第三章 離子在固體中的射程分布

粒子與固體碰撞物理學(xué)第三章離子在固體中的射程分布理論§3.1根本概念RpRRc表面入射方向射程——離子由進(jìn)入到停止所走過的總距離R投影射程——射程R在入射方向上的投影，稱為投影射程Rp矢量射程——入射起始點(diǎn)O與路徑終點(diǎn)之間的距離，稱為Rc一、射程平均射程概念：所有入射粒子射程的平均值。離子注入過程：入射離子與靶原子核和電子不斷發(fā)生碰撞，其方向不斷改變，能量逐漸減少，經(jīng)過一段曲折路徑的運(yùn)動后，因動能耗盡而停止在靶中的某處。二、標(biāo)準(zhǔn)偏差在統(tǒng)計學(xué)中，標(biāo)準(zhǔn)偏差就是射程的平均平方漲落，用ΔR2表示。根據(jù)定義有：同理，對于投影射程，其標(biāo)準(zhǔn)偏差為這是用來表征射程分布的一個重要的統(tǒng)計物理量。三、濃度分布

在離子注入里，一般指最終停留在靶中的入射離子的體濃度隨著深度的分布。一般在平均投影射程Rp處有一最高濃度?！?.2沿著路徑測量的射程分布——LSS理論〔一〕P(R,E)的含義？我們不去求每個離子的具體射程的原因是什么？我們關(guān)心的是什么樣的結(jié)果？〔大量的入射離子在靶內(nèi)的空間統(tǒng)計分布〕用什么去表征這個分布？的含義？的含義？如何建立射程幾率P(R,E)所應(yīng)滿足的積分微分方程？

從A→B:

碰撞發(fā)生的概率：NδR

∫dσne

不發(fā)生碰撞的幾率：1?NδR

∫dσne到B點(diǎn)后：碰撞已發(fā)生：離子能量〔E→E-T〕,到C距離〔R→R-δR〕,幾率函數(shù)：P(E-T,R-δR)碰撞沒發(fā)生：離子能量〔E→E〕,到C距離〔R→R-δR〕,幾率函數(shù)：P(E,R-δR)射程幾率P(R,E)所滿足的偏微分方程已經(jīng)建立起來，但要通過這方程直接求解幾率分布函數(shù)P(R,E)非常困難。一般只能通過什么方法求解？〔屢次矩解法——也就是蒙特卡羅法〕這種方法的含義？〔把直接求P(R,E)，轉(zhuǎn)化為求射程R的各次矩Rm的平均值<Rm>〕。為什么要這么求解？〔因為，從統(tǒng)計物理學(xué)的角度上說，知道了<Rm>，就認(rèn)為根本弄清了幾率分布函數(shù)P(R,E)的性質(zhì)〕為什么這么說？一次矩——對應(yīng)？？二次矩——可以得出？？射程的三次矩——反映的是分布的？？四次矩——反映的是分布的？？知道了這些矩的平均值，就可以利用它們組成較為復(fù)雜，但也比較精確的幾率分布函數(shù)，如泊松分布函數(shù)。在忽略高次矩，只考略一二次矩的情況下，所構(gòu)成的幾率分布函數(shù)是〔？〕函數(shù)。如何從P〔E,R〕的積分微分方程導(dǎo)出其矩方程？怎么從矩方程求出R的一級近似和二級近似下的一次矩？，

