遼寧省本溪2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3,請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作，預(yù)備時(shí)，4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時(shí)，每次都讓3個(gè)學(xué)生“向

后轉(zhuǎn)”，若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

2.已知i是虛數(shù)單位，則（2+i）i=（）

A.1+2zB.-1+2/C.—1—2iD.1-2/

2

3.已知復(fù)數(shù)2=丁一，其中i為虛數(shù)單位，則忖=（）

A.75B.百C.2D.叵

2+升（）

4.已知向量M=(3sinx,-2),萬=(l,cosx),當(dāng)時(shí)，cos

121266

A.——B.—C.——D.—

13131313

5.設(shè)復(fù)數(shù)二滿足忖=專+1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（乂月則（）

A.f=2y+lB.y2=2x+1

C.x2=2y-lD.y2=2x-l

6.記5“為等差數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和.若％=-5,S4=-16,則4=（）

A.5B.3C.-12D.-13

7.在等差數(shù)列｛%｝中，若S,為前“項(xiàng)和，2a9=%+12,則■的值是（）

A.156B.124C.136D.180

8.黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長點(diǎn)、形成新動(dòng)能.共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過社會(huì)化平

臺(tái)與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟(jì)對企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門

進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對比試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對該部門的發(fā)展

有顯著效果的圖形是（）

OM

口不“

林事共享

9.在MBC中，ZBAC=60°,AB=3,AC=4,點(diǎn)M滿足的=2碇，則福?麗等于（)

A.10B.9C.8D.7

10.直三棱柱ABC-A4a中，CA=CCl=2CB,AC±BC,則直線Bq與AB1所成的角的余弦值為（)

N/5R6「2石n3

A.------15?-------L?---------JLz?

5355

11.直線二_VG二+、丐=準(zhǔn)過橢圓-：-：__的左焦點(diǎn)二，交橢圓于二二兩點(diǎn)，交二軸于二點(diǎn)，若

三=2三，則該橢圓的離心率是（）

A-v'1-7B?也C-2V2-2D-V2-7

xzy,

12.已知實(shí)數(shù)X，y滿足＜x+y-1K0,則z=x+2y的最大值為（）

3

A.2B.-C.1D.0

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，棱長為2的正方體ABCO—AgCQ中，點(diǎn)M,N,E分別為棱A4，A8,A。的中點(diǎn)，以A為圓心，1為半

徑，分別在面和面ASCD內(nèi)作弧MN和NE,并將兩弧各五等分，分點(diǎn)依次為M、片、鳥、〃、鳥、N

以及N、2、。2、&、04、E.一只螞蟻欲從點(diǎn)片出發(fā)，沿正方體的表面爬行至?？趧t其爬行的最短距離為

.參考數(shù)據(jù)：cos90=0.9877；cos18°=0.9511；cos270=0.8910）

k

14.圓心在曲線y=：(x>0,&>0)上的圓中，存在與直線2x+y+l=。相切且面積為5兀的圓，則當(dāng)女取最大值時(shí)，

該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

15.如圖所示，點(diǎn)A(l,2),8均在拋物線y2=4x上，等腰直角AABC的斜邊為8C,點(diǎn)C在x軸的正半軸上，則點(diǎn)

B的坐標(biāo)是.

16.若函數(shù)/(幻=/如2—e'+l(e為自然對數(shù)的底數(shù))在x=%和x=%兩處取得極值，且々22%,則實(shí)數(shù)，力的取

值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/。)=(1-*遣(幻=3-叱/?)是自然對數(shù)的底數(shù)，“2.718…).

(1)求函數(shù)“X)的圖象在X=1處的切線方程；

(2)若函數(shù)、=皆在區(qū)間［4,5］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)若函數(shù)〃(x)=〃x)+(x)在區(qū)間(0,+o))上有兩個(gè)極值點(diǎn)對&&<吃)，且〃&)<〃?恒成立，求滿足條件的，〃的

最小值(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值).

18.(12分)已知函數(shù)/3=竺二空±￡(4>0)的導(dǎo)函數(shù)丫=,/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)為_3和0.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(x)的極小值為求/(x)在區(qū)間卜5,+0))上的最大值.

