江蘇省徐州、如皋2023年高考數(shù)學三模試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.過橢圓。：三+3=1（4>6>°）的左焦點口的直線過。的上頂點8,且與橢圓。相交于另一點A，點A在丁軸

上的射影為4,右河［41。是坐標原點，則橢圓C的離心率為（)

A.正B.在C.1D.叵

2322

2.已知集合4=352忘1},8=[|3*<1},則AU&B)=()

A.{xlx<0}B.{xIO^x^l}c.{xl-&無<0}D.{xlx2-l}

3.已知直線y=k(x-1)與拋物線C：y2=4x交于A,3兩點，直線y=2k(x-2)與拋物線Z>：y2=8x交于M,N

兩點，設X=\AB\-2SMN\,則()

A.2<-16B.2=-16C.-12V2V0D.2=-12

4.在三棱錐S—ABC中，S8=&4=A5=BC=AC=4,SC=2々，則三棱錐S—ABC外接球的表面積是（）

4071807t40TI80rt

"T

5.在AABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,若c-acosB=（2a-6）cosA,則4/WC的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰非等邊三角形

C.等腰或直角三角形D.鈍角三角形

1

6.下列與函數(shù)y=耳定義域和單調性都相同的函數(shù)是（)

\x

\D

A.y=2io8,.vB.y=log.c.y=log-y=x：

22X

7.等差數(shù)列伍｝中，已知3a=7a，且a<0,則數(shù)列｛a｝的前〃項和S（〃eN*）中最小的是（）

n5101nn

A.S,或S.B.52C.S,D.54

x>0

8.已知“，力，ceR,“>b>c,a+h+c=O.若實數(shù)x,V滿足不等式組，x+yV4,則目標函數(shù)z=2x+y

hx+ay-}-c>0

（）

A.有最大值，無最小值B.有最大值，有最小值

C.無最大值，有最小值D.無最大值，無最小值

9.為了得到函數(shù)丁=呵2》一卷）的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點（）

A,向左平移三個單位長度B.向右平移三個單位長度

66

TTJT

C,向左平移病個單位長度D.向右平移二個單位長度

1212

10.如圖，平面四邊形AC8。中，ABLBC,AB=j3,BC=2,△4?。為等邊三角形，現(xiàn)將△A3。沿AB翻

折，使點。移動至點尸，且尸則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

A.8兀B.6兀C.4兀D.7兀

3

11.已知雙曲線。：—--^-=1（a>（）,b〉O）的右焦點與圓M：（x-2）2+y2=5的圓心重合，且圓M被雙曲

線的一條漸近線截得的弦長為2JI,則雙曲線的離心率為（）

A.2B.y/2C.y/3D.3

12.在中，點P為8C中點，過點p的直線與A8,AC所在直線分別交于點M,N,若AA/=〉A月,

AN=gAC（X>0,M>0）,則九+N的最小值為（）

57

A.-B.2C.3D.-

42

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y+220,

13.已知實數(shù)及'滿約束條件<2x+y-X0,,則z=—x+3y的最大值為.

⑷，

14.已知半徑為4的球面上有兩點4B,AB-4也，球心為。，若球面上的動點C滿足二面角C一,18.O的大小為60。,

則四面體的外接球的半徑為.

X2V2

15.已知點P是橢圓—+--=1（。>b>0）上一點，過點P的一條直線與圓xz+>2=°2+枚相交于A,8兩點，若存

。2拉

在點尸，使得IPAI-IPBI=a2-b2,則橢圓的離心率取值范圍為.

16.設常數(shù)aeR,如果（心的二項展開式中％項的系數(shù)為-80,那么。=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，湖中有一個半徑為1千米的圓形小島，岸邊點A與小島圓心C相距3千米，為方便游人到小島觀光,

從點A向小島建三段棧道AB,BD,BE,湖面上的點8在線段AC上，且3。，BE均與圓C相切，切點分別為D,

E,其中棧道AB,BD,8E和小島在同一個平面上.沿圓C的優(yōu)?。▓AC上實線部分）上再修建棧道。E.記NCBO

為0.

（D用。表示棧道的總長度/（0）,并確定sin。的取值范圍;

（2）求當e為何值時，棧道總長度最短.

18.（12分）已知函數(shù)/（?0=（%—2）&：—。（％—1）2,其中4€11評（%）=為一111%.

