【復(fù)習(xí)】第01講 集合與常用邏輯用語(yǔ)（教師卷）-【寒假銜接講義】高一數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（新人教A專用）

第第頁(yè)第01講集合與常用邏輯用語(yǔ)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、正確掌握使用集合的語(yǔ)言來(lái)刻畫一類事物的方法.2、理解使用邏輯用語(yǔ)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的方法.【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：集合的含義與表示考點(diǎn)二：集合的基本關(guān)系考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算考點(diǎn)四：含參數(shù)的集合問(wèn)題考點(diǎn)五：充分與必要條件考點(diǎn)六：全稱量詞與存在量詞【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一：集合的有關(guān)概念1、一般地，研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合.2、關(guān)于集合的元素的特征(1)確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立.(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對(duì)象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.(3)無(wú)序性：集合中的元素的次序無(wú)先后之分.如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個(gè)集合，它們都表示同一個(gè)集合.3、元素與集合的關(guān)系：(1)如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作aA(2)如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作4、常用數(shù)集及其表示非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N正整數(shù)集，記作N*或N+整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實(shí)數(shù)集，記作R知識(shí)點(diǎn)二：集合的表示方法1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái).2、描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào){}內(nèi).具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.知識(shí)點(diǎn)三.集合與集合的關(guān)系(1)一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為B的子集.記作：讀作：A包含于B(或B包含A).圖示：(2)如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同()，那么我們稱這兩個(gè)集合相等.記作：A讀作：A等于B.圖示：知識(shí)點(diǎn)四.真子集若集合，存在元素，則稱集合A是集合B的真子集.記作：AB(或BA)讀作：A真包含于B(或B真包含A)知識(shí)點(diǎn)五.空集不含有任何元素的集合稱為空集，記作：.規(guī)定：空集是任何集合的子集.結(jié)論：(1)(類比)(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.(3)若則(類比，則)(4)一般地，一個(gè)集合元素若為n個(gè)，則其子集數(shù)為2n個(gè)，其真子集數(shù)為2n-1個(gè)，特別地，空集的子集個(gè)數(shù)為1，真子集個(gè)數(shù)為0.知識(shí)點(diǎn)六：集合的運(yùn)算1、并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn圖表示：2、交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：3、補(bǔ)集全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U.補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集(complementaryset)，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作：，即補(bǔ)集的Venn圖表示：4、集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論，，，，，，，，，若A∩B=A，則，反之也成立若A∪B=B，則，反之也成立若x(A∩B)，則且xB若x(A∪B)，則xA，或xB求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問(wèn)題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法.知識(shí)點(diǎn)七：充分條件與必要條件充要條件的概念符號(hào)與的含義“若，則”為真命題，記作：；“若，則”為假命題，記作：.充分條件、必要條件與充要條件①若，稱是的充分條件，是的必要條件.②如果既有，又有，就記作，這時(shí)是的充分必要條件，稱是的充要條件.知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)的理解：指當(dāng)成立時(shí)，一定成立，即由通過(guò)推理可以得到.①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關(guān)系的表達(dá).知識(shí)點(diǎn)八：充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關(guān)系看命題“若，則”，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；③若，且，即，則、互為充要條件；④若，且，則是的既不充分也不必要條件.從集合與集合間的關(guān)系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，則是的充分條件，是的必要條件；②若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；③若A=B，則、互為充要條件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件.知識(shí)點(diǎn)八：全稱量詞與全稱量詞命題1、全稱量詞：一般地，“任意”“所有”“每一個(gè)”在陳述句中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，用符號(hào)“”表示.2、全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題.3、全稱量詞命題的形式：對(duì)集合M中的所有元素x，，簡(jiǎn)記為：對(duì).知識(shí)點(diǎn)九：存在量詞與存在量詞命題1、全稱量詞：一般地，“存在”“有”“至少有一個(gè)”在陳述句中表示所述事物的個(gè)體或部分，稱為全存在量詞，用符號(hào)“”表示.2、存在量詞命題：含有存在量詞的命題，稱為存在量詞命題.3、存在量詞命題的形式：存在集合M中的元素x，，簡(jiǎn)記為：對(duì).知識(shí)點(diǎn)十：命題的否定1、一般地，對(duì)命題p加以否定，就得到一個(gè)新的命題，記作“”，讀作“非p”或p的否定.2、如果一個(gè)命題是真命題，那么這個(gè)命題的否定是假命題，反之亦然.知識(shí)點(diǎn)十一：全稱量詞命題的否定一般地，全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題：.知識(shí)點(diǎn)十二：存在量詞命題的否定一般地，存在量詞命題“”的否定是全稱量詞命題：.知識(shí)點(diǎn)十三：命題與命題的否定的真假判斷一個(gè)命題和它的否定不能同時(shí)為真命題，也不能同時(shí)為假命題，只能一真一假.知識(shí)點(diǎn)七：常見(jiàn)正面詞語(yǔ)的否定舉例如下：正面詞語(yǔ)等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面詞語(yǔ)至少有一個(gè)至多有一個(gè)任意的所有的至多有n個(gè)否定一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)某個(gè)某些至少有n＋1個(gè)【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：集合的含義與表示例1.下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是(

