北師大版 八年級數(shù)學下冊第一章 三角形的證明章末復習課件（共70張）

第一章三角形的證明章末復習第一章三角形的證明章末復習知識框架歸納整合素養(yǎng)提升中考鏈接知識框架三角形的證明等腰三角形直角三角形線段的垂直平分線角平分線全等三角形的判定與性質性質性質判定判定等腰三角形的判定與性質判定性質線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等在一個角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上兩銳角互余含30°角的直角三角形的性質兩銳角互余的三角形勾股定理的逆定理等邊三角形的判定與性質勾股定理【要點指導】全等三角形的性質為證明線段(角)相等提供了依據(jù).一般三角形全等的判定方法有四種：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”.直角三角形是一種特殊的三角形,它的判定方法除了上述四種之外,還有“HL”.在具體問題中,一般只直接給出一個或兩個條件(有的甚至一個條件也不直接給出),其余條件常隱含于條件或圖形中,而找出這些隱含條件是解答問題的關鍵.歸納整合專題一與全等三角形有關的計算與證明題分析

(1)根據(jù)已知條件,利用HL可證Rt△ABC≌Rt△DCB；(2)利用Rt△ABC≌Rt△DCB可知對應角相等,即可證明△OBC是等腰三角形．例1如圖1-Z-1,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC與DB相交于點O．(1)求證：△ABC≌△DCB；(2)△OBC是何種三角形？證明你的結論．解

(1)證明：在Rt△ABC和Rt△DCB中,∵AC=DB,BC=CB,∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).(2)△OBC是等腰三角形.證明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC,∴OB=OC,∴△OBC是等腰三角形.相關題1如圖1-Z-2,在△ABD和△ACE中,F是AC和DB的交點,G是AB和EC的交點.現(xiàn)有如下四個論斷：①AB=AC；②AD=AE；③AF=AG；④AD⊥BD,AE⊥CE．以其中三個論斷為條件,填入下面的“已知”中,一個論斷為結論,填入下面的“求證”中,組成一個真命題,并寫出證明過程．已知：求證：證明：解：答案不唯一，如已知：①AB＝AC，③AF＝AG，④AD⊥BD，AE⊥CE.求證：②AD＝AE.證明：∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAG，AF＝AG，∴△BAF≌△CAG(SAS)，∴∠B＝∠C.∵AD⊥BD，AE⊥CE，∴∠D＝∠E＝90°.又∵AB＝AC，∠B＝∠C，∴△ADB≌△AEC(AAS)，∴AD＝AE.【要點指導】等腰(邊)三角形是特殊的三角形,具有較多的特殊性質,有時幾何圖形中不存在等腰(邊)三角形,可根據(jù)已知條件和圖形特征,適當添加輔助線,使之構成等腰(邊)三角形,然后利用其定義和有關性質,快捷地證出結論或得出結果.常用的輔助線有(1)作等腰三角形頂角的平分線,底邊上的高、中線；(2)在三角形的中線問題上,我們常將中線延長一倍,這樣添加輔助線有助于我們解決有關中線的問題.專題二與等腰三角形有關的證明與探究題例2如圖1-Z-3,在△ABC中,AB=AC,∠ABC,∠ACB的平分線相交于點O,過點O作EF∥BC,分別交AB,AC于點E,F.圖中有幾個等腰三角形？請說明EF與BE,CF之間的關系.分析

圖中有5個等腰三角形,分別是△ABC,△AEF,△BEO,△OFC,△OBC.根據(jù)等腰三角形的性質,即可得出EF與BE,CF之間的關系.解

圖中有5個等腰三角形.EF與BE,CF之間的關系是EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB.又∵∠ABC,∠ACB的平分線交于點O,∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,∴∠EOB=∠EBO,∠FCO=∠FOC,∴OE=BE,OF=CF,∴EF=OE+OF=BE+CF.相關題2-1[宜昌中考]如圖1-Z-4,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以B為圓心,BC的長為半徑的圓弧交AC于點D,連接BD,則∠ABD的度數(shù)為().A．30°

