第三章 離子在固體中的射程分布

粒子與固體碰撞物理學(xué)第三章離子在固體中的射程分布理論§3.1根本概念RpRRc表面入射方向射程——離子由進(jìn)入到停止所走過(guò)的總距離R投影射程——射程R在入射方向上的投影，稱為投影射程Rp矢量射程——入射起始點(diǎn)O與路徑終點(diǎn)之間的距離，稱為Rc一、射程平均射程概念：所有入射粒子射程的平均值。離子注入過(guò)程：入射離子與靶原子核和電子不斷發(fā)生碰撞，其方向不斷改變，能量逐漸減少，經(jīng)過(guò)一段曲折路徑的運(yùn)動(dòng)后，因動(dòng)能耗盡而停止在靶中的某處。二、標(biāo)準(zhǔn)偏差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，標(biāo)準(zhǔn)偏差就是射程的平均平方漲落，用ΔR2表示。根據(jù)定義有：同理，對(duì)于投影射程，其標(biāo)準(zhǔn)偏差為這是用來(lái)表征射程分布的一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)物理量。三、濃度分布

在離子注入里，一般指最終停留在靶中的入射離子的體濃度隨著深度的分布。一般在平均投影射程Rp處有一最高濃度?！?.2沿著路徑測(cè)量的射程分布——LSS理論〔一〕P(R,E)的含義？我們不去求每個(gè)離子的具體射程的原因是什么？我們關(guān)心的是什么樣的結(jié)果？〔大量的入射離子在靶內(nèi)的空間統(tǒng)計(jì)分布〕用什么去表征這個(gè)分布？的含義？的含義？如何建立射程幾率P(R,E)所應(yīng)滿足的積分微分方程？

從A→B:

碰撞發(fā)生的概率：NδR

∫dσne

不發(fā)生碰撞的幾率：1?NδR

∫dσne到B點(diǎn)后：碰撞已發(fā)生：離子能量〔E→E-T〕,到C距離〔R→R-δR〕,幾率函數(shù)：P(E-T,R-δR)碰撞沒(méi)發(fā)生：離子能量〔E→E〕,到C距離〔R→R-δR〕,幾率函數(shù)：P(E,R-δR)射程幾率P(R,E)所滿足的偏微分方程已經(jīng)建立起來(lái)，但要通過(guò)這方程直接求解幾率分布函數(shù)P(R,E)非常困難。一般只能通過(guò)什么方法求解？〔屢次矩解法——也就是蒙特卡羅法〕這種方法的含義？〔把直接求P(R,E)，轉(zhuǎn)化為求射程R的各次矩Rm的平均值<Rm>〕。為什么要這么求解？〔因?yàn)?，從統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的角度上說(shuō)，知道了<Rm>，就認(rèn)為根本弄清了幾率分布函數(shù)P(R,E)的性質(zhì)〕為什么這么說(shuō)？一次矩——對(duì)應(yīng)？？二次矩——可以得出？？射程的三次矩——反映的是分布的？？四次矩——反映的是分布的？？知道了這些矩的平均值，就可以利用它們組成較為復(fù)雜，但也比較精確的幾率分布函數(shù)，如泊松分布函數(shù)。在忽略高次矩，只考略一二次矩的情況下，所構(gòu)成的幾率分布函數(shù)是〔？〕函數(shù)。如何從P〔E,R〕的積分微分方程導(dǎo)出其矩方程？怎么從矩方程求出R的一級(jí)近似和二級(jí)近似下的一次矩？，