在什么考慮下可做如下近似？，

如何求解射程R的標(biāo)準(zhǔn)偏差〔二次矩〕？根據(jù)定義：〔一級近似下的標(biāo)準(zhǔn)偏差?！场?.3投影射程在實(shí)際測量中，我們所感興趣的量，既不是入射離子在靶中的路徑射程分布，也不是矢量射程分布，而是入射離子在靶中沿著入射方向的投影射程的分布，也叫離子深度的分布。這個量通?？梢灾苯佑^察到，因此更有實(shí)際意義。我們這里所關(guān)心的是平均投影射程Rp及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。關(guān)于平均投影射程的微分積分方程，可以仿照射程R的幾率方程建立起來。當(dāng)m=1時，有其中φ為入射離子的射程偏斜角，Rp=RcCOSφ。假設(shè)T?E，那么有代入上式，得變化式子，得為求解此方程，引入兩個量〔λtr稱為平均傳輸自由程〕〔Str稱為傳輸阻止截面〕那么方程變成此方程的解為求解投影射程的較高次矩，如投影射程的標(biāo)準(zhǔn)偏差，遠(yuǎn)比求解平均投影射程復(fù)雜得多，也比求解路徑射程的標(biāo)準(zhǔn)偏差復(fù)雜得多，這里不再介紹。對于實(shí)驗工作者來說，絕大多數(shù)情況下不必重復(fù)這個復(fù)雜的詳細(xì)求解過程。Lindhard和Winterbon、Gibbons等人已經(jīng)精確地計算出大多數(shù)常用離子在局部常用靶中的投影射程及其標(biāo)準(zhǔn)偏差的數(shù)值，并聚集成表格形式供一般科技工作者直接查閱使用。這樣在許多情況下，我們都可以直接查表得到我們想要的數(shù)值，而不必去重復(fù)那些非常復(fù)雜的計算。幾個有用的近似推論：1〕其中S為Lindhard勢中的參數(shù)。當(dāng)S=2時，2〕3〕其中當(dāng)S=2時，§3.4入射離子在靶中的濃度分布我們已經(jīng)提到過，作為一級近似，入射離子在非晶靶中的射程分布完全可以用Rp和△Rp來描述。那么究竟如何用著兩個量來描述離子射程的幾率分布呢？在數(shù)學(xué)上用這兩個量來描述的幾率分布，最一般的形式是對稱的高斯分布。它的具體形式是：系數(shù)是由幾率函數(shù)P〔x,E〕的歸一化條件的要求確定的。式中X：沿著入射離子初始方向上離開靶外表的距離〔如果入射方向垂直于外表，X那么表示入射離子的深度〕E：入射離子的初始能量.所以說在一級近似下，只要知道Rp和△Rp兩個值，射程的幾率分布就根本確定了。如果，入射離子的劑量為D〔離子數(shù)/cm2〕〔劑量在離子注入里通常指的是通過單位面積的外表打到靶里面的離子數(shù)量〕，那么與這個射程幾率分布相對應(yīng)的濃度隨深度的分布就應(yīng)該是：它表示的意義是：在X深處每個單位體積里的入射離子數(shù)由上式可知，濃度分布在X～N〔X〕坐標(biāo)系中的形狀是由這個圖上可以看出，濃度分布具有以下一些特點(diǎn)：1．最大濃度不在外表，而是在平均投影射程X=Rp處有一最高濃度，最高濃度Nmax與入射離子的注入劑量D成正比〔所以要想改變注入摻雜的最高濃度，只有通過改變注入劑量來到達(dá)〕。