第16章虛位移原理

第十六章虛位移原理系統(tǒng)的約束及其分類虛位移及其計算虛功和理想約束虛位移原理及其應(yīng)用自由度與廣義坐標(biāo)以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件平衡的穩(wěn)定性

引言

靜力學(xué)中以力的平行四邊形法則和二力平衡公理為基礎(chǔ)研究了剛體和剛體系統(tǒng)的平衡，該部分內(nèi)容稱為幾何靜力學(xué)。由幾何靜力學(xué)建立的平衡條件，對剛體的平衡是必要與充分的，但對任意質(zhì)點系來說，僅僅是必要的而不一定是充分的。下面所介紹的虛位移原理，是用分析的方法來研究任意質(zhì)點系的平衡問題。這部分內(nèi)容稱為分析靜力學(xué)。虛位移原理給出的平衡條件，對于任意質(zhì)點系的平衡都是必要與充分的，因此它是解決質(zhì)點系平衡問題的普遍原理。同時，將虛位移原理和達(dá)朗伯原理相結(jié)合，可以導(dǎo)出動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程，從而得到求解質(zhì)點系動力學(xué)問題的又一個普遍的方法。16.1系統(tǒng)的約束及其分類

限制質(zhì)點系中各質(zhì)點的位置和運動的條件稱為約束。表示這些限制條件的表達(dá)式稱為約束方程。根據(jù)約束形式及其性質(zhì)，約束可分以下類型：

一、幾何約束與運動約束

限制質(zhì)點或質(zhì)點系在空間的幾何位置的約束稱為幾何約束。如：

幾何約束方程的一般形式為16.1系統(tǒng)的約束及其分類

不僅能限制質(zhì)點系的位置，而且能限制質(zhì)點系中各質(zhì)點的速度的約束稱為運動約束。為幾何約束方程。為運動約束方程。運動約束方程的一般形式為

二、定常約束與非定常約束

約束條件不隨時間變化的約束稱為定常約束。約束條件隨時間變化的約束稱為非定常約束。如其約束方程為16.1系統(tǒng)的約束及其分類非定常約束方程的一般形式為

三、雙面約束與單面約束

同時限制質(zhì)點某方向及相反方向運動的約束稱為雙面約束。只能限制質(zhì)點某方向的運動，而不能限制相反方向運動的約束稱為單面約束。其約束方程的一般形式為

四、完整約束與非完整約束

幾何約束或其約束方程能夠積分的運動約束稱為完整約束。

如果在約束方程中顯含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)，并且不可以積分，這種約束稱為非完整約束。

本章只研究定常的雙面的完整的幾何約束問題。16.2虛位移及其計算

一、虛位移的概念

在某瞬時，質(zhì)點系在約束允許的條件下，可能實現(xiàn)的任何微小的位移，稱為該質(zhì)點系的虛位移。如

必須指出，虛位移和實位移都受約束的限制，是約束所允許的位移，但二者是有區(qū)別的。實位移是在一定的力作用下和給定的運動初始條件下，在一定的時間內(nèi)發(fā)生的位移，具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。而虛位移純粹是一個幾何概念，它既不牽涉到系統(tǒng)的實際運動，也不涉及到力的作用，與時間過程和運動的初始條件無關(guān)，它一定是微小值，在約束允許的條件下具有任意性。一個靜止的質(zhì)點或質(zhì)點系不會發(fā)生實位移，但可以有虛位移。在定常約束的情況下，微小實位移必定是虛位移中的一個。在非定常約束的情況下，實位移與虛位移沒有關(guān)系。16.2虛位移及其計算

二、虛位移的計算

1、幾何法

這里僅討論定常約束的情形。在此條件下，真實位移是虛位移中的一個。因此可以用求實位移的方法來求各質(zhì)點虛位移之間的關(guān)系。這種方法又稱虛速度法。例如：

由于AB作平面運動，由速度投影定理或者，由于為AB的瞬心，故由正弦定理16.2虛位移及其計算同樣可得

2、解析法

解析法是利用對約束方程或坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行變分以求出虛位移之間的關(guān)系。例如

橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖，坐標(biāo)有約束方程對上式進(jìn)行變分運算得16.2虛位移及其計算或者把表示成的函數(shù)，也可求出虛位移間的關(guān)系。因為作變分運算所以

比較以上兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)，幾何法直觀，且較為簡便，而解析法比較規(guī)范。16.3虛功和理想約束

如圖所示，設(shè)某質(zhì)點受力作用，并給該質(zhì)點一個虛位移，則力在虛位移上所作的功稱為虛功，即或

顯然，虛功也是假想的，它與虛位移是同階無窮小量。

如果在質(zhì)點系的任何虛位移中，所有的約束反力所作虛功的和等于零，則這種約束稱為理想約束。其條件為

常見的理想約束有：

支承質(zhì)點或剛體的光滑固定面、連接物體的光滑鉸鏈、連接兩個質(zhì)點的無重剛桿、連接兩個質(zhì)點不可伸縮的繩索、無滑動的滾動。16.4虛位移原理