19.（12分）如圖，AAHC為等腰直角三角形，4B=AC=3,。為AC上一點(diǎn)，將△ABZ）沿折起，得到三棱

錐且使得4在底面5C。的投影E在線段5c上，連接AE.

（1）證明：BDlAEi

（2）若tan/ABD=；,求二面角C一出一。的余弦值.

/>2

20.（12分）已知橢圓C：=1（。＞人＞0）的右焦點(diǎn)為片，過點(diǎn)”且與X軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為

叵,且6與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.

（1）求橢圓。的方程；

（2）若圓。：*2+了2=/上存在兩點(diǎn)“，N,橢圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)P,。滿足：M,三點(diǎn)共線，P,。,片三點(diǎn)

共線，且所?麗=0,求四邊形PMQN面積的取值范圍.

22

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：5+2=1（。＞匕＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、尸2,且點(diǎn)K、

a~b~

工與橢圓c的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形.

（1）求橢圓C的方程;

RI

（2）已知直線/與橢圓C相切于點(diǎn)P,且分別與直線x=-4和直線％=-1相交于點(diǎn)/、N.試判斷函是否為定

值,并說明理由.

22.(10分)已知/(x)=asin(l-x)+lnx,其中aeR.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-V,求函數(shù)g(x)的極值.

(2)若函數(shù)在區(qū)間(0,1)上遞增，求。的取值范圍；

〃i

(3)證明：<In3-In2.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

通過列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).

【詳解】

“正面朝南”“正面朝北”分別用“?\”“"”表示，

利用列舉法，可得下表，

原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”

AAAAAVVVVVAAAAAVVVVV

可知需要的次數(shù)為4次.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.

【詳解】

(2+z)z=2?-l=-l+2z.

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.

3.D

【解析】

把已知等式變形，然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.

【詳解】

22(1-/)

解-z=——=————-=l-z,

則回=J1+1=叵.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

I仃\oinny"

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出tanx,cos2x+-=——即可求解.

I2)tanx+1

【詳解】

__2

?：aLba，b=3sinx-2cosx=0,.\tanx=—

,八2sinxcosx

/.cos2x+—=-sin2x=-------------

I2)sin-x+cos"x

2tanx_12

tan2x+113*

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系，屬于中檔題.

5.B

【解析】

根據(jù)共樞復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法，代入化簡即可求解.

【詳解】

Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,則2=%+.,

z=X—yi9

代入可得+=0+1，

解得y2=2x+l.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義，復(fù)數(shù)模的求法及共朝復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

4x3

由題得4+〃=-5,44+一廠d=-16,解得“=-7,d=2,計(jì)算可得松.

【詳解】

4x3

a2=-5,S4=-16,:.ay+d--5,4%+—^―d=-16,解得q=-7,d=2,

%=4+5d—3.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前"項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.

7.A

【解析】

因?yàn)?+%|=2%=。“+12,可得的=12,根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和，即可求得答案.

【詳解】

<%+孫=2%=a”+12,

a-,=12,

???S’?J"""）=13%=13x12=156.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求等差數(shù)列前〃項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖可知，

圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大，

它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D.

9.D

【解析】

利用已知條件，表示出向量加，然后求解向量的數(shù)量積.

【詳解】

_________1_2----

在AABC中，ZB4c=60。，AB=3,AC=4,點(diǎn)Af滿足的=2砒，AM=-AB+-AC.

___-.1―.2-■1--22—■―■21

貝!I福麗I=+—=-+-ABAC=3+-X3X4X-=7.

333332

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.

10.A

【解析】

設(shè)CA=CG=2CB=2,延長AM至。，使得連BD,CQ,可證AB"/BO,得到/。乃。（或補(bǔ)角）

為所求的角，分別求出解AGB。即可.

【詳解】

設(shè)CA=CG=2C8=2,延長4耳至。，使得4耳=用。，

連BD,CQ,在直三棱柱ABC-A用儲(chǔ)中，AB//AiBi,AB=AlBl,

AB/IB、D,AB=BQ,四邊形ABDB｝為平行四邊形，

:.ABJIBD,:.NC\BD（或補(bǔ)角）為直線8^與A片所成的角,

在RfABCq中,BC\=《CC；+BC2=布,

=JAG?+B]C；=y/5,cosNB[AC2

在Age;中，44忑'

在AAG。中，

G。？=4C：+AQ2_24C「4OCOSN34G=4+20-16=8,

在RfZ\A4,與中，蝴=JA4t2+442=3,.BD=AB]=3,

BC；+BD2-QD25+9-8亞

在ABG。中,cosZC(BD=

66一5

2BC}BD

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.