（1）函數(shù)/'G）的圖象能否與*軸相切?若能，求出實數(shù)。；若不能，請說明理由.

（2）若人Q）=/G）-gG）在x=1處取得極大值，求實數(shù)a的取值范圍.

19.（12分）我國在貴州省平塘縣境內修建的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠

鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀60年

代天文學的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉周期）

是?定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某?天文研究機構觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈

沖星的自轉周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.

（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉周期在2至10秒的大約有多少顆？

（2）根據頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉周期的平均值.

L71

20.（12分）在中，內角人用C的對邊分別是a,b,c,滿足條件c=2/7-.

（1）求角A；

（2）若△抽。邊AB上的高為道,求的長.

21.（12分）［選修45：不等式選講］

zj2hlC2d2|

已知aZ?cd都是正實數(shù)，且a+/?+c+d=1,求證：+_+_+一.

1+a1+61+c1+d5

22.（10分）如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是邊長為4的菱形，PA=PC=5,點M,N分別是的

中點.

（1）求證：MN//平面PAD；

4

（2）若COSNPC￡>=5，ZD4B=60。，求直線AN與平面尸AO所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

FO\3

求得點8的坐標，由/=彳，得出前=3用，利用向量的坐標運算得出點A的坐標，代入橢圓。的方程，可得

/Lri4

出關于。、b、c的齊次等式，進而可求得橢圓。的離心率.

【詳解】

由題意可得5（0,力）、F（-c,0）.

由四二得以二則即二

1，|A4,|4'付慳臼4'人」|￡4|1'即前二3凡

而BF=（-c,-b）,所以五'=（一所以點4（一3。，一《

因為點g）在橢圓C：

=1

Q2b2

16x?2Qx*21h

整理可得所以e2=_=_,所以e=".

9429。222

即橢圓C的離心率為史

2

故選：D.

【點睛】

本題考查橢圓離心率的求解，解答的關鍵就是要得出。、匕、c的齊次等式，充分利用點A在橢圓上這一條件，圍繞

求點A的坐標來求解，考查計算能力，屬于中等題.

2.D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合8的補集，然后求

R

【詳解】

A={xl-l^x^l},B={xlx<0},所以A|jG8）={#移T}.

R

腿：D

【點睛】

此題考查的是集合的并集、補集運算，屬于基礎題.

3.D

【解析】

44

分別聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達定理，可得|48|=4+豆，|48|=4+聲，然后計算，可得結果.

【詳解】

設4（x,y）,B（x,y）,

1122

y=Kx-l）（、

聯(lián)立〈二>攵2冗2-乜女2+4/￥+攵2=0

y2-4x

皿2出2+4.4

貝（Jx+尤=-------=2+—,

12公左2

因為直線y=女（無一1）經過c的焦點,

4

所以=\+x,+p=4+—.

2

同理可得慳2=8+記，

所以九=4-16=-12

故選：D.

【點睛】

本題考查的是直線與拋物線的交點問題，運用拋物線的焦點弦求參數(shù)，屬基礎題。

4.B

【解析】

取48的中點。，連接S。、CD,推導出NS0C=9O,設設球心為。，AA6C和AS48的中心分別為￡、F,

可得出OE_L平面ABC,OF_L平面SAB,利用勾股定理計算出球。的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結果.

【詳解】

取AB的中點。，連接S。、CD,

CDVAB,則S￡）=C￡）=4x立=26，則

由AS48和AABC都是正三角形，得SD_LA8,

2

SD2+CD2=Q褥）+Q褥）=Q4）=sc2

,由勾股定理的逆定理，得/S0C=9O.

設球心為。，AA8C和A5AB的中心分別為E、F.

由球的性質可知：。石，平面48。，平面S4B,

=y]0E2+DEi=干.

又OE=DF=OE=OF=4x丑xL=Xl,由勾股定理得。。=

233

所以外接球半徑為R=JO￡>2+3￡>2=J［苧）+22=孚.

所以外接球的表面積為S=4兀/?2=4兀孚）=等.

故選:B.

【點睛】

本題考查三棱錐外接球表面積的計算，解題時要分析幾何體的結構，找出球心的位置，并以此計算出球的半徑長，考

查推理能力與計算能力，屬于中等題.

