工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課后題答案-第五版6

工程數(shù)學(xué)--線性代數(shù)課后題答案_第五版第六章線性空間與線性變換1驗證所給矩陣集合對于矩陣的加法和乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間并寫出各個空間的一個基(1)2階矩陣的全體S1解設(shè)AB分別為二階矩陣那么ABS1因為(AB)S1kAS1所以S1對于矩陣的加法和乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間是S1的一個基.(2)主對角線上的元素之和等于0的2階矩陣的全體S2解設(shè)ABS2因為所以S2對于矩陣的加法和乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間是S2的一個基(3)2階對稱矩陣的全體S3.解設(shè)ABS3那么ATABTB因為(AB)TATBTAB(AB)S3(kA)TkATkAkAS3所以S3對于加法和乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間.是S3的一個基.2驗證與向量(001)T不平行的全體3維數(shù)組向量對于數(shù)組向量的加法和乘數(shù)運算不構(gòu)成線性空間解設(shè)V{與向量(001)T不平行的全體三維向量}設(shè)r1(110)Tr2(101)T那么r1r2V但r1r2(001)TV即V不是線性空間.3設(shè)U是線性空間V的一個子空間試證假設(shè)U與V的維數(shù)相等那么UV證明設(shè)12n為U的一組基它可擴充為整個空間V的一個基由于dim(U)dim(V)從而12n也為V的一個基那么對于xV可以表示為xk11k22krr顯然xU故VU而由知UV有UV4設(shè)Vr是n維線性空間Vn的一個子空間a1a2ar是Vr的一個基試證Vn中存在元素ar1an使a1a2ar,ar1an成為Vn的一個基證明設(shè)rn,那么在Vn中必存在一向量ar1Vr它不能被a1a2ar線性表示將ar1添加進來那么a1a2ar1是線性無關(guān)的假設(shè)r1n那么命題得證否那么存在ar2L(a1a2ar1)那么a1a2ar2線性無關(guān)依此類推可找到n個線性無關(guān)的向量a1a2an它們是Vn的一個基5在R3中求向量(371)T在基1(135)T2(632)T3(310)T下的坐標(biāo)解設(shè)123是R3的自然基那么(123)(123)A(123)(123)A1其中因為所以向量在基123下的坐標(biāo)為(3382154)T6在R3取兩個基1(121)T2(233)T3(371)T1(314)T2(521)T3(116)T試求坐標(biāo)變換公式解設(shè)123是R3的自然基那么(121)(123)B(123)(121)B1(121)(123)A(121)B1A其中設(shè)任意向量在基123下的坐標(biāo)為(x1x2x3)T那么故在基123下的坐標(biāo)為7在R4中取兩個基e1(1000)Te2(0100)Te3(0010)Te4(0001)T1(2111)T2(0310)T3(5321)T3(6613)T(1)求由前一個基到后一個基的過渡矩陣解由題意知從而由前一個基到后一個基的過渡矩陣為(2)求向量(x1x2x3x4)T在后一個基下的坐標(biāo)解因為向量在后一個基下的坐標(biāo)為(3)求在兩個基下有相同坐標(biāo)的向量.解令解方程組得(k為常數(shù))8說明xOy平面上變換的幾何意義其中(1)解因為所以在此變換下T()與關(guān)于y軸對稱(2)解因為所以在此變換下T()是在y軸上的投影(3)解因為所以在此變換下T()與關(guān)于直線yx對稱(4).解因為所以在此變換下T()是將順時針旋轉(zhuǎn)9n階對稱矩陣的全體V對于矩陣的線性運算構(gòu)成一個維線性空間.給出n階矩陣P以A表示V中的任一元素變換T(A)PTAP稱為合同變換.試證合同變換T是V中的線性變換證明設(shè)ABV那么ATABTBT(AB)PT(AB)PPT(AB)TP[(AB)P]TP(APBP)TP(PTAPTB)PPTAPPTBPT(A)T(B)T(kA)PT(kA)PkPTAPkT(A)從而合同變換T是V中的線性變換10函數(shù)集合V3{(a2x2a1xa0)ex|a2a1a0R}對于函數(shù)的線性運算構(gòu)成3維線性空間在V3中取一個基1x2ex2xex3ex求微分運算D在這個基下的矩陣.解設(shè)1D(1)2xexx2ex2212D(2)exxex323D(3)ex3易知123線性無關(guān)故為一個基.由知即D在基123下的矩陣為