高一數(shù)學(xué)寒假講義（新人教A專用）【復(fù)習(xí)】第03講 函數(shù)的概念與性質(zhì)（學(xué)生卷）

第03講函數(shù)的概念與性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、學(xué)習(xí)用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)概念．2、通過函數(shù)的不同表示方法加深對函數(shù)概念的認(rèn)識．3、學(xué)習(xí)用精確的符號語言刻畫函數(shù)性質(zhì)的方法，并通過冪函數(shù)的學(xué)習(xí)函數(shù)研究函數(shù)的基本內(nèi)容、過程和方法．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：函數(shù)的概念考點(diǎn)二：定義域考點(diǎn)三：值域考點(diǎn)四：函數(shù)的表示考點(diǎn)五：單調(diào)性考點(diǎn)六：奇偶性考點(diǎn)七：冪函數(shù)考點(diǎn)八：函數(shù)的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】知識點(diǎn)一、函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱這兩個函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）；②兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)．3、區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：；；；；．知識點(diǎn)二、函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：簡明，給自變量求函數(shù)值．圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢．列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值．2、分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．知識點(diǎn)三、函數(shù)定義域的求法（1）確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學(xué)習(xí)時碰到的所有有意義的限制條件．②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義．③當(dāng)函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)的集合．（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對應(yīng)法則．在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)．（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示．知識點(diǎn)四、函數(shù)值域的求法實(shí)際上求函數(shù)的值域是個比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．知識點(diǎn)五、函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．2、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．3、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．4、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．（2）圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．5、單調(diào)性定義的等價形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減．因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若兩個基本初等函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)．7、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．8、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實(shí)際上將含參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為恒成立問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問題．知識點(diǎn)六、基本初等函數(shù)的單調(diào)性1、正比例函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．2、一次函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．3、反比例函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間．4、二次函數(shù)若，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．知識點(diǎn)七、函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最大值，即當(dāng)時，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最小值，即當(dāng)時，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對應(yīng)圖像中的最高點(diǎn)，最小值對應(yīng)圖像中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個．知識點(diǎn)八、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1、函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱為偶函數(shù)．奇函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么稱為奇函數(shù)．知識點(diǎn)詮釋：（1）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對稱的；（3）的等價形式為：，的等價形式為：；（4）由定義不難得出若一個函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有；（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有．2、奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．（2）如果一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．3、用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對稱，則進(jìn)行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)知識點(diǎn)九、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，再判斷與之一是否相等．（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時，只需驗(yàn)證及是否成立即可．（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對稱．（4）性質(zhì)法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對自變量的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較．知識點(diǎn)十、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見結(jié)論（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．知識點(diǎn)十一、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識點(diǎn)十二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1、作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知識點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點(diǎn)；（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．2、作冪函數(shù)圖象的步驟如下：（1）先作出第一象限內(nèi)的圖象；（2）若冪函數(shù)的定義域?yàn)榛?，作圖已完成；若在或上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)軸對稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對稱作出第三象限的圖象．3、冪函數(shù)解析式的確定（1）借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值．（2）結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征．（3）如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有，即．4、冪函數(shù)值大小的比較（1）比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時，可與0和1進(jìn)行比較．常稱為“搭橋”法．（2）比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大?。?）常用的步驟是：①構(gòu)造冪函數(shù)；②比較底的大??；③由單調(diào)性確定函數(shù)值的大小．知識點(diǎn)十三：解決實(shí)際應(yīng)用問題1、解決實(shí)際應(yīng)用問題的過程2、解決實(shí)際應(yīng)用問題的步驟：第一步：閱讀理解，認(rèn)真審題讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進(jìn)而把握住新信息．第二步：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果．第四步：再轉(zhuǎn)譯為具體問題作出解答．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：函數(shù)的概念例1．（2023·天津南開·高一期末）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與；