5.C

【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由sin（A+6）=sinC,化簡可得sinBcosA=sinAcosA,最后分類討論可得;

【詳解】

解：因為c—acos8=（2a-b）cosA

所以sinC-sinAcosB=（2sinA-sinB）cosA

所以sinC—sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sin（A+B）-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinAcosB+sinBcosA-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sin8cosA=sinAcosA

71

當cosA=0時A=2，A46c為直角三角形；

當cosAH0時sinA=sin8即A=8,AABC為等腰三角形；

A48c的形狀是等腰三角形或直角三角形

故選：C.

【點睛】

本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題.

6.C

【解析】

1

分析函數(shù)y=了的定義域和單調性，然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調性，由此確定正確選項.

【詳解】

函數(shù)），=二的定義域為（0,￡。），在（0,乎＞。）上為減函數(shù).

yJX

A選項，y=2sgL的定義域為（0,討），在（（）,注）上為增函數(shù)，不符合.

（1V

B選項，y=logI-的定義域為R,不符合.

2\2y

c選項，y=log1的定義域為（0,2）,在（0,笆）上為減函數(shù)，符合.

2X

D選項，）,=」的定義域為口，”），不符合.

故選：c

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調性，屬于基礎題.

7.C

【解析】

設公差為4,則由題意可得3（。+4d）=7（a+9d）,解得d=—普，可得。=竺二2^.令<0,可得當

1151”5151

〃214時，a>0,當〃W13時，a<0,由此可得數(shù)列伍｝前〃項和SQwN*）中最小的.

nnnn

【詳解】

解：等差數(shù)列｛。｝中，已知3a=7a,且a<0,設公差為d,

n510I

則3（q+4d）=7（q+9d）,解得4=一匕，

,4,（55-4n）a

..a=a+（n-l）rf=------------L.

〃?51

55—4〃八55一門…八

令一<0,可得"〉丁，故當〃214時，a>0,當〃W13時，a<0,

故數(shù)列｛?｝前〃項和SQeN*）中最小的是S.

nn13

故選：C.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質，等差數(shù)列的通項公式的應用，屬于中檔題.

8.B

【解析】

判斷直線bx+ay+c=0與縱軸交點的位置，畫出可行解域，即可判斷出目標函數(shù)的最值情況.

【詳解】

由a+》+c=0,a>b>c,所以可得a〉0,c<0.

cc1clic

a>ba>—a—c—>—2,b>c—a—c>c—<——/.—2<—<———<——<2,

aa2a22a

bc

所以由6x+ay+c=0ny=——x--，因此該直線在縱軸的截距為正，但是斜率有兩種可能，因此可行解域如下圖

aa

所示:

由此可以判斷該目標函數(shù)一定有最大值和最小值.

故選：B

【點睛】

本題考查了目標函數(shù)最值是否存在問題，考查了數(shù)形結合思想，考查了不等式的性質應用.

9.D

【解析】

通過變形/（x）=sin（2x-￡）=sin2（x--l）,通過“左加右減，，即可得到答案.

【詳解】

根據題意/（x）=sin12x-：）=sin2（%-^-）,故只需把函數(shù)y=sin2x的圖象

71.兀、

上所有的點向右平移0個單位長度可得到函數(shù)），=sin2x-的圖象，故答案為D.

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.

10.A

【解析】

將三棱錐尸-4BC補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心。應在棱柱上下底面三角

形的外心連線上，在Rt.OBE中,計算半徑。8即可.

【詳解】

由AB，8C,PB1BC,可知BC，平面PAB.

將三棱錐ABC補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同.

由此易知外接球球心。應在棱柱上下底面三角形的外心連線上，

記AABP的外心為E,由^ABD為等邊三角形，

可得8￡=1.又0E=2=1,故在Rf“OBE中，03=J^,

此即為外接球半徑，從而外接球表面積為8兀.

故選：A

【點睛】

本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.

11.A

【解析】

由已知，圓心M到漸近線的距離為JI,可得、3=丁^=,又0=2=42+從，解方程即可.

“2+。2

【詳解】

由已知，c=2,漸近線方程為左土緲=0,因為圓M被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為2戶,

2b2b

所以圓心M到漸近線的距離為62_（四）2=p=故a=Jc2_拉=1,

yJO2+b2

所以離心率方=￡=2.

a

故選：A.