B．45°C．60°

D．90°B相關題2-2在△ABC中,AB=AC,且過△ABC的某一頂點的直線可將△ABC分成兩個等腰三角形,試求△ABC各內(nèi)角的度數(shù).解：當在BC邊上取點時，該點與頂點A的連線把△ABC分成兩個等腰三角形，分兩種情況：(ⅰ)如圖①，設點E在BC上，且AE＝BE＝EC，這時容易計算∠B＝∠C＝45°，∠BAC＝90°，即△ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別為45°，45°，90°.圖①

(ⅱ)如圖②，過點A的直線交BC于點F，且BF＝BA，CF＝AF.設∠B＝x°，則∠C＝x°，∠CAF＝x°，∠BAF＝∠BFA＝(2x)°.由三角形的內(nèi)角和定理，得x＋3x＋x＝180，解得x＝36，即△ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別為36°，36°，108°.圖②當在腰AC上取點時，該點與點B的連線把△ABC分成兩個等腰三角形，這時也有兩種情況：(ⅰ)如圖③，過點B的直線交AC于點D，且BD＝AD＝BC.設∠A＝α°，則∠ABD＝α°，∠C＝∠BDC＝(2α)°，∠DBC＝α°.由三角形的內(nèi)角和定理，得α＋2α＋2α＝180，解得α＝36，所以△ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別是36°，72°，72°.圖③圖④【要點指導】勾股定理反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系,是直角三角形的重要性質之一,其主要應用有(1)已知直角三角形的兩邊長求第三邊長；(2)已知直角三角形的一邊長確定另兩邊長的關系；(3)證明含平方關系的問題等.勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是不是直角三角形的重要依據(jù),實現(xiàn)把數(shù)的問題轉化為形的問題,即通過計算判斷一個三角形是不是直角三角形.專題三與勾股定理及其逆定理有關的計算與應用例3如圖1-Z-5,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝9,BC＝12,則點C到AB的距離是_______.分析如圖1-Z-5,過點C作CD⊥AB于點D.在Rt△ABC中,由直角邊AC及BC的長,利用勾股定理易求出斜邊AB的長,然后借助等積法求出CD的長,即點C到AB的距離.具體的解答過程如下：在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,根據(jù)勾股定理,得AB＝15.如圖1-Z-5,過點C作CD⊥AB于點D.∵S△ABC=AC?BC=AB?CD,∴CD=,則點C到AB的距離是．答案相關題3如圖1-Z-6,在△ABC中,CD⊥AB于點D,AC=4,BC=3,BD=．(1)求CD,AD的值；(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由．【要點指導】解決與線段垂直平分線有關的問題,關鍵是要把握它的性質及與它有關的基本作圖的步驟、技巧,借助“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”,實現(xiàn)相關線段的轉移.專題四線段垂直平分線的性質及應用例4如圖1-Z-7,在△ABC中,∠B=32°,∠BAC的平分線AD交BC于點D.若DE垂直平分AB,則∠C的度數(shù)為(

).A．90°

B．84°

C．64°

D．58°分析∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=32°.∵AD是∠BAC的平分線,∴∠DAC=∠DAB=32°,∴∠C=180°-32°-32°-32°=84°.故選B.答案B相關題4如圖1-Z-8,在△ABC中,∠ACB=90°,分別以點A和點B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于點M和點N,作直線MN交AB于點D,交BC于點E.若AC=3,BC=4,則DE等于().答案

C【要點指導】在解答有關角平分線的問題時,常在角平分線上選一點,并向角的兩邊作垂線段,以便利用角平分線的性質來解答.角平分線的性質和三角形全等的性質都是證明線段相等或角相等的依據(jù),在解時常綜合使用.專題五角平分線的性質與判定的運用例5如圖1-Z-9,∠B=∠C=90°,E是BC的中點,DE平分∠ADC.求證：AD=AB+CD.證明如圖1-Z-9,過點E作EF⊥AD于點F.∵∠C=90°,DE平分∠ADC,∴EC=EF.∵E是BC的中點,∴EC=EB,∴EF=EB.在Rt△AFE與Rt△ABE中,∵AE=AE,EF=EB,∴Rt△AFE≌Rt△ABE,∴AF=AB.同理可得FD=CD,∴AD=AF+FD=AB+CD.相關題5-1如圖1-Z-10,∠B=∠C=90°,E是BC的中點,DE平分∠ADC,∠CED=35°,則∠EAB的度數(shù)是().A．35°

