數(shù)據(jù)分布特征的描述課件

數(shù)據(jù)分布特征的描述1第一節(jié)統(tǒng)計(jì)變量集中趨勢(shì)的測(cè)定第二節(jié)統(tǒng)計(jì)變量離散趨勢(shì)的測(cè)定第三節(jié)變量分布的偏度與峰度目錄2分類(lèi)分組整理圖示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)尋找反映數(shù)據(jù)分布特征的代表值：集中趨勢(shì)；離散程度；形狀。

對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序、分組、整理、圖示，是對(duì)數(shù)據(jù)的分布特征進(jìn)行描述的一個(gè)基本方面，為進(jìn)一步掌握數(shù)據(jù)的分布特征及其變化規(guī)律，以進(jìn)行深入的分析，還需找出反映數(shù)據(jù)分布特征的各個(gè)代表值。統(tǒng)計(jì)學(xué)中主要從以下三方面刻劃數(shù)據(jù)分布特征：數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)；數(shù)據(jù)分布的離散程度；數(shù)據(jù)分布的形狀。3數(shù)據(jù)分布的特征集中趨勢(shì):反映數(shù)據(jù)向其中心靠攏或聚集的程度(位置)偏態(tài)和峰態(tài):偏態(tài):數(shù)據(jù)分布對(duì)稱(chēng)性的度量;峰態(tài):數(shù)據(jù)分布的平峰或尖峰程度（形狀）離中趨勢(shì):數(shù)據(jù)遠(yuǎn)離中心的趨勢(shì)

(分散程度)4數(shù)據(jù)分布特征和適用的描述統(tǒng)計(jì)量數(shù)據(jù)分布特征集中趨勢(shì)眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)離散程度異眾比率四分位差極差平均差方差或標(biāo)準(zhǔn)差離散系數(shù)分布形狀偏態(tài)系數(shù)峰態(tài)系數(shù)5一、測(cè)定集中趨勢(shì)的指標(biāo)及其作用二、數(shù)值平均數(shù)三、眾數(shù)與中位數(shù)第一節(jié)統(tǒng)計(jì)變量集中趨勢(shì)的測(cè)定6一、測(cè)定集中趨勢(shì)的指標(biāo)及其作用集中趨勢(shì)：（centraltendency）

較大和較小的觀測(cè)值出現(xiàn)的頻率比較低，大多數(shù)觀測(cè)值密集分布在中心附近，使得全部數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出向中心聚集或靠攏的態(tài)勢(shì)。

7測(cè)度數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的指標(biāo)分類(lèi)測(cè)度集中趨勢(shì)的指標(biāo)有兩大類(lèi)：數(shù)值平均數(shù)——是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算得到的代表值，主要有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)及幾何平均數(shù)；位置代表值——根據(jù)數(shù)據(jù)所處位置直接觀察、或根據(jù)與特定位置有關(guān)的部分?jǐn)?shù)據(jù)來(lái)確定的代表值，主要有眾數(shù)和中位數(shù)。8測(cè)定集中趨勢(shì)指標(biāo)的作用1．反映變量分布的集中趨勢(shì)和一般水平。如用平均工資了解職工工資分布的中心，反映職工工資的一般水平。2．可用來(lái)比較同一現(xiàn)象在不同空間或不同階段的發(fā)展水平。不受總體規(guī)模大小的影響，在一定程度上使偶然因素的影響相互抵消。3．可用來(lái)分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。如研究勞動(dòng)者的文化程度與收入的關(guān)系4．平均指標(biāo)也是統(tǒng)計(jì)推斷中的一個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量，是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。9二、數(shù)值平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)10（一）算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是計(jì)算平均指標(biāo)最常用的方法，其基本公式是：分子、分母的口徑及包含的內(nèi)容應(yīng)嚴(yán)格一致，即各標(biāo)志值與各單位之間必須一一對(duì)應(yīng)。例：計(jì)算某企業(yè)職工平均工資，是該企業(yè)所有職工工資總額除以職工總?cè)藬?shù)所得。如工資總額150000元，總?cè)藬?shù)300人，平均工資500元。111、簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式：其中：代表算術(shù)平均數(shù)，xi代表各單位標(biāo)志值（變量值），n代表總體單位數(shù)（項(xiàng)數(shù)）。適用條件：