在什么考慮下可做如下近似？，

如何求解射程R的標(biāo)準(zhǔn)偏差〔二次矩〕？根據(jù)定義：〔一級(jí)近似下的標(biāo)準(zhǔn)偏差?！场?.3投影射程在實(shí)際測(cè)量中，我們所感興趣的量，既不是入射離子在靶中的路徑射程分布，也不是矢量射程分布，而是入射離子在靶中沿著入射方向的投影射程的分布，也叫離子深度的分布。這個(gè)量通常可以直接觀察到，因此更有實(shí)際意義。我們這里所關(guān)心的是平均投影射程Rp及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。關(guān)于平均投影射程的微分積分方程，可以仿照射程R的幾率方程建立起來(lái)。當(dāng)m=1時(shí)，有其中φ為入射離子的射程偏斜角，Rp=RcCOSφ。假設(shè)T?E，那么有代入上式，得變化式子，得為求解此方程，引入兩個(gè)量〔λtr稱為平均傳輸自由程〕〔Str稱為傳輸阻止截面〕那么方程變成此方程的解為求解投影射程的較高次矩，如投影射程的標(biāo)準(zhǔn)偏差，遠(yuǎn)比求解平均投影射程復(fù)雜得多，也比求解路徑射程的標(biāo)準(zhǔn)偏差復(fù)雜得多，這里不再介紹。對(duì)于實(shí)驗(yàn)工作者來(lái)說(shuō)，絕大多數(shù)情況下不必重復(fù)這個(gè)復(fù)雜的詳細(xì)求解過(guò)程。Lindhard和Winterbon、Gibbons等人已經(jīng)精確地計(jì)算出大多數(shù)常用離子在局部常用靶中的投影射程及其標(biāo)準(zhǔn)偏差的數(shù)值，并聚集成表格形式供一般科技工作者直接查閱使用。這樣在許多情況下，我們都可以直接查表得到我們想要的數(shù)值，而不必去重復(fù)那些非常復(fù)雜的計(jì)算。幾個(gè)有用的近似推論：1〕其中S為L(zhǎng)indhard勢(shì)中的參數(shù)。當(dāng)S=2時(shí)，2〕3〕其中當(dāng)S=2時(shí)，§3.4入射離子在靶中的濃度分布我們已經(jīng)提到過(guò)，作為一級(jí)近似，入射離子在非晶靶中的射程分布完全可以用Rp和△Rp來(lái)描述。那么究竟如何用著兩個(gè)量來(lái)描述離子射程的幾率分布呢？在數(shù)學(xué)上用這兩個(gè)量來(lái)描述的幾率分布，最一般的形式是對(duì)稱的高斯分布。它的具體形式是：系數(shù)是由幾率函數(shù)P〔x,E〕的歸一化條件的要求確定的。式中X：沿著入射離子初始方向上離開(kāi)靶外表的距離〔如果入射方向垂直于外表，X那么表示入射離子的深度〕E：入射離子的初始能量.所以說(shuō)在一級(jí)近似下，只要知道Rp和△Rp兩個(gè)值，射程的幾率分布就根本確定了。如果，入射離子的劑量為D〔離子數(shù)/cm2〕〔劑量在離子注入里通常指的是通過(guò)單位面積的外表打到靶里面的離子數(shù)量〕，那么與這個(gè)射程幾率分布相對(duì)應(yīng)的濃度隨深度的分布就應(yīng)該是：它表示的意義是：在X深處每個(gè)單位體積里的入射離子數(shù)由上式可知，濃度分布在X～N〔X〕坐標(biāo)系中的形狀是由這個(gè)圖上可以看出，濃度分布具有以下一些特點(diǎn)：1．最大濃度不在外表，而是在平均投影射程X=Rp處有一最高濃度，最高濃度Nmax與入射離子的注入劑量D成正比〔所以要想改變注入摻雜的最高濃度，只有通過(guò)改變注入劑量來(lái)到達(dá)〕。