【點睛】

本題考查雙曲線離心率的問題，涉及到直線與圓的位置關系，考查學生的運算能力，是一道容易題.

12.B

【解析】

由M,P,N三點共線，可得白+擊=1,轉化九+|1=0+|1)111

_+一,利用均值不等式，即得解.

2九2日）

【詳解】

—.1一1一

因為點P為8C中點，所以AP=]A3+]AC,

又因為41/=入4月，AN=\xAC,

11一

所以AP=-AM+一AN

212日

因為M,P,N三點共線,

111

所以仄+9=]，

所以入+-Q+R/+或卜9+?

一二—，

當且僅當，]]即入=口=1時等號成立，

--+----=1

2X2日

所以入+N的最小值為L

故選：B

【點睛】

本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于

中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.8

【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據平移計算得到答案.

【詳解】

x-y+220,

根據約束條件,2%+y一工0,,畫出可行域，圖中陰影部分為可行域.

7

又目標函數(shù)Z=-x+3y,g表示直線x-3y+z=o在y軸上的截距，

由圖可知當x-3y+z=°經過點P(l,3)時截距最大，故z的最大值為8.

【點睛】

本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關鍵.

14.華

【解析】

設A48C所在截面圓的圓心為。/，.48中點為D,連接ODOQ,

易知NOO0即為二面角。一18-0的平面角，可求出OD0。及。0,然后可判斷出四面體。."C外接球的球心E在直線

：

上，在Rt.0麻中，o^-?otE-Hb：,結合0產='OB：-OO；,BE=R,O1E=R-乖、，可求出四面體。仍，的

外接球的半徑R.

【詳解】

設418c所在截面圓的圓心為。廠18中點為，連接QDOQ,

OA=OB,所以，ODJ_AB,同理O]D，AB,所以，即為二面角C-.45-O的平面角,

/ODO160c,

因為Od=OB-4,AB-44，所以△。48是等腰直角三角形，.:OD=2"，

AOjOj—r~

在Rt480/中，LIJcos60°=_,得。戶二艱，由勾股定理，得：

OD

因為化到A、B、C三的距離相等，所以，四面體Q.48C外接球的球心E在直線。0上，

設四面體Q18C外接球半徑為R，

在Rt△0BE中,0]B=J。/-OO：1=4To,BE=R,O,E=\R-、的，

由勾股定理可得：0/：+=BF，^10+(R-yl6)：=R：＜解得K=

【點睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，考查了學生的空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題.

設尸（%,%）,設出直線A8的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義可得1PAi1尸8仁,2,。2］由題意得到廢?26，據此求

得離心率的取值范圍.

【詳解】

+/COS0C

設P（x°，）'o），直線AB的參數(shù)方程為，X=X

°?一,。為參數(shù))

y=y+rsina

o

代入圓X2+丫2="2+拉，

化簡得：/2+2(Xcosa+y^sina)r+X2+y2-a2-Z72=0,

/.IPAIIPB\=r=k2+—。2-Z?2|=Q2+〃2-Q2+y；),

?.?X；+y2￡[從"],

.?.IPAIIPBIe[b2,a2^,

?.?存在點P,使得IPAI/P8l=a22,

42-b22b2,即C1222b2,

a2M2。2,

1

?.李e<l,

故答案為:

【點睛】

本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解，考查直線、圓與橢圓的綜合運用，考查直線參數(shù)方程的運用，屬于中檔

題.

16.-2

【解析】

利用二項式定理的通項公式即可得出.

【詳解】

X2+_的二項展開式的通項公式：TarC>X^-3r,

Xr+l5

令10-3r=l,解得廠=3.

03c3=—80,

5

解得"-2.

故答案為：2

【點睛】

本小題主要考查根據二項式展開式的系數(shù)求參數(shù)，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(i)y(0)=3-12+九+2a,sinOG1,1；（2）當。=：時，棧道總長度最短.

sin0+tan03

【解析】

（D連皿出由切線長定理知：於如焉=焉，8。=*=焉i=AC-5C=3-焉NO,

sin0>1,即sin。=1,n

12

則）=3-+兀+2。，0€北，］），進而確定sinO的取值范圍;

sin0tan0

-cosO（2cos0-1）

（2）根據/（。）=2。-二：：『+兀+3求導得/（。）=,利用增減性算出/（o）=1+3,

sin20min3

進而求°得取值.