原始資料（或資料未分組）；

各變量出現(xiàn)次數(shù)相等的情況下應(yīng)用；12表3-1解：采用簡(jiǎn)單算術(shù)平均法計(jì)算，即全體隊(duì)員的平均年齡為（單位：周歲）分組數(shù)據(jù)不能簡(jiǎn)單平均！因?yàn)楦鹘M變量值的次數(shù)不等！若采用簡(jiǎn)單平均：表3-2132、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式：加權(quán)——為了體現(xiàn)各變量值輕重不同的影響作用，對(duì)各個(gè)變量值賦予不盡相同的權(quán)數(shù)（fi

）其中：代表算術(shù)平均數(shù)，x代表各單位標(biāo)志值（變量值），f代表各組單位數(shù)（項(xiàng)數(shù)）。14權(quán)數(shù)的含義和表現(xiàn)形式權(quán)數(shù)（fi）也稱(chēng)權(quán)重，計(jì)算總體平均數(shù)或綜合水平的過(guò)程中對(duì)各個(gè)數(shù)據(jù)起著權(quán)衡輕重作用的變量。

權(quán)數(shù)的表現(xiàn)形式：可以是絕對(duì)數(shù)形式，也可以是比重形式（如頻率）來(lái)表示：

事實(shí)上比重權(quán)數(shù)更能夠直接表明權(quán)數(shù)的權(quán)衡輕重作用的實(shí)質(zhì)。15加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就成了簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)，也就是說(shuō)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的一種特殊形式。當(dāng)權(quán)數(shù)完全相等時(shí)16例3-1正確的計(jì)算是：由單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù)可直接用加權(quán)算術(shù)平均法進(jìn)行計(jì)算。17【例3.６】根據(jù)表3-６中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的均值18權(quán)數(shù)對(duì)算術(shù)平均數(shù)的影響加權(quán)算術(shù)平均數(shù)其數(shù)值的大小，不僅受各組變量值大小的影響，而且受各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)即權(quán)數(shù)大小的影響。如果某一組的權(quán)數(shù)大，說(shuō)明該組的數(shù)據(jù)較多，那么該組數(shù)據(jù)的大小對(duì)算術(shù)平均數(shù)的影響就越大，反之，則越小。19甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績(jī)及其分布數(shù)據(jù)如下：甲組：考試成績(jī)（X）: 020100

人數(shù)分布（F）：118乙組：考試成績(jī)（X）: 020100

人數(shù)分布（F）：811X甲0×1+20×1+100×8n

10i=1

Xi

82（分）X乙0×8+20×1+100×1n

10i=1

Xi

12（分）203、由組距數(shù)列計(jì)算算術(shù)平均數(shù)在組距分組的情況下，由于各組的組限只表明各組標(biāo)志值的上下界限，因此由組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)時(shí)，必須先計(jì)算各組的組中值，以組中值代表該組標(biāo)志值，然后再計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。各組變量值用組中值來(lái)表示；假定條件是各組內(nèi)數(shù)據(jù)呈均勻分布或?qū)ΨQ(chēng)分布；計(jì)算結(jié)果是近似值。21某批次節(jié)能燈泡使用壽命的分組數(shù)據(jù)224、對(duì)相對(duì)數(shù)求算術(shù)平均數(shù)由于各個(gè)相對(duì)數(shù)的對(duì)比基礎(chǔ)不同，采用簡(jiǎn)單算術(shù)平均通常不合理，需要加權(quán)。表3-4企業(yè)流通費(fèi)用率（％）商品銷(xiāo)售額（萬(wàn)元）流通費(fèi)用（萬(wàn)元）甲161600256乙104750475丙124000480合計(jì)11.70048103501211權(quán)數(shù)的選擇必須符合該相對(duì)數(shù)本身的計(jì)算公式。權(quán)數(shù)通常為該相對(duì)數(shù)的分母指標(biāo)。235、算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）算術(shù)平均數(shù)與變量值個(gè)數(shù)的乘積等于各個(gè)變量值的總和。（2）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之總和等于零。（3）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方之總和為最小。24（二）調(diào)和平均數(shù)概念：調(diào)和平均數(shù)又稱(chēng)倒數(shù)平均數(shù)，是變量倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。公式：