)①的近似值的全體構(gòu)成一個(gè)集合②自然數(shù)集N中最小的元素是0③在整數(shù)集Z中，若，則④一個(gè)集合中不可以有兩個(gè)相同的元素A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】①的近似值的全體沒(méi)有確定性，不能構(gòu)成集合，錯(cuò)誤；②自然數(shù)集N中最小的元素是0，正確；③在整數(shù)集Z中，若，則，整數(shù)的相反數(shù)還是整數(shù)，正確，④一個(gè)集合中不可以有兩個(gè)相同的元素，根據(jù)集合的定義知正確，故選：C.例2.給出下列6個(gè)關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個(gè)數(shù)為(

)A.4 B.2 C.3 D.5【答案】A【解析】為無(wú)理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，所以，所以①正確；是無(wú)理數(shù)，所以，所以②錯(cuò)誤；不是正整數(shù)，所以，所以③正確；，所以④正確；是無(wú)理數(shù)，所以，所以⑤正確；，所以⑥錯(cuò)誤.故選:A.例3.方程組的解集是(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】由方程組，解得：，集合應(yīng)是點(diǎn)集，正確的形式是.故選：D考點(diǎn)二：集合的基本關(guān)系例4.已知集合，，則的子集的個(gè)數(shù)為(

)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.8個(gè)【答案】C【解析】集合，因?yàn)?，所以，集合中共兩個(gè)元素，故子集有，，，共個(gè).故選：C.例5.已知集合，集合，則(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，，所以，所以，，，所以B選項(xiàng)正確，其它選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B例6.設(shè)集合，若，則(

)A.0 B.1 C.2 D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，解得，所?.故選：B.考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算例7.設(shè)集合，，則(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，又，所以，故選：B.例8.設(shè)集合，則(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，，故選：C例9.已知全集，集臺(tái)和的關(guān)系如圖所示，則陰影部分表示的集合的元素共有(

)A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.無(wú)窮多個(gè)【答案】B【解析】由題意，集合，，所以陰影部分表示的集合為，有個(gè)元素.故選：B例10.某小學(xué)為落實(shí)雙減，實(shí)現(xiàn)真正素質(zhì)教育，在課后給同學(xué)們?cè)鲈O(shè)了各種興趣班.為了了解同學(xué)們的興趣情況，某班班主任對(duì)全班女生進(jìn)行了關(guān)于對(duì)唱歌?跳舞?書法是否有興趣的問(wèn)卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項(xiàng)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有21人喜歡唱歌，17人喜歡跳舞，10人喜歡書法，同時(shí)喜歡唱歌和跳舞的有12人，同時(shí)喜歡唱歌和書法的有6人，同時(shí)喜歡跳舞和書法的有5人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為(