2．在平均投影射程Rp兩邊，注入離子濃度對稱下降，離開平均投影射程越遠(yuǎn)，濃度下降越快。下降速率與離開平均投影射程有這么一個近似關(guān)系：N/Nmax0.510-110-210-310-410-510-6X-Rp±1.2（△Rp）±2（△Rp）±3（△Rp）±3.7(△Rp)±4.3(△Rp)±4.8(△Rp)±5.3(△Rp)3．在半導(dǎo)體中，通過離子注入摻雜形成PN結(jié)時，由于入射離子濃度分布是這樣的一種高斯分布的特點(diǎn)，摻雜區(qū)和襯底之間不是一種很陡峭的突變，而是一種界面不十清楚顯的漸變。因此這就使得在半導(dǎo)體中，PN結(jié)的結(jié)深Xj有一個如何定義的問題。在半導(dǎo)體中，一般把摻雜濃度下降到襯底濃度時的摻雜深度稱為結(jié)深。由特點(diǎn)2中給出的數(shù)據(jù)可以近似的估計結(jié)深Xj的位置。例如，當(dāng)襯底濃度NB是最高摻雜濃度的1%時，即NB/Nmax=1%。由上表可以找到，對應(yīng)此濃度的深度值，也就是結(jié)深的位置為：Xj=Rp±3△Rp，結(jié)深的更精確求解可以這樣來求解：設(shè)代入濃度分布表達(dá)式，應(yīng)該有4．根據(jù)公式〔從圖上亦可以看出〕，外表濃度亦不為0。假設(shè)按照這個理論的預(yù)料，將在一局部離子分布在靶外表之外。這是不太符合實(shí)際情況的。所以，LSS理論假定：但凡在理論上預(yù)料落在靶外表外的離子，都被假定只是積聚在把外表上，實(shí)際上也可能如此。因此，實(shí)際的靶外表的濃度，將要超過高斯分布所預(yù)料的外表濃度?！?.5LSS理論在非晶靶中的應(yīng)用實(shí)例1、在注入離子的能量、劑量和襯底雜質(zhì)濃度時，可以計算出外表濃度和結(jié)深。2、要到達(dá)靶中設(shè)定的摻雜濃度和結(jié)深，求入射離子的能量和劑量〔設(shè)計注入工藝〕。3、可以計算出能夠掩蔽雜質(zhì)注入的掩蔽膜的最小厚度。也可以給出掩蔽膜后離子的濃度分布情況。4、可以計算出當(dāng)以不同的能量和劑量分幾次進(jìn)行離子注入時，所得到的合成雜質(zhì)濃度分布。實(shí)例二．要到達(dá)靶中的摻雜濃度和結(jié)深，求入射離子的能量和劑量。這是實(shí)際工作中經(jīng)常遇到的問題。例：希望P+離子在硅中的最大摻雜濃度到達(dá)8×1021cm-3，發(fā)射結(jié)深度為0.13μm，基質(zhì)濃度為6×1018cm-3，求入射P+的能量和劑量。解：在結(jié)深xj處的離子濃度〔即基區(qū)濃度〕為假設(shè)知道Rp和△Rp，可查表直接得出入射離子能量。但目前只有一個方程，卻有兩個未知數(shù)。所以直接從LSS理論中求出入射離子的能量和劑量，在數(shù)學(xué)上有一定困難。實(shí)際應(yīng)用中這里常需引入一些粗略的近似式，對入射離子的能量和劑量進(jìn)行估算。根據(jù)一些半經(jīng)驗理論，在粗略的近似中，對于中重離子，可以認(rèn)為