2．在平均投影射程Rp兩邊，注入離子濃度對(duì)稱下降，離開(kāi)平均投影射程越遠(yuǎn)，濃度下降越快。下降速率與離開(kāi)平均投影射程有這么一個(gè)近似關(guān)系：N/Nmax0.510-110-210-310-410-510-6X-Rp±1.2（△Rp）±2（△Rp）±3（△Rp）±3.7(△Rp)±4.3(△Rp)±4.8(△Rp)±5.3(△Rp)3．在半導(dǎo)體中，通過(guò)離子注入摻雜形成PN結(jié)時(shí)，由于入射離子濃度分布是這樣的一種高斯分布的特點(diǎn)，摻雜區(qū)和襯底之間不是一種很陡峭的突變，而是一種界面不十清楚顯的漸變。因此這就使得在半導(dǎo)體中，PN結(jié)的結(jié)深Xj有一個(gè)如何定義的問(wèn)題。在半導(dǎo)體中，一般把摻雜濃度下降到襯底濃度時(shí)的摻雜深度稱為結(jié)深。由特點(diǎn)2中給出的數(shù)據(jù)可以近似的估計(jì)結(jié)深Xj的位置。例如，當(dāng)襯底濃度NB是最高摻雜濃度的1%時(shí)，即NB/Nmax=1%。由上表可以找到，對(duì)應(yīng)此濃度的深度值，也就是結(jié)深的位置為：Xj=Rp±3△Rp，結(jié)深的更精確求解可以這樣來(lái)求解：設(shè)代入濃度分布表達(dá)式，應(yīng)該有4．根據(jù)公式〔從圖上亦可以看出〕，外表濃度亦不為0。假設(shè)按照這個(gè)理論的預(yù)料，將在一局部離子分布在靶外表之外。這是不太符合實(shí)際情況的。所以，LSS理論假定：但凡在理論上預(yù)料落在靶外表外的離子，都被假定只是積聚在把外表上，實(shí)際上也可能如此。因此，實(shí)際的靶外表的濃度，將要超過(guò)高斯分布所預(yù)料的外表濃度。§3.5LSS理論在非晶靶中的應(yīng)用實(shí)例1、在注入離子的能量、劑量和襯底雜質(zhì)濃度時(shí)，可以計(jì)算出外表濃度和結(jié)深。2、要到達(dá)靶中設(shè)定的摻雜濃度和結(jié)深，求入射離子的能量和劑量〔設(shè)計(jì)注入工藝〕。3、可以計(jì)算出能夠掩蔽雜質(zhì)注入的掩蔽膜的最小厚度。也可以給出掩蔽膜后離子的濃度分布情況。4、可以計(jì)算出當(dāng)以不同的能量和劑量分幾次進(jìn)行離子注入時(shí)，所得到的合成雜質(zhì)濃度分布。實(shí)例二．要到達(dá)靶中的摻雜濃度和結(jié)深，求入射離子的能量和劑量。這是實(shí)際工作中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。例：希望P+離子在硅中的最大摻雜濃度到達(dá)8×1021cm-3，發(fā)射結(jié)深度為0.13μm，基質(zhì)濃度為6×1018cm-3，求入射P+的能量和劑量。解：在結(jié)深xj處的離子濃度〔即基區(qū)濃度〕為假設(shè)知道Rp和△Rp，可查表直接得出入射離子能量。但目前只有一個(gè)方程，卻有兩個(gè)未知數(shù)。所以直接從LSS理論中求出入射離子的能量和劑量，在數(shù)學(xué)上有一定困難。實(shí)際應(yīng)用中這里常需引入一些粗略的近似式，對(duì)入射離子的能量和劑量進(jìn)行估算。根據(jù)一些半經(jīng)驗(yàn)理論，在粗略的近似中，對(duì)于中重離子，可以認(rèn)為