A.簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)B.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)式中：M-—各組的標(biāo)志總量；X—各組的標(biāo)志值。25應(yīng)用調(diào)和平均數(shù)應(yīng)注意問(wèn)題1、變量x的值不能為0。2、調(diào)和平均數(shù)易受極端值的影響。3、要注意其運(yùn)用的條件。（已知各組的標(biāo)志總量和標(biāo)志值，而權(quán)數(shù)未知）26例題例水果甲級(jí)每元1公斤，乙級(jí)每元1.5公斤，丙級(jí)每元2公斤。問(wèn)：（1）若各買(mǎi)1公斤，平均每元可買(mǎi)多少公斤？（2）各買(mǎi)6.5公斤，平均每元可買(mǎi)多少公斤？（3）若買(mǎi)甲級(jí)3公斤，乙級(jí)2公斤，丙級(jí)1公斤，平均每元可買(mǎi)幾公斤？（4）甲乙丙三級(jí)各買(mǎi)1元，每元可買(mǎi)幾公斤？27解答：（1）（2）（3）（4）28算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系1.從數(shù)學(xué)定義角度看算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)是不一樣的，但在社會(huì)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用領(lǐng)域，調(diào)和平均數(shù)實(shí)際上只是算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，二者本質(zhì)上是一致的，惟一的區(qū)別是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)。2.計(jì)算比率的平均數(shù)時(shí)，如果已知比率及其基本計(jì)算式的分母資料，則采用加權(quán)算術(shù)平均法；如果已知比率及其基本計(jì)算式的分子資料，則采用加權(quán)調(diào)和平均法。29例自行車(chē)賽時(shí)速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程200公里，問(wèn)三人平均時(shí)速是多少？若甲乙丙三人各騎車(chē)2小時(shí)，平均時(shí)速是多少？30（三）幾何平均數(shù)概念：幾何平均數(shù)是n個(gè)變量連乘積的n次根。適用于現(xiàn)象各變量值的連乘積等于總體標(biāo)志總量的場(chǎng)合，是計(jì)算平均比率和平均速度常用的一種方法。如：銀行平均利率、各年平均發(fā)展速度、產(chǎn)品平均合格率等計(jì)算公式：（1）簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)（2）加權(quán)幾何平均數(shù)31應(yīng)注意的問(wèn)題1、變量數(shù)列中任何一個(gè)變量值不能為0，一個(gè)為0，則幾何平均數(shù)為0。2、幾何平均法主要用于動(dòng)態(tài)平均數(shù)的計(jì)算。3、實(shí)際統(tǒng)計(jì)中，為了計(jì)算上的方便，通常利用對(duì)數(shù)。32【例3.8】一位投資者持有一種股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分別為4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。計(jì)算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率。平均收益率＝103.84%-1=3.84%33三、眾數(shù)與中位數(shù)（一）眾數(shù)（Mode)

1.概念：眾數(shù)是指變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多或頻率最大的變量值。

2.適用條件：只有集中趨勢(shì)明顯時(shí)，才能用眾數(shù)作為總體的代表值。

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3.眾數(shù)的計(jì)算方法：（1）單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)，即出現(xiàn)次數(shù)最多（頻率最大）的標(biāo)志值就是眾數(shù)。（2）組距數(shù)列確定眾數(shù)：在等距數(shù)列條件下，先確定眾數(shù)組，然后再通過(guò)公式進(jìn)行具體計(jì)算，找出眾數(shù)點(diǎn)的標(biāo)志值。35定類(lèi)數(shù)據(jù)眾數(shù)的確定【例3.1】根據(jù)表3-1中的數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)。解：這里的變量為“廣告類(lèi)型”，這是個(gè)定類(lèi)變量，不同類(lèi)型的廣告就是變量值。我們看到，在所調(diào)查的200人當(dāng)中，關(guān)注商品廣告的人數(shù)最多，為112人，占總被調(diào)查人數(shù)的56%，因此眾數(shù)為“商品廣告”這一類(lèi)別，即