應(yīng)該指出，這一近似式M1遠(yuǎn)小于M2時，由于大角度散射顯著，是不適用的；對于較高能量的入射離子，當(dāng)電子阻止顯著時，也是不適用的。如對于B→Si

對于As→Si

聯(lián)立兩方程即可求出查表可知，這時候?qū)?yīng)的P+的能量，約在40~50keV較為適宜。劑量確實(shí)定：實(shí)例三．求掩蔽層厚度LSS理論對掩蔽層厚度的計算與實(shí)際情況符合的比較好，下面簡單介紹一下最小眼膜厚度的計算方法。選用掩膜的主要目的是保護(hù)樣品的局部區(qū)域不受離子注入的影響。LSS理論指出，根據(jù)統(tǒng)計學(xué)上的概率分布，對于薄的掩膜總會有一些入射離子將穿過掩膜而進(jìn)入樣品中去，但其數(shù)量將隨著掩膜層厚度的增加而迅速減少。通常，掩膜厚度的選取與掩膜材料、入射離子種類、能量、劑量以及襯底的摻雜濃度等條件有關(guān)。一般認(rèn)為，穿過材料的離子數(shù)目降到入射離子總數(shù)的0.1%時，就認(rèn)為掩膜根本上阻擋了入射離子進(jìn)入樣品。即CB/CA≤0.1%CB：表示穿過掩蔽層的離子數(shù)，CA：表示入射到掩膜中的離子數(shù)。四．離子注入在雙層介質(zhì)的分布在半導(dǎo)體工藝中，有時候外表態(tài)對器件的性能影響很大，需要在外表沉積上一層保護(hù)層，然后用離子注入透過保護(hù)層對器件參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，如MOS器件中的柵的情況就是如此。在SOI材料制備中，也有人采用先沉積一層薄的SiO2保護(hù)層再進(jìn)行注入的工藝方法。這樣一來，離子在樣品中，也就是Si中的分布就不能直接套用濃度分布公式了。假設(shè)入射離子能量為E，保護(hù)層厚度為t。那么在第一層中離子對應(yīng)的投影射程和偏差可以設(shè)為Rp1和△Rp1，可以很容易查到。濃度分布那么滿足：〔0<x<t〕在第二層中，可以這么近似處理在界面處〔A〕能量由E→E-△E=E*△E≈t·dE/dx≈NSn0t注入到襯底中的雜質(zhì)量，那么為近似時也可取D*≈D在襯底中的雜質(zhì)濃度分布，就相當(dāng)于一個入射粒子能量為E*的射程分布。假設(shè)深度從界面A算起，以x*表示，那么在襯底中的雜質(zhì)分布可以表示為Rp2和△Rp2為對應(yīng)與能量為E*的離子在襯底中的射程和偏差。換成x，那么有實(shí)例五特殊濃度分布的屢次能量疊加注入§3.6LSS理論與實(shí)驗的比較一．LSS理論的適用范圍1．粒子能量范圍：一般使用于中等能量范圍的離子注入。能量大約在10kev～1Mev之間?！泊蠹铱丛跁笏降腞p和△Rp數(shù)值表里，所給出的數(shù)值所對應(yīng)的能量值全都在這個能量范圍里面?！硨τ诒容^重的離子，能量適用范圍還可以降低到1kev～1Mev之間，能量太低時，出現(xiàn)大角散射的幾率大，而ＬＳＳ理論是建立在一系列的小角度散射近似和動量近似的根底上的，所以ＬＳＳ理論不適用于太低能量。能量太高時，電子阻止本領(lǐng)將占主要因素。由于ＬＳＳ理論沒有考慮電子在原子中周期排列所帶來的Ｅ１對電子阻止的周期性影響，所以，對電子阻止的計算與實(shí)驗符合的較差。而且，LSS理論認(rèn)為電子阻止本領(lǐng)~V〔粒子速度〕，而當(dāng)能量＞1Mev時，電子阻止本領(lǐng)~V2。所以能量太高時，LSS理論將與實(shí)驗有很大的出入，需要對理論作一定的修正。2．離子質(zhì)量范圍一般適用于中重離子對于輕離子，如H+，He+，大角散射的幾率很大，電子阻止本領(lǐng)占得比例也大，所以誤差一般要＞20%。所以不適用，需要做修正。3．靶范圍適用于無定形靶〔非晶靶〕：如SiO2、Si3N4，光刻膠等；對于半導(dǎo)體，如Si、Ge，屬于有規(guī)那么結(jié)構(gòu)，會產(chǎn)生溝道效應(yīng)，ＬＳＳ理論不適用，假設(shè)要用ＬＳＳ理論，那么需要改變?nèi)肷潆x子方向〔一般偏５～７°〕，即偏角入射。這時，半導(dǎo)體靶近似可視為準(zhǔn)非晶靶。得出的分布也不是標(biāo)準(zhǔn)的高斯分布，而是帶了個尾巴，尾巴拖得很長。對于金屬材料〔多晶結(jié)構(gòu)〕：結(jié)果根本上是高斯分布，也帶個尾巴，可以使用ＬＳＳ理論。二．理論的精度橫向效應(yīng)橫向分布35keVAs注入120keVAs注入橫向效應(yīng)影響MOS晶體管的有效溝道長度雜質(zhì)與硅原子碰撞所產(chǎn)生的散射會造成雜質(zhì)往橫向注入。橫向效應(yīng)是指注入離子在垂直入射方向的平面內(nèi)的分布情況，會影響MOS管的有效溝道長度。橫向效應(yīng)與注入離子的種類及入射離子的能量有關(guān)。盡管存在著注入離子的橫向擴(kuò)散問題，但比起熱擴(kuò)散來，仍然是小的多。

