小學四年級上冊數(shù)學奧數(shù)知識點講解第10課《數(shù)陣圖》試題附答案

小學四年級上冊數(shù)學奧數(shù)知識點講解第10課《數(shù)陣圖》試題附答案

第十二講數(shù)陣圖

把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖.數(shù)

陣是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種

數(shù)陣圖，即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復合型數(shù)陣圖.

為了讓同學們學會解數(shù)陣圖的分析思考方法，我們舉例說明.

例1將1~8這八個自然數(shù)分別填入下圖中的八個。內(nèi)，使四邊形每條邊上的三

個數(shù)之和都等于14,且數(shù)字1出現(xiàn)在四邊形的一個頂點上.應如何填？

例2請你把1~7這七個自然數(shù)，分別填在下圖（1）的圓圈內(nèi)，使每條直線上

的三個數(shù)的和都相等.應怎樣填？

例3如下圖（1）所示，在每個小圓圈內(nèi)填上一個數(shù)，使得每一條直線上的三

個數(shù)的和都等于大圓圈上三個數(shù)的和.

例4請你將數(shù)字1、2、3、4,5、6、7填在下面圖（1）所示的圓圈內(nèi)，使得每

個圓圈上的三個數(shù)之和與每條直線上的三個數(shù)之和相等.應怎樣填？

例5將1~16分別填入下圖（1）中圓圈內(nèi)，要求每個扇形上四個數(shù)之和及中間

正方形的四個數(shù)之和都為34,圖中已填好八個數(shù)，請將其余的數(shù)填完.

答案

第十二講數(shù)陣圖

把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖.數(shù)

陣是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種

數(shù)陣圖，即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復合型數(shù)陣圖.

為了讓同學們學會解數(shù)陣圖的分析思考方法，我們舉例說明.

例1將這八個自然數(shù)分別填入下圖中的八個O內(nèi)，使四邊形每條邊上的三

個數(shù)之和都等于14,且數(shù)字1出現(xiàn)在四邊形的一個頂點上.應如何填？

分析為了敘述方便，先在各圓圈內(nèi)填上字母，如上圖（2）.

由條件得出以下四個算式：

a+b+c=14(1)

c+d+e=14(2)

e+f+g=14(3)

a+h+g=14(4)由Q)+(3),得：

a+b+c+e+f+g=28,

(a+b+c+d+e+f+g+h)-(d+h)=28,

d+h-(1+2+3+4+5+6+7+8)-28-8,

由(2)+⑷，同樣可得b+f=8,

又1,2,3,4,5,6,7,8中有l(wèi)+7=2+6=3+5=8.

又1要出現(xiàn)在頂點上，d+h與b+f只能有2+6和3+5兩種填法.

又由對稱性，不妨設b=2,f=6,d=3,h=5.

a,c,e,g可取到1,4,7,8

若a=l,則c=14-(1+2)=11,不在1,

4,7,8中，不行.

若c=l,則a=14-(1+2)=11,不行.

若e=l,則c=14-(1+3)=10,不行.

若g=l,則a=8,c=4,e=7.

解：例1為封閉型數(shù)陣，由它的分析思考過程可以看出，確定各邊頂點所應

填的數(shù)為封閉型數(shù)陣的解題突破口.

例2請你把1~7這七個自然數(shù)，分別填在下圖(1)的圓圈內(nèi)，使每條直線上

的三個數(shù)的和都相等.應怎樣填？

分析為敘述方便，先在圓圈中標上字母，如上圖(2).

設a+b+e=a+c+f=a+d+g=k,

則(a+b+e)+(a+c+f)+(a+d+g)=3k

3a+b+c+d+e+f+g=3k

2a+(a+b+c+d+e+f+g)=3k

2a+(1+2+3+4+5+6+7)=3k

2a+28=3k

a為1、4或7.

若a=l,則k=10,直線上另外兩個數(shù)的和為9.在2、3、4、5、6、7中，

2+7=3+6=415=9,因此得到一個解為：a=l,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5.

若a=4,則k=12,直線上另外兩個數(shù)的和為8.在1、2,3、5、6、7中，

14-7=2+6=3+5=8,因此得到第二個解為：a=4,b=l,c=2,d=3,e=7,f=6,g=5.

若a=7,則k=14,直線上另外兩個數(shù)的和為7.在1、2,3、4、5,6中，

1+6=215=3+4=7,因此得到第三個解為：a=7,b=l,c=2,d=3,e=6,f=5,

g=4.

解：共得到三個解：如下圖.

例2為輻射型數(shù)陣圖，填輻射型數(shù)陣圖的關鍵在于確定中心數(shù)呼口每條直線

上幾個圓圈內(nèi)數(shù)的和k.

例3如下圖（1）所示，在每個小圓圈內(nèi)填上一個數(shù)，使得每一條直線上的三

個數(shù)的和都等于大圓圈上三個數(shù)的和.

分析為敘述方便，先在每個圓圈內(nèi)標上字母，如圖（2）.