【詳解】

解：（1）連CD,CE,CD1CD_1

由切線長定理知：BE=BDBC

tan0tan0sin0sin0'

NCBE=NCBD=6,又CDLBD,CELBE,故/。?！?兀一2。，

則劣弧。E的長為兀-20,因此，優(yōu)弧。E的長為兀+20,

1巨］。，爹｝

又AC=3,故A8=AC—BC=3--17rNO,sinO>1,即sin。

sin03o30

所以，/（0）=3—4+^>+兀+26,9e。0，m，則sin。

G

smUtanU利;

（2）/（。）=20—匕至％+兀+3,0G,Q1e

,其中sm*=M'°oL

sin0"A0

，（0）一cosO（2cos0-1）

于sin20

9兀

（嗯）-3盟

r（e）

-04-

/（e）

單調遞減極小值單調遞增

故。=1時，/（e）=言+3

3min3

所以當。=彳時,，棧道總長度最短.

【點睛】

本題主要考查導數(shù)在函數(shù)當中的應用，屬于中檔題.

e-1

18.（1）答案見解析（2）____,-Foo

2

【解析】

（i）假設函數(shù)/G）的圖象與x軸相切于。,°）,根據相切可得方程組■o，看方程是否有解即可;（2）求出

的導數(shù)，設G（x）=e*-L-2a（x〉0）,根據函數(shù)的單調性及力G）在x=l處取得極大值求出Q的范圍即可.

X

【詳解】

（1）函數(shù)/（X）的圖象不能與X軸相切，理由若下：

/'（x）=G—1）?！?。（X-1）.假設函數(shù)f（X）的圖象與X軸相切于0,0）

/G）=0（,t-2）e'-aG-l）2=0

則。，。）=0即）=0

顯然，=如〉0,代入。一2）。一。（/—1>=。中得戶―今+5=0無實數(shù)解

故函數(shù)/（X）的圖象不能與X軸相切.

⑵。（x）=（x-2）e.r-a（x-l）+lnx-x（x>0）

"（x）=（x-l）［ex-1一2。）,二〃'（I）=o,

設G（x）=d-2a（x〉0）,

x

Gr（x）=ex+2_恒大于零.

X2

-GG）在（（）,口）上單調遞增.

又X->+8,G（x）f+OO,X->0,G（x）fo

.?.存在唯一升,使G（x。）=0,且

0<x<x時G（x）<0,x〉x時G（x）〉0,

①當天=1時（X）20恒成立,〃（X）在（0,”）單調遞增，

〃（x）無極值，不合題意.

②當士<1時，可得當xe（X」1）時,〃'G）<（）,當xe（1,內）時,（x）>0.

所以八（x）在（X?！唬﹥葐握{遞減，在（1,+?>）內單調遞增，

所以/z（x）在x=1處取得極小值，不合題意.

③當%>1時，可得當xe（0,1）時,"（x）〉0,當xe（1,%）時,"（x）<0.

所以〃（X）在（o,1）內單調遞增，在（1，X。）內單調遞減，

所以"（x）在尤=1處取得極大值，符合題意.

此時由X〉1得G（l）<G（x）=0即e-I-2a<0,

00

e-1

a>----

2

綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為（9，+8].

【點睛】

本題考查了函數(shù)的單調性，最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，屬于難題.

19.（1）79顆；（2）5.5秒.

【解析】

（1）利用各小矩形的面積和為1可得。，進而得到脈沖星自轉周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數(shù)；

（2）平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.

【詳解】

（1）第一到第六組的頻率依次為

0.1,0.2,0.3,0.2,2a,0.05,其和為1

所以2a=1-（0.1+0.2+0.3+0.2+005）,a=0,075,

所以，自轉周期在2至10秒的大約有93x（1-0.15）=79.05乏79（顆）.

（2）新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉周期平均值為

0.1x1+0.2x3+0.3x5+0.2x7+0.15x9+0.05x11=5.5（秒）.

故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉周期平均值為5.5秒.

【點睛】

本題考查頻率分布直方圖的應用，涉及到平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.

20.（1）y.（2）273-2

【解析】

（1）利用正弦定理的邊角互化可得sinC=2sin8—JIsinA,再根據8=兀-A-C=兀一（