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3.7離子在單晶靶中的溝道效應(yīng)與射程分布

如前所述，在LSS理論中，一直是把靶的結(jié)構(gòu)看作是一種非晶結(jié)構(gòu)〔也叫做無定形結(jié)構(gòu)〕來處理問題，得出的結(jié)論當(dāng)然也是只適用于非晶靶情況。當(dāng)然，在近似情況下，準(zhǔn)非晶、多晶也是可以用的。在說到單晶Si片的注入的時候，曾經(jīng)說過把硅片略微偏離晶向5~7o，就可以當(dāng)作準(zhǔn)非晶處理。那么在偏離角小于5~7o，也就是在準(zhǔn)垂直的入射情況下，硅片就不能當(dāng)作非晶材料處理了，而必須看作是有規(guī)律結(jié)構(gòu)的單晶結(jié)構(gòu)。這一節(jié)就來看看離子注入到單晶靶中時會出現(xiàn)什么樣的情況，這時離子的射程分布是什么樣子的，會有什么特點(diǎn)？一、單晶靶的特點(diǎn)：非晶靶：各向同性，均勻，注入無選擇性單晶靶：各向異性，不均勻性，注入有選擇性二、溝道效應(yīng)單晶靶中的射程分布，完全不同于無定形靶中的射程分布，這主要表現(xiàn)在：當(dāng)入射離子束準(zhǔn)直于晶體靶某一低指數(shù)軸方向入射時，這些離子有可能沿著某一翻開的晶軸方向穿透得很深，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過LSS理論在非晶靶中所預(yù)言的深度，這種現(xiàn)象稱為離子注入的溝道現(xiàn)象。翻開的方向稱為溝道。SiliconLatticeViewedAlong<110>Axis圖中表示的是單晶硅沿<110>軸方向觀察時，晶體所呈現(xiàn)出來的原子排列模型?？梢钥吹剑杈w結(jié)構(gòu)就好似是開口的蜂窩，這時離子假設(shè)順著視線的方向入射進(jìn)去，對這些入射離子來說，就好似有一個個完全暢通無阻的由原子列包圍成的直通道，好象管道一樣，離子可以沿著這管道進(jìn)入很深，而很少受到晶格原子的碰撞。這就是離子注入溝道效應(yīng)出現(xiàn)的原因所在。這個晶軸方向就稱為軸溝道?！?/p>