應(yīng)該指出，這一近似式M1遠(yuǎn)小于M2時(shí)，由于大角度散射顯著，是不適用的；對(duì)于較高能量的入射離子，當(dāng)電子阻止顯著時(shí)，也是不適用的。如對(duì)于B→Si

對(duì)于As→Si

聯(lián)立兩方程即可求出查表可知，這時(shí)候?qū)?yīng)的P+的能量，約在40~50keV較為適宜。劑量確實(shí)定：實(shí)例三．求掩蔽層厚度LSS理論對(duì)掩蔽層厚度的計(jì)算與實(shí)際情況符合的比較好，下面簡(jiǎn)單介紹一下最小眼膜厚度的計(jì)算方法。選用掩膜的主要目的是保護(hù)樣品的局部區(qū)域不受離子注入的影響。LSS理論指出，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)上的概率分布，對(duì)于薄的掩膜總會(huì)有一些入射離子將穿過(guò)掩膜而進(jìn)入樣品中去，但其數(shù)量將隨著掩膜層厚度的增加而迅速減少。通常，掩膜厚度的選取與掩膜材料、入射離子種類、能量、劑量以及襯底的摻雜濃度等條件有關(guān)。一般認(rèn)為，穿過(guò)材料的離子數(shù)目降到入射離子總數(shù)的0.1%時(shí)，就認(rèn)為掩膜根本上阻擋了入射離子進(jìn)入樣品。即CB/CA≤0.1%CB：表示穿過(guò)掩蔽層的離子數(shù)，CA：表示入射到掩膜中的離子數(shù)。四．離子注入在雙層介質(zhì)的分布在半導(dǎo)體工藝中，有時(shí)候外表態(tài)對(duì)器件的性能影響很大，需要在外表沉積上一層保護(hù)層，然后用離子注入透過(guò)保護(hù)層對(duì)器件參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，如MOS器件中的柵的情況就是如此。在SOI材料制備中，也有人采用先沉積一層薄的SiO2保護(hù)層再進(jìn)行注入的工藝方法。這樣一來(lái)，離子在樣品中，也就是Si中的分布就不能直接套用濃度分布公式了。假設(shè)入射離子能量為E，保護(hù)層厚度為t。那么在第一層中離子對(duì)應(yīng)的投影射程和偏差可以設(shè)為Rp1和△Rp1，可以很容易查到。濃度分布那么滿足：〔0<x<t〕在第二層中，可以這么近似處理在界面處〔A〕能量由E→E-△E=E*△E≈t·dE/dx≈NSn0t注入到襯底中的雜質(zhì)量，那么為近似時(shí)也可取D*≈D在襯底中的雜質(zhì)濃度分布，就相當(dāng)于一個(gè)入射粒子能量為E*的射程分布。假設(shè)深度從界面A算起，以x*表示，那么在襯底中的雜質(zhì)分布可以表示為Rp2和△Rp2為對(duì)應(yīng)與能量為E*的離子在襯底中的射程和偏差。換成x，那么有實(shí)例五特殊濃度分布的屢次能量疊加注入§3.6LSS理論與實(shí)驗(yàn)的比較一．LSS理論的適用范圍1．粒子能量范圍：一般使用于中等能量范圍的離子注入。能量大約在10kev～1Mev之間?！泊蠹铱丛跁?shū)后所附的Rp和△Rp數(shù)值表里，所給出的數(shù)值所對(duì)應(yīng)的能量值全都在這個(gè)能量范圍里面。〕對(duì)于比較重的離子，能量適用范圍還可以降低到1kev～1Mev之間，能量太低時(shí)，出現(xiàn)大角散射的幾率大，而ＬＳＳ理論是建立在一系列的小角度散射近似和動(dòng)量近似的根底上的，所以ＬＳＳ理論不適用于太低能量。能量太高時(shí)，電子阻止本領(lǐng)將占主要因素。由于ＬＳＳ理論沒(méi)有考慮電子在原子中周期排列所帶來(lái)的Ｅ１對(duì)電子阻止的周期性影響，所以，對(duì)電子阻止的計(jì)算與實(shí)驗(yàn)符合的較差。而且，LSS理論認(rèn)為電子阻止本領(lǐng)~V〔粒子速度〕，而當(dāng)能量＞1Mev時(shí)，電子阻止本領(lǐng)~V2。所以能量太高時(shí)，LSS理論將與實(shí)驗(yàn)有很大的出入，需要對(duì)理論作一定的修正。2．離子質(zhì)量范圍一般適用于中重離子對(duì)于輕離子，如H+，He+，大角散射的幾率很大，電子阻止本領(lǐng)占得比例也大，所以誤差一般要＞20%。所以不適用，需要做修正。3．靶范圍適用于無(wú)定形靶〔非晶靶〕：如SiO2、Si3N4，光刻膠等；對(duì)于半導(dǎo)體，如Si、Ge，屬于有規(guī)那么結(jié)構(gòu)，會(huì)產(chǎn)生溝道效應(yīng)，ＬＳＳ理論不適用，假設(shè)要用ＬＳＳ理論，那么需要改變?nèi)肷潆x子方向〔一般偏５～７°〕，即偏角入射。這時(shí)，半導(dǎo)體靶近似可視為準(zhǔn)非晶靶。得出的分布也不是標(biāo)準(zhǔn)的高斯分布，而是帶了個(gè)尾巴，尾巴拖得很長(zhǎng)。對(duì)于金屬材料〔多晶結(jié)構(gòu)〕：結(jié)果根本上是高斯分布，也帶個(gè)尾巴，可以使用ＬＳＳ理論。二．理論的精度橫向效應(yīng)橫向分布35keVAs注入120keVAs注入橫向效應(yīng)影響MOS晶體管的有效溝道長(zhǎng)度雜質(zhì)與硅原子碰撞所產(chǎn)生的散射會(huì)造成雜質(zhì)往橫向注入。橫向效應(yīng)是指注入離子在垂直入射方向的平面內(nèi)的分布情況，會(huì)影響MOS管的有效溝道長(zhǎng)度。橫向效應(yīng)與注入離子的種類及入射離子的能量有關(guān)。盡管存在著注入離子的橫向擴(kuò)散問(wèn)題，但比起熱擴(kuò)散來(lái)，仍然是小的多。