Mo＝商品廣告36定序數(shù)據(jù)眾數(shù)的確定【例3.2】根據(jù)表3-2中的數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)。解：這里的數(shù)據(jù)為定序數(shù)據(jù)。變量為“回答類(lèi)別”。甲城市中對(duì)住房表示不滿(mǎn)意的戶(hù)數(shù)最多，為108戶(hù)，因此眾數(shù)為“不滿(mǎn)意”這一類(lèi)別，即

Mo＝不滿(mǎn)意374.計(jì)算公式：公式1（下限公式）：用眾數(shù)所在組的下限為起點(diǎn)值計(jì)算公式2（上限公式）：用眾數(shù)所在組的上限為起點(diǎn)值計(jì)算U為眾數(shù)所在組組距的上限，L為眾數(shù)所在組組距的下限，為眾數(shù)組的上限，為眾數(shù)組次數(shù)與前一組次數(shù)之差，為眾數(shù)組與后一組之差，i為眾數(shù)組的組距。38數(shù)值型分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的確定【例3.3】根據(jù)表3-3中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)39（二）中位數(shù)1、概念：將總體單位的某一數(shù)量標(biāo)志的各個(gè)數(shù)值按照大小順序排列，居于中間位置的那個(gè)數(shù)值就是中位數(shù)。中位數(shù)是位置平均數(shù)，它不受極端值的影響，在具有個(gè)別極大或極小標(biāo)志值的分布數(shù)列中，中位數(shù)比計(jì)算算術(shù)平均數(shù)更具有代表性；從中位數(shù)的概念可以看出，總體中有一半項(xiàng)目的數(shù)值小于中位數(shù)，一半項(xiàng)目的數(shù)值大于中位數(shù)。402、計(jì)算方法：（1）由未分組資料確定中位數(shù)①排序：按大小順序排序（某一標(biāo)志值）②確定中位數(shù)位置③計(jì)算（確定）中位數(shù)數(shù)值：分兩種：

奇數(shù)：中間位置的標(biāo)志值為中位數(shù)。

偶數(shù)：中間位置相鄰兩個(gè)變量值的簡(jiǎn)單平均數(shù)是中位數(shù)。41某組學(xué)生考試成績(jī)（8人）：72，75，78，79，81，82，84，90則若9人，成績(jī)分別為：72，73，75，78，79，81，82，84，90則42（2）由分組資料確定中位數(shù)第一步：確定中位數(shù)所處位置，按確定（f為次數(shù)）。第二步：確定中位數(shù)組：第三步：采用公式計(jì)算下限法：用“向上累計(jì)”法確定中位數(shù)。上限法：用“向下累計(jì)”法確定中位數(shù)。其中：U是中位數(shù)所在組的上限，L是中位數(shù)所在組的下限，fm是中位數(shù)所在組的次數(shù)，Sm+1是中位數(shù)所在組后面各組累計(jì)次數(shù)，Sm-1是中位數(shù)所在組前面各組累計(jì)次數(shù)，i是中位數(shù)所在組的組距。43例現(xiàn)檢測(cè)某廠生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時(shí)間，得到資料如下表所示：4445分位數(shù)二分位數(shù)（中位數(shù)）、四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)等。其中主要有四分位數(shù)。排位處于25%和75%位置上的值即四分位數(shù)不受極端值的影響要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類(lèi)數(shù)據(jù)（各種分位數(shù)可由spss計(jì)算）QLQMQU25%25%25%25%46四分位數(shù)的位置未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：4下四分位數(shù)(QL)位置=N+1上四分位數(shù)(QU)位置=3(N+1)4下四分位數(shù)(QL)位置=N4上四分位數(shù)(QL)位置=3N447數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)原始數(shù)據(jù):2321 3032 282526QL=23N+17+1QL位置=4=4=2QU位置=3(N+1)43(7+1)4==6QU=30