則有a+4+9=a+b+c（1）

b+8+9-a+b+c（2）

c+17+9-a+b+c（3）

（1）+（2）+（3）（a+b+c）+56=3（a+b+c）

a+b+c=28

則a=28-（4+9）=15

b=28-（8+9）=11

c=28-（17+9）=2

解：見圖.

例4請你將數(shù)字L2、3、4、5、6、7填在下面圖（1）所示的圓圈內(nèi)，使得每

個圓圈上的三個數(shù)之和與每條直線上的三個數(shù)之和相等.應怎樣填？

分析為了敘述方便，將各圓圈內(nèi)先填上字母，如圖(2)所示.

設A+B+C=A+F+G=A+D+E

=B+D+F

=C+E+G=k

(A+B+C)+(A+F+G)+(A+D+E)+(B+D+F)

+(C+E+G)=5k,

3A+2B+2c+2D+2E+2F+2G=5k,

2(A+B+C+D+E+F+G)+A=5k,

2(1+2+3+4+5+6+7)+A=5k,

56+A=5k.

因為56+A為5的倍數(shù)，得A=4,進而推出k=12.

因為在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12,不妨設B=l,F=5,D=6,則

C=12-（4+1）=7,

G=12-（4+5）=3,E=12-（4+6）=2.

解：得到一個基本解為：（見圖）

例5將1~16分別填入下圖（1）中圓圈內(nèi)，要求每個扇形上四個數(shù)之和及中間

正方形的四個數(shù)之和都為34,圖中已填好八個數(shù)，請將其余的數(shù)填完.

分析為了敘述方便，將圓圈內(nèi)先填上字母，如圖（2）所示.

9+15+a+c-34,5+10+e+g-34,

7+14+b+d=34,ll+8+f+h=34,

c+d+e+f-34,

化簡得:a+c=104+6=10.

e+g=193+16=19,6+13=19

b+d=131+12=13,

f+h=152+13=15,3+12=15.

a,b,c,d,e,f,g,施分別從1,2,3,4,6,12,13,16中選取.因

為a+c=10,所以只能選a+c=4+6；b+d=13,只能選b+d=13；e+g=19,只能選

e+g=3+16；f+h=15,只能選f+h=2+13

若d=l,c=4,則e+f=34-l-4=29,有e=16,f=13.

若d=l,c=6,則e+f=34T-6=27,那么e、f無值可取，使其和為27.

若d=12,c=4,則e+f=34-12-4=18,有e=16,f=2.

若#12,c=6,則e+f=34-12-6=16,有e=3,f=13.

解：共有三個解（見圖）.

習題十二

1.如果把例1的條件改為“使四邊形每條邊上的三個數(shù)之和都等于12”，其

他條件不變，又應如荷填？

2.請在下圖（1）中圓圈內(nèi)填入1~9這九個數(shù)，其中6,8已填好，要求A、

B、C,D四個小三角形邊上各數(shù)字之和全都相等.

3.將1~10這十個數(shù)填入如上圖（2）的圓圈內(nèi)，使每個正方形的四個數(shù)字

之和都等于23,應怎樣填？

4.右圖是一部古怪的電話，中間的十二個鍵分別為四個圓形、四個橢圓形

和四個正方形.若想打電話，必須首先將1~12這十二個數(shù)填入其中，使四個橢

圓、四個圓形、四個正方形以及四條直線上的四個數(shù)之和都為26,假如你要打

電話，那么你將怎樣填數(shù)？

5.請在下圖的空格內(nèi)填入1~46這四十六個自然數(shù)，使每一筆直線上各數(shù)之

和都等于93.應怎樣填？

////7

//77/

6.把1~8這八個數(shù)字分別填入下圖（1）中的圓圈內(nèi)，使每個圓周上與每條

直線上四個數(shù)之和都相等，給出一種具體的填法.

7.下圖（2）中，內(nèi)部四個交點上已填好數(shù)，請你在四周方格里填上適當?shù)?/p>

數(shù)，使交點上的數(shù)恰好等于四周四個方格內(nèi)的數(shù)的和.應怎樣填？

四年級奧數(shù)上冊:第十二講數(shù)陣圖習題

習題十二

1.如果把例1的條件改為“使四邊形每條邊上的三個數(shù)之和都等于12”，其

他條件不變，又應如何填？

2.請在下圖Q）中圓圈內(nèi)填入1~9這九個數(shù)，其中6,8己填好，要求A、

B、C、D四個小三角形邊上各數(shù)字之和全都相等.

3.將1~10這十個數(shù)填入如上圖（2）的圓圈內(nèi)，使每個正方形的四個數(shù)字

之和都等于23,應怎樣填？

4.右圖是一部古怪的電話，中間的十二個鍵分別為四個圓形、四個橢圓形

和四個正方形.若想打電話，必須首先將1~12這十二個數(shù)填入其中，使四個橢

圓、四個圓形、四個正方形以及四條直線上的四個數(shù)之和都為2