§

3.7離子在單晶靶中的溝道效應(yīng)與射程分布

如前所述，在LSS理論中，一直是把靶的結(jié)構(gòu)看作是一種非晶結(jié)構(gòu)〔也叫做無(wú)定形結(jié)構(gòu)〕來(lái)處理問(wèn)題，得出的結(jié)論當(dāng)然也是只適用于非晶靶情況。當(dāng)然，在近似情況下，準(zhǔn)非晶、多晶也是可以用的。在說(shuō)到單晶Si片的注入的時(shí)候，曾經(jīng)說(shuō)過(guò)把硅片略微偏離晶向5~7o，就可以當(dāng)作準(zhǔn)非晶處理。那么在偏離角小于5~7o，也就是在準(zhǔn)垂直的入射情況下，硅片就不能當(dāng)作非晶材料處理了，而必須看作是有規(guī)律結(jié)構(gòu)的單晶結(jié)構(gòu)。這一節(jié)就來(lái)看看離子注入到單晶靶中時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么樣的情況，這時(shí)離子的射程分布是什么樣子的，會(huì)有什么特點(diǎn)？一、單晶靶的特點(diǎn)：非晶靶：各向同性，均勻，注入無(wú)選擇性單晶靶：各向異性，不均勻性，注入有選擇性二、溝道效應(yīng)單晶靶中的射程分布，完全不同于無(wú)定形靶中的射程分布，這主要表現(xiàn)在：當(dāng)入射離子束準(zhǔn)直于晶體靶某一低指數(shù)軸方向入射時(shí)，這些離子有可能沿著某一翻開(kāi)的晶軸方向穿透得很深，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)LSS理論在非晶靶中所預(yù)言的深度，這種現(xiàn)象稱為離子注入的溝道現(xiàn)象。翻開(kāi)的方向稱為溝道。SiliconLatticeViewedAlong<110>Axis圖中表示的是單晶硅沿<110>軸方向觀察時(shí)，晶體所呈現(xiàn)出來(lái)的原子排列模型?？梢钥吹?，硅晶體結(jié)構(gòu)就好似是開(kāi)口的蜂窩，這時(shí)離子假設(shè)順著視線的方向入射進(jìn)去，對(duì)這些入射離子來(lái)說(shuō)，就好似有一個(gè)個(gè)完全暢通無(wú)阻的由原子列包圍成的直通道，好象管道一樣，離子可以沿著這管道進(jìn)入很深，而很少受到晶格原子的碰撞。這就是離子注入溝道效應(yīng)出現(xiàn)的原因所在。這個(gè)晶軸方向就稱為軸溝道。§