排序:21232526283032

位置:1 23456748數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(6個(gè)（N+1不能被4整除）數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):2321 30 282526排序:212325262830位置:1 2 3 4 56QL=21+0.75(23-21)=22.5QL位置=N+14=6+14=1.75QU位置=3(N+1)43(6+1)4==5.25QU=28+0.25(30-28)

=28.5

49數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(計(jì)算公式)上四分位數(shù):

下四分位數(shù):

50數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(計(jì)算示例)QL位置＝50/4＝12.5QU位置＝3×50/4＝37.5【例】根據(jù)表3-5中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的四分位數(shù)51（三）眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均值的比較1．算術(shù)平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)應(yīng)用范圍最廣。易受極端值的影響。當(dāng)分布數(shù)列中存在開(kāi)口組時(shí)，會(huì)影響平均數(shù)的準(zhǔn)確性。算術(shù)平均數(shù)適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。522．調(diào)和平均數(shù)適用于計(jì)算比率的平均數(shù)。它容易受極端值的影響，數(shù)列中只要有一個(gè)變量值為零，則不能計(jì)算調(diào)和平均數(shù)，故其應(yīng)用范圍受到限制。調(diào)和平均數(shù)適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。533．幾何平均數(shù)適用于各比率連乘積等于總比率的條件下計(jì)算比率的平均數(shù)。數(shù)列中若有一項(xiàng)為零或負(fù)數(shù)，計(jì)算幾何平均數(shù)無(wú)意義，應(yīng)用范圍較小。幾何平均數(shù)適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。544．眾數(shù)眾數(shù)的意義易于理解，有時(shí)容易計(jì)算，且不受極端值的影響。當(dāng)數(shù)據(jù)分布沒(méi)有明顯的集中趨勢(shì)而趨于均勻分布時(shí)，則無(wú)眾數(shù)可言；對(duì)不等距分布數(shù)列，眾數(shù)不易確定。當(dāng)分布數(shù)列中出現(xiàn)雙眾數(shù)或多眾數(shù)時(shí)，難以反映所有數(shù)據(jù)的一般水平。變量值的變化反映不靈敏。眾數(shù)適用于分類(lèi)數(shù)據(jù)、順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)。

555．中位數(shù)中位數(shù)不受極端值的影響。當(dāng)分布數(shù)列中存在極端值或組距數(shù)列中存在開(kāi)口組時(shí)，計(jì)算中位數(shù)比較好。中位數(shù)缺乏靈敏性，沒(méi)有算術(shù)平均數(shù)可靠，且不易用代數(shù)方法計(jì)算。中位數(shù)適用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)。56左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)對(duì)稱(chēng)分布

均值=中位數(shù)=

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)均值對(duì)何種數(shù)據(jù)而言的？均值=中位數(shù)=眾數(shù)均值>中位數(shù)>眾數(shù)均值<中位數(shù)<眾數(shù)57（一）算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)三者的關(guān)系（二）算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)三者的關(guān)系1、當(dāng)總體分布成對(duì)稱(chēng)狀態(tài)時(shí)，三者合而為一。2、當(dāng)總體分布呈右偏時(shí)，則3、當(dāng)總體分布呈左偏時(shí)，則58當(dāng)分布偏態(tài)時(shí)，三者之間的數(shù)量關(guān)系是：若則說(shuō)明分布右偏若則說(shuō)明分布左偏若則說(shuō)明分布對(duì)稱(chēng)59第二節(jié)統(tǒng)計(jì)變量離散程度的測(cè)定

對(duì)數(shù)據(jù)分布特征的另一個(gè)測(cè)度指標(biāo)是數(shù)據(jù)分布離散程度。它反映各數(shù)據(jù)遠(yuǎn)離其中心值的程度，因此，也稱(chēng)離中趨勢(shì)。

