2023人教版八年級上學期數學練習-課題學習　最短路徑問題

13.4課題學習最短路徑問題

測試時間:15分鐘

一、選擇題

1.如圖，點M,N在直線1的同側，小東同學想通過作圖在直線1上確定一點Q,使MQ與QN的和

最小，那么下面的作圖中，正確的是（）

2.如圖,A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN,使從A到B的路徑A—M—N—

B最短的是（假定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直）（）

B

（8M垂直于a）（41/不平行于AV）

（4N垂直于6）（4M平行于8/V）

cD

3.如圖,△ABC是等邊三角形,AD是BC邊上的高,E是AC的中點,P是AD上的一個動點，當PC

與PE的和最小時,NACP的度數是()

A.3O0B.450C.60°D.90°

4.如圖，在△ABC中,ABJ_AC,AB=3,BC=5,AC=4,EF垂直平分BC,點P為直線EF上的任意一點,

則△ABP周長的最小值是()

A.12B.6C.7D.8

5.在如圖所示的平面直角坐標系中，點A的坐標為(4,2),點B的坐標為(1,-3),在y軸上有一點P,

使PA+PB的值最小，則點P的坐標為()

-y

!~x

--?

B

A.(2,0)B.(-2,0)C.(0,2)D.(0,-2)

二、填空題

6.如圖,NA0B=3(r,NAC)B內有一定點P,且0P=15,若在OA、0B上分別有動點M、N,則

△PMN周長的最小值是.

7.如圖，等腰△ABC的底邊BC的長為4,面積是16,腰AB的垂直平分線EF分別交AB、AC于

點E、F,若點D為BC邊的中點,M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值是

8.如圖，等邊△ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線,F是AD上的動點,E是AC邊上一點，若

AE=2,當EF+CF取得最小值時,NBCF的度數為.

三、解答題

9.如圖,B、C兩點關于y軸對稱，點A的坐標是(0,b),點C的坐標為(-a,-a-b).

(1)直接寫出點B的坐標為;

(2)用尺規(guī)作圖，在x軸上作出點P,使得AP+PB的值最?。?/p>

(3)在(2)的基礎上,NOAP=度.

-y

/??-c

A

0

答案全解全析

一、選擇題

1.答案D先作點M關于直線1的對稱點，再連接該點與點N,交直線1于點Q,由“兩點之間，

線段最短''可知，點Q即為所求，故選D.

2.答案D根據垂線段最短，得出MN是河的寬時,MN最短，即MN_L直線a（或直線b）,只要

AM+BN的值最小就行，即過A作河岸a的垂線AH,垂足為H,在射線AH上取點I,使AI等于河

寬，連接IB交河岸b于N,作NM垂直于河岸a,垂足為M,連接AM,所得MN即為所求.

故選D.

3.答案A如圖，連接BE,與AD交于點P,連接CP,此時PE+PC的值最小,

AABC是等邊三角形,AD_LBC,

，PC=PB,:.PE+PC=PE+PB=BE,

即BE的長就是PE+PC的最小值，

VAABC是等邊三角形,二ZBCE=60°,BA=BC,

?.?E是AC的中點,AE=EC,BE_LAC,

二ZBEC=90°,.\ZEBC=30°,

VPB=PC,/.ZPCB=ZPBC=30°,.\ZACP=30°,

故選A.

4.答案C?..EF垂直平分BC,...B、C關于直線EF對稱,

如圖，設AC交EF于D,

AE

易知當P和D重合時,AP+BP的值最小，最小值等于AC的長，

,.?AB=3,AC=4,MABP周長的最小值是AB+AC=3+4=7.故選C.

5.答案D如圖所示，作B點關于y軸的對稱點B,連接AB；交y軸于點P,此時AP+PB的值

最小，最小值為AB，的長，過點A作AE±y軸于點E,AH_Lx軸于點H,AH的延長線交BB的延

長線于點C,

?.?點B的坐標為(1,-3),；.B，(-1,-3),

???點A的坐標為(4,2),B'C=AC=5,

:.ZAB'C=45°,APD=B'D=1,

VOD=|-3|=3,/.OP=2,P(O2),故選D.

二、填空題

6.答案15

解析作P關于0A的對稱點D,關于0B的對稱點E,連接DE交0A于M,交0B于N,連接

PM,PN,則此時△PMN的周長最小，連接ODQEQP,如圖,

VP.D關于0A對稱,，OD=OP,PM=DM,OA，PD,

同理,OE=OP,PN=EN,二OD=OE=OP=15,

VOD=OP,OA±PD,/.ZDOA=ZPOA,

同理,NPOB=NEOB,，NDOE=2NAOB=2x30°=60°,

VOD=OE,/.ADOE是等邊三角形,DE=OD=15,

APMN的周長是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=15,故答案為15.

7.答案10

解析如I圖，連接AD.

VAABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

111

Z.AD1BC,BD=iBC,SAABC=jBCAD=jx4xAD=16,AD=8.

???直線EF是線段AB的垂直平分線，

...點B關于直線EF的對稱點為點A,

AAD的長為BM+MD的最小值，

/.△BDMW^K：W?/b{f=BM+MD+BD=AD+iBC=8+1x4=10.

故答案為10.

8.答案30。

解析如圖，過E作EM〃BC,交AD于N,交AB于M,

VAABC為等邊三角形,，ZABC=ZACB=60°,

EM〃BC,二ZAME=ZAEM=ZABC=ZACB=60°,/.AM=AE=2,

AD是BC邊上的中線,△ABC是等邊三角形,AD±BC,

ADIEM,

又AM=AE,；.E和M關于AD對稱,

連接CM交AD于F,連接EF,此時EF+CF的值最小,

,/AABC是等邊三角形,AC=BC=AB=4,

1

AM=2,/.BM=2=AM,/.ZBCF=ZECF=^ZACB=30°,

故答案為30°.

三、解答題

9.解