3.7離子在單晶靶中的溝道效應(yīng)與射程分布

110111100傾斜旋轉(zhuǎn)硅片后的無序方向1.8?如在右以下圖所看到的，這時的原子排列既緊密又雜亂無章，幾乎是一種無定形的結(jié)構(gòu)，沒有溝道可言，離子在這種方向入射時，必然要與靶原子發(fā)生嚴(yán)重的碰撞，受到較大的阻止作用，射程也就比較短，和LSS理論估計的射程分布根本接近。所以說，當(dāng)離子入射方向與那些低指數(shù)晶軸方向的夾角大過某一角度值時，就看不到溝道現(xiàn)象了。如果象上圖所示的那樣，沿著某一晶面方向觀察，在一簇晶面之間也有一個個開通的層面方向，這種情況就稱為面溝道。其實(shí)早在20世紀(jì)初，就有人預(yù)言晶體存在溝道的現(xiàn)象。但一直到60年代才被人在實(shí)驗中觀察到這種現(xiàn)象。最早觀察到溝道現(xiàn)象的是羅賓遜等人，1963年他們研究低能Cu離子入射到單晶銅時，發(fā)現(xiàn)沿著某些方向入射時，射程很長。這是第一次觀察到溝道現(xiàn)象。隨后，Davies等人在研究氪〔Kr〕在單晶Al中沿著不同的晶向入射中，也發(fā)現(xiàn)了溝道效應(yīng)。尼爾森〔Nelson〕等人研究質(zhì)子〔H〕穿過很薄的金〔Au〕單晶時，對于金單晶的不同取向，透射離子的數(shù)目完全不同。這幾個溝道實(shí)驗現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，引起了人們對離子注入中的溝道問題產(chǎn)生了極大的興趣，各方面的研究也就多了起來。三、臨界角什么樣的離子才能進(jìn)入溝道，并且沿著溝道向前運(yùn)動呢？前面已經(jīng)提到，離子束與晶體里的某一主軸的夾角如果超過某一角度值時，晶體就近似等價于非晶，無溝道可言，所以存在一個臨界角來判定是否會出現(xiàn)溝道效應(yīng)。我們一般把這個臨界角記作ψc，于是不同的入射粒子對應(yīng)這個臨界角會有這么三種關(guān)系：對于離子A，〔入射角>ψC〕：它將與晶格原子發(fā)生嚴(yán)重的碰撞，因而與非晶靶入射的情況相同〔除非它碰巧對準(zhǔn)了另外一個晶軸方向〕。這局部離子稱為隨機(jī)離子。對于C離子，〔入射角?ψC〕：這局部離子幾乎很少受到靶原子核的碰撞，而以很長的波長在溝道中運(yùn)動，具有很大的滲透本領(lǐng)，也就是射程。他們主要是受到靶內(nèi)電子的碰撞〔或者說散射〕而損失能量，最后停止在靶內(nèi)的某一位置。這類離子叫做完美溝道離子。B離子，〔入射角<ψC，略小于〕：它在溝道中將受到較大的核碰撞，損失比較多的能量，同時有較大的散射角，但散射角又小于A離子。因而最終這些離子是在溝道中“振蕩〞前行，甚至中途逃離溝道。所以將這局部離子稱為準(zhǔn)溝道離子或者退道離子。這些離子將比離子A滲透的更深，但又小于離子C的溝道注入深度。因此，臨界角是決定一個入射粒子能否進(jìn)入溝道的重要條件。但并不是小于臨界角的所有離子都能進(jìn)入溝道。對于完全平行的入射束并且對準(zhǔn)溝道入射，也能觀察到上述三種情況。因為一個入射離子的初始位置決定著它同靶原子列碰撞參數(shù)的大小，從而也直接影響到它在晶格中的運(yùn)動軌跡：靠近原子列的離子A立即被大角散射，不能進(jìn)入溝道，從而成為隨機(jī)注入離子?！矊?yīng)于上面情況①〕離子C在溝道中心區(qū)域，沿溝道一直前進(jìn)，屬于完美溝道離子。當(dāng)然由于晶格內(nèi)場在溝道中不是完全均勻，特別是有電子散射作用，離子C的軌跡也不可能完全是直線前進(jìn)，也是經(jīng)過一系列非常小的小角偏轉(zhuǎn)，以很長的波長在溝道中前進(jìn)，直到最后能量損失完后停下來。離子B與上面的B離子類似，以稍遠(yuǎn)離晶軸的位置入射，將受到較大的核碰撞而在倆個晶面之間“振蕩〞前行，成為準(zhǔn)溝道離子或是退道離子。所以可以這么理解，這三種平行準(zhǔn)直入射的離子在經(jīng)過第一次碰撞之后，也變成了臨界角的問題。臨界角可以用的理論來計算。四、Lindhard對溝道現(xiàn)象的描述1、根本假設(shè)：溝道離子在溝道中的運(yùn)動是小角散射。引入平均作用勢。〔在晶軸中的原子，可以看作是彼此相距d排成的原子繩，它們對子彈的作用可以用一個平均的勢場來描寫。假定單晶晶體是“完美無缺〞的〔完整而無缺陷〕?？梢杂媒?jīng)典物理圖像來描述。2、平均作用勢在Lindhard的理論中，他采用托馬斯-費(fèi)米勢計算給出的溝道中的平均勢場〔也稱為林哈德標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)勢〕，為