集中趨勢(shì)反映的是各變量值向其中心值聚集的程度，

離中趨勢(shì)反映各變量值之間的差異狀況。

注意：

集中趨勢(shì)的測(cè)度值概括地反映了數(shù)據(jù)的一般水平，它對(duì)該組數(shù)據(jù)的代表程度，取決于該組數(shù)據(jù)的離散水平。數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢(shì)的測(cè)度值對(duì)該組數(shù)據(jù)的代表性就越差。60測(cè)度離散程度的指標(biāo)稱(chēng)為變異指標(biāo)。變異指標(biāo)的主要作用：1.說(shuō)明數(shù)據(jù)的分散程度，反映變量的穩(wěn)定性、均衡性。數(shù)據(jù)之間差異越大，變量的穩(wěn)定性或均衡性越差。2.衡量平均數(shù)的代表性。離散程度越大，平均數(shù)的代表性就越小。3.統(tǒng)計(jì)推斷的重要依據(jù)判別統(tǒng)計(jì)推斷前提條件是否成立，衡量推斷效果好壞的重要尺度。61離散程度的測(cè)度指標(biāo)分類(lèi)數(shù)據(jù)：異眾比率（variationratio）順序數(shù)據(jù)：四分位差（quartilerange

）數(shù)值型數(shù)據(jù)：①極差（range

）②平均差（meandeviation）③方差和標(biāo)準(zhǔn)差（Varianceandstandarddeviation）④相對(duì)位置的度量：標(biāo)準(zhǔn)化值（standard

score）⑤相對(duì)離散程度：離散系數(shù)（CoefficientofVariation

）62極差1.一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差2.易受極端值影響7891078910未分組數(shù)據(jù)

R=max(Xi)-min(Xi).=組距分組數(shù)據(jù)

R

最高組上限-最低組下限3.計(jì)算公式為63四分位差對(duì)順序數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度也稱(chēng)為內(nèi)距或四分間距上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差 反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度用于衡量中位數(shù)的代表性64定序數(shù)據(jù)的算例【例3.13】根據(jù)第三章表3-13中的數(shù)據(jù)，計(jì)算甲城市家庭對(duì)住房滿(mǎn)意狀況評(píng)價(jià)的四分位差解：設(shè)非常不滿(mǎn)意為1,不滿(mǎn)意為2,一般為3,滿(mǎn)意為4,非常滿(mǎn)意為5

已知QL=不滿(mǎn)意=2

QU=

一般=

3四分位差：

QD

=QU

=

QL

=3–2

=1表3-13

甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類(lèi)別甲城市戶(hù)數(shù)(戶(hù))累計(jì)頻數(shù)

非常不滿(mǎn)意

不滿(mǎn)意一般滿(mǎn)意非常滿(mǎn)意2410893453024132225270300合計(jì)300—65數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位差表3-12

某車(chē)間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合計(jì)50—【例3.12-2】根據(jù)表3-12中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的四分位差。66平均差1.離散程度的測(cè)度值之一2.各變量值與其均值離差絕對(duì)值的平均數(shù)3.能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度4.數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實(shí)際中應(yīng)用較少

計(jì)算公式為未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)67算例表3-14某車(chē)間50名工人日加工零件標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表按零件數(shù)分組組中值(Xi)頻數(shù)(Fi)|Xi-X||Xi-X|Fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合計(jì)—50—312【例3.14】根據(jù)第三章表3-14中的數(shù)據(jù)，計(jì)算工人日加工零件數(shù)的平均差68方差和標(biāo)準(zhǔn)差1.離散程度的測(cè)度值之一2.最常用的測(cè)度值3.反映了數(shù)據(jù)的分布4.反映了各變量值與均值的平均差異5.根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱(chēng)為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱(chēng)為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差4681012X=8.369總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差(計(jì)算公式)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：方差的計(jì)算公式70總體標(biāo)準(zhǔn)差（計(jì)算過(guò)程及結(jié)果）3100.5739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96(Xi-X)2Fi—246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49(Xi-X)250—合計(jì)358141064107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140頻數(shù)(Fi)組中值(Xi)按零件數(shù)分組表3-15某車(chē)間50名工人日加工零件標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表【例3.15】根據(jù)第三章表3-15中的數(shù)據(jù)，計(jì)算工人日加工零件數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差71方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)(3)分組條件下，總體的方差等于組間方差與各組方差平均數(shù)之和。(1)常數(shù)的方差等于零。a為常數(shù),則(2)變量的線性函數(shù)的方差等于變量系數(shù)的平方乘以變量的方差。設(shè)a,b為常數(shù)，y=a+bx，則有：組間方差各組方差平均數(shù)72標(biāo)準(zhǔn)化值1）對(duì)某一個(gè)值在一組數(shù)據(jù)中相對(duì)位置的度量2）可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn)3）用于對(duì)變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理4）計(jì)算公式為73注意：

z分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，它并沒(méi)有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的位置，也沒(méi)有改變?cè)摻M數(shù)據(jù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標(biāo)準(zhǔn)差為1。