11.A

【解析】

由直線二一、3二+、？=源:橢圓的左焦點(diǎn)二，得到左焦點(diǎn)為二（_、30：,且二：一二:

再由三=2三，求得二（在4’代入橢圓的方程，求得一.二,，進(jìn)而利用橢圓的離心率的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】

由題意，直線二_、/j二+=潭過橢圓的左焦點(diǎn)二，令二=°，解得二=、孕

所以二=、卬即橢圓的左焦點(diǎn)為二（_、g0：,且二；.二；=3①

直線交二軸于二（o」y所以，1二二1=、盡1二二|=/,|二二1=2，

因?yàn)椤?---，所以j--I—所以

又由點(diǎn)-在橢圓上，得..②

-2+2=4

由二二，可得4二；一二二：+9=0，解得一,

□=

所以，,，一、

口'=不=京=4—/）

所以橢圓的離心率為二=一｝

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求橢圓的離心率（或范圍），常見有兩種方法：①求出--，代入

LB,」

公式②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于——二的齊次式，轉(zhuǎn)化為二二的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于二的方程，即可

E口""*,

□=二

得二的值（范圍）.

12.B

【解析】

作出可行域，平移目標(biāo)直線即可求解.

【詳解】

解：作出可行域：

由Z=X+2）,得，y=_；x+；z

由圖形知，y=—+經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，其截距最大,此二時(shí)最大

1

y=x俎2Ji]]

k+y-1=0得1G司

.1

X--

2123

當(dāng)《乙時(shí)，z=-+2x-=-

1max222

y=-

故選：B

【點(diǎn)睛】

考查線性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1.7820

【解析】

根據(jù)空間位置關(guān)系，將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi)，結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)

所給參考數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】

棱長為2的正方體ABC。-44aA中，點(diǎn)",分別為棱朋,AB,AD的中點(diǎn)，以A為圓心，1為半徑，分別在

面A84A和面ABCD內(nèi)作弧MN和NE.

將平面ABC。繞AB旋轉(zhuǎn)至與平面A84A共面的位置，如下圖所示：

1Of)0

則N6AQ4=-^-X8=144°，所以|6Qj=2sin72°；

將平面ABC。繞AO旋轉(zhuǎn)至與平面AO"4共面的位置，將ABA4繞A4旋轉(zhuǎn)至與平面AO"A共面的位置，如下

圖所示:

IB

Bi

則N4AQ4=—x2+90=126°>所以國&|=2sin63°；

因?yàn)閟in63。<sin72r且由誘導(dǎo)公式可得sin63"=cos27?

所以最短距離為怩@=2sin630=2x0.8910=1.7820,

故答案為：1.7820.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)

用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

14.(1)2+(>-2)2=5

【解析】

由題意可得圓的面積求出圓的半徑，由圓心在曲線上，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)，到直線的距離等于半徑，再由均值不等式可

得Z的最大值時(shí)圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】

設(shè)圓的半徑為「，由題意可得萬/=5乃，所以「=右，

k

由題意設(shè)圓心。(凡一)，由題意可得。>0,

a

k

由直線與圓相切可得I2"+"+"一R,所以|2。+&+1|=5,

Fa

kIkt

而攵>0,。>0,所以5=2。H卜1之2、2a,—F1,即22。2&,解得攵<2,

ava

k

所以Z的最大值為2,當(dāng)且僅當(dāng)2。=—時(shí)取等號(hào)，可得。=1,

a

所以圓心坐標(biāo)為：（1,2）,半徑為石,

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x—l）2+（y—2）2=5.

故答案為：（x-l）2+（y-2）2=5.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系及均值不等式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)

算求解能力，求解時(shí)注意驗(yàn)正等號(hào)成立的條件.

15.（3,2代）

【解析】

設(shè)出8,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點(diǎn)間的距離公式列方程，解方程求得8的坐標(biāo).