3.7離子在單晶靶中的溝道效應(yīng)與射程分布

110111100傾斜旋轉(zhuǎn)硅片后的無(wú)序方向1.8?如在右以下圖所看到的，這時(shí)的原子排列既緊密又雜亂無(wú)章，幾乎是一種無(wú)定形的結(jié)構(gòu)，沒(méi)有溝道可言，離子在這種方向入射時(shí)，必然要與靶原子發(fā)生嚴(yán)重的碰撞，受到較大的阻止作用，射程也就比較短，和LSS理論估計(jì)的射程分布根本接近。所以說(shuō)，當(dāng)離子入射方向與那些低指數(shù)晶軸方向的夾角大過(guò)某一角度值時(shí)，就看不到溝道現(xiàn)象了。如果象上圖所示的那樣，沿著某一晶面方向觀察，在一簇晶面之間也有一個(gè)個(gè)開(kāi)通的層面方向，這種情況就稱為面溝道。其實(shí)早在20世紀(jì)初，就有人預(yù)言晶體存在溝道的現(xiàn)象。但一直到60年代才被人在實(shí)驗(yàn)中觀察到這種現(xiàn)象。最早觀察到溝道現(xiàn)象的是羅賓遜等人，1963年他們研究低能Cu離子入射到單晶銅時(shí)，發(fā)現(xiàn)沿著某些方向入射時(shí)，射程很長(zhǎng)。這是第一次觀察到溝道現(xiàn)象。隨后，Davies等人在研究氪〔Kr〕在單晶Al中沿著不同的晶向入射中，也發(fā)現(xiàn)了溝道效應(yīng)。尼爾森〔Nelson〕等人研究質(zhì)子〔H〕穿過(guò)很薄的金〔Au〕單晶時(shí)，對(duì)于金單晶的不同取向，透射離子的數(shù)目完全不同。這幾個(gè)溝道實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，引起了人們對(duì)離子注入中的溝道問(wèn)題產(chǎn)生了極大的興趣，各方面的研究也就多了起來(lái)。三、臨界角什么樣的離子才能進(jìn)入溝道，并且沿著溝道向前運(yùn)動(dòng)呢？前面已經(jīng)提到，離子束與晶體里的某一主軸的夾角如果超過(guò)某一角度值時(shí)，晶體就近似等價(jià)于非晶，無(wú)溝道可言，所以存在一個(gè)臨界角來(lái)判定是否會(huì)出現(xiàn)溝道效應(yīng)。我們一般把這個(gè)臨界角記作ψc，于是不同的入射粒子對(duì)應(yīng)這個(gè)臨界角會(huì)有這么三種關(guān)系：對(duì)于離子A，〔入射角>ψC〕：它將與晶格原子發(fā)生嚴(yán)重的碰撞，因而與非晶靶入射的情況相同〔除非它碰巧對(duì)準(zhǔn)了另外一個(gè)晶軸方向〕。這局部離子稱為隨機(jī)離子。對(duì)于C離子，〔入射角?ψC〕：這局部離子幾乎很少受到靶原子核的碰撞，而以很長(zhǎng)的波長(zhǎng)在溝道中運(yùn)動(dòng)，具有很大的滲透本領(lǐng)，也就是射程。他們主要是受到靶內(nèi)電子的碰撞〔或者說(shuō)散射〕而損失能量，最后停止在靶內(nèi)的某一位置。這類離子叫做完美溝道離子。B離子，〔入射角<ψC，略小于〕：它在溝道中將受到較大的核碰撞，損失比較多的能量，同時(shí)有較大的散射角，但散射角又小于A離子。因而最終這些離子是在溝道中“振蕩〞前行，甚至中途逃離溝道。所以將這局部離子稱為準(zhǔn)溝道離子或者退道離子。這些離子將比離子A滲透的更深，但又小于離子C的溝道注入深度。因此，臨界角是決定一個(gè)入射粒子能否進(jìn)入溝道的重要條件。但并不是小于臨界角的所有離子都能進(jìn)入溝道。對(duì)于完全平行的入射束并且對(duì)準(zhǔn)溝道入射，也能觀察到上述三種情況。因?yàn)橐粋€(gè)入射離子的初始位置決定著它同靶原子列碰撞參數(shù)的大小，從而也直接影響到它在晶格中的運(yùn)動(dòng)軌跡：靠近原子列的離子A立即被大角散射，不能進(jìn)入溝道，從而成為隨機(jī)注入離子。〔對(duì)應(yīng)于上面情況①〕離子C在溝道中心區(qū)域，沿溝道一直前進(jìn)，屬于完美溝道離子。當(dāng)然由于晶格內(nèi)場(chǎng)在溝道中不是完全均勻，特別是有電子散射作用，離子C的軌跡也不可能完全是直線前進(jìn)，也是經(jīng)過(guò)一系列非常小的小角偏轉(zhuǎn)，以很長(zhǎng)的波長(zhǎng)在溝道中前進(jìn)，直到最后能量損失完后停下來(lái)。離子B與上面的B離子類似，以稍遠(yuǎn)離晶軸的位置入射，將受到較大的核碰撞而在倆個(gè)晶面之間“振蕩〞前行，成為準(zhǔn)溝道離子或是退道離子。所以可以這么理解，這三種平行準(zhǔn)直入射的離子在經(jīng)過(guò)第一次碰撞之后，也變成了臨界角的問(wèn)題。臨界角可以用的理論來(lái)計(jì)算。四、Lindhard對(duì)溝道現(xiàn)象的描述1、根本假設(shè)：溝道離子在溝道中的運(yùn)動(dòng)是小角散射。引入平均作用勢(shì)。〔在晶軸中的原子，可以看作是彼此相距d排成的原子繩，它們對(duì)子彈的作用可以用一個(gè)平均的勢(shì)場(chǎng)來(lái)描寫(xiě)。假定單晶晶體是“完美無(wú)缺〞的〔完整而無(wú)缺陷〕?？梢杂媒?jīng)典物理圖像來(lái)描述。2、平均作用勢(shì)在Lindhard的理論中，他采用托馬斯-費(fèi)米勢(shì)計(jì)算給出的溝道中的平均勢(shì)場(chǎng)〔也稱為林哈德標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)勢(shì)〕，為