74算例假定某班學(xué)生先后兩個(gè)兩次進(jìn)行了難度不同的綜合考試，第一次考試成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為80分和10分，而第二次考試成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為70分和7分。張三第一、二次考試的成績(jī)分別為92分和80分，那么全班相比較而言，他哪一次考試的成績(jī)更好呢？解：由于兩次考試成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同，每個(gè)學(xué)生兩次考試的成績(jī)不宜直接比較。利用標(biāo)準(zhǔn)化值進(jìn)行對(duì)比，表明第二次考試的成績(jī)更好一些。75離散系數(shù)1.標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比2.消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響3.測(cè)度了數(shù)據(jù)的相對(duì)離散程度4.用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較5.計(jì)算公式為76全距、四分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差都是絕對(duì)指標(biāo)，都與平均指標(biāo)有相同的計(jì)量單位。不宜直接來(lái)比較不同水平數(shù)列之間的標(biāo)志離散程度。離散系數(shù)也稱(chēng)為標(biāo)志變動(dòng)系數(shù)。最常用的是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差與算術(shù)平均數(shù)對(duì)比的離散系數(shù)，稱(chēng)作“標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)”。77例如：有兩個(gè)不同水平的工人日產(chǎn)量（件）資料：甲組：60，65，70，75，80乙組：2，5，7，9，12由此計(jì)算得：計(jì)算其離散系數(shù)來(lái)比較：78算例【例】某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷(xiāo)售數(shù)據(jù)如表4.7。試比較產(chǎn)品銷(xiāo)售額與銷(xiāo)售利潤(rùn)的離散程度79X1=536.25（萬(wàn)元）S1=309.19（萬(wàn)元）V1=536.25309.19=0.577S2=23.09（萬(wàn)元）V2=32.521523.09=0.710X2=32.5215（萬(wàn)元）結(jié)論：計(jì)算結(jié)果表明，V1<V2，說(shuō)明產(chǎn)品銷(xiāo)售額的離散程度小于銷(xiāo)售利潤(rùn)的離散程度80異眾比率1. 離散程度的測(cè)度值之一2. 非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率3. 用于衡量眾數(shù)的代表性4.

計(jì)算公式為81算例表3-10

某城市居民關(guān)注廣告類(lèi)型的頻數(shù)分布

廣告類(lèi)型人數(shù)(人)頻率(%)

商品廣告服務(wù)廣告金融廣告房地產(chǎn)廣告招生招聘廣告其他廣告1125191610256.025.54.58.05.01.0合計(jì)200100【例3.10】根據(jù)第三章表3-10中的數(shù)據(jù)，計(jì)算異眾比率解：

在所調(diào)查的200人當(dāng)中，關(guān)注非商品廣告的人數(shù)占44%，異眾比率還是比較大。因此，用“商品廣告”來(lái)反映城市居民對(duì)廣告關(guān)注的一般趨勢(shì)，其代表性不是很好

Vr=200-112200

=1-

112

200

=0.44=44%82數(shù)據(jù)類(lèi)型與離散程度測(cè)度值數(shù)據(jù)類(lèi)型和所適用的離散程度測(cè)度值數(shù)據(jù)類(lèi)型定類(lèi)數(shù)據(jù)定序數(shù)據(jù)定距數(shù)據(jù)或定比數(shù)據(jù)適用的測(cè)度值※異眾比率※四分位差