【詳解】

設(shè)3（a,0）,C（c,0）,（a,A,c>0）,由于3在拋物線上，所以〃？=4/由于三角形A8C是等腰直角三角形，AC1BA,

所以原1心=占?￡1=一1.由|的|=a。得苒彳短，7=再了了，化為

2

,h2}+(2-M2=4+-

1---64,可得（4一片），（16+（2+32]=64乂[16+（2+0）1,所以〃一4=8,解得

4J(2+4

b=2如,則a=3.所以8(3,2百).

故答案為：（3,2百）

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的方程和運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.--■，+00

ln2

【解析】

先將函數(shù)/（X）在X=±和x=/兩處取得極值，轉(zhuǎn)化為方程加=W-（XHO）有兩不等實(shí)根幣占，且922內(nèi)，再令

2x

A（x）=—（x^O），將問題轉(zhuǎn)化為直線y=m與曲線力。）=三有兩交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)滿足天之2玉，用導(dǎo)數(shù)方法研究

2x2x

〃（x）=二單調(diào)性，作出簡圖，求出乙=2玉時(shí)，m的值，進(jìn)而可得出結(jié)果.

2x

【詳解】

因?yàn)?(x)=/nr?一e'+1，所以廣⑴=2nvc-ex，

又函數(shù)/(x)在元=玉和x=馬兩處取得極值，

所以大,12是方程2/wc—，=0的兩不等實(shí)根，且々之2%，

即m=—(xW0)有兩不等實(shí)根內(nèi)，且9之2%,

2x

x

e

令h(x)=一(尢。0)，

2x

則直線丁=機(jī)與曲線/?“)=￡有兩交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足赴，

2x

e'(2x-2)e”(x—1)

又h'(x)=

4f-2x2

由〃'(x)=O得x=l,

所以，當(dāng)尤>1時(shí)，h'(x)>0,即函數(shù)"(光)=會(huì)在上單調(diào)遞增；

2x

當(dāng)x<0,0<x<l時(shí)，"(x)<0,即函數(shù)/?(?=《在(-8,0)和(0,1)上單調(diào)遞減;

2x

eqeX1eXx1

當(dāng)々=2X［時(shí),由—=—得X=In2,此時(shí)m=—=—,

2%2X22%In2

因此，由無222玉得機(jī)>」.

In2

故答案為---^00

ln2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，已知函數(shù)極值點(diǎn)間的關(guān)系求參數(shù)的問題，通常需要將函數(shù)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程

的根，再轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)的問題來處理，屬于常考題型.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)y=ex-4e；(2)(5,+oo)；(3)-4.

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可；

(2)y=-卜一(a+4)x：3a+4］e20在［4,5］上恒成立,只需V-(〃+4次+3。+4,,0,注意到“任［4,5］；

(a-x)

(3)(J-4工+4)，一々=0在(0,+8)上有兩根，令/%(%)=任_4尤+4,，求導(dǎo)可得加(X)在(0,2)上單調(diào)遞減，

在(2,e)上單調(diào)遞增，所以<八八且不￡(0,2),*-4芭+4川=4,XY(2,3),〃(斗)=(%—3)人—1,求

m(2)=-a<0'7

出Mx)的范圍即可.

【詳解】

(1)因?yàn)?*)=(1-：卜，所以/(x)=(l-+攝卜，

當(dāng)X=1時(shí)，/(l)=-3e,/'(l)=e,

所以切線方程為y-(-3e)=e(x-l),^y=ex-4e.

⑵v_/(尤)_(x-4)e*-[爐—(q+4)x+3a+4]e*

-g(X)a-X，)(67-x)2

因?yàn)楹瘮?shù)丫=緇在區(qū)間［4,5］上單調(diào)遞增，所以“e［4,5］,且y)O恒成立,

即X2-(a+4)x+3a+4?0,

2a>4

4-(a+4)x4+3a+4<0即49，又“€(，》,4)1|(5,+<?),

所以《>

5~—(tz+4)x5+3o+4W0

Ia>—2

故。＞5,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(5,+8).

"、rt\\(x—4)e+(a-x).("-4_x+4)e-a

⑶h(x)=f(x)+g(x)=----------，〃⑴=-----1----

xx~

因?yàn)楹瘮?shù)h(x)=/(x)+g(x)在區(qū)間(0,+8)上有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以方程(X)=0在((),+8)上有兩不等實(shí)根，即(%2-4x+4)e'-a=().