稱為托馬斯-費(fèi)米勢(shì)半徑，d是原子繩中相鄰兩原子的間距。溝道平均連續(xù)勢(shì)模型的根本思想：溝道離子同晶格原子列的碰撞是由許屢次小角散射決定的，每次碰撞使離子的軌跡偏轉(zhuǎn)一點(diǎn)點(diǎn)，因此，離子在溝道中運(yùn)動(dòng)的軌跡是由許屢次相關(guān)碰撞決定的〔如圖〕。把晶格原子對(duì)離子的作用看做不是單個(gè)原子同入射離子的作用，而是一條連續(xù)的原子“串〞對(duì)運(yùn)動(dòng)離子的作用，這時(shí)離子受到的力是連續(xù)的、平均的，所以，它們之間的相互作用可以看做原子列的平均勢(shì)同離子的作用。3、連續(xù)勢(shì)近似模型的條件Lindhard認(rèn)為這個(gè)條件是粒子速度在平行于溝道軸方向的分量能使粒子穿過(guò)晶格原子間距的時(shí)間小于同單個(gè)靶原子的碰撞時(shí)間。這意味著，當(dāng)粒子感到它自己是在一個(gè)原子的庫(kù)侖場(chǎng)中時(shí)，粒子又已經(jīng)跑到“列〞上的下一個(gè)原子勢(shì)場(chǎng)中，所以，粒子只能觀察到連續(xù)的勢(shì)，而看不到單個(gè)原子的場(chǎng)，在數(shù)學(xué)上這種連續(xù)近似的條件可以寫(xiě)成：4、計(jì)算臨界角當(dāng)粒子在rmin處時(shí)，形成溝道離子的條件是rmin處的平均勢(shì)場(chǎng)ū〔rmin〕等于離子在溝道中垂直能量E┴〔也就是能量在垂直方向上的分量〕，即對(duì)于較高能量離子，離子與原子繩的最小距離rmin~aTF對(duì)于較低能量離子，Lindhard給出的表達(dá)式為這些式子說(shuō)明，入射離子能量越大，臨界角越小，對(duì)于幾百keV的離子來(lái)說(shuō)，沿單晶硅的<110>或<111>軸入射時(shí)，臨界角一般在3~5o之間。這就是為什么在對(duì)單晶靶注入時(shí)，要偏轉(zhuǎn)5~7o的原因。幾種離子在不同能量下對(duì)硅單晶不同取向的臨界角如表所示