具有雙面、定常、理想約束的質(zhì)點系，在某一位置處于平衡的、必要與充分條件是：所有作用于質(zhì)點系上的主動力，在該位置的任何虛位移中所作的虛功之和等于零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為或或用解析式表示為以上三式稱為虛功方程。虛位移原理也稱虛功原理。16.5虛位移原理的應(yīng)用

一、求主動力之間的關(guān)系例1圖示機(jī)構(gòu)中，已知OA=AB=l，

，如不計各構(gòu)件的重量和摩擦，求在圖示位置平衡時主動力與的大小之間的關(guān)系。

解1：以系統(tǒng)為研究對象，受的主動力有、。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。由虛位移原理，得

AB作平面運動，瞬心在點，則將以上關(guān)系代入前式得由于，于是得16.5虛位移原理的應(yīng)用亦可由速度投影定理求虛位移之間的關(guān)系：由速度投影定理解2：解析法。建立如圖坐標(biāo)。由于且對上兩式作變分，得由，得即由于，于是得16.5虛位移原理的應(yīng)用例2圖示機(jī)構(gòu)中，當(dāng)曲柄OC繞軸擺動時，滑塊A沿曲柄自由滑動，從而帶動桿AB在鉛垂導(dǎo)槽K內(nèi)移動。已知OC=a，OK=l，在C點垂直于曲柄作用一力，而在B點沿BA作用一力。求機(jī)構(gòu)平衡時，力與的關(guān)系。

解1：（幾何法）以系統(tǒng)為研究對象，受的主動力有、。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。其中由虛位移原理，得式中故有由于，于是得16.5虛位移原理的應(yīng)用解2：解析法。建立如圖坐標(biāo)。主動力作用點的坐標(biāo)及其變分為主動力在坐標(biāo)方向上的投影為由，得即亦即由于，于是得16.5虛位移原理的應(yīng)用解3：綜合法。

本題用解析法計算力的虛功，用幾何法計算力的虛功，此時虛功方程可以寫為將代入上式，得即可得同樣的結(jié)果。圖中，OD=DA=a，DB=b。不計結(jié)構(gòu)自重和摩擦，求系統(tǒng)在圖示位置平衡時力P和Q間的關(guān)系。（用虛位移原理）解析法或?qū)λ残牡木氐奶摴?6.5虛位移原理的應(yīng)用

二、求系統(tǒng)的平衡位置例3圖示平面機(jī)構(gòu)，兩桿長度相等。在B點掛有重W的重物。D、E兩點用彈簧連接。已知彈簧原長為l，彈性系數(shù)為k，其它尺寸如圖。不計各桿自重。求機(jī)構(gòu)的平衡位置。解：以系統(tǒng)為研究對象，建立如圖的坐標(biāo)。

系統(tǒng)受力有主動力，以及非理想約束的彈性力和，將其視為主動力。其彈性力的大小為主動力作用點的坐標(biāo)及其變分為16.5虛位移原理的應(yīng)用主動力在坐標(biāo)方向上的投影為由，得即亦即因，故將F代入，化簡得16.5虛位移原理的應(yīng)用

三、求約束反力例4試求圖示多跨靜定梁鉸B處的約束反力。

解：以梁為研究對象，解除B處約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。

由虛位移原理有由圖知于是得從而有16.5虛位移原理的應(yīng)用例5圖示多跨靜定梁，試求A端處約束反力偶矩及鉛垂反力。已知：長度單位為m。解：（1）求A端約束反力偶矩。以梁為研究對象，解除A處限制轉(zhuǎn)動的約束，代之以相應(yīng)的約束反力偶矩，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有由幾何關(guān)系得16.5虛位移原理的應(yīng)用于是得故有（2）求A處鉛垂反力。解除A處鉛垂的約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有由幾何關(guān)系得于是有故有16.5虛位移原理的應(yīng)用例6求圖示靜定剛架支座D處的水平反力。解：以剛架為研究對象，解除D處的水平約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有由運動學(xué)關(guān)系于是有故于是支座D的水平反力為16.5虛位移原理的應(yīng)用

四、求桁架桿件的軸力例7求圖示桁架桿1和桿2的軸力。解：以桁架為研究對象，解除1桿的約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有由幾何關(guān)系得于是得16.5虛位移原理的應(yīng)用解除2桿的約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有由幾何關(guān)系得于是得16.6自由度與廣義坐標(biāo)

