面P8M的法向量為〃=(七%*2)，BM=-+,0,0,BP=(-V2-1,1),

k?

n-BM=-—x=0/、

由J227?。?1，可得〃=(O,l,l),

n.BP=-V2JC2-y2+z2=0

/、inn33^14

所以，sin(tn,=yj\-cos2(/n,n)=~~~'

因此，二面角A-PM-3的正弦值為叵

14

答案第16頁(yè)，共46頁(yè)

［方法二］:構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法

如圖,構(gòu)造長(zhǎng)方體筋8-43￡",聯(lián)結(jié)4用，48,交點(diǎn)記為”,由于做_148,44_1/,

所以AHJ_平面4BCR.過H作的垂線，垂足記為G.

聯(lián)結(jié)AG,由三垂線定理可知4G，,

故NAG”為二面角A-PM-B的平面角.

易證四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為友的正方形，聯(lián)結(jié)〃H,HM.

=

SDtHM2RM,HG、SD\HM=S正方形ABCO］_S.01AH~SHBM—SA/CD,，

由等積法解得”G=±叵.

10

在Rf_AHG中，AH=包,HG=M^,由勾股定理求得AG=叵.

2105

所以，sinZAG//=—=^,即二面角A—PM—8的正弦值為恒.

AG1414

【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的

判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明

的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.

（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問題是常用的方法，思路清

晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解：方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注

意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.

0

8.（1）證明見解析；（2）

答案第17頁(yè)，共46頁(yè)

【分析】(1)取A￡>的中點(diǎn)為。，連接。。，CO,可證QO_L平面A8CO,從而得到面

面ABCD.

(2)在平面ABC。內(nèi)，過。作077/8,交8c于T,則OT_LA￡),建如圖所示的空間坐標(biāo)

系，求出平面如。、平面的法向量后可求二面角的余弦值.

Q

因?yàn)镼A=Q￡>,OA=OD,則QOA￡>,

而40=20=5故Q。=^/^：i=2.

在正方形ABC。中，因?yàn)?7=2,故。。=1,故C0=石，

因?yàn)椤=3,t^.QC2=QO2+OC2,故一QOC為直角三角形且QO^OC,

因?yàn)镺CAD=O,故QO,平面ABCD,

因?yàn)?。Ou平面04。，故平面平面ABCD.

(2)在平面A8C。內(nèi)，過。作077/8,交BC于T,則0TL49,

結(jié)合(1)中的Q。，平面ABCD,故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

則。(0,1,0),。(0,0,2),8(2,-1,0),故5。=(一2,1,2),8/)=(—2,2,0).

設(shè)平面QB。的法向量〃=(x,y,z),

，取x=l,則y=l,z=J,

則［:筮和二*4°

答案第18頁(yè)，共46頁(yè)

而平面如。的法向量為機(jī)=(1,0,0),故c°s(見〃)=於=§.

2

二面角B-Q。-A的平面角為銳角，故其余弦值為|.

9.(1)證明詳見解析

⑵且

4

【分析】(1)通過證明AC_L平面BED來證得平面血，平面ACZ).

(2)首先判斷出三角形AFC的面積最小時(shí)F點(diǎn)的位置，然后求得尸到平面ABC的距離,

從而求得三棱錐F-ABC的體積.

【詳解】(1)由于A￡>=C。，E是AC的中點(diǎn)，所以AC_LDE.

AD=CD

由于<BO=BQ，所以三△COB,

ZADB=NCDB

所以AB=CB,故ACLBE,

由于￡)Ec3E=E,DE,BEu平面BED,

所以47_1_平面8￡￡),

由于ACu平面AC。，所以平面BED_L平面AC"

(2)［方法一］:判別幾何關(guān)系

依題意/1B=BD=8C=2,ZACB=60°,三角形ABC是等邊三角形，

所以AC=2,AE=CE=1,BE=6

由于AO=C2AZ)_LCD,所以三角形AC。是等腰直角三角形，所以DE=1.

DE2+BE2=BD2>所以

由于ACcBE=E,AC,BEu平面ABC,所以￡>E上平面ABC.

由于/XADB三△CDB,所以NFBA=NFBC,

BF=BF

由于，NFBA=NF8C,所以FBA三FBC,

AB=CB

所以AF=CF,所以MlAC,

答案第19頁(yè)，共46頁(yè)

由于SAFC=；MC-EF，所以當(dāng)E尸最短時(shí)，三角形AFC的面積最小

過E作EF_L3E>,垂足為尸，

在RtABEO中，\-BEDE=\-BDEF,解得EF=更,

222

所以。尸=孚=i,BF=2-DF=1,

在］BF3

所以而」

FHBF3

過尸作FH_L3E,垂足為“，則FH〃DE,所以平面ABC,

DEBD4

3

所以FH=7,

4

所以匕-AM=、S.-FH=-x-x2xy/3x-=—.

r-Aril..3AnKt.3244

［方法二］:等體積轉(zhuǎn)換

AB=BC,ZACB=60°,AB=2

??.A4BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

BE=6

連接EF

AADBsACDB.'.AF=CF

EF±AC

.?.在ASEQ中，當(dāng)EF_L8￡)fl寸，AAFC面積最小

AD1CD,AD=CD,AC=2,E為A5點(diǎn)

DE=1DE2+BE2=BD2

BELED

若EFLBD,在ABED中,EF=BEDE=立

BD2

答案第20頁(yè)，共46頁(yè)

BF=y)BE1-EF2=-

2

JBF.EFA.或也

22228

1班06

一??z=—?