令//7(x)=(Y-4x+4)e*-a,則，/(x)=(x?-2x)e",由加(x)>0,得x>2,

所以/“(X)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+00)上單調(diào)遞增，

所以J皿2)——a<0'解得°<”4且*，(0,2),解一心+4)"=".

又由機(jī)(3)=e3-a>23-〃=8-a>0,所以％6(2,3),

且當(dāng)xe(O,jq)和(%2，+8)時(shí)，h(x)>0,單調(diào)遞增，

當(dāng)工€(看,X2)時(shí)，"(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，耳,工2是極值點(diǎn)，

此時(shí)3)=-4/+。"=(再-4/+華-鉆+4為"=(^_3,,

x\x\

x

令n{x}=(x—3)e-1(XG(0,2)),貝(]n(x)=(x—2)短<0,

所以n(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，所以〃(芭)＜砥)=-4.

因?yàn)??(%)＜機(jī)恒成立，所以mZT.

若一12V〃7V-4,取玉=一^一］，貝！=一4,

所以萬(X)—加=(百一3)2+4苦+3.

令"(x)=(x—3)/+4x+3(x>0),貝！J"'(x)=*—2)/+4,H(x)=(x-l)e\

當(dāng)X￡(0,l)時(shí)，H(x)<0；當(dāng)X￡(l,+oo)時(shí)，H(x)>0.

所以="⑴=-e+4>0,

所以〃。)=(》-3修+4》+3在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以H(x)>"(0)=0,

即存在占=一：-1使得人(&)>〃?，不合題意.

滿足條件的〃7的最小值為-4.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)，不等式恒成立等知識(shí)，是

一道難題.

18.(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(一3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,-3)和(0,+。)；(2)最大值是5e$.

【解析】

(1)求得/⑴二-Q?,由題意可知—3和0是函數(shù)g(x)=—c的兩個(gè)零

點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)y=g(x)的符號(hào)變化可得出y=/'(x)的符號(hào)變化，進(jìn)而可得出函數(shù)>的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減

區(qū)間；

/(-3)="

(2)由⑴中的結(jié)論知，函數(shù)y=/(x)的極小值為〃-3),進(jìn)而得出g(0)=0,解出。、b、c的值，然后

g(-3)=0

利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)y=/(力在區(qū)間［-5,一)上的最大值.

【詳解】

(、(2ax+b)ex-{ax1+bx+c)ex-ax2+(2a-b)x+(b-c)

⑴以加(7/=3’

令g(x)=-oi?+(^2a—h)x+h—c,

因?yàn)闋t>0，所以y=r(X)的零點(diǎn)就是g(X)=-以2+(2。—x+。—c的零點(diǎn)，且r(x)與g(X)符號(hào)相同.

又因?yàn)?>0,所以當(dāng)一3<%<0時(shí)，g(x)>o,即/'(x)>0；當(dāng)x<—3或x〉0時(shí)，g(x)<o,即/'(x)<0.

所以，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(―3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(口,一3)和(0,+“)；

(2)由⑴知，x=—3是/(x)的極小值點(diǎn),

仆3)=W1￡=_/

所以有｛g(o)=b—c=o,解得4=1,b=5,c=5,

g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0

所以/(x)=---?

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(—8,—3)和((),+8).

所以40)=5為函數(shù)>=〃x)的極大值，

故y=/(x)在區(qū)間［-5,+8)上的最大值取〃一5)和/⑼中的最大者，

而/(-5)=/=5e5>5=/(0),所以函數(shù)y=在區(qū)間［-5,”)上的最大值是5/.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

19.(1)見解析；(2)

2

【解析】

(1)由折疊過程知AE與平面BC。垂直，得再取中點(diǎn)加，可證與平面加皿垂直，得

AA^IBD,從而可得線面垂直，再得線線垂直；

(2)由已知得。為AC中點(diǎn)，以E為原點(diǎn),所在直線為x，z軸，在平面BCD內(nèi)過E作BC的垂線為)，軸建

立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出線段長，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，用平面的法向量計(jì)算二面角的余弦.