)A.27 B.23 C.25 D.29【答案】A【解析】作出韋恩圖，如圖所示，可知5人只喜歡唱歌，2人只喜歡跳舞，1人只喜歡書法，同時(shí)喜歡唱歌和跳舞但不喜歡書法的有10人，同時(shí)喜歡唱歌和書法但不喜歡跳舞的有4人，同時(shí)喜歡跳舞和書法但不喜歡唱歌的有3人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為.故選：A考點(diǎn)四：含參數(shù)的集合問(wèn)題例11.已知集合.(1)若，求；(2)若，求的取值范圍.【解析】(1)由，得，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.(2)由，得.當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，得.綜上，的取值范圍為.例12.已知集合是函數(shù)的定義域，.(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)由，即，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.(2)由(1)知，，，且，當(dāng)時(shí)，有，即.當(dāng)時(shí)，有，即.綜上所述，的取值范圍為.例13.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集?給出下列條件①“”是“”的充分條件；②；③.從中選一個(gè)作為已知填在橫線上，并解答.(1)若，求；(2)設(shè)集合，滿足條件___________，若這樣的實(shí)數(shù)存在，求取值范圍，若不存在說(shuō)明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】(1)，，解得或，故，若，則集合，故，.(2)集合，，集合或，選擇①，“”是“”的充分條件，是A的真子集，則滿足或，解得或，故的取值范圍為；選擇②，，，解得，故的取值范圍為；選擇③，，又，，解集為.例14.已知集合，，，且，.(1)求的值；(2)求的取值范圍.【解析】(1)由題意得：集合，由，得，由集合間的基本關(guān)系可知；所以的值為.(2)由(1)得，由，得，即的取值范圍需滿足解得，即的取值范圍為.例15.從①“充分不必要條件”、②“必要不充分條件”兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問(wèn)的橫線處，并解答下列問(wèn)題:已知集合，.(1)若，求；(2)若存在正實(shí)數(shù)，使得“”是“”成立的，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.(注:如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分)【解析】(1)，因，則.當(dāng)時(shí)，，所以.(2)選①

因“”是“”成立的充分不必要條件，則是的真子集.所以.經(jīng)檢驗(yàn)“=”滿足.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.選②

因?yàn)椤啊笔恰啊背闪⒌谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集.所以，經(jīng)檢驗(yàn)“=”滿足.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)五：充分與必要條件例16.設(shè)，則“”是“”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由可得，，即，可等價(jià)變形為：，即或，顯然“或”是“”的必要不充分條件.故選：B例17.若p：，則p成立的充分不必要條件可以是(

)A. B.C. D.【答案】A【解析】由，即，解得，則成立的充分不必要條件可以是.故選：A.例18.設(shè)，，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.例19.“”的一個(gè)必要不充分條件是(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，的一個(gè)必要不充分條件即為所求結(jié)果的真子集，根據(jù)選項(xiàng)可得是的真子集，通過(guò)，可推出，通過(guò)不可推出，故是的一個(gè)必要不充分條件.故選：C.考點(diǎn)六：全稱量詞與存在量詞例20.命題“，”的否定是(

)A.B.C.D.【答案】A【解析】該命題是一個(gè)特稱命題，其否定是一個(gè)全稱命題，即命題“，”的否定是“，”，故選：A.例21.已知命題，則命題的否定及否定的真假為(

)A.，真命題B.，假命題C.，真命題D.，假命題【答案】C【解析】由于，時(shí)取等號(hào)，因此命題是假命題，它的否定是真命題，全稱命題的否定是特稱命題，因此命題的否定是：.故選：C.例22.已知命題，.若為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】若命題為真，則，解得，則當(dāng)命題為假命題時(shí)，，故的取值范圍是.故選：C.例23.已知為實(shí)數(shù)，使“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，全稱量詞命題：為真命題，所以，在區(qū)間上恒成立，所以，所以使“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是“”.故選：B【真題演練】1.“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)為整數(shù)時(shí)，必為整數(shù)；當(dāng)為整數(shù)時(shí)，比一定為整數(shù)，例如當(dāng)時(shí)，.所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.2.設(shè)全集，集合，則(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】，故，故選：A.3.設(shè)集合，則(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?故選：A.4.若集合，則(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】，故，故選：D5.集合，則(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?故選：A.6.設(shè)全集，集合M滿足，則(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤,故選:7.設(shè)全集，集合，則(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，，所以,所以.故選：D.8.已知集合，則(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】[方法一]：直接法因?yàn)?，故，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿足，排除A、D；代入集合，可得，不滿足，排除C.故選：B.9.已知全集，集合，則(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D.10.設(shè)集合，則(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】，故選：D.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1.命題“對(duì)任意，都有”的否定為(