※方差或標(biāo)準(zhǔn)差—

異眾比率

※離散系數(shù)（比較時(shí)用）——

平均差——

極差——

四分位差——

異眾比率83變量分布的偏度與峰度一、矩（動(dòng)差）矩（動(dòng)差）——一系列刻畫(huà)數(shù)據(jù)分布特征的指標(biāo)的統(tǒng)稱(chēng)。變量值與數(shù)值a之離差的K次方的平均數(shù)稱(chēng)為變量x關(guān)于a的K階矩，即：84K階原點(diǎn)矩（當(dāng)a=0時(shí)）是數(shù)據(jù)的K次方的平均數(shù).一階原點(diǎn)矩即算術(shù)平均數(shù)；二階原點(diǎn)矩即平方平均數(shù)。

K階中心矩矩（當(dāng)a=均值時(shí)）是以均值為中心計(jì)算的離差K次方的平均數(shù)k=1時(shí)，稱(chēng)為一階中心矩，它恒等于0，即m1=0；k=2時(shí)，稱(chēng)為二階中心矩，也就是方差，即m2=σ2。

85二、偏度（Skewness）偏度——指數(shù)據(jù)分布的不對(duì)稱(chēng)程度或偏斜程度。以對(duì)稱(chēng)分布為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)區(qū)分偏態(tài)分布又分左偏（負(fù)偏）和右偏（正偏）.左偏分布（負(fù)偏）右偏分布（正偏）86偏態(tài)的測(cè)度方法-30+3

極左偏態(tài)對(duì)稱(chēng)分布極右偏態(tài)一般有：（一）由均值與眾數(shù)（中位數(shù)）之間的關(guān)系求偏態(tài)系數(shù)：87（二）由三個(gè)四分位數(shù)之間的關(guān)系求偏態(tài)系數(shù)值域：-1Sk1

極左偏態(tài)對(duì)稱(chēng)分布極右偏態(tài)-10+1

88（三）利用3階中心矩來(lái)計(jì)算偏度系數(shù)。測(cè)定偏度最常用的方法原理：若分布不對(duì)稱(chēng)，則3階中心矩不為0。不對(duì)此程度愈嚴(yán)重，3階中心矩的絕對(duì)值愈大。為消除量綱的影響，可除以σ3。0

對(duì)稱(chēng)分布左偏分布

右偏分布89三、峰度（Kurtosis）峰度——是指變量的集中程度和分布曲線的陡峭（或平坦）的程度。對(duì)峰度的度量通常以正態(tài)分布曲線為比較標(biāo)準(zhǔn)，分為正態(tài)峰度、尖頂峰度和平頂峰度.平頂分布尖峰分布尖頂峰度的分布曲線比正態(tài)分布曲線更加尖峭、更高更窄；平頂峰度的分布曲線比正態(tài)分配曲線更為平緩、更低更扁平。90峰度系數(shù)原理：分布曲線的尖峭程度與偶數(shù)階中心矩的數(shù)值大小有直接關(guān)系。以四階中心矩m4為基礎(chǔ)，為了消除量綱的影響，再除以標(biāo)準(zhǔn)差的四次方σ4所得到的相對(duì)數(shù)即可衡量峰度。91當(dāng)K=0時(shí)，分布曲線為正態(tài)曲線；當(dāng)K＞0時(shí)，為尖頂曲線，表示數(shù)據(jù)比正態(tài)分布更集中在均值附近；K的數(shù)值越大，則變量分布曲線之頂端越尖峭；當(dāng)K＜0時(shí)，為平頂曲線，表示數(shù)據(jù)比正態(tài)分布更分散；K的數(shù)值越小，則變量分布曲線之頂端越平坦。對(duì)于正態(tài)分布曲線有：m4/σ4=3，故峰度系數(shù)為：92算例根據(jù)表3-3的數(shù)據(jù)，計(jì)算使用壽命分布的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)。解：計(jì)算結(jié)果表明，偏度系數(shù)幾乎為0，峰度系數(shù)略小于0，說(shuō)明該產(chǎn)品使用壽命的分布十分接近對(duì)稱(chēng)分布，分布曲線頂峰略比正態(tài)分布平坦一些?？偟恼f(shuō)來(lái)，該產(chǎn)品的使用壽命的