??^F-ABC~^A-BEF+^C-BEF~§,^AB￡F，A。=

384

10.(1)證明見解析；(2)也.

3

【分析】(1)由PDJ_底面AB8可得PD1AM,又PB_LA",由線面垂直的判定定理可

得A"1平面PBD,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面網(wǎng)，平面PBD；

(2)由(1)可知，AMYBD,由平面知識(shí)可知，_DAB~_ABM,由相似比可求出AO,

再根據(jù)四棱錐P-ABCD的體積公式即可求出.

【詳解】⑴因?yàn)镻D_L底面ABC。，4Wu平面ABC。，

所以PD1AA7,

又尸3_L4W,PBPD=P,

所以AMJ.平面

而AWu平面尸A",

所以平面MW_L平面PBD.

(2)［方法一］:相似三角形法

由(1)可知

▼口JDAB

于是3AB￡>°°二8M4,故-=.

ABBM

因?yàn)锽M=」BC,AD=BC,AB=1,所以"c'l,即8c=0.

22

故四棱錐/>-鉆8的體積1/=；48?8。尸。=亭.

［方法二］:平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法

由(2)知AM_LDB,所以%=T.

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)8c=2a(a>0).

答案第21頁(yè)，共46頁(yè)

因?yàn)?。C=L所以40,0),B(1,O),0(0,2a),M(l,a).

從而%/=*'乃="（-2。）=-2/=-1.

所以〃=等，即D4=0.下同方法一.

［方法三］【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

設(shè)3曰,所以0(0,0,0),C(0,l,0),P(0,0,l),A",0,0),即,1,0).

所以叱PB=(M,-1),AM=(=,l,oJ.

所以P8.AM=f{-j+lxl+0x(-l)=-g+l=0.

所以f=J5,即|D4|=拉.下同方法一.

［方法四］:空間向量法

由「BJLAM,得PBAM=O.

所以(PD+O4+=0.

即PDAM+DAAM+ABAM=O.

又PDJ_底面ABC￡>,AW在平面ABC￡>內(nèi),

因此PD1AA7,所以P?AM=0.

所以￡>A-4W+A8-AM=0，

答案第22頁(yè)，共46頁(yè)

由于四邊形A8CD是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，

得」|D4『+|A8『=0,即-L|8CT+1=O.

22

所以|BC|=應(yīng)，即BC=&.下同方法一.

【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的

體積；

方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱

錐的體積；

方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，為最

常用的通性通法，為最優(yōu)解；

方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長(zhǎng).

11.（1）證明見解析；

【分析】（1）分別取A8,BC的中點(diǎn)M,N,連接MN,由平面知識(shí)可知EMLAB,EVL8C,

EM=FN,依題從而可證EM_L平面ABC。，F(xiàn)7V_L平面ABC。，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理

可知EM//FN,即可知四邊形EMNF為平行四邊形，于是EFUMN,最后根據(jù)線面平行的

判定定理即可證出；

（2）再分別取AROC中點(diǎn)K,L,由（1）知，該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體KVWL-E尸G”的

體積加上四棱錐8-體積的4倍，即可解出.

【詳解】（1）如圖所示：

分別取AB,8c的中點(diǎn)M,N,連接MN,因?yàn)橐?c為全等的正三角形，所以

答案第23頁(yè)，共46頁(yè)

EM_LAB,FNLBC,EM=FN,又平面E4B_L平面ABQD,平面E48c平面=,

EMu平面E4B,所以EM_L平面ABC。，同理可得m_L平面ABC。，根據(jù)線面垂直的性

質(zhì)定理可知EM//FN,而EM=FN,所以四邊形EMN廠為平行四邊形，所以EF//MN,

又平面A8C￡),MNu平面A8CD,所以所〃平面A8CZ).

(2)［方法一］:分割法一

如圖所示：

AMB

分別取AO,￡>C中點(diǎn)K,L,由(1)知，EF”MN^.EF=MN,同理有，HEUKM,HE=KM,

HG//KL,HG=KL,GF//LN,GF=LN,由平面知識(shí)可知，BDA.MN,MN1MK,

KM=MN=NL=LK,所以該兒何體的體積等于長(zhǎng)方體KMNL-E