稱為托馬斯-費(fèi)米勢半徑，d是原子繩中相鄰兩原子的間距。溝道平均連續(xù)勢模型的根本思想：溝道離子同晶格原子列的碰撞是由許屢次小角散射決定的，每次碰撞使離子的軌跡偏轉(zhuǎn)一點(diǎn)點(diǎn)，因此，離子在溝道中運(yùn)動的軌跡是由許屢次相關(guān)碰撞決定的〔如圖〕。把晶格原子對離子的作用看做不是單個原子同入射離子的作用，而是一條連續(xù)的原子“串〞對運(yùn)動離子的作用，這時離子受到的力是連續(xù)的、平均的，所以，它們之間的相互作用可以看做原子列的平均勢同離子的作用。3、連續(xù)勢近似模型的條件Lindhard認(rèn)為這個條件是粒子速度在平行于溝道軸方向的分量能使粒子穿過晶格原子間距的時間小于同單個靶原子的碰撞時間。這意味著，當(dāng)粒子感到它自己是在一個原子的庫侖場中時，粒子又已經(jīng)跑到“列〞上的下一個原子勢場中，所以，粒子只能觀察到連續(xù)的勢，而看不到單個原子的場，在數(shù)學(xué)上這種連續(xù)近似的條件可以寫成：4、計算臨界角當(dāng)粒子在rmin處時，形成溝道離子的條件是rmin處的平均勢場ū〔rmin〕等于離子在溝道中垂直能量E┴〔也就是能量在垂直方向上的分量〕，即對于較高能量離子，離子與原子繩的最小距離rmin~aTF對于較低能量離子，Lindhard給出的表達(dá)式為這些式子說明，入射離子能量越大，臨界角越小，對于幾百keV的離子來說，沿單晶硅的<110>或<111>軸入射時，臨界角一般在3~5o之間。這就是為什么在對單晶靶注入時，要偏轉(zhuǎn)5~7o的原因。幾種離子在不同能量下對硅單晶不同取向的臨界角如表所示