B．45°C．55°

D．65°A相關題5-2如圖1-Z-11,AB∥CD,E為AD上一點,且BE,CE分別平分∠ABC,∠BCD.求證：AE=DE.證明：如圖，過點E分別作EF⊥AB交BA的延長線于點F，EG⊥BC于點G，EH⊥CD于點H.∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF＝EG.同理EG＝EH，∴EF＝EH.又∵EF⊥AB，EH⊥CD，∴∠AFE＝∠DHE＝90°.∵AB∥CD，∴∠FAE＝∠D.在△AFE和△DHE中，∵∠FAE＝∠D，∠AFE＝∠DHE，EF＝EH，∴△AFE≌△DHE(AAS)，∴AE＝DE.【要點指導】等腰三角形是一種特殊而又十分重要的三角形,它的邊、角的特殊性在處理許多幾何問題時起著很重要的作用.求解與等腰三角形的邊、角有關的計算問題時,在條件不明確的情況下,應根據(jù)題目的特點分類討論.素養(yǎng)提升專題一分類討論思想的應用例1

等腰三角形一腰的中線把它的周長分成12cm和9cm兩部分,求這個等腰三角形的腰長和底邊的長.解如圖1-Z-12,設腰長為xcm.(1)若AB+AD=12cm,有x+=12,則x=8,所以AB=8cm,BC=5cm.(2)若AB+AD=9cm,有x+=9,則x=6,所以AB=6cm,BC=9cm.綜上,這個等腰三角形的腰長和底邊的長分別為8cm,5cm或6cm,9cm.相關題1-1

若等腰三角形的一個內(nèi)角的補角是130°,則底角的度數(shù)為().A．80° B．50°C．50°或65° D．50°或70°解析

若130°角為頂角的補角，則頂角為50°，所以底角為(180°－50°)÷2＝65°；若130°角為底角的補角，則底角為50°.所以等腰三角形的底角的度數(shù)為50°或65°.故選C.C相關題1-2

一個等腰三角形的一邊長是5cm,周長是20cm,求其他兩邊的長.解：若腰長為5cm，則底邊長為20－5×2＝10(cm)．∵5＋5＝10，∴不能構成三角形．若底邊長為5cm，則腰長為(20－5)×＝7.5(cm)．∵7.5＋5＞7.5，∴可以構成三角形．綜上可得，5cm為底邊長，其他兩邊的長為7.5cm，7.5cm.專題二轉化思想【要點指導】轉化思想是解決數(shù)學問題的一種最基本的思想.在研究數(shù)學問題時,我們通常是將未知問題轉化為已知問題,將復雜問題轉化為簡單問題,將抽象問題轉化為具體問題,將實際問題轉化為數(shù)學問題.轉化的內(nèi)涵非常豐富,已知與未知、數(shù)量與圖形、圖形與圖形之間都可以通過轉化來獲得解決問題的突破口.例2

如圖1-Z-13,在邊長為2的等邊三角形ABC中,D為BC的中點,E是AC邊上一點,則BE+DE的最小值為___________.分析

如圖1-Z-14,作點B關于AC的對稱點B′,則△ACB′為等邊三角形.連接AD,DB′,則DB′的長度即BE+DE的最小值.∵△ABC是邊長為2的等邊三角形,D為BC的中點,∴AD⊥BC,BD=1,∠DAC=30°,∵∠DAB′=∠DAC+∠CAB′=30°+60°=90°,答案相關題2

在底面直徑為2cm,高為3cm的圓柱體側面上,用一條無彈性的絲帶從點A至點C按圖1-Z-15所示的圈數(shù)纏繞,則絲帶的最短長度為________cm.(結果保留π)答案中考鏈接母題1