對于一個自由質(zhì)點，要確定它在空間的位置，需要三個獨立的直角坐標(biāo)。對于由n個質(zhì)點組成的自由質(zhì)點系，則需要3n個獨立的直角坐標(biāo)來確定每個質(zhì)點在空間的位置。但對于非自由質(zhì)點系來說，由于約束的存在，3n個坐標(biāo)就不都是相互獨立的，它們必須滿足約束方程。例如：

確定具有完整約束的質(zhì)點系位置所需要獨立坐標(biāo)的個數(shù)稱為該質(zhì)點系的自由度數(shù)，簡稱自由度。圖示機(jī)構(gòu)具有一個自由度。

在一般情況下，若質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，受到s個幾何約束，且，則在3n個坐標(biāo)中只有

個坐標(biāo)是獨立的，因此即為該質(zhì)點系的自由度。而對于平面問題。16.6自由度與廣義坐標(biāo)

用來確定質(zhì)點系位置的獨立參變量稱為該質(zhì)點系的廣義坐標(biāo)。在完整約束的情況下，質(zhì)點系廣義坐標(biāo)的數(shù)目等于該質(zhì)點系的自由度。

例如，圖示雙擺，有兩個自由度，可取，為廣義坐標(biāo)來確定系統(tǒng)的位置。不唯一。

在一般情況下，若由個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，具有個自由度，取為廣義坐標(biāo)。對于定常的完整約束，質(zhì)點系中各個質(zhì)點的直角坐標(biāo)及其矢徑可以寫成如下的廣義坐標(biāo)的函數(shù)形式16.6自由度與廣義坐標(biāo)

必須指出，廣義坐標(biāo)的選取不是唯一的，要根據(jù)解題的方便任意選取，廣義坐標(biāo)的單位可以是長度，也可以是角度。但廣義坐標(biāo)必須具備兩個條件：一是所選取的一組廣義坐標(biāo)能夠完全確定質(zhì)點系的位置，二是各廣義坐標(biāo)之間必須相互獨立。

類似于多元函數(shù)求微分的方法，可對上式進(jìn)行變分運算，如對第一式求變分，得

上式建立了質(zhì)點坐標(biāo)的變分與其廣義坐標(biāo)的之間的關(guān)系，即質(zhì)點在直角坐標(biāo)中的虛位移與廣義坐標(biāo)中虛位移之間的關(guān)系。

對上式中各式都進(jìn)行同樣的變分運算，得16.6自由度與廣義坐標(biāo)式中，稱為廣義虛位移。上式表明，質(zhì)點系的虛位移都可以用質(zhì)點系的廣義虛位移表示。如雙擺16.7以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件將代入得在上式中，令則稱為對應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力。顯然，廣義力的數(shù)目與廣義坐標(biāo)的數(shù)目相等，等于系統(tǒng)的自由度。則

上式中，由于廣義坐標(biāo)是相互獨立的，廣義虛位移是任意的，要使上式成立，必須有即：具有理想約束的質(zhì)點系平衡的必要與充分條件是：對應(yīng)于所有廣義坐標(biāo)的廣義力都等于零。16.7以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

因為且均為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，所以將和上式代入得廣義力的表達(dá)式

若作用在質(zhì)點系上的主動力均為有勢力，質(zhì)點系在任一位置的勢能為，則有代入上式得即：對應(yīng)于某一廣義坐標(biāo)的廣義力，等于勢能對該廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)冠以負(fù)號。16.7以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

對于保守系統(tǒng)，由得，表示系統(tǒng)的平衡條件為即：在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是：勢能對于每個廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。

廣義力的計算方法：

1、解析法用式計算，此時需將各質(zhì)點的直角坐標(biāo)表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。

2、保守系統(tǒng)的解析法當(dāng)作用于質(zhì)點系上的全部力為有勢力時，可用式計算，此時需將勢能表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。16.7以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

3、幾何法利用虛功進(jìn)行計算，這種方法直觀，對主動力有勢和無勢的情況都適用，計算比較方便，在解決問題時常采用這種方法。

由于廣義坐標(biāo)是相互獨立的，因此可取一組特殊的虛位移，令，這時就可以計算所有主動力在相應(yīng)的虛位移中所做虛功的和，用表示，則有由此可求出廣義力用同樣的方法可求出全部的廣義力。16.7以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件例8圖示雙擺，擺錘A、B分別重、，今在B點沿水平方向作用一已知力，且三力在同一平面內(nèi)，試求系統(tǒng)平衡時，兩擺桿與鉛垂線的夾角和各為多大。解1：幾何法以系統(tǒng)為研究對象，取、為廣義坐標(biāo)。

令，此時系統(tǒng)的虛位移圖如圖所示。

由圖得，則故16.7以廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件

同樣，令，此時系統(tǒng)的虛位移圖如圖所示。由圖得，則故

由系統(tǒng)的平衡條件