)A.對(duì)任意，都有 B.對(duì)任意，都有C.存在，使得 D.存在，使得【答案】C【解析】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以，命題“對(duì)任意，都有”的否定為：存在，使得.故選：C2.如圖，設(shè)集合{華南虎，爪哇虎，里?；，{華南虎，巴厘虎，馬來(lái)亞虎}，則陰影部分表示的集合是(

)A.{華南虎，爪哇虎} B.{華南虎，巴厘虎}C.{爪哇虎，里?； D.{巴厘虎，馬來(lái)亞虎}【答案】C【解析】由題意得陰影部分表示的集合中的元素需滿足且所以，陰影部分表示的集合即{爪哇虎，里?；.故選：C.3.命題“”的否定是(

)A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，所以原命題的否定為：，故選:A.4.若集合，，則(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，所以.故選：D.5.下列判斷正確的是(

)A.個(gè)子高的人可以組成集合 B.C. D.空集是任何集合的真子集【答案】C【解析】對(duì)于A，個(gè)子高沒(méi)有一定的標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合的確定性，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，集合表示大于或等于的實(shí)數(shù)組成的集合，集合表示大于或等于的實(shí)數(shù)組成的集合，所以，故C正確；對(duì)于D，空集是任何非空集合的真子集，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.，則(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以，=故選：D7.已知集合，，則(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意集合，，則，故選：C8.集合，，則(

)A. B. C. D.(3，4)【答案】A【解析】集合，，則故選：A二、多選題9.設(shè)集合，，，則下列關(guān)系中正確的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】，，中的元素為點(diǎn)集，故，，故選：BC10.設(shè)為全體質(zhì)數(shù)的集合，若，則的值可能是(

)A.5 B.7 C.13 D.17【答案】ABC【解析】17以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17，因?yàn)?，，，沒(méi)有兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加等于17，所以的值可能是5、7、13.故選:ABC.11.若“，使得成立”是假命題，則實(shí)數(shù)可能的取值是(

)A.1 B.2 C. D.3【答案】ABC【解析】因?yàn)?，使得成立”是假命題，所以“，使得成立”是真命題，所以，所以；故選：ABC.12.如果A是D的充分不必要條件，B是C的充要條件，A是C的必要不充分條件，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.A是B的必要不充分條件 B.B是D的充分不必要條件C.C是D充要條件 D.B是D的既不充分又不必要條件【答案】AB【解析】由A是D的充分不必要條件，則A能推出D，且D推不出A；由B是C的充要條件，則B能推出C，且C能推出B，由A是C的必要不充分條件，則A推不出C，且C能推出A，對(duì)于A，由B能推出C，且C能推出B，A推不出C，且C能推出A，則A推不出B，且B能推出A，故A正確；對(duì)于B，由A推不出B，且B能推出A，A能推出D，且D推不出A，則B能推出D，且D推不出B，故B正確；對(duì)于C，由B能推出C，且C能推出B，B能推出D，且D推不出B，則C能推出D，且D推不出C，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B選項(xiàng)，可得D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題13.集合＝{1，2，a，a2－3a－1}，＝{－1，3}，若3∈且，則a的取值為________.【答案】4【解析】因?yàn)?∈M，所以或，因此或或；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，舍去；故答案為:4.14.已知下列不等式①；②；③；④；⑤.其中是不等式的一個(gè)充分不必要條件的有______(填序號(hào)).【答案】③④【解析】.對(duì)①，因?yàn)?，所以是的必要不充分條件.對(duì)②，因?yàn)?，所?/p>