②與；③與；

④與A．①② B．①③ C．③④ D．①④例2．（2023·四川南充·高一期末）下列各圖中，可表示函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．例3．（2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二：定義域例4．（2023·陜西·大荔縣教學(xué)研究室高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．例5．（2023·貴州畢節(jié)·高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．例6．（2023·黑龍江·勃利縣高級中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A． B． C． D．考點(diǎn)三：值域例7．（2023·上海徐匯·高一期末）函數(shù)的值域是________________．例8．（2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末）函數(shù)的值域是______.例9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是___________.例10．（2023·遼寧營口·高一期末）為不超過的最大整數(shù)，若函數(shù)，，的值域?yàn)椋瑒t的最大值為______．考點(diǎn)四：函數(shù)的表示例11．（2023·浙江·杭十四中高一期末）若函數(shù)f(x)為一次函數(shù)，且f(x+1)f(x)2,f(x)的零點(diǎn)為1，則函數(shù)f(x)的解析式為________..例12．（2023·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學(xué)研究中心高一期末）已知，那么___________.例13．（2023·廣西南寧·高一期末）已知函數(shù)，則=_________考點(diǎn)五：單調(diào)性例14．（2023·陜西·石泉縣江南高級中學(xué)高一期中）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．例15．（2023·江蘇連云港·高一期末）函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.例16．（2023·廣東揭陽·高一期末）已知函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．例17．（2023·江西省銅鼓中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，則不等式的x的解集是________．例18．（2023·貴州黔西·高一期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；例19．（2023·云南麗江·高一期末）已知定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求函數(shù)在R上的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)六：奇偶性例20．（2023·湖北武漢·高一期末）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則的值為________．例21．（2023·四川涼山·高一期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求關(guān)于m的不等式式的解集.例22．（2023·江蘇連云港·高一期末）若定義在R上的函數(shù)滿足：，，都有成立，且當(dāng)時，.（1）求證：為奇函數(shù)；（2）求證：為上的增函數(shù)；（3）若，且，，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.考點(diǎn)七：冪函數(shù)例23．（2023·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍為________.例24．（2023·上海師大附中高一期末）已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).(1)求的值，并確定的解析式；(2)令，求在的值域.例25．（2023·湖北·武漢東湖新技術(shù)開發(fā)區(qū)教育發(fā)展研究院高一期末）已知函數(shù)，.(1)求方程的解集；(2)定義：.已知定義在上的函數(shù)，求函數(shù)的解析式；(3)在（2）的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的簡圖，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.例26．（2023·湖北·監(jiān)利市教學(xué)研究室高一期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)(1)求冪函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)八：函數(shù)的應(yīng)用例27．（2023·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）某家庭進(jìn)行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額x成正比，其關(guān)系如圖1：投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的年收益與投資額x的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2．(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元?例28．（2023·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一期末）為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度單位：毫克/立方米隨著時間單位：天變化的關(guān)系如下：當(dāng)時，；當(dāng)時，若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于毫克/立方米時，它才能起到凈化空氣的作用．(1)若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達(dá)幾天？(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑個單位的凈化劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值．精確到，參考數(shù)據(jù)：取【真題演練】1．（2023·天津·高考真題）函數(shù)的圖像為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高考真題（文））設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（2023·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是_________．5．（2023·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.6．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.7．（2023·浙江·高考真題）已知函數(shù)則________；若當(dāng)時，，則的最大值是_________．8．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為________；a的最大值為___________．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·廣東揭陽·高一期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．2．（2023·陜西·銅川陽光中學(xué)高一期末）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．3．（2023·貴州六盤水·高一期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北武漢·高一期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．或5．（2023·山東濟(jì)寧·高一期末）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，若，，且，都有成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．6．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高一期末（理））設(shè)的定義域?yàn)镽，且滿足，，若，則（

）A．2023 B．2024 C．3033 D．30347．（2023·湖北省漢川市第一高級中學(xué)高一期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，若對于任意兩個實(shí)數(shù)，且，不等式恒成立，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．8．（2023·四川達(dá)州·高一期末（理））定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則的解集是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·安徽合肥·高一期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，最小值是2 B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增10．（2023·江蘇·連云港市贛馬高級中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對任意都有，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．的周期為4 D．為偶函數(shù)11．（2023·廣東深圳·高一期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，