新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 3.3《利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值》教案 (原卷版)

第三節(jié)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值1.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得的極值的必要條件和充分條件.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).3.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).1.函數(shù)的極值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.2.函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)的函數(shù)f(x)在［a，b］上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在［a，b］上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在［a，b］上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.eq\o(［常用結(jié)論］)1.若函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值點(diǎn)只有一個(gè)，則相應(yīng)極值點(diǎn)為函數(shù)的最值點(diǎn).2.若函數(shù)在閉區(qū)間［a，b］的最值點(diǎn)不是端點(diǎn)，則最值點(diǎn)亦為極值點(diǎn).一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.()(2)對可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件.()(3)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.()(4)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.()二、教材改編1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A.無極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)B.有三個(gè)極大值點(diǎn)、一個(gè)極小值點(diǎn)C.有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)D.有四個(gè)極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)2.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，則()A.x＝eq\f(1,2)為f(x)的極大值點(diǎn)B.x＝eq\f(1,2)為f(x)的極小值點(diǎn)C.x＝2為f(x)的極大值點(diǎn)D.x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)3.函數(shù)y＝xex的最小值是.4.函數(shù)f(x)＝x﹣alnx(a＞0)的極小值為.考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值的情況設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1﹣x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(﹣2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(2)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定為零，是否為極值點(diǎn)以及是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)要看在極值點(diǎn)左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號.求已知函數(shù)的極值已知函數(shù)f(x)＝(x﹣2)(ex﹣ax)，當(dāng)a＞0時(shí)，討論f(x)的極值情況.求函數(shù)極值的一般步驟(1)先求函數(shù)f(x)的定義域，再求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).(2)求f′(x)＝0的根.(3)判斷在f′(x)＝0的根的左、右兩側(cè)f′(x)的符號，確定極值點(diǎn).(4)求出具體極值.［教師備選例題］設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2﹣x)，其中a∈R.討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.已知函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝﹣1時(shí)有極值0，則a﹣b＝.(2)若函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,3)﹣eq\f(a,2)x2＋x＋1在區(qū)間(eq\f(1,2),3)上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.［教師備選例題］若函數(shù)f(x)＝ex﹣alnx＋2ax﹣1在(0，＋∞)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍為()A.(﹣e2，﹣e)B.(-∞,-eq\f(1,2)e)C.(-∞,-eq\f(1,2))D.(﹣∞，﹣e)1.若x＝﹣2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax﹣1)ex﹣1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為()A.﹣1B.﹣2e﹣3C.5e﹣3D.12.已知函數(shù)f(x)＝x(x﹣c)2在x＝2處有極小值，則實(shí)數(shù)c的值為()A.6B.2C.2或6D.03.若函數(shù)f(x)＝(x2＋ax＋3)ex在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(﹣∞，﹣2eq\r(2)］ B.(﹣∞，﹣2eq\r(2))C.(﹣∞，﹣3］ D.(﹣∞，﹣3)考點(diǎn)2用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值求函數(shù)f(x)在［a，b］上的最大值、最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值.(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b).(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值.已知函數(shù)f(x)＝2x3﹣ax2＋b.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為﹣1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由.［備選例題］已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax(a∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f(x)在［1,2］上的最小值.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,x)＋klnx，k＜eq\f(1,e)，求函數(shù)f(x)在[eq\f(1,e),e]上的最大值和最小值.考點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x).(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)回歸實(shí)際問題，結(jié)合實(shí)際問題作答.某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x﹣6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù).已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域.(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值一、選擇題1.函數(shù)y＝eq\f(x,ex)在［0,2］上的最大值是（）A.eq\f(1,e)B.eq\f(2,e2)C.0D.eq\f(1,2\r(e))2.已知函數(shù)f（x）＝cosx＋alnx在x＝eq\f(π,6)處取得極值，則a＝（）A.eq\f(1,4)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,12)D.﹣eq\f(π,12)3.函數(shù)f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的大致圖象如圖所示，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于（）A.eq\f(8,9)B.eq\f(10,9)C.eq\f(16,9)D.eq\f(28,9)4.若x＝1是函數(shù)f（x）＝ax＋lnx的極值點(diǎn)，則（）A.f（x）有極大值﹣1 B.f（x）有極小值﹣1C.f（x）有極大值0 D.f（x）有極小值05.已知函數(shù)f（x）＝x3＋3x2﹣9x＋1，若f（x）在區(qū)間［k,2］上的最大值為28，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A.［﹣3，＋∞） B.（﹣3，＋∞）C.（﹣∞，﹣3） D.（﹣∞，﹣3］二、填空題6.設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.7.已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax存在最大值0，則a＝.8.做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為.三、解答題9.已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）.（1）當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，求f（x）的極值；（2）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).10.已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣eq\f(a,x).（1）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）若f（x）在［1，e］上的最小值為eq\f(3,2)，求實(shí)數(shù)a的值.1.設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且函數(shù)f（x）在x＝﹣2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′（x）的圖象可能是（）ABCD2.函數(shù)f（x）＝x3﹣3x﹣1，若對于區(qū)間［﹣3,2］上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，則實(shí)數(shù)t的最小值是（）A.20B.18C.3D.03.若函數(shù)f（x）＝2x2﹣lnx在其定義域的一個(gè)子區(qū)間（k﹣1，k＋1）內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.4.已知一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入2.7萬元，設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品x千件，并且全部銷售完，每千件的銷售收入為f（x）萬元，且f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10.8－\f(1,30)x2，0＜x≤10，,\f(108,x)－\f(1000,3x2)，x＞10.))（1）寫出年利