(教材P4習題1.1第2題)已知：如圖1-Z-16,點B,E,C,F在同一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求證：∠A=∠D.考點：全等三角形的性質及判定.考情：判定三角形全等是中考的熱點,熟練掌握三角形全等的判定方法是解此類題的關鍵.策略：判定兩個三角形全等時,先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形,然后再根據(jù)三角形全等的判定方法,看缺什么條件,再去證什么條件.鏈接1[蘇州中考]如圖1-Z-17,∠A=∠B,AE=BE,

點D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點O．(1)求證：△AEC≌△BED；(2)若∠1=42°,求∠BDE的度數(shù)．解(1)證明：∵AE和BD相交于點O,∴∠AOD=∠BOE.在△AOD和△BOE中,∵∠A=∠B,∠AOD=∠BOE,∴∠2=∠BEO.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.在△AEC和△BED中,∵∠A=∠B,AE=BE,∠AEC=∠BED,∴△AEC≌△BED(ASA).(2)∵△AEC≌△BED,∴EC=ED,∠C=∠BDE.在△EDC中,∵EC=ED,∠1=42°,∴∠C=∠EDC=69°,∴∠BDE=∠C=69°.母題2(教材P34復習題第4題)已知:如圖1-Z-18,BD,CE是△ABC的高,且BD=CE.求證：△ABC是等腰三角形.考點：等腰三角形的判定與性質.考情：等腰三角形的判定與性質是證明線段相等或角相等的重要依據(jù),常與多邊形的其他性質綜合在一起考查.策略：證明三角形中有兩個角相等或者兩條邊相等,注意數(shù)形結合思想和轉化思想的運用.鏈接2[山西中考]如圖1-Z-19,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直線a∥b,頂點C在直線b上,直線a交AB于點D,交AC于點E,若∠1=145°,則∠2的度數(shù)是().A．30° B．35° C．40° D．45°分析∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ACB=75°.在△ADE中,∵∠1=∠A+∠AED=145°,∴∠AED=145°-30°=115°.∵a∥b,∴∠AED=∠2+∠ACB,∴∠2=∠AED-∠ACB=115°-75°=40°.故選C.答案

C分析

如圖1-Z-21,直接利用平行線的性質得出∠1=∠3,進而利用角平分線的定義結合互余的性質得出∠B=∠BDE,即可得出答案．鏈接3

[內(nèi)江中考]如圖1-Z-20,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足為D,DE∥AC．求證：△BDE是等腰三角形．證明如圖1-Z-21,∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形．母題3(教材P32習題1.10第1題)已知：如圖1-Z-22,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分線.求證：BD=2CD.考點：在直角三角形中,如果有一個銳角是30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.考情：含30°角的直角三角形性質的應用是中考的熱點考題.策略：遇到30°角應該聯(lián)想到它是不是直角三角形中的一個銳角或者是否能夠添加輔助線構造含30°角的直角三角形,解答此類問題的關鍵是利用含30°角的直角三角形的性質得出30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.鏈接4[淄博中考]如圖1-Z-23,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點M,過點M作MN∥BC交AC于點N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長為().A．4 B．6 C．4 D．8分析

∵CM平分∠ACB,MN∥BC,MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6.故選B.答案

B母題4(教材P24習題1.7第3題)如圖1-Z-24,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,△BCE的周長等于50,求BC的長.考點：線段垂直平分線的性質.考情：線段垂直平分線的性質是中考中的常見考點,該性質常常與勾股定理、角平分線的性質定理、全等三角形的判定定理等綜合在一起進行考查.策略：先根據(jù)線段垂直平分線的性質定理得到兩邊相等或者兩角相等,然后利用它們進行轉化,找到解題思路.鏈接5

[南充中考]如圖1-Z-25,在△ABC中,AB的垂直平分線交AB于點D,交BC于點E,連接AE,若BC=6,AC=5,則△ACE的周長為().A．8 B．11 C．16 D．17分析

∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△ACE的周長=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11.故選B.

B母題5(教材P30習題1.9第2題)已知：如圖1-Z-26,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F.求證：EB=FC.考點：角平分線的性質.考情：角平分線的性質是中考中的常見考點,該性質常常與全等三角形的判定定理、勾股定理綜合在一起考查.策略：根據(jù)角平分線的性質定理,