硅中常用雜質(zhì)發(fā)生溝道效應(yīng)的臨界角（對(duì)每種雜質(zhì)，上面曲線表示〈111〉襯底，下面對(duì)應(yīng)〈100〉襯底）五、單晶靶中的射程分布特點(diǎn)：一束完全瞄準(zhǔn)單晶靶的某一主晶軸的離子入射時(shí)，按照前面的分析，應(yīng)該分為隨機(jī)與溝道兩局部。一局部離子的位置由于小于rmin，或者說(shuō)大于臨界角ψc，很快地被靶原子散射掉，成為隨機(jī)原子。這局部離子在晶體中的分布與無(wú)定形靶的情況相類似。另一局部離子由于大于rmin，而進(jìn)入溝道，成為溝道離子或準(zhǔn)溝道離子。就是我們前面所說(shuō)的B和C兩類離子。如果假定這兩局部離子的注入過(guò)程及分布彼此無(wú)關(guān)，那么最終的射程分布，就可以用這兩類離子單獨(dú)的分布疊加起來(lái)。實(shí)際情況是，進(jìn)入溝道的離子有可能在中間遇上大角散射，從溝道中逃脫出來(lái)，成為隨機(jī)離子。而其它隨機(jī)離子也有可能在隨后的碰撞中被散射進(jìn)溝道中，成為溝道離子。所以，這種分布的疊加只能是實(shí)際射程分布的一種定性說(shuō)明，而不會(huì)是準(zhǔn)確的實(shí)際分布。碰撞后引起的溝道效應(yīng)但隨機(jī)局部的離子數(shù)目占全部離子數(shù)的比例，也就是成為隨機(jī)離子的幾率是可以簡(jiǎn)單地估算出來(lái)的。假定所有的隨機(jī)局部離子都打在晶軸附近πr2min面積里〔如圖〕，如果靶原子的面密度為N，原子繩上相鄰兩原子的間距為d，那么原子的面密度剛好為Nd，也就是單位外表積里有Nd個(gè)靶原子。如果入射離子劑量為D，那么單位面積內(nèi)與隨機(jī)離子有關(guān)的離子數(shù)量應(yīng)該為d2rmin那么隨機(jī)離子的比例前邊給過(guò)對(duì)于一個(gè)50kev的P+→Si〔110〕晶向中，它的d=3.8310-8cm可見(jiàn)隨機(jī)離子占的比率是很小的。隨機(jī)離子的分布可以直接用LSS理論來(lái)描述，就是說(shuō)可以直接查表得到隨機(jī)離子局部的Rp和ΔRp值。至于溝道離子的射程分布，迄今為止還沒(méi)有任何一個(gè)理論來(lái)比較精確地計(jì)算。前面說(shuō)過(guò)，溝道離子包括兩局部：完美溝道離子和準(zhǔn)溝道離子〔退道離子〕，由于受晶格的熱震動(dòng)、晶格缺陷等因素的影響較大，退道離子的數(shù)目很難估計(jì)，其射程分布也就不容易精確地確定。目前能夠做到的是計(jì)算溝道離子的最大射程Rmax，然后可以利用它估計(jì)完美溝道離子的標(biāo)準(zhǔn)偏差單晶靶中比較精確的射程分布，一般需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲得，圖上是一個(gè)典型的單晶靶中離子射程分布曲線，從圖上可以看出，離子在單晶靶中的射程分布由三個(gè)區(qū)域組成：A：A類離子局部，對(duì)應(yīng)于非晶靶的高斯峰；B：對(duì)應(yīng)于退道離子的分布；C：對(duì)應(yīng)于完美溝道離子的溝道峰。如果沒(méi)有退道離子，而只有隨機(jī)離子和完美溝道離子，那么分布就有可能是由兩個(gè)峰的疊加分布。但任何離子和靶的組合都會(huì)存在大量的退道離子，因此，這樣理想情況是根本不會(huì)出現(xiàn)的。溝道中核阻止很小，電子密度也很低，Rmax遠(yuǎn)大于R六、最大射程的計(jì)算：對(duì)離子在溝道中的運(yùn)動(dòng)軌跡方程的詳細(xì)推導(dǎo)，不做詳細(xì)介紹。大家只要知道，離子在溝道中大概是以圓頻率ω在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，方程可以表示為r=rmaxsinωt。其中，ω與離子的能量和溝道里的平均勢(shì)有關(guān)。離子在溝道里的運(yùn)動(dòng)會(huì)受到核阻止或者電子阻止的阻尼作用而損失能量。在低能情況下核阻止占優(yōu)，但在較高能量段入射，〔這是我們感興趣的能量段，因?yàn)閷?duì)溝道現(xiàn)象的利用大多在這個(gè)較高能量段〕，在這種情況下，對(duì)于完美的溝道離子的最大射程的影響而言，電子阻止是主要的，正像前面所提的，這些完美溝道離子在溝道中運(yùn)動(dòng)，很少發(fā)生核碰撞，能量根本是由于電子阻止而損失，因而可以不計(jì)核阻止對(duì)最大射程的影響。根據(jù)這個(gè)近似：但它們之間的比例關(guān)系與在非晶靶中不同。下面簡(jiǎn)單介紹一種半經(jīng)驗(yàn)公式的求法，這種方法常常更為精確，把上面的關(guān)系式寫(xiě)成：這個(gè)Se’(E)不等于非晶靶中的Se(E)，但它們存在著的關(guān)系。所以，K*也不是過(guò)去Se(E)=KE1/2里的K。這個(gè)K*值一般用實(shí)驗(yàn)方法確定，所以把這種求法叫半經(jīng)驗(yàn)公式的求法。然后用這式子可得Rmax=2Eo1/2/K*Eo為入射離子的初始能量。常數(shù)K*的確定，通常是取某一固定能量E*，然后在這個(gè)能量下，用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得Se’(E),再利用關(guān)系式來(lái)確定。然后所以，這種方法需要借助實(shí)驗(yàn)的手段求得Rmax。Rmax是一個(gè)很好的物理參量，它與晶體缺陷、外表氧化層厚度、靶溫度無(wú)關(guān)，只要離子種類和離子能量及靶材和晶面確定，就會(huì)有一個(gè)確定的Rmax值。七