【詳解】

(1)易知4E與平面8QD垂直，

連接AA-取A4中點(diǎn)M，連接用RM。，

由。4=￡>4，胡=%得的1MD,AA,1MB,MB^\MD=M,

A4,J_平面MB。，BDu平面MBD,.I44,

又A41nAE=A，二臺(tái)。，平面例E,.,?fiDLAE；

(2)由tanNA8O='，知。是AC中點(diǎn),

2

令麗=丁近，則通=通+屁=(1-2)通+丸比，

由BD=AD-AB=^AC-AB,BD-LAE>

______I______2

((1-A)AB+2AC)?(-AC-AB)=0,解得4=§,故BE=2ji,CE=應(yīng).

以E為原點(diǎn)，所在直線為x,z軸，在平面BCD內(nèi)過E作BC的垂線為)’軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則形衣o,o),c(So,o)A(w),以乎平,0),

例,=(—20,0,1),BD=(--,—,0).設(shè)平面48。的法向量為而=(x,y,z),

44

m?8A=-2\[2x+z=0

則__9J23J2，取x=l,則5=(1,3,2啦).

m?BD=-----x+----y=0

I44

又易知平面\BC的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),

---m*n35/2

cos<tn,n>=11=-----j==--.

MM1-3V22

...二面角C-BA,-D的余弦值為叵.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角.證線線垂直，一般先證線面垂直，而證線面垂直又要證線線垂

直，注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化.求空間角，常用方法就是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求空

間角.

2

20.(1)y+y=1；(2)[2,2&]

【解析】

(D又題意知，a=42b，0=&0及儲(chǔ)=爐+C2即可求得“、b、c,從而得橢圓方程.

(2)分三種情況：直線MN斜率不存在時(shí)，MN的斜率為0時(shí)，MN的斜率存在且不為。時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立

方程組，用韋達(dá)定理和弦長公式以及四邊形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】

(1)由焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直及橢圓的對稱性可知，b=c,

?:過點(diǎn)匕且與X軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為—=72

a

又/=匕2+。2,解得“=0,b=C=l.

...橢圓C的方程為三+y2=|

2

(2)由(1)可知圓。的方程為f+:/=2,

(I)當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線PQ的斜率為0,

此時(shí)|肱V1=2,1PQ1=2血,S四邊形PMQN=2近

(?)當(dāng)直線MN的斜率為零時(shí)，|MN|=2夜,|PQ|=V2,S四邊形加伊=2.

(HI)當(dāng)直線MN的斜率存在且不等于零時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=%(x-D伏xO),

聯(lián)立/+y2=2,得(1+女2*2—2左2彳+%2-2=00>0),

2k2k2-2

設(shè)的橫坐標(biāo)分別為與,，貝?|見尸鼻③

M,N4,XN=1_±.

I十K1十K

7

所以1削1=7171|/_X/二手*2,

(注：IMN1的長度也可以用點(diǎn)到直線的距離和勾股定理計(jì)算.)

由PQ_LMN可得直線PQ的方程為y=--1)伏。0),聯(lián)立橢圓C的方程消去J,

k

得迪+2)x2-4%+2—2二=0(A>0)

47—2k2

設(shè)P,Q的橫坐標(biāo)為今，陽，則4

2+Z2+左

綜上，由⑺5）（iii）得S四邊形PMQV的取值范圍是⑵2血］.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，解答此類題目，通常利用以反c的

關(guān)系，確定橢圓方程是基礎(chǔ)；通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程建立方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)，得到目標(biāo)函數(shù)

解析式，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)求解；本題是難題.

2NF

21.（1）—+^V-=1（2）\島l為\定值二1.

43阿娟2

【解析】

（1）根據(jù)題意，得出a”,c,從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）根據(jù)題意設(shè)直線方程/：>=履+，〃,因?yàn)橹本€與橢圓相切，這有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓方程得

（4爐+3）J+Shwc+4（加2—3）=（）,則△=0,解得4r+3-加=0①

把工=^和％=_］代入丫="+加,得M（-4,~4%+加）和N［-\,-k.+m）,

I-,|M制?的表達(dá)式，比即可得W出川局=i］為定值.

【詳解】

解：（1）依題意,2c=a=2,r.c=1,/?=6.

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+乙=1.

43

⑵局W為6|定值引1

①因?yàn)橹本€/分別與直線X=-4和直線X=—1相交，

所以，直線/一定存在斜率.

②設(shè)直線/：y=kx+m,

由，;［得（4公+3）》2+8以+4（m