硅中常用雜質(zhì)發(fā)生溝道效應(yīng)的臨界角（對每種雜質(zhì)，上面曲線表示〈111〉襯底，下面對應(yīng)〈100〉襯底）五、單晶靶中的射程分布特點(diǎn)：一束完全瞄準(zhǔn)單晶靶的某一主晶軸的離子入射時，按照前面的分析，應(yīng)該分為隨機(jī)與溝道兩局部。一局部離子的位置由于小于rmin，或者說大于臨界角ψc，很快地被靶原子散射掉，成為隨機(jī)原子。這局部離子在晶體中的分布與無定形靶的情況相類似。另一局部離子由于大于rmin，而進(jìn)入溝道，成為溝道離子或準(zhǔn)溝道離子。就是我們前面所說的B和C兩類離子。如果假定這兩局部離子的注入過程及分布彼此無關(guān)，那么最終的射程分布，就可以用這兩類離子單獨(dú)的分布疊加起來。實(shí)際情況是，進(jìn)入溝道的離子有可能在中間遇上大角散射，從溝道中逃脫出來，成為隨機(jī)離子。而其它隨機(jī)離子也有可能在隨后的碰撞中被散射進(jìn)溝道中，成為溝道離子。所以，這種分布的疊加只能是實(shí)際射程分布的一種定性說明，而不會是準(zhǔn)確的實(shí)際分布。碰撞后引起的溝道效應(yīng)但隨機(jī)局部的離子數(shù)目占全部離子數(shù)的比例，也就是成為隨機(jī)離子的幾率是可以簡單地估算出來的。假定所有的隨機(jī)局部離子都打在晶軸附近πr2min面積里〔如圖〕，如果靶原子的面密度為N，原子繩上相鄰兩原子的間距為d，那么原子的面密度剛好為Nd，也就是單位外表積里有Nd個靶原子。如果入射離子劑量為D，那么單位面積內(nèi)與隨機(jī)離子有關(guān)的離子數(shù)量應(yīng)該為d2rmin那么隨機(jī)離子的比例前邊給過對于一個50kev的P+→Si〔110〕晶向中，它的d=3.8310-8cm可見隨機(jī)離子占的比率是很小的。隨機(jī)離子的分布可以直接用LSS理論來描述，就是說可以直接查表得到隨機(jī)離子局部的Rp和ΔRp值。至于溝道離子的射程分布，迄今為止還沒有任何一個理論來比較精確地計算。前面說過，溝道離子包括兩局部：完美溝道離子和準(zhǔn)溝道離子〔退道離子〕，由于受晶格的熱震動、晶格缺陷等因素的影響較大，退道離子的數(shù)目很難估計，其射程分布也就不容易精確地確定。目前能夠做到的是計算溝道離子的最大射程Rmax，然后可以利用它估計完美溝道離子的標(biāo)準(zhǔn)偏差單晶靶中比較精確的射程分布，一般需要通過實(shí)驗測量獲得，圖上是一個典型的單晶靶中離子射程分布曲線，從圖上可以看出，離子在單晶靶中的射程分布由三個區(qū)域組成：A：A類離子局部，對應(yīng)于非晶靶的高斯峰；B：對應(yīng)于退道離子的分布；C：對應(yīng)于完美溝道離子的溝道峰。如果沒有退道離子，而只有隨機(jī)離子和完美溝道離子，那么分布就有可能是由兩個峰的疊加分布。但任何離子和靶的組合都會存在大量的退道離子，因此，這樣理想情況是根本不會出現(xiàn)的。溝道中核阻止很小，電子密度也很低，Rmax遠(yuǎn)大于R六、最大射程的計算：對離子在溝道中的運(yùn)動軌跡方程的詳細(xì)推導(dǎo)，不做詳細(xì)介紹。大家只要知道，離子在溝道中大概是以圓頻率ω在作簡諧振動，方程可以表示為r=rmaxsinωt。其中，ω與離子的能量和溝道里的平均勢有關(guān)。離子在溝道里的運(yùn)動會受到核阻止或者電子阻止的阻尼作用而損失能量。在低能情況下核阻止占優(yōu)，但在較高能量段入射，〔這是我們感興趣的能量段，因為對溝道現(xiàn)象的利用大多在這個較高能量段〕，在這種情況下，對于完美的溝道離子的最大射程的影響而言，電子阻止是主要的，正像前面所提的，這些完美溝道離子在溝道中運(yùn)動，很少發(fā)生核碰撞，能量根本是由于電子阻止而損失，因而可以不計核阻止對最大射程的影響。根據(jù)這個近似：但它們之間的比例關(guān)系與在非晶靶中不同。下面簡單介紹一種半經(jīng)驗公式的求法，這種方法常常更為精確，把上面的關(guān)系式寫成：這個Se’(E)不等于非晶靶中的Se(E)，但它們存在著的關(guān)系。所以，K*也不是過去Se(E)=KE1/2里的K。這個K*值一般用實(shí)驗方法確定，所以把這種求法叫半經(jīng)驗公式的求法。然后用這式子可得Rmax=2Eo1/2/K*Eo為入射離子的初始能量。常數(shù)K*的確定，通常是取某一固定能量E*，然后在這個能量下，用實(shí)驗方法測得Se’(E),再利用關(guān)系式來確定。然后所以，這種方法需要借助實(shí)驗的手段求得Rmax。Rmax是一個很好的物理參量，它與晶體缺陷、外表氧化層厚度、靶溫度無關(guān)，只要離子種類和離子能量及靶材和晶面確定，就會有